Menu

Reducible to Homogeneous Equation

Contents hide
1 1.समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation):

1.समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation):

समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation) वाले समीकरण के इस आर्टिकल में कुछ ऐसे अवकल समीकरणों का हल करने का अध्ययन करेंगे जिनको समघात समीकरण में परिवर्तित किया जा सके।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Integrating Factors of Linear DE

2.समघात समीकरण में समानयन के साधित उदाहरण (Reducible to Homogeneous Equation Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. (2 x+3 y-5)\left(\frac{d y}{d x}\right)+(3 x+2 y-5)=0
Solution: \frac{d y}{d x}=-\frac{(3 x+2 y-5)}{2 x+3 y-5} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{-3}{2} \neq \frac{-2}{3}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{-3 X-3 h-2Y-2 k+5}{2X+2 h+3 Y+3 k-5} \\ \Rightarrow \frac{d Y}{dX}=\frac{-3X-2Y-3 h-2 k+5}{2X+3Y+2 h+3 k-5} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
-3h-2k+5=0 तथा 2h+3k-5=0
हल करने परःh=1,k=1
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{-3X-2Y}{2X+3Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{dY}{dX}=v+X \frac{d v}{dX}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{-3 x-2 v x}{2 x+3 v x} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{X(-3-2 v)}{X(2+3 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{-3-2 v-2 v-3 v^2}{2+3 v} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}= \frac{-3-4 v-3 v^2}{2+3 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2(2+3 v)}{3+4 v+3 v^2} d v=-2 \int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(3+4 v+3 v^2\right)=-2 \log X+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(3+\frac{4 Y}{X}+\frac{3 Y^2}{X^2}\right)=-\log X^2+\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(3 X^2+4 X Y+3 Y^2\right)-\log X^2=-\log X^2+\log c_{1} \\ \Rightarrow 3 X^2+4 XY+3 Y^2=c_{1}
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

3(x-1)^2+4(x-1)(y-1)+3(y-1)^2=c_{1} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+2 x y-5(x+y)= \frac{c_{1}}{2} \\ \Rightarrow \frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+2 x y-5(x+y)=c\left[\because \frac{c_{1}}{2}=c\right]
Example:2. \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{2 x-y+1}{x+2 y-3} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{2}{1} \neq-\frac{1}{2}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{2(X+k)-(Y+k)+1}{X+k+2(Y+k)-3}=\frac{2 X-Y+2 h-k+1}{X+2Y+h+2 k-3} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
2h-k+1=0 तथा h+2k-3=0
हल करने परः h=\frac{1}{5}, k=\frac{7}{5} \cdots(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{2 X-Y}{X+2 Y} \ldots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

V+X \frac{d v}{d X}=\frac{2 X-v X}{X+2 v X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(2-v)}{X(1+2 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{2-v-v-2 v^2}{1+2 v} \\ \Rightarrow-\int \frac{1+2 v}{\left(1-v-v^2 \right)} d v=-\int \frac{2 d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(1-v-v^2\right)=-\log X^2+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1-\frac{Y}{X}-\frac{Y^2}{X^2}\right)=\log \frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow X^2-X Y-Y^2=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\left(x-\frac{1}{5}\right)^2-\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(y-\frac{7}{5}\right)-\left(y-\frac{7}{5}\right)^2=c
Example:3. (6 x+2 y-10) \frac{d y}{d x}=2 x+9 y-20
Solution: (6 x+2 y-10) \frac{d y}{d x}=2 x+9 y-20 \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2 x+9 y-20}{6 x+2 y-10} \cdots(1)
यहाँ \left(\frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\right) \quad\left(\frac{2}{6} \neq \frac{9}{2}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{2(X+h)+9(Y+k)-20}{6(X+h)+2(Y+k)-10}=\frac{2 X+9 Y+2 h+9 k-20}{6 X+2 Y+6 h+2 k-10} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
2h+9k-20=0 तथा 6h+2k-10=0
हल करने परःh=1,k=2 ……(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d Y}{d X}=\frac{2 X+9 Y}{6 X+2 Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{2 X+9 v X}{6 X+2 v X} \\ \Rightarrow X \frac{dv}{dX}=\frac{X(2+9 v)}{X(6+2 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{2+9 v-6 v-2 v^2}{(6+2 v)} \\ \Rightarrow \frac{(6+2 v) d v}{2+3 v-2 v^2}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{(6+2 v) d v}{(1+2 v)(2-v)}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{2}{1+2 v}dv+\int \frac{2 }{2-v} dv=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log (1+2 v)-2 \log (2-v)=\log X+\log C \\ \Rightarrow \log \frac{(1+2 v)}{(2-v)^2}=\log C X \\ \Rightarrow \frac{1+\frac{2 Y}{X}}{\left(2-\frac{Y}{X}\right)^2}=CX \\ \Rightarrow \frac{X(X+2 Y)}{(2 X-Y)^2}=CX \\ \Rightarrow X+2Y=C(2 X-Y)^2
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

