1.अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना (To Solve Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree):

To Solve Simultaneous Equations in DE

अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करने (To Solve Simultaneous Equations in DE) के तीन आर्टिकल पोस्ट किए जा चुके हैं।प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण को कुछ सरल विधियों से हल किया गया है जो पूर्व में दी गई विधियों से सरल है।
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2.अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना के साधित उदाहरण (To Solve Simultaneous Equations in DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. \frac{d x}{y}=\frac{d y}{x}=\frac{d z}{x y z^2\left(x^2-y^2\right)}
Solution: \frac{d x}{y}=\frac{d y}{x}=\frac{d z}{x y z^2\left(x^2-y^2\right)}
प्रथम दो भिन्नों सेः

\frac{d x}{y}=\frac{d y}{x} \\ \Rightarrow x d x=y d y \\ \Rightarrow \int x d x=\int y d y \\ \Rightarrow x^2-y^2=c_{1}
प्रथम व अन्तिम भिन्न सेः

\frac{d x}{y}=\frac{d z}{x y z^2\left(x^2-y^2\right)} \\ \Rightarrow d x=\frac{d z}{x z^2 c_{1} } \\ \Rightarrow x c_1 d x=\frac{d z}{z^2} \\ \Rightarrow 2 \int x c_{1} d x=\frac{2 d z}{z^2} \\ \Rightarrow x^2 c_{1}=-\frac{2}{z}+c_2 \\ \Rightarrow \left(x^2-y^2\right) x^2+\frac{2}{z}=c_2
Example:2. \frac{d x}{y^2+y z^2+z^2}=\frac{d y}{z^2+z x+x^2}=\frac{d z}{x^2+xy+y^2}
Solution:\frac{d x}{y^2+y z^2+z^2}=\frac{d y}{z^2+z x+x^2}=\frac{d z}{x^2+xy+y^2} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y^2+y z+z^2-z^2-z x-x^2}=\frac{d y-d z}{z^2+z x+x^2-x^2-x y-y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y^2-x^2+y z-z x}=\frac{d y-d z}{z^2-y^2+z x-x y} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{(y-x)(y+x)+z(y-x)}=\frac{d y-d z}{(z-y)(z+y)+x(z-y)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{(y-x)(x+y+z)}=\frac{d y-d z}{(z-y)(x+y+z)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y-x}=\frac{d y-d z}{z-y} \\ \Rightarrow \int \frac{d x-d y}{x-y}=\int \frac{d y-d z}{y-z} \\ \Rightarrow \log (x-y)=\log (y-z)+\log c_{1} \\ \\ \Rightarrow \frac{x-y}{y-z}=c_1 \\ \Rightarrow \frac{d y-d z}{z^2+z x+x^2-x^2-x y-y^2}=\frac{d x-d z}{y^2+y z+z^2-x^2-x y-y^2} \\ \Rightarrow \frac{d y-d z}{z^2-y^2+z x-x y}=\frac{d x-d z}{z^2-x^2+y z-x y} \\ \Rightarrow \frac{d y-d z}{(z-y)(z+y)+x(z-y)}=\frac{d x-d z}{(z-x)(z+x)+y(z-x)} \\ \Rightarrow \frac{d y-d z}{(z-y)(x+y+z)}=\frac{d x-d z}{(z-x)(x+y+z)} \\ \Rightarrow \frac{d y-d z}{y-z}=\frac{d x-d z}{x-z} \\ \log (z-y)=\log (x-z)+\log c_2 \\ \Rightarrow \frac{y-z}{x-z}=c_2 \\ \frac{x-y}{y-z}=c_{1}, \frac{y-z}{x-z}=c_{2}
Example:3. \frac{d x}{x^2-y z-y^2}=\frac{d y}{x^2-z x-y^2}=\frac{d z}{z(x-y)}
