1.समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?)-

How to Find Integrating Factor?

समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),इसके लिए हम पूर्व में भी कुछ विधियों का उल्लेख कर चुके हैं।इस आर्टिकल में समाकलन गुणक ज्ञात करने की अलग विधि के बारे में जानेंगे।
समाकलन गुणक (Integrating Factor)-जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है।ऐसे विशेष फलनों को समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
नियम (V): x^{a} y^{b}(m y d x+n x d y)+x^{r} y^{s}(p y d x+q x d y)=0 रूप के समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor):
यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 का रूप x^{a} y^{b}(m y d x+n x d y)+x^{r} y^{s}(p y d x+q x d y)=0 हो, जिसमें a,b,m,n,r,s,p तथा q सब अचर राशियां हैं तो समाकलन गुणक (I.F.) x^{h} y^{k} होगा जहां h और k इस आधार पर विदित होते हैं कि समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर वह यथार्थ (Exact) समीकरण बन जाता है।
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2.समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें के उदाहरण (How to Find Integrating Factor Examples),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण सवाल और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(y^{3}-2 y e^{2}\right) d x+\left(2 x y^{2}-x^{3}\right) d y=0
Solution–\left(y^{3}-2 y e^{2}\right) d x+\left(2 x y^{2}-x^{3}\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

(x^{h} y^{k+3}-2 x^{h+2} y^{k+1})dx+(2 x^{h+1} y^{k+2}-x^{h+3} y^{k})dy=0 \cdots (1) \\ M=x^{h} y^{k+3}-2 x^{h+2} y^{k+1}, N=2 x^{h+1} y^{k+2}-x^{h+3} y^{k} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=(k+3) x^{h} y^{k+2}-2(k+1) x^{h+2} y^{k} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+1) x^{h} y^{k+2}-(h+3) x^{h+2} y^{k}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\(k+3) x^{h} y^{k+2}-2(k+1) \cdot x^{h+2} y^{k}-2(h+1) x^{h} y^{k+2}+(h+3) x^{h+2} y^{k}=0 \\ \Rightarrow (k+3-2 h-2) x^{h} y^{k+2}+(h+3-2 k-2) x^{h+2} y^{k}=0 \\ \Rightarrow (k-2 h+1) x^{h} y^{k+2}+(h-2 k+1) x^{h+2} y^{k}=0
यह तभी संभव है जबकि
k-2h+1=0 …….(2)
h-2k+1=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-
h=1,k=1
अतः समाकलन गुणक (I.F.) =xy
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(x y^{4}-2 x^{3} y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2} y^{3}-x^{4} y\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=x y^{4}-2 x^{3} y^{2}, N=2 x^{2} y^{3}-x^{4} y \\ (1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(x y^{4}-2 x^{3} y^{2}\right) d x \\ U(x, y)=\frac{1}{2} x^{2} y^{4}-\frac{1}{2} x^{4} y^{2} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y^{3}-x^{4} y \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{2} y^{3}-x^{4} y-2 x^{2} y^{3}+x^{4} y=0 \\ (4)V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \frac{1}{2} x^{2} y^{4}-\frac{1}{2} x^{4} y^{2}=c_{1} \\ \Rightarrow x^{2} y^{2}\left(y^{2}-x^{2}\right)=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-2.\left(3 x+2 y^{2}\right) y d x+2 x\left(2 x+3 y^{2}\right) d y=0
Solution–\left(3 x y+2 y^{3}\right) d x+\left(4 x^{2}+6 x y^{2}\right) d y
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