x-1+2(y-2)=c[2(x-1)-(y-2)]^2 \\ \Rightarrow x+2y-5=c(2 x-y)^2
Example:4. (2x+3y-6)dy=(6x-2y-7)dx
Solution:(2x+3y-6)dy=(6x-2y-7)dx \\ \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-2 y-7}{2 x+3 y-6} \cdots(1)
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(\frac{6}{2} \neq-\frac{2}{3}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{6(X+h)-2(Y+k)-7}{2(X+h)+3(Y+k)-6}=\frac{6 X-2 Y+6 h-2 k-7}{2 X+3 Y+2 h+3 k-6} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
6h-2k-7=0 तथा 2h+3k-6=0
हल करने परः h=\frac{3}{2}, K=1 \ldots(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d Y}{d X}=\frac{6 X-2 Y}{2 X+3 Y} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{6 X-2 v X}{2 X+3 v X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(6-2 v)}{X(2+3 v)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{6-2 v-2 v-3 v^2}{(2+3 v)} \\ \Rightarrow -2 \int \frac{(3+2 v)}{6-4 v-3 v^2} d v=-2 \int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \log \left(6-4 v-3 v^2\right)=-\log X^2+\log c \\ \Rightarrow 6-4 v-3 v^2=\frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow 6-4 \frac{Y}{X}-\frac{3 Y^2}{X^2}=\frac{c}{X^2} \\ \Rightarrow 6 X^2-4 X Y-3 Y^2=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\Rightarrow 6\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-4\left(x-\frac{3}{2}\right)(y-1)-3(y-1)^2=c \\ \Rightarrow 3 x^2-\frac{3}{2} y^2-2 x y-7 x+6 y=c_{1}
Example:5. \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+y+3}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{2 x+y+3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

w=x+y \Rightarrow \frac{d w}{d x}=1+\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow\left(\frac{d w}{d x}-1\right)= \frac{w+1}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1}{2 w+3}+1 \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1+2 w+3}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{3 w+4}{2 w+3} \\ \int \frac{2 w+3}{3 w+4} d w=\int d x \\ \int\left[2+\frac{1}{3 w+4}\right] d w=3 \int d x \\ \Rightarrow 2 w+\frac{1}{3} \log \left(3 w+4\right)=3 x+\log c_1 \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \log (3 w+4)=3 x-2 w+3 \log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left[ 3\left(w+ \frac{4}{3}\right)\right]=3(3 x-2 w)+3 \log c_{1} \\ \Rightarrow \log \left(w+\frac{4}{3}\right)=3(3 x-2 x-2 y)+3 \log c_{1}-\log 3 \\ \Rightarrow \log \left(x+y+\frac{4}{3}\right)=3(x-2 y)+\log c \\ \Rightarrow x+y+ \frac{4}{3}=c e^{3(x-2 y)}\left[ \because 2 \log c=3 \log c_{1}-\log 3 \right]

