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Reduction Exact Differential Equation

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1 1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation)-
1.2 3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Reduction Exact Differential Equation Examples),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण प्रश्न और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

1.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation)-

यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) में जो समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण नहीं होते उन्हें साधारणतः x तथा y के विशेष फलनों द्वारा गुणा करके यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण बनाया जा सकता है।ऐसे विशेष फलनों को समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
इससे पूर्व आर्टिकल्स में समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करने की कुछ विधियों का वर्णन किया गया है।इस आर्टिकल में समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करने की एक ओर विधि के बारे में अध्ययन करेंगे।
नियम (V):जब \frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial N}{\partial y}\right) केवल y का फलन या अचर हो तो समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात करना:
यदि अवकल समीकरण Mdx+Ndy=0 में

\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial N}{\partial y}\right)=f(y)
हो अर्थात् केवल y का फलन हो (यह एक अचर भी हो सकता है) तो समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) e^{\int f(y) d y} होगा।
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2.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण के उदाहरण (Reduction Exact Differential Equation Examples),अयथातथ (अयथार्थ) अवकल समीकरण के सवाल और उत्तर (Non Exact Differential Equation Questions and Answers)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x+\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y=0
Solution\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x+\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y=0 \\ M=3 x^{2} y^{4}+2 x y, N=2 x^{3} y^{2}-x^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=12 x^{2} y^{3}+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y^{3}-2 x \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{3 x^{2} y^{4}+2 x y}\left(6 x^{2} y^{3}-2 x-12 x^{2} y^{3}-2 x\right) \\ =\frac{1}{3 x^{2} y^{4}+2 x y}\left(-6 x^{2} y^{2}-4 x\right) \\ =\frac{-2 \left( 3 x^{2} y^{3}+2 x\right)}{y\left(3 x^{2} y^{3}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{2}{y}} d y \\ =e^{-2 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{3 x^{2} y^{4}+2 x^{4}}{y^{2}}\right) d x+\left(\frac{2 x^{3} y^{3}}{y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}\right) d x+\left(2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}}\right) d y=0
यहां M=3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}, N=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^{2} y-\frac{2 x}{y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y-\frac{2 x}{y^{2}}
अतः \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(3 x^{2} y^{2}+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x,y) =x^{3} y^{2}+\frac{x^{2}}{y} \\(2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\(3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{3} y-\frac{x^{2}}{y^{2}}-2 x^{3} y+\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=0 \\(4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ x^{3} y^{2}+\frac{x^{2}}{y}=c \\ \Rightarrow x^{3} y^{3}+x^{2}=c y

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-2.\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d y=0
Solution\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d y=0 \\ M=y^{4}+2 y, N=x y^{3}+2 y^{4}-4 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 y^{2}+2, \frac{\partial N}{\partial x}=y^{3} -4 \\ \frac{1}{M}\left(\frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{y^{4}+2 y}\left(y^{3}-4-4 y^{3}-2\right) \\ =\frac{1}{y^{4}+2 y}\left(-3 y^{3}-6 \right) \\ =\frac{-3\left(y^{3} +2\right)}{y\left(y^{3}+2\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =-\frac{3}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=\int e^{-\frac{3}{y}} d y \\ e^{-3 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{3}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{y^{4}+2 y}{y^{3}}\right) d x+\left(\frac{x y^{3}}{y^{3}}+\frac{2 y^{4}}{y^{3}}-\frac{y x}{y^{3}}\right) d x=0 \\ \Rightarrow\left(y+\frac{2}{y^{2}}\right) d x+\left(x+2 y-\frac{4 x}{y^{3}}\right) d x=0  
यहां M=y+\frac{2}{y^{2}}, N=x+2 y-\frac{4 x}{y^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=1-\frac{y}{y^{3}}, \frac{\partial N}{\partial x}=1-\frac{4}{y^{3}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int \left(y+\frac{2}{y^{2}}\right) d x \\ U(x, y) =x y+\frac{2 x}{y^{2}} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}= x- \frac{4 x}{y^{3}} \\ (3.) N-\frac{\partial U}{\partial y}=x-\frac{4 x}{y^{3}}+2 y-x+\frac{4 x}{y^{3}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 y \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 2 y d y \\ \Rightarrow V(y) =y^{2}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ x y+\frac{2 x}{y^{2}}+y^{2}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-3.\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right) d x+\left(x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x\right) d y=0
Solution\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right) d x+\left(x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x\right) d y=0 \\ M=2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y, N=x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=8 x y^{3} e^{y}+2 x y^{4} e^{y}+6 x y^{2}+1, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x y^{4} y-2 x y^{2}-3 \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}\left[2 x y^{4} e^{y}-2 x y^{2}-3-8 x y^{3} e^{y}-2 x y^{4} e^{y}-6 x y^{2}-1\right] \\ =\frac{1}{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}\left[-8 x y^{2}-8 x y^{3} e^{y}-4\right] \\ =\frac{-4\left(2 x y^{2}+2 x y^{3} e^{y}+1\right)}{y\left(2 x y^{3} e^{y}+2 x y^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{4}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{4}{y} d y} \\ =e^{-4 \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{4}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\frac{\left(2 x y^{4} e^{y}+2 x y^{3}+y\right)}{y^{4}} d x+\left(\frac{x^{2} y^{4} e^{y}-x^{2} y^{2}-3 x}{y^{4}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}\right) d x+\left(x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}}\right) d y=0
यहां M=2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}, N=x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}} \\ \frac{\partial M }{\partial y}=2 x e^{y}-\frac{2 x}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}}, \frac{\partial N}{\partial x}=2 x e^{y}-\frac{2 x}{y^{2}}-\frac{3}{y^{4}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-
(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(2 x e^{y}+\frac{2 x}{y}+\frac{1}{y^{3}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}= x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}} \\ (3) N -\frac{\partial U}{\partial y} =x^{2} e^{y}-\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{3 x}{y^{4}}-x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y^{2}}+ \frac{3 x}{y^{4}} \\ =0 \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =0 \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ V(y)=\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0

अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x^{2} e^{y}+\frac{x^{2}}{y}+\frac{x}{y^{3}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

Example-4.\left(x y^{3}+y\right) d x+2\left(x^{2} y^{2}+x+y^{4}\right) d y=0
Solution\left(x y^{3}+y\right) d x+2\left(x^{2} y^{2}+x+ y^{4}\right) d y=0 \\ M=x y^{3}+y, \quad N=2 x^{2} y^{2}+2 y^{4}+2 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 x y^{2}+1, \frac{\partial N}{\partial x}=4 x y^{2}+2 \\ \frac{1}{M}\left( \frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{x y^{3}+y} \quad\left(4 x y^{2}+2-3 x y^{2}-1 \right) \\ =\frac{1}{\left(x y^{3}+y\right)}\left(x y^{2}+1\right) \\ =\frac{\left(x y^{2}+1\right)}{y\left(x y^{2}+1\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{y}dy} \\=e^{\log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

y \left(x y^{3}+y\right) d x+y\left(2 x^{2} y^{2}+2 x+2 y^{4}\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(x y^{4}+y^{2}\right) d x+\left(2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5}\right) d y=0
यहां M=x y^{4}+y^{2} ,\quad N=2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=4 x y^{3}+2 y, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=4 x y^{3}+2 y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(x y^{4}+y^{2}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x^{2} y^{4}}{2}+x y^{2} \\ (2) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y^{2}+2 x y \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=2 x^{2} y^{3}+2 x y+2 y^{5}-2 x^{2} y^{3}-2 x y \\ \Rightarrow N-\frac{\partial u}{\partial y}=2 y^{5} \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 2 y^{5} d y \\ \Rightarrow V(y) =\frac{2}{6} y^{6}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x^{2} y^{4}}{2}+x y^{2}+\frac{2}{6} y^{6}=c_{1} \\ \Rightarrow 3 x^{2} y^{4}+6 x y^{2}+2 y^{5}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