Solution: \frac{d x}{x^2-y z-y^2}=\frac{d y}{x^2-z x-y^2}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{x^2-y z-y^2-x^2+z x+y^2}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{z(x-y)}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow dx-dy=d z \\ \Rightarrow \int d x-\int d y=\int d z \\ \Rightarrow x-y=z+c_{1} \\ \Rightarrow x-y-z=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x d x-y d y}{x^3-x y z-x y^2+x^2 y+x y z+y^3}=\frac{z d z}{z^2(x-y)}\\ \Rightarrow \frac{x d x-y d y}{(x+y)\left(x^2-x y+y^2\right)-x y(x+y)}=\frac{z d z}{z^2(x-y)}\\ \Rightarrow \frac{x d x-y d y}{(x+y)\left(x^2-x y+y^2-x y\right)}=\frac{z d z}{z^2(x-y)}\\ \Rightarrow \frac{x d x-y d y}{(x+y)(x-y)^2}=\frac{z d z}{z^2(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x-2 y d y}{(x+y)(x-y)}=\frac{2z dz}{z^2} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x-2 y d y}{x^2-y^2}=\frac{2 z d z}{z^2} \\ \log \left(x^2-y^2\right)=\log z^2+\log c_{2} \\ \Rightarrow \frac{z^2-y^2}{z^2}=c_2 \quad, x-y-z=c_{1}
Example:4. \frac{d x}{y^2+y z+x^2}=\frac{d y}{y^2-x z+x^2}=\frac{d z}{z(x+y)}
Solution: \frac{d x}{y^2+y z+x^2}=\frac{d y}{y^2-x z+x^2}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y^2+y z+x^2-y^2+x z-x^2}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{z(x+y)}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \Rightarrow d x-d y=d z \\ \int d x-\int d y=\int d z \\ x-y=z+c_{1} \\ x-y-z=c_{1} \\ x-y-z=c_{1}\\ \frac{x d x+y d y}{x y^2+x y z+x^3+y^3-x y z+x^2 y}=\frac{z d z}{z^2(x+y)}\\ \Rightarrow \frac{x d x+y dy}{x y^2+y^3+x^3+x^2 y}=\frac{z d z}{z^2(x+y)}\\ \Rightarrow \frac{x d x+y d y}{y^2(x+y)+x^2(x+y)}-\frac{z d z}{z^2(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x+2 y d y}{\left(x^2+y^2\right)(x+y)}=\frac{2 z d z}{z^2(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x+2 y d y}{x^2+y^2}=\frac{2 z d z}{z^2} \\ \Rightarrow \int \frac{2 x d x+2 y d y}{x^2+y^2}=\int \frac{2 z}{z^2} d z \\ \Rightarrow \int \frac{2 x d x+2 y d y}{x^2+y^2}=\int \frac{2 z}{z^2} d z \\ \Rightarrow \log \left(x^2+y^2\right)=\log z^2+\log c_{2} \\ \Rightarrow \frac{x^2+y^2}{z^2}=c_2 ,\quad x-y-z=c_{1}
Example:5. \frac{d x}{x^2+y^2}=\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{z(x+y)}
Solution: \frac{d x}{x^2+y^2}=\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \frac{d x+d y}{x^2+y^2+2 x y}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{(x+y)^2}=\frac{d z}{z(x+y)} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{x+y}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log (x+y)=\log z+\log c_{1} \\ \Rightarrow x+y=c_{1}z \\ \frac{x d x-y d y}{x^3+x y^2-2 x y^2}=\frac{d y}{2 x y} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x-2 y d y}{x\left(x^2-y^2\right)}=\frac{d y}{2 x y} \\ \Rightarrow \int \frac{2 x d x-2 y d y}{x^2-y^2}=\int \frac{d y}{y} \\ \Rightarrow \log \left(x^2-y^2\right)+\log c_2=\log y \\ \Rightarrow y=c_2\left(x^2-y^2\right), x+y=c_{1} z

To Solve Simultaneous Equations in DE

Example:6. \frac{d x}{y^2+x^2+z^2}=\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{2 z x}
Solution: \frac{d x}{y^2+x^2+z^2}=\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{2 z x}
अन्तिम दो भिन्नों सेः