Example:6. (x-y-2) d x=(2 x-2 y-3) d y
Solution: (x-y-2) d x=(2 x-2 y-3) d y \\ \frac{d y}{d x}=\frac{x-y-2}{2 x-2 y-3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

x-y=w \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1-\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{dw}{d x}+1 \\ 1-\frac{dw}{d x}=\frac{w-2}{2w-3} \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1-\frac{w-2}{2 w-3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2w-3-w+2}{2w-3} \\ \Rightarrow \frac{dw}{d x}=\frac{w-1}{2w-3} \\ \Rightarrow \int \frac{2w-3}{w-1} dw=\int d x \\ \Rightarrow \int\left[2-\frac{1}{w-1}\right] d w=\int d x \\ \Rightarrow 2 w-\log (w-1)=x+c \\ \Rightarrow \log (w-1)=2 w-x+c \\ \Rightarrow \log (x-y-1)=2 x-2 y-x+c \\ \Rightarrow \log (x-y-1)=x-2 y+c
Example:7. (2 x+4 y+3) \frac{d y}{d x}=2 y+x+1
Solution: (2 x+4 y+3) \frac{d y}{d x}=2 y+x+1 \\ \frac{d y}{d x}=\frac{2 y+x+1}{2 x+4 y+3}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=\frac{1}{2}
इसलिए माना कि

w=x+2 y \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=1+2 \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 \left(\frac{d w}{d x}-1\right) \\ \Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{d w}{d x}-1\right)=\frac{w+1}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}-1=\frac{2 w+2}{2 w+3} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2 w+2}{2 w+3}+1 \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{2 w+2+2 w+3}{2 w+3} \\ \Rightarrow \int \frac{2 w+3}{4 w+5} d w=\int d x \\ \Rightarrow \int\left[1+\frac{1}{4 w+5}\right] dw=\frac{1}{2} \int d x \\ \Rightarrow w+\frac{1}{4} \log (4 w+5)=2 x+c_{1} \\ \Rightarrow \frac{1}{4} \log (4 w+5)=2 x-w+c_{1} \\ \Rightarrow \log (4 w+5)=8 x-4 w+4 c_1 \\ \Rightarrow \log (4 x+8 y+5)=8 x-4 x-8 y+\log c \\ \Rightarrow \frac{\log (4 x+8 y+5)}{c} =4(x-2 y) \quad\left[\because 4c_{1}=\log c\right] \\ \Rightarrow 4 x+8 y+5=c e^{4(x-2 y)}
Example:8. \frac{d y}{d x}=\frac{(x+y-1)^2}{4(x-2)^2}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{(x+y-1)^2}{4(x-2)^2}
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}\left(1 \neq \frac{1}{0}\right)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{dY}{dX}=\frac{(X+h+Y+k-1)^2}{4(X+h-2)^2}=\frac{(X+Y+h+k-1)^2}{4(X+h-2)^2} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
h+k-1=0 तथा h-2=0
हल करने परःh=2,k=-1…..(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{(X+y)^2}{4 X^2} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{dY}{dX}=v+X \frac{d v}{dX}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{dX}=\frac{(X+v X)^2}{4 X^2} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{X^2(1+v)^2}{4X^{2}}v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{dX}=\frac{1+2 v+v^2-4 v}{4} \\ \Rightarrow \int \frac{4 d v}{(1-v)^2}=\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \frac{4}{1-v}=\log X+\log c \\ \Rightarrow \frac{4}{1-\frac{Y}{X}}=\log cX \\ \Rightarrow \frac{4 X}{X-Y}=\log cX
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\frac{4(x-2)}{x-2-(y+1)}=\log c(x-2) \\ \Rightarrow c(x-2)=\frac{4(x-2)}{e(x-y-3)}
Example:9. \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-4 y+3}{3 x-2 y+1}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{6 x-4 y+3}{3 x-2 y+1}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=2
इसलिए माना कि 3 x-2 y=w \Rightarrow \frac{d w}{d x}=3-2 \frac{d y}{d x} \\ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2}\left(3-\frac{d w}{d x}\right) \\ \frac{1}{2}\left(3-\frac{d w}{d x}\right)=\frac{2 w+3}{w+1} \\ \Rightarrow 3-\frac{d w}{d x}=\frac{4 w+6}{w+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=3-\frac{4 w+6}{w+1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{3 w+3-4 w-6}{w+1} \\ \Rightarrow \int \frac{w+1}{w+3} d w=-\int d x \\ \Rightarrow \int\left[1-\frac{2}{w+3}\right] d w=-x+c_{1} \\ \Rightarrow w-2 \log (w+3)=-x+c_{1} \\ \Rightarrow w+x=2 \log (w+3)+c_{1} \\ \Rightarrow 3 x-2 y+x=2 \log (3 x-2 y+3)+4 \\ \Rightarrow 2(2 x-y)=2 \log (3 x-2 y+3)+c_{1} \\ \Rightarrow(2 x-y)=\log (3 x-2 y+3)+c \left[ \because \frac{c_{1}}{2}=c\right]
Example:10. \frac{d y}{d x}=\frac{y-x+1}{y+x+5}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{y-x+1}{y+x+5}
यहाँ \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B}(1 \neq-1)
इसलिए माना कि x=X+h, y=Y+k  … (2)
तो दिए हुए समीकरण का नया रूप होगा