Reduction Exact Differential Equation

Reduction Exact Differential Equation

Example-5.(2 y d x+3 x d y)+\left(6 x y^{2} d x+\frac{15}{2}x^{2} y d y\right)=0
Solution(2 y d x+3 x d y)+\left(6 x y^{2} d x+\frac{15}{2}x^{2} y d y\right)=0 \\ \Rightarrow\left(y+6 x y^{2}\right) d x+\left(3 x+\frac{25}{2} x^{2} y\right) d y=0 \\ M=2 y+6 x y^{2} \quad, N=3 x+\frac{15}{2} x^{2} y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2+12 x y \quad , \frac{\partial N}{\partial x}=3+15 x y \\ \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac {\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{2 y+6 x y^{2}}(3+15 x y-2-12 x y) \\ =\frac{1}{2 y(1+3 x y)}(1+3 x y) \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{2 y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{2 y} d y} \\= e^{\frac{1}{2} \log y}
समाकलन गुणक (I.F.)=\sqrt{y}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\sqrt{y}\left(2 y+6 x y^{2}\right) d x+\sqrt{y} \left(3 x+\frac{15}{2} x^{2} y\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(2 y^{\frac{3}{2}}+6 x y^{\frac{5}{2}}\right) d x+\left(3 x \sqrt{y}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}}\right) d y=0
यहां M=2 y^{\frac{3}{2}}+6 x y^{\frac{5}{2}}, N=3 x \sqrt{y}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 y^{\frac{1}{2}}+15 x y^{\frac{3}{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=3 y^{\frac{1}{2}}+15 x y^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1)U(x, y) =\int M dx \\ = \int (2 y^{\frac{3}{2}}+3 x y^{\frac{5}{2}})dx\\ \Rightarrow U(x, y)=2 x y^{\frac{3}{2}}+3 x^{2} y^{\frac{5}{2}} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}= 3 x y^{\frac{1}{2}}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y}=3 x y^{\frac{1}{2}}+\frac{15}{2} x^{2} y^{\frac{3}{2}}-3 x y^{\frac{1}{2}}-15 x^{2} y^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{ \partial y}=0 \\ (4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y \\ \Rightarrow V(y)=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+ V(y)=c \\2 x y^{\frac{3}{2}}+3 x^{2} y^{\frac{5}{2}}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-6.x^{2} y^{2} d x+\left(x^{3} y-2\right) d y=0
Solution-x^{2} y^{2} d x+\left(x^{3} y-2\right) d y=0 \\ M=x^{2} y^{2}, x=x^{3} y-2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 x^{2} y, \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^{2} y \\ \frac{1}{M} \left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{2 x^{2} y}\left(3 x^{2} y-2 x^{2} y\right) \\ =\frac{x^{2} y}{ x^{2} y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{1}{y} d y}
समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\log y}=y
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

x^{2} y^{3} d x+\left(x^{3} y^{2}-2 y\right) d y=0
यहां M=x^{2} y^{3} \quad,N=x^{3} y^{2}-2 y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3 x^{2} y^{2} ,\frac{\partial N}{\partial y}=3 x^{2} y^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U\left(x, y\right) =\int M d x \\ =\int x^{2} y^{3} d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{x^{3} y^{3}}{3} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=x^{3} y^{2} \\ (3)  N-\frac{\partial U}{\partial y}=x^{3} y^{2}-2 y-x^{3} y^{2} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =-2 y \\ (4) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int(-2 y) d y \\ \Rightarrow V(y) =-y^{2}
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{x^{3} y^{3}}{3}-y^{2}=c_{1} \\ \Rightarrow x^{3} y^{2}-3 y^{2}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-7.\left(2 x^{2} y-3 y^{2}\right) d x+\left(2 x^{3}-12 x y+\log y\right) d y=0
Solution(2 x^{2} y-3 y^{2})d x+\left(2 x^{3}-12 x y+\log y\right) d y=0 \\ M =2 x^{2} y-3 y^{2}, \quad N=2 x^{3}-12 x y+\log y \\ \frac{\partial M}{\partial y} =2 x^{2}-6 y, \frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2}-12 y \\\Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{1}{2 x^{2} y-3 y^{2}}\left(6 x^{2}-12 y-2 x^{2}+6 y\right) \\ =\frac{1}{y\left(2 x^{2}-2 y\right)}\left(4 x^{2}-6 y\right) \\ =\frac{2\left(2 x^{2}-3 y\right)}{y\left(2 x^{2}-3 y\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int \frac{2}{y} d y} \\ ={e}^{2 \log y} \\= y^{2}
समाकलन गुणक (I.F.)= y^{2}

समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}\right) d x+\left(2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y\right) d y=0
यहां M=2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}, \quad N=2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y \\ \frac{\partial M}{\partial y}=6 x^{2} y^{2}-12 y^{3}, \frac {\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y^{2}-12 y^{3} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-
(1)U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(2 x^{2} y^{3}-3 y^{4}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =\frac{2 x^{3} y^{3}}{3}-3 x y^{4} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3} \\ (3) N-\frac{\partial U}{\partial y} =2 x^{3} y^{2}-12 x y^{3}+y^{2} \log y-2 x^{3} y^{2}+12 x y^{3} \\ \Rightarrow N-\frac{\partial U}{\partial y} =y^{2} \log y \\ (4)V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int\left(y^{2} \log y\right) d y \\ =\log y \int y^{2} d y-\int\left[\frac{d}{d y}(\log y) \int y^{2} d y\right] d y \\ =\frac{1}{3} y^{3} \log y -\frac{1}{9}y^{3} \\ \Rightarrow V(y) =\frac{1}{3} y^{3} \log y-\frac{1}{9} y^{3}

अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c_{1} \\ \frac{2}{3} x^{3} y^{3}-3 x y^{4}+\frac{1}{3} y^{2} \log y-\frac{1}{9} y^{3}=c_{1} \\ \Rightarrow 6 x^{3} y^{3}-27 x y^{4}+3 y^{3} \log y-y^{3}=c

उपर्युक्त उदाहरण के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।
Example-8.\left(y^{2} e^{x}+2 x y\right) d x-x^{2} d y=0
Solution-\left(y^{2} e^{x}+2 x y\right) d x-x^{2} d y=0 \\ M=y^{2} e^{x}+2 x y, N=-x^{2} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y e^{x}+2 x, \frac{\partial N}{\partial x}=-2 x \\ \frac{1}{M}\left(\frac {\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=\frac{1}{y^{2} e^{x}+2 x y}\left(-2 x-2 y e^{x}-2 x\right) \\ =\frac{\left(-2 y e^{x}-4 x\right)}{y\left(y e^{x}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M} \left( \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right) =\frac{-2\left(y e^{x}+2 x\right)}{y\left(y e^{x}+2 x\right)} \\ \Rightarrow \frac{1}{M}\left(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\right)=-\frac{2}{y}
अतः समाकलन गुणक (I.F.)=e^{\int-\frac{2}{y} d y} \\ = e^{-2 \log y}=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.)=\frac{1}{y^{2}}
समाकलन गुणक (I.F.) से दिए हुए अवकल समीकरण को हल करने पर-

\left(\frac{y^{2} e^{x}}{y^{2}}+\frac{2 x y}{y^{2}}\right) d x-\frac{x^{2}}{y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow \left(e^{x}+\frac{2 x}{y}\right) d x+\frac{x^{2}}{y^{2}} d y=0
यहां M=e^{x}+\frac{2 x}{y}, N=-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{2 x}{y^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{2 x}{y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः
अतः समीकरण यथातथ (यथार्थ) समीकरण है। इसलिए यथातथ (यथार्थ) समीकरण के हल करने की विधि द्वारा समाकलन करने पर-

(1) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(e^{x}+\frac{2 x}{y}\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y) =e^{x}+\frac{x^{2}}{y} \\ (2)\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}} \\ (3)N-\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{x^{2}}{y^{2}}=0 \\ (4)V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए हुए अवकल समीकरण का हल होगा-

U(x, y)+V(y)=c \\ e^{x}+\frac{x^{2}}{y}=c \\ \Rightarrow y e^{x}+x^{2}=c y
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण की समस्याएं (Reduction Exact Differential Equation Examples),यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण प्रश्न और उत्तर (Exact Differential Equation Questions and Answers)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1)\left(x y^{2}-x^{2}\right) d x+\left(3 x^{2} y^{2}+x^{2} y-2 x^{3}+y^{2}\right) d y=0 \\ (2)\left(y^{4}+2 y\right) d x+\left(x y^{3}+2 y^{4}-4 x\right) d x=0 \\ (3)\left(3 x^{2} y^{4}+2 x y\right) d x=\left(2 x^{3} y^{3}-x^{2}\right) d y
उत्तर (Answers):(1)e^{6y} \left(\frac{x^{2} y^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{6}-\frac{y}{18}+\frac{1}{108}\right)=c \\ (2) 3 x^{4} y^{4}+6 x y^{2}+2 y^{6}=c \\ (3)x^{3} y^{3}+x^{2}=cy 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Reducible Exact Differential Equation

4.यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने प्रश्न-

प्रश्न:1.यथातथ(यथार्थ) समीकरण से क्या अभिप्राय है? (What is meant by exact differential equation?)