\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{2 z x} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log y=\log z+\log c_{1} \\ \Rightarrow y=c_{1} z \\ \frac{x d x-y d y-z d z}{x y^2+x^3+x z^2-2 x y^2-2 z^2 x}=\frac{d z}{2 z x} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x-2 y d y-2 z d z}{x^3-x y^2-x z^2}=\frac{d z}{z x} \\ \Rightarrow \frac{2 x d x-2 y d y-2 z d z}{x\left(x^2-y^2-z^2\right)}=\frac{d z}{z x} \\ \Rightarrow \int \frac{2 x d x-2 y d y-2 z d z}{x^2-y^2-z^2}=\int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log \left(x^2-y^2-z^2\right) =\log z+\log c_2 \\ \Rightarrow x^2-y^2-z^2=c_2 z, y=c_{1} z
Example:7. \frac{d x}{x^2}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{n x y}
Solution: \frac{d x}{x^2}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{n x y}
प्रथम दो भिन्नों सेः

\int \frac{d x}{x^2}=\int \frac{d y}{y^2}\\ -\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{y-x}{x y}=c_{1} \\ \Rightarrow y-x=c_{1}(x y) \\ \frac{\frac{d y}{y}}{y}= \frac{\frac{dx}{x}}{x}=\frac{d z}{n x y}\\ \frac{\frac{d y}{y}-\frac{d x}{x}}{y-x}=\frac{d z}{n \frac{(y-x)}{c_{1}}} \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}-\int \frac{d x}{x}=\frac{c_{1}}{n} \int d z \\ \Rightarrow \frac{n}{c_{1}}\left[\int \frac{d y}{y}-\int \frac{d x}{x}\right]=\int d z \\ \Rightarrow \frac{n}{c_{1}}[\log y-\log x]=z \\ \Rightarrow z=\frac{n}{\frac{y-x}{x y}} \log \frac{y}{x}+c_2 \\ \Rightarrow z=\frac{n x y}{y-x} \log \left(\frac{y}{x}\right) +c_2
Example:8. \frac{d x}{\cos (x+y)}=\frac{d y}{\sin (x+y) z}=\frac{dz}{z}
Solution:\frac{d x}{\cos x+y}=\frac{d y}{\sin (x+y)}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{\cos (x+y)+\sin (x+y)}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{\sqrt{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \cos (x+y)+\sin (x+y)\right]}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{\sqrt{2}\left[\sin \frac{\pi}{4} \cos (x+y)+\cos \frac{\pi}{4} \sin (x+y)\right]}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y}{\sqrt{2} \sin (x+y+\frac{\pi}{4})}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \int \frac{d x+d y}{\sin (x+y+\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2} \int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \int \operatorname{cosec}\left (x+y+\frac{\pi}{4} \right)(d x+d y)=\sqrt{2} \int \frac{d z}{z} \\ \text{Put} x+y+\frac{\pi}{4}=t \\ d x+d y=d t \\ \Rightarrow \int \operatorname{cosec} t d t=\sqrt{2} \int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log c_{1}+\log \tan \left(\frac{t}{2}\right)=\sqrt{2} \log z \\ \Rightarrow \log \left (c_{1} \tan \frac{t}{2}\right)=\log _z \sqrt{2} \\ \Rightarrow z^{\sqrt{2}}=c_{1} \tan \frac{1}{2}(x+y+\frac{\pi}{4}) \\ \frac{d x+d y}{\cos (x+y)+\sin (x+y)}=\frac{d y-d x}{\sin (x+y)-\cos (x+y)} \\ \Rightarrow \frac{[\sin (x+y)-\cos (x+y)]}{[\cos (x+y)+\sin (x+y)]} (d x+d y)=\int d y-d x \\ \text{put} \cos (x+y)+\sin (x+y)=u \\ \left[\cos(x+y)-\sin (x+y)\right ](d x+d y)=d u \\ \Rightarrow -\int \frac{d u}{u}=\int d y-\int d x \\ \Rightarrow \int \frac{1}{u} d u=\int d x-\int d y \\ \Rightarrow \log u=x-y+\log c_2 \\ \Rightarrow \log \left(\frac{u}{c_2}\right)=x-y \\ \Rightarrow \log \left(\frac{c_2}{u}\right)=y-x \\ \Rightarrow \frac{c_2}{u}=e^{y-x} \\ \Rightarrow u e^{(y-x)}=c_2 \\ \Rightarrow {[\cos (x+y)+\sin (x+y)] e^{y-x}=c_2 } \\ z^{\sqrt{2}}=c_{1} \tan \frac{1}{2}(x+y+\frac{\pi}{4})
Example:9. \frac{d x}{y+z}=\frac{d y}{z+x}=\frac{d z}{x+y}
Solution: \frac{d x}{y+z}=\frac{d y}{z+x}=\frac{d z}{x+y} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y+z-z-x}=\frac{d y-d z}{z+x-x-y} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y-x}=\frac{d y-d z}{z-y} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{x-y}=\int \frac{d y-d z}{y-z} \\ \Rightarrow \log (x-y)=\log (y-z)+\log c \\ \Rightarrow \log \left(\frac{x-y}{y-z}\right)=\log c_{1} \\ \Rightarrow \frac{(x-y)}{(y-z)}=c_{1} \\ \frac{d x+d y+d z}{y+z+z+x+x+y}=\frac{d y-d z}{z+x-x-y} \\ \Rightarrow \frac{d x+d y+d z}{2(x+y+z)}=-\frac{(d y-d z)}{y-z} \\ \Rightarrow \int \frac{d x+d y+d z}{x+y+z}=-2 \int \frac{(d y-d z)}{y-z} \\ \Rightarrow \log (x+y+z)=-2 \log (y-z)+\log c_{2} \\ \Rightarrow \log (x+y+z)=-2 \log (y-z)+\log c_{2} \\ \Rightarrow \log (x+y+z)=-\log (y-z)^2+\log c_2 \\ \Rightarrow \log (x+y+z)(y-z)^2=\log c \\ \Rightarrow(x+y+z)(y-z)^2=c \\ \frac{x-y}{y-z}=c_1
Example:10. \frac{d x}{1+y}=\frac{d y}{1+x}=\frac{d z}{z}
Solution: \frac{d x}{1+y}=\frac{d y}{1+x}=\frac{d z}{z} \\ \frac{d x+d y+d z}{2+x+y+z}=\frac{d x-d y}{1+y-1-x} \\ \Rightarrow \int \frac{d x+d y+d z}{2+x+y+z}=-\int \frac{d x-d y}{x-y} \\ \Rightarrow \log (2+x+y+z)=-\log (x-y)+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log (2+x+y+z)+\log (x-y)=\log c_{1} \\ \Rightarrow \log (2+x+y+z)(x-y)=\log c_{1} \\ \Rightarrow(2+x+y+z)(x-y)=c_{1} \\ \frac{d x-d y}{1+y-1-x}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \frac{d x-d y}{y-x}=\frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \int \frac{d x-d y}{x-y}=- \int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log (x-y)=-\log z+\log c_{2} \\ \Rightarrow \log (x-y)+\log z=\log c_{2} \\ \Rightarrow \log z(x-y)=\log c_{2} \\ \Rightarrow z(x-y)=c \\ (2+x+y+z)(x-y)=c_{1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना (To Solve Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना पर आधारित सवाल (Questions Based on To Solve Simultaneous Equations in DE):

To Solve Simultaneous Equations in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the Differential Equations):

(1.)\frac{d x}{x^2-y^2-z^2}=\frac{d y}{2 x y}=\frac{d z}{2 x z}
(2.) \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{z-a \sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)}}
उत्तर (Answers): (1.) y=4 c_1z, x^2+y^2+z^2=z c_2
(2.)x=c_{1} y, \sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right)}=c_{2}y^{1-a}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना (To Solve Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree) को समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करना (To Solve Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अवकल समीकरण में युगपत समीकरणों को हल करने (To Solve Simultaneous
Equations in DE) के तीन आर्टिकल पोस्ट किए जा चुके हैं।प्रथम कोटि तथा प्रथम घात