\left(3 x^{h+1} y^{k+1}+2 x^{h} y^{k+3}\right) d x+\left(4 x^{h+2} y^{k}+6 x^{h+1} y^{k+2}\right) d y=0 \cdots(1) \\ M=3 x^{h+1} y^{k+1}+2 x^{h} y^{k+3}, \quad N=4 x^{h+2} y^{k}+6 x^{h+1} y^{k+2}\\ \frac{\partial M}{\partial y}=3(k+1) x^{h+1} y^{k}+2(k+3) x^{h} y^{k+2} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=4(h+2) x^{h+1} y^{k}+6(h+1) x^{h} y^{k+2}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ (3 k+3) x^{h+1} y^{k}+(2 k+6) x^{h} y^{k+2}-(4 h+8) x^{h+1} y^{k}-(6 h+6) x^{h} y^{k+2}=0 \\ \Rightarrow(3 k+3-4 h-8) x^{h+1} y^{k}+(2 k+6-6 h-6) x^{h} y^{k+2}=0 \\ \Rightarrow (-4 h+3 k-5) x^{h+1} y^{k}+(-6 h+2 k) x^{h} y^{k+2}=0
यह तभी संभव है जबकि
-4h+3k-5=0 …….(2)
-6h+2k=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-
h=1,k=3
अतः समाकलन गुणक (I.F.) होगा=x y^{3}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y^{6}\right) d x+\left(4 x^{3} y^{3}+6 x^{2} y^{5}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=3 x^{2} y^{4} +2 x y^{6}, N=4 x^{3} y^{3}+6 x^{2} y^{5} \\ (1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y^{6}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =x^{3} y^{4}+x^{2} y^{6} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=4 x^{3} y^{3}+6 x^{2} y^{5} \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=4 x^{3} y^{3}+6 x^{2} y^{5}-4 x^{3} y^{3}-6 x^{2} y^{5}=0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow x^{3} y^{4}+x^{2} y^{6}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-3.\left(y^{2}+2 x^{2} y\right) d x+\left(2 x^{3}-x y\right) d y=0
Solution–\left(y^{2}+2 x^{2} y\right) d x+\left(2 x^{3}-x y\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

\left(x^{h} y^{k+2}+2 x^{h+2} y^{k+1} \right) d x+\left(2 x^{h+3} y^{k}-x^{h+1} y^{k+1}\right) d y=0 \cdots(1) \\ M=x^{h} y^{k+2}+2 x^{h+2} y^{k+1}, N=2 x^{h+3} y^{k}-x^{h+1} y^{k+1} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=(k+2) x^{h} y^{k+1}+2(k+1) x^{h+2} y^{k} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+3) x^{h+2} y^{k}-(h+1) x^{h} y^{k+1}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ (k+2) x^{h} y^{k+1}+2(k+1) x^{h+2} y^{k}-2(h+3) x^{h+2} y^{k}+(h+1) x^{h} y^{k+1}=0 \\ \Rightarrow (k+2+h+1) x^{h} y^{k+1}+(2 k+2-2 h-6) x^{h+2} y^{k}=0 \\ \Rightarrow (h+k+3) x^{h} y^{k+1} +(-2 h+2 k-4) x^{h+2} y^{k}=0
यह तभी संभव है जबकि
h+k+3=0 …….(2)
-2h+2k-4=0……..(3)

समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-

h=-\frac{5}{2}, k=-\frac{1}{2}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=x^{-\frac{5}{2}} y^{-\frac{1}{2}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(x^{-\frac{5}{2}} y^{\frac{3}{2}}+2 x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}\right) d x+\left(2 x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=x^{-\frac{5}{2} } y^{\frac{3}{2}}+2 x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}, \quad N=2 x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}} \\ (1) U(x, y)=\int M d x \\ =\int\left(x^{-\frac{5}{2}} y^{\frac{3}{2}}+2 x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=-\frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}}+4 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=-x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}+2 x^{-\frac{3}{2} }y^{-\frac{1}{2}} \\ (3) N-\frac{ \partial U}{\partial y}=2 x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2}}-2 x^{\frac{1}{2} } y^{-\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow -\frac{2}{3} x^{-\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}+4 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-4.\left(2 x^{2} y-3 y^{4}\right) d x+\left(3 x^{3}+2 x y^{3}\right) d y=0
Solution–\left(2 x^{2} y-3 y^{4}\right) d x+\left(3 x^{3}+2 x y^{3}\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

\left( 2 x^{h+2} y^{k+1}-3 x^{h} y^{k+4}\right) d x+\left(3 x^{h+3} y^{k}+2 x^{h+1} y^{k+3}\right) d y=0 \cdots (1)\\ M=2 x^{h+2} y^{k+1}-3 x^{h} y^{k+4}, N=3 x^{h+3} y^{k} +2 x^{h+1} y^{k+3} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2(k+1) x^{h+2} y^{k}-3(k+4) x^{h} y^{k+3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=3(h+3) x^{h+2} y^{k}+2(h+1) x^{h} y^{k+3}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ \Rightarrow(2 k+2) x^{h+2} y^{k}-(3 k+12) x^{h} y^{k+3}-(3 h+9) x^{h+2} y^{k}-(2 h+2) x^{h} y^{K+3}=0 \\ \Rightarrow(2 k+2-3 h-9) x^{h+2} y^{k}+(-3 k-12-2 h-2) x^{h} y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow(-3 h+2 k-7) x^{h+2} y^{k}+(-2 h-3 k-14) x^{h} y^{k+3}=0
यह तभी संभव है जबकि
-3h+2k-7=0 …….(2)
-2h-3k-14=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-