उत्तर-एक प्रथम क्रम अवकल समीकरण (एक चर का) को यथातथ(यथार्थ), या एक यथातथ (यथार्थ) अवकल कहा जाता है, अगर यह एक साधारण अवकलन का परिणाम है। समीकरण P(x, y)y’+Q(x, y)= 0, या समकक्ष वैकल्पिक संकेतन P(x, y) dy +Q(x, y) dx = 0 में यथातथ (यथार्थ) है यदि P_{x}(x,y)=Q_{y}(x, y)
एक सटीक अवकल समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम
∂Q/∂x=∂P/∂y।फिर हम दो अवकल समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं जो फ़ंक्शन u(x, y) को परिभाषित करते हैं: ⎧∂u/∂x = P(x, y) ,∂u/∂y =Q(x, y)।चर x के सापेक्ष पहले समीकरण को समाकलन करें।

प्रश्न:2.आप यथातथ (यथार्थ) ode कैसे ज्ञात करते हैं? (How do You Find the Exact ode?)

उत्तर-एक सटीक अवकल समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम
पहले यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि अवकल समीकरण यथातथता (यथार्थता) के लिए परीक्षण का उपयोग करके सटीक है: ∂Q/∂x=∂P/∂y।फिर हम दो अवकल समीकरणों की प्रणाली लिखते हैं जो फ़ंक्शन u(x, y) को परिभाषित करते हैं:⎧∂u/∂x=P(x, y),∂u/∂y=Q(x, y)

प्रश्न:3.आप अयथातथ (अयथार्थ) समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do You Solve Non Exact Differential Equations?)

उत्तर-यदि फॉर्म का एक अवकल समीकरण लिखित के रूप में यथातथ (यथार्थ) नहीं है, तो एक फ़ंक्शन μ(x, y) मौजूद है जैसे समाकलन गुणक (Integration Factor) जो अयथातथ (अयथार्थ) को यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरणों को बदलते हैं।ऊपर वर्णित विधि द्वारा इस समतुल्य यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण को हल करते हैं।

प्रश्न:4.अयथातथ(अयथार्थ)अवकल समीकरण समाकलन गुणक (Non Exact Differential Equation Integrating Factor)

उत्तर-डिफरेंशियल इक्वेशन,लिखित रूप में यथातथ (यथार्थ) नहीं है, तो एक फ़ंक्शन μ(x, y) मौजूद होता है जैसे कि μ (*) से अवकल समीकरण के दोनों पक्षों को μ से गुणा करके प्राप्त किया गया समतुल्य समीकरण, यथातथ (यथार्थ) होता है।ऐसे फ़ंक्शन μ को मूल समीकरण का एक समाकलन गुणक (Integrating Factor) कहा जाता है और यह मौजूद होने की गारंटी है यदि दिए गए अवकल समीकरण का वास्तव में समाधान है।
गणित में, एक यथातथ (यथार्थ) समीकरण या सम्पूर्ण अवकल समीकरण एक निश्चित प्रकार का है।यदि समीकरण यथातथ(यथार्थ) है, तो हम पहले क्रम के यथातथ (यथार्थ) रूप में समानयन कर सकते हैं जो पहले-क्रम के यथातथ (यथार्थ) समीकरणों के लिए सामान्य विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

5.यथातथ(यथार्थ)अवकल समीकरण में समानयन (Reducible to Exact Differential Equation)

उत्तर-यदि दिए हुए अवकल समीकरण का हल विद्यमान है तो मूल समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करते हैं।फिर मूल अवकल समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर वह यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में परिवर्तित हो जाता है।यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से उसका समाकलन करके हल ज्ञात कर लेते हैं।

प्रश्न:6.यथातथ(यथार्थ) समीकरण शर्त (Exact Differential Equation Condition)

उत्तर-यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण।एक प्रथम-क्रम अवकलज समीकरण (एक चर का) एक यथातथ (यथार्थ), या एक यथातथ (यथार्थ)अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है,अगर यह एक साधारण अवकल का परिणाम है।समीकरण P(x, y)y′ +Q(x, y)=0, या समकक्ष वैकल्पिक अंकन P(x, y) dy + Q(x, y) dx=0 में, यथातथ (यथार्थ) है यदि P_{x}(x,y)=Q_{y}(x, y)
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Reduction Exact Differential Equation) को समझ सकते हैं।

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