\frac{d Y}{d X}=\frac{Y+k-X-h+1}{Y+k+X+h+5}=\frac{Y-X+k-h+1}{Y+X+k+h+5} \cdots(3)
अब h तथा k का मान ज्ञात करने के लिए हम मानते हैं कि
k-h+1=0 तथा k+h+5=0
हल करने परःh=-2,k=-3 …..(4)
अतः समीकरण (3) को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{dY}{dX}=\frac{Y-X}{Y+X} \cdots(5)
यह एक समघात अवकल समीकरण (homogeneous equation) है।इसलिए

Y=v X \Rightarrow \frac{d Y}{d X}=v+X \frac{d v}{d X}
लेने पर समीकरण (5) का नया रूप होगा।

v+X \frac{d v}{d X}=\frac{v X-X}{v X+X} \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{X(v-1)}{X(v+1)}-v \\ \Rightarrow X \frac{d v}{d X}=\frac{v-1-v^2-v}{v+1} \\ \Rightarrow \int \frac{(v+1)}{1+v^2} dv=-\int \frac{d X}{X} \\ \Rightarrow \int \frac{v}{1+v^2} d v+\int \frac{1}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \tan^{-1} v+\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)=-\log X + c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(1+\frac{Y^2}{X^2}\right)+\tan^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)+\log X=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(X^2+Y^2 \right) -\log X+\tan ^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)+\log X=c \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \log \left(X^2+Y^2\right) +\tan ^{-1}\left(\frac{Y}{X}\right)=c
समीकरण (2) व (4) से X व Y का मान रखने परः

\frac{1}{2} \log \left\{(x+3)^2+(y+3)^2\right\}+\tan ^{-1}\left(\frac{y+3}{x+3}\right)=c
Example:11. \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{x+y-1}
Solution: \frac{d y}{d x}=\frac{x+y+1}{x+y-1}
यहाँ \frac{a}{A}=\frac{b}{B}=1
इसलिए माना कि

x+y=w \Rightarrow \frac{dw}{d x}=1+\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{d w}{d x}-1 \\ \frac{d w}{d x}-1=\frac{w+1}{w-1} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1}{w-1}+1 \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{w+1+w-1}{w-1} \\ \Rightarrow \int\left(\frac{w-1}{w}\right)dw=2 \int d x \\ \Rightarrow \left(1-\frac{1}{\omega}\right) d w=2 \int d x \\ \Rightarrow w-\log w=2 x \\ \Rightarrow x+y-\log (x+y)=2 x+c \\ \Rightarrow y-x-\log (x+y)=c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.समघात समीकरण में समानयन पर आधारित सवाल (Questions Based on Reducible to Homogeneous Equation):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
(1.) (x+2 y-2) d x+(2 x-y+3) d y=0
(2.) \frac{d y}{d x}+\frac{x-y-2}{x-2 y-3}=0
(3.) (2 x-y+1) d x+(2 y-x-1) dy
उत्तर (Answers): (1.) x^2+4 x y-y^2-4 x+6 y+c=0
(2.) \left(x^2-2 y^2-2 x-4 y-1\right)=c^2\left[\frac{x+y \sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{x-y \sqrt{2}-\sqrt{2}-1}\right]^{\frac{1}{\sqrt{2}}}
(3.) 3 x^2+3 y^2-3 x y-3 y+3 x+c=0
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Homogeneous Differential Equation DE

4.समघात समीकरण में समानयन (Frequently Asked Questions Related to Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Equations Reducible to Homogeneous Equation?):