h=-\frac{49}{13} ; k=-\frac{28}{13}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=x^{-\frac{49}{13}} y^{-\frac{28}{13}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(2 x^{-\frac{23}{13}} y^{- \frac{15}{13}}-3 x^{-\frac{49}{13}} y^{\frac{24}{13}}\right) d x+\left(3 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{28}{13}}+2 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{11}{13}}\right)
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=2 x^{-\frac{23}{13}} y^{-\frac{15}{13}}-3 x^{-\frac{49}{13}} y^{\frac{24}{13}}, \quad N=3 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{28}{13}}+2 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{11}{13}} \\ (1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(2 x^{-\frac{23}{13}} y^{-\frac{15}{13}}-3 x^{-\frac{49}{13}} y^{\frac{24}{13}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\left[-\frac{26}{10} x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{15}{13}}+ \frac{13}{12} x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{24}{13}}\right] \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y} =3 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{28}{13}}+2 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{11}{13}} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=3 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{28}{13}}+2 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{11}{13}}-3 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{28}{13}}-2 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{11}{13}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow -\frac{26}{10} x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{15}{13}}+\frac{13}{12} x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{24}{13}}=c_{1} \\ \Rightarrow 5 x^{-\frac{36}{13}} y^{\frac{24}{13}}-12 x^{-\frac{10}{13}} y^{-\frac{15}{13}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।

How to Find Integrating Factor?

Example-5.x(4 y d x+2 x d y)+y^{3}(3 y d x+5 x d y)=0
Solution–\left(4 x y+3 y^{4}\right) d x+\left(2 x^{2}+5 x y^{3}\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

\left(4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^{h} y^{k+4}\right)+\left(2 x^{h+2} y^{k}+5 x^{h+1} y^{k+3}\right)=0 \cdots (1) \\ M=4 x^{h+1} y^{k+1}+3 x^{h} y^{k+4} \quad , N=2 x^{h+2} y^{k}+5 x^{h+1} y^{k+3} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4(k+1) x^{h+1} y^{k}+3(k+4) x^{h} y^{k+3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+2) x^{h+1} y^{k}+5(h+1) x^{h} y^{k+3}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ 4(k+1) x^{h+1} y^{k}+3(k+4) x^{h} y^{k+3}-2(h+2) x^{h+1} y^{k}-5(h+1) x^{h} y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow(4 k+4-2 h-4) x^{h+1} y^{k}+(3 k+12-5 h-5) x^{h} y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow (-2 h+4 k) x^{h+1} y^{k}+(-5 h+3 k+7) x^{h} y^{k+3}=0
यह तभी संभव है जबकि
-2h+4k=0 …….(2)
-5h+3k+7=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-
h=2,k=1
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=x^{2} y
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(4 x^{3} y^{2}+3 x^{2} y^{5}\right) d x+\left(2 x^{4} y+5 x^{3} y^{4}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=4 x^{3} y^{2}+3 x^{2} y^{5}, N=2 x^{4} y+5 x^{3} y^{4} \\ \text { (1.) } U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(4 x^{3} y^{2}+3 x^{2} y^{5}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =x^{4} y^{2}+x^{3} y^{5} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}= 2 x^{4} y+5 x^{3} y^{4} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{4} y+5 x^{3} y^{4}-2 x^{4} y-5 x^{3} y^{4} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^{4} y^{2}+x^{3} y^{5}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-6.\left(x^{2} y+y^{4}\right) d x+\left(2 x^{3}+4 x y^{3}\right) d y=0
Solution–\left(x^{2} y+y^{4}\right) d x+\left(2 x^{3}+4 x y^{3}\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k} से गुणा करने पर-

\left( x^{h+2} y^{k+1} +x^{h} y^{k+4} \right) d x+\left(2 x^{h+3} y^{k}+4 x^{h+1} y^{k+3}\right) d y=0 \cdots(1) \\ M=x^{h+2} y^{k+1}+x^{h} y^{k+4}, N=2 x^{h+3} y^{k}+4 x^{h+1} y^{k+3} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=(k+1) x^{h+2} y^{k}+(k+4) x^{h} y^{ k+3} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=2(h+3) x^{h+2} y^{k}+4(h+1) x^{h} y^{k+3}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ (k+1) x^{h+2} y^{k}+(k+4) x^{h} y^{k+3} -2(h+3) x^{h+2} y^{k}-4(h+1) x^{h} y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow (k+1-2 h-6) x^{h+2} y^{k}+(k+4-4 h-4) x^{h} y^{k+3}=0 \\ \Rightarrow(-2 h+k-5) x^{h+2} y^{k}+(-4 h+k) x^{h} y^{k+3} =0
यह तभी संभव है जबकि
-2h+k-5=0 …….(2)
-4h+k=0 ……..(3)

समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-
h=\frac{5}{2}, k=10
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=x^{\frac{5}{2}} y^{10}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(x^{\frac{9}{2}} y^{11}+x^{\frac{5}{2}} y^{14}\right) d x+\left(2 x^{\frac{11}{2}} y^{10}+4 x^{\frac{7}{2}} y^{13}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=x^{\frac{9}{2}} y^{11}+x^{\frac{5}{2}} y^{14}, \quad N=2 x^{\frac{11}{2}} y^{10}+4 x^{\frac{7}{2}} y^{13} \\ (1 ) U\left(x, y\right) =\int M d x \\ =\int\left(x^{\frac{9}{2}} y^{11}+x^{\frac{5}{2}} y^{14}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{2}{11} x^{\frac{11}{2}} y^{11}+\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} y^{14} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{\frac{11}{2}} y^{10}+4 x^{\frac{7}{2}} y^{13} \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{\frac{11}{2}} y^{10}+4 x^{\frac{7}{2}} y^{13}-2 x^{\frac{11}{2}} y^{10}-4 x^{\frac{7}{2}} y^{13} \\ \Rightarrow\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right)=0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U\left(x, y\right)+V(y)=c_{1} \\ \frac{2}{11} x^{\frac{11}{2}} y^{11}+\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} y^{14}=c_{1} \\ \Rightarrow 7 x^{\frac{11}{2}} y^{11}+11 x^{\frac{7}{2}} y^{14}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-7.\left(2 y+6 x y^{2}\right) d x+\left(3 x+8 x^{2} y\right) d y=0
Solution–\left(2 y+6 x y^{2}\right) d x+\left(3 x+8 x^{2} y\right) d y=0
समीकरण को x^{h} y^{k}  से गुणा करने पर-

\left(2 x^{h} y^{k+1} +6 x^{h+1} y^{k+2} \right) d x+\left(3 x^{h+1} y^{k}+8 x^{h+2} y^{k+1}\right) d y=0 \cdots (1)\\M=2 x^{h} y^{k+1}+6 x^{h+1} y^{k+2}, N=3 x^{h+1} y^{k}+8 x^{h+2} y^{k+1} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2(k+1) x^{h} y^{k}+6(k+2) x^{h+1} y^{k+1} \\ \frac{\partial N}{\partial y}=3(h+1) x^{h} y^{k}+8(k+2) x^{h+2} y^{k+1}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ 2(k+1) x^{h} y^{k}+6(k+2) x^{h+1} y^{k+1}-3(h+1) x^{h} y^{k}-8(h+2) x^{h+1} y^{k+1} \\ \Rightarrow(2 k+2-3 h-3) x^{h} y^{k}+(6 k+12-8 h-16) x^{h+1} y^{k+1}=0 \\ \Rightarrow(-3 h+2 k-1) x^{h} y^{k}+(-8 h+6 k-4) x^{h+1} y^{k+1} =0
यह तभी संभव है जबकि
-3h+2k-1=0 …….(2)
-8h+6k-4=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-
h=1,k=2
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=x y^{2}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(2 x y^{3}+6 x^{2} y^{4}\right) d x+\left(3 x^{2} y^{2}+8 x^{3} y^{3}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है। इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=2 x y^{3}+6 x^{2} y^{4}, N=3 x^{2} y^{2}+8 x^{3} y^{3} \\ (1) U(x, y)=\int M d x \\ =\int\left(2 x y^{3}+6 x^{2} y^{4}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=x^{2} y^{3}+2 x^{3} y^{4} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=3 x^{2} y^{2}+8 x^{3} y^{3} \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=3 x^{2} y^{2}+8 x^{3} y^{3}-3 x^{2} y^{2}-8 x^{3} y^{3} \\ \Rightarrow\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0 \\ (4) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 dy \\ V(y)=0 
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U\left(x, y\right)+V(y)=c \\ x^{2} y^{3}+2 x^{3} y^{4}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।
Example-8.(y d x+3 x d y)+2 y(3 y d x+4 x d y)=0
Solution–(y d x+3 x d y)+2 y(3 y d x+4 x d y)=0 \\ \Rightarrow y d x+3 x d y+6 y^{2} d x+8 x y d y=0 \\ \Rightarrow \left(y+6 y^{2}\right) d x+(3 x+8 x y) d y=0
समीकरण को से गुणा करने पर-

\left(x^{h} y^{k+1}+6 x^{h} y^{k+2}\right) d x+\left(3 x^{h+1} y^{k}+8 x^{h+1} y^{k+1}\right)dy=0 \cdots(1) \\ M=\left(x^{h} y^{k+1}+6 x^{h} y^{k+2}\right) \quad N=3 x^{h+1} y^{k}+8 x^{h+1} y^{k+1} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=(k+1) x^{h} y^{k}+6(k+2) x^{h} y^{k+1} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=3(h+1) x^{h} y^{k}+8(h+1) x^{h} y^{k+1}
यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण होने के लिए

\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=0 \\ (k+1) x^{h} y^{k}+6\left(k+2\right) x^{h} y^{k+1}-3(h+1) x^{h} y^{k}-8(h+1) x^{h} y^{k+1}=0 \\ \Rightarrow(k+1-3 h-3) x^{h} y^{k}+(6 k+12-8 h-8) x^{h} y^{k+1}=0 \\ \Rightarrow(-3 h+k-2) x^{h} y^{k}+(-8 h+6 k+4) x^{h} y^{k+1}=0
यह तभी संभव है जबकि
-3h+k-2=0 …….(2)
-8h+6k+4=0 ……..(3)
समीकरण (2) व (3) को हल करने पर-

h=-\frac{8}{5}, k=-\frac{14}{5}
अतः समाकलन गुणक (I.F.) होगा=x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{14}{5}}
अब समीकरण (1) का रूप होगा-

\left(x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{9}{5}}+6 x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{4}{5}}\right) d x+\left(3 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{14}{5}}+8 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}}\right) d y=0
यह एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है।इसलिए यथातध (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से समाकलन करने पर-

M=x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{9}{5}}+6 x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{4}{5}}, N=3 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{14}{5}}+8 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}} \\ (1) U\left(x, y\right)=\int M d x \\ =\int\left(x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{9}{5}}+6 x^{-\frac{8}{5}} y^{-\frac{4}{5}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=-\frac{5}{3} x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}}-10 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{4}{5}} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=3 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{14}{5}}+8 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}} \\ (3) N-\frac {\partial U}{\partial y}=3 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{14}{5}}+8 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}}-3 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{14}{5}}-8 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int(0) d y \\ \Rightarrow V(y) =0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ -\frac{5}{3} x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{9}{5}}-10 x^{-\frac{3}{5}} y^{-\frac{4}{5}}=c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझ सकते हैं।

3.समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें की समस्याएं (How to Find Integrating Factor Problems)-

How to Find Integrating Factor?

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1)(2 y d x+3 x d y)+2 x y(3 y d x+4 x d y)=0 \\ (2) x(4 y d x+2 x d y)+y^{3}(3 y d x+5 x d y)=0 \\ (3) x^{3} y^{3}(2 y d x+x d y)-(5 y d x+7 x d y)=0
उत्तर (Answers):

(1) x^{2} y^{3}+2 x^{3} y^{4}=c \\ (2) x^{4} y^{2}+x^{3} y^{5}=c \\ (3) x^{3} y^{3}+2=c x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{7}{3}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें (How to Find Integrating Factor) के बारे अक्सर पूछे जाने वाले

How to Find Integrating Factor?

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समाकलन गुणक कैसे ज्ञात करें? (How to Find Integrating Factor?),को समझने में मदद मिलेगी।