उत्तर:यदि दिया हुआ समीकरण
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{A x+B y+C} \cdots(1)
के रूप का हो तो उसे समघात रूप में लाया जा सकता है।
स्थिति:I.जब \frac{a}{A}=\frac{b}{B} अर्थात् a B-A b \neq 0
चर x और y को नये चरों X तथा Y में बदला,जो निम्न समीकरणों से सम्बन्धित हैः
x=X+h, y=Y+k  …. (2)
जहाँ h और k स्वेच्छ अचर हैं और इनका चयन इस प्रकार से किया जाता है जिससे दिया हुआ अवकल समीकरण समघात (homogeneous) बन जाये।
सम्बन्ध (2) सेः
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(Y+k)=\frac{d Y}{d x}=\frac{d Y}{d X} \cdot \frac{d X}{d x}=\frac{d Y}{d X} \cdots(3)
इसलिए समीकरण (1) का नया रूप होगा
\frac{dY}{dX}=\frac{a x+b y+(a h+b k+C)}{A x+B y+(A h+B K+C)} \cdots(4)
माना कि h और k का चयन इस प्रकार किया जाता है कि
ah+bk+c=0 तथा Ah+Bk+C=0
जिससे h= \frac{b C-B c}{a B-A b} \\ k=\frac{A c-a C}{a B-A b} \cdots(5)
प्राप्त होता है, जो कि अर्थपूर्ण है यदि a B-A b \neq 0
अब समघात समीकरण (4) जिसका नया रूप
\frac{d Y}{d X}=\frac{a X+b Y}{a X+B Y} है, में Y=vX
रखने पर समघात अवकल समीकरण को हल करने की विधि से हल किया जा सकता है
स्थिति:II. \frac{d Y}{d X}=\frac{a X+b Y}{a X+B Y} अर्थात aB-bA=0
ऐसी स्थिति में ऊपर दी हुई विधि प्रयोगात्मक नहीं रहती क्योंकि h और k के मान (5) से ज्ञात नहीं किये जा सकते।
अतः माना कि \frac{d Y}{d X}=\frac{a X+b Y}{a X+B Y}=\frac{1}{m}
तब समीकरण (1) को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है
\frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+c}{m(a x+b y+c)} \cdots(6)
ऐसी समीकरण को हम w=ax+by मानकर सरलता से हल कर सकते हैं चूँकि
\frac{d w}{d x}=a+b \frac{dy}{dx}
और तब समीकरण (6) का नया रूप होगा
\frac{1}{b}\left(\frac{d w}{d x}-a\right)=\frac{w+c}{m w+C} \\ \Rightarrow \frac{d w}{d x}=\frac{b w+b c}{m w+C}+a
यह एक ऐसा समीकरण है जिसमें चर पृथक हो गए हैं।अतः इसे चर पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है।

प्रश्न:2.समघात फलन से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Homogeneous Function?):

उत्तर:वह फलन f(x,y,….) जिसके प्रत्येक चर x,y,…. को tx,ty,…से प्रतिस्थापित कर दिए जाने पर फलन को t^{n} f(x,y,….) के रूप में निरूपित किया जा सकता है,जहाँ पर n धनात्मक पूर्णांक है।
फलन \sin \frac{x}{y}+\frac{x}{y} और x^2 \log \frac{x}{y}+y^2
समघात फलन है।

प्रश्न:3.समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण की कौन-कौनसी शर्त हैं? (What are the Conditions of the Equations Reducible to Homogeneous Equation?):

Solution:समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण की दो शर्ते हैंः
यदि समीकरण \frac{d y}{d x}=\frac{a x+b y+C}{A x+B y+C} के रूप का हो
स्थिति:I.जब \frac{a}{A} \neq \frac{b}{B} अर्थात्
तब x, y को नए चरों X तथा Y में बदला जाता है।
स्थिति:II.जब अर्थात् aB-bA=0
ऐसी स्थिति में w=ax+by मानकर सरलता से हल किया जा सकता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation),अवकल समीकरण में समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations Reducible to Homogeneous Equation in Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No. Social Media Url
1. Facebook click here
2. you tube click here
3. Instagram click here
4. Linkedin click here
5. Facebook Page click here
6. Twitter click here

Reducible to Homogeneous Equation

समघात समीकरण में समानयन
(Reducible to Homogeneous Equation)

Reducible to Homogeneous Equation

समघात समीकरण में समानयन (Reducible to Homogeneous Equation) वाले समीकरण के
इस आर्टिकल में कुछ ऐसे अवकल समीकरणों का हल करने का अध्ययन करेंगे

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *