Integrating Factors of Linear DE
1.रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear DE),nवें कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear Differential Equations of nth Order):
रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear DE) तब ज्ञात करने की जरूरत होती है जब अवकल समीकरण यथातथ नहीं होता है।अतः इसे किसी विशेष x के फलन से गुणा करके यथातथ बनाया जा सकता है।ऐसे विशेष फलन को समाकलन-गुणक (Integrating Factor) कहते हैं।
यदि समीकरण के गुणांक P_0 , P_1 ,\ldots, P_{ni} ;x के बहुपद फलन हों तो इसका समाकलन गुणक x^{m} के रूप का होगा।ऐसी स्थिति में हम दिए हुए समीकरण को x^{m} से गुणा करके यथातथ के प्रतिबन्ध का प्रयोग करते हैं।इससे m का मान ज्ञात हो जाता है।
यदि समीकरण के गुणांक P_0 , P_1 ,\ldots, P_n त्रिकोणमितीय फलन हों तो इसका समाकलन गुणक भी x का त्रिकोणमितीय फलन होगा जो जाँच और भूल-सुधार विधि (trial and error method) से ज्ञात किया जा सकता है।
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2.रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक के साधित उदाहरण (Integrating Factors of Linear DE Solved Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1. \sqrt{x} \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+3 y=x
Solution: \sqrt{x} \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}+3 y=x
यहाँ दिया हुआ समीकरण यथातथ (exact) नहीं है।मानलो x^{m} से गुणा करने पर यह यथातथ हो जाता है।अतः दिए हुए समीकरण को x^{m} से गुणा करने परः
x^{m+\frac{1}{2}} \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x^{m+1} \frac{d y}{d x}+3 x^m y=x^{m+1} \cdots(1)
यहाँ P_0=x^{m+\frac{1}{2}}, P_1=2 x^{m+1}, P_2=3 x^m तथा Q=x^{m+1}
चूँकि (1) यथातथ समीकरण है।
\therefore p_2-p_1^{\prime}+p_0^{\prime \prime}=0 \\ \Rightarrow 3 x^m-2(m+1) x^m+ \left(m+\frac{1}{2}\right)\left(m-\frac{1}{2}\right) x^{m-\frac{3}{2}}=0 \\ \Rightarrow(3-2 m-2) x^m+ \frac{1}{4}\left(4 m^2-1\right) x^{m-\frac{3}{2}}=0 \\ \Rightarrow-(2 m-1) x^m+\frac{1}{4}(2 m+1)(2 m-1) x^{m-\frac{3}{2}}=0 \\ \Rightarrow(2 m-1)\left[-x^m+\frac{1}{4}(2 m+1) x^{m-\frac{3}{2}}\right]=0 \\ \Rightarrow 2 m-1=0 \Rightarrow m=\frac{1}{2}
यह m का मान समीकरण (1) में रखने परः
x \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d x}+3 x^{\frac{1}{2}} y=x^{\frac{3}{2}} \ldots(2)
जो कि यथातथ समीकरण है।अतः इसका प्रथम समाकल होगाः
P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int x^{\frac{3}{2}} d x+C_{1} \\ \Rightarrow x \frac{dy}{d x}+\left(2 x^{\frac{3}{2}}-1\right) y=\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+C_{1} \cdots(3)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}+ \left(2 x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{x}\right)y=\frac{2}{5} x^{\frac{3}{2}}+\frac{C_{1}}{x} \cdots(4)
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int\left(2 x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{x}\right) d x\right\} \\ =\exp \left\{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}-\log x\right\} \\ \Rightarrow \text{I.F} =\frac{e^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{2}}}{x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
y \cdot \frac{e^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{2}}}{x}=\frac{2}{5} \int x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{e^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{2}}}{x} d x+C_{1} \int \frac{e^{\frac{4}{3}} x^{\frac{3}{2}}}{x^2} dx \\ \Rightarrow \frac{y}{x} e^{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{5} e^{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}}+C_{1} \int \frac{e^{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}}}}{x^2} d x+C_{2}
Example:2. x^5 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x^3 \frac{d y}{d x}+(3-6 x) x^2 y=x^4+2 x-5
Solution: x^5 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x^3 \frac{d y}{d x}+(3-6 x) x^2 y=x^4+2 x-5
यहाँ दिया हुआ समीकरण यथातथ (exact) नहीं है।मानलो x^{m} से गुणा करने पर यह यथातथ हो जाता है।अतः दिए हुए समीकरण को x^{m} से गुणा करने परः
x^{m+5} \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x^{m+3} \frac{d y}{d x}+(3-6 x) x^{m+2} y=x^{m+4}+2x^{m+1}-5 x^m \cdots(1)
यहाँ P_0=x^{m+5}, P_1=3 x^{m+3}, P_2=3 x^{m+2}-6 x^{m+3} तथा Q=x^{m+4}+2 x^{m+1}-5 x^m
चूँकि (1) यथातथ समीकरण है।
\therefore P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=0 \\ \Rightarrow 3 x^{m+2}-6 x^{m+3}-3(m+3) x^{m+2}+(m+5)(m+4) x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow (3-3 m-9) x^{m+2}+\left(-6+m^2+9 m+20\right) x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow-3(m+2) x^{m+2}+\left(m^2+9 m+14\right) x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow-3(m+2) x^{m+2}+\left[m^2+7 m+2 m+14\right] x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow-3(m+2) x^{m+2}+[m(m+7)+2(m+7)] x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow-3(m+2) x^{m+2}+(m+2)(m+7) x^{m+3}=0 \\ \Rightarrow(m+2)\left[-3 x^{m+2}+(m+7) x^{m+3}\right]=0 \\ \Rightarrow m+2=0 \Rightarrow m=-2
यह m का मान समीकरण (1) में रखने परः
x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+3 x \frac{d y}{d x}+(3-6 x) y=x^2+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2} \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण है।अतः इसका प्रथम समाकल होगाः
P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int\left(x^2+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}\right) dx+C_{1} \\ \Rightarrow x^3 \frac{d y}{d x}+\left(3 x-3 x^2\right) y=\frac{x^3}{3}+2 \log x+\frac{5}{x}+C_{1} \ldots(3)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}+\left(\frac{3}{x^2}-\frac{3}{x}\right) y=\frac{1}{3}+\frac{2 \log x}{x^3}+\frac{5}{x^4}+ \frac{C_{1}}{x^3} \cdots(4)
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int\left(\frac{3}{x^2}-\frac{3}{x}\right) d x\right\} \\ =\exp \left\{-\frac{3}{x}-3 \log x\right\} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^3}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
y \cdot \frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^3}=\int\left(\frac{1}{3}+\frac{2 \log x}{x^3}+\frac{5}{x^4}+\frac{C_{1}}{x^{3}}\right) \frac{e^{-\frac{3}{x}}}{x^3} dx+C_{2}
Example:3. 2 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+15 x \frac{d y}{d x}-7 y=3 x^2
Solution: 2 x^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+15 x \frac{d y}{d x}-7 y=3 x^2
यहाँ दिया हुआ समीकरण यथातथ (exact) नहीं है।मानलो x^{m} से गुणा करने पर यह यथातथ हो जाता है।अतः दिए हुए समीकरण को x^{m} से गुणा करने परः
2 x^{m+2} \frac{d^2 y}{d x^2}+15 x^{m+1} \frac{d y}{d x}-7 x^m y=3 x^{m+2} \cdots(1)
यहाँ P_0=2 x^{m+2}, P_1=15 x^{m+1}, P_2=-7 x^m तथा Q=3 x^{m+2}
चूँकि (1) यथातथ समीकरण है।
\therefore P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=0 \\ \Rightarrow -7 x^m-15(m+1) x^m+2(m+2)(m+1) x^m=0 \\ \Rightarrow \left(-7-15 m-15+2 m^2+6 m+4\right) x^m=0 \\ \Rightarrow \left(2 m^2-9 m-18\right)=0 \\ \Rightarrow \left(2 m^2-12 m+3 m-18\right)=0 \\ \Rightarrow {[2 m(m-6)+3(m-6)]=0 } \\ \Rightarrow (m-6)(2 m+3)=0 \\ \Rightarrow m=6,-\frac{3}{2}
यह m का मान समीकरण (1) में रखने परः
2 x^8 \frac{d^2 y}{d x^2}+15 x^7 \frac{d y}{d x}-7 x^6 y=3 x^8 \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण है।अतः इसका प्रथम समाकल होगाः
\Rightarrow P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int 3 x^8 d x+C_{1} \\ \Rightarrow 2 x^8 \frac{d y}{d x}+\left(15 x^7-16 x^7\right) y=\frac{1}{3} x^9+C_{1} \\ \Rightarrow 2 x^8 \frac{d y}{d x}-x^7 y=\frac{1}{3} x^9+C_{1} \cdots(3)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}-\frac{1}{2 x} y=\frac{1}{6} x+\frac{C_{1}}{2 x^8}
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int\left(-\frac{1}{2 x}\right) d x\right\} \\ =e^{-\frac{1}{2} \log x} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sqrt{x}}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
Example:4. 2 x^2(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+x(7 x+3) \frac{d y}{d x}-3 y=x^2
Solution: 2 x^2(x+1) \frac{d^2 y}{d x^2}+x(7 x+3) \frac{d y}{d x}-3 y=x^2
यहाँ दिया हुआ समीकरण यथातथ (exact) नहीं है।मानलो x^{m} से गुणा करने पर यह यथातथ हो जाता है।अतः दिए हुए समीकरण को x^{m} से गुणा करने परः
\left(2 x^{m+3}+2 x^{m+2}\right) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(7 x^{m+2}+3 x^{m+1}\right) \frac{d y}{d x}-3 x^{m}y =x^{m+2} \cdots(1)
यहाँ P_0=2 x^{m+3}+2 x^{m+2}, P_1=7 x^{m+2}+3 x^{m+1},P_2=-3 x^m तथा Q=x^{m+2}
चूँकि (1) यथातथ समीकरण है।
\therefore P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=0 \\ \Rightarrow-3 x^m-7(m+2) x^{m+1}- 3(m+1) x^m+2(m+3)(m+2) x^{m+1}+2(m+2)(m+1) x^m=0 \\ \Rightarrow \left[-3-3 m-3+2 m^2+6 m+4\right] x^m+\left[-7 m-14+2 m^2+10 m+12\right] x^{m+1}=0 \\ \Rightarrow \left(2 m^2+3 m-2\right) x^m+ \left(2 m^2+3 m-2\right) x^{m+1}=0 \\ \Rightarrow\left[2 m^2+4 m-m-2\right] x^m+\left[2 m^2+4 m-m-2\right] x^{m+1}=0 \\ \Rightarrow[2 m(m+2)-1(m+2)] x^m+[2 m(m+2) -1(m+2)] x^{m+1}=0 \\ \Rightarrow(m+2)(2 m-1) x^m+(m+2)(2 m-1) x^{m+1}=0 \\ \Rightarrow(m+2)(2 m-1)\left[x^m+ x^{m+1}\right]=0 \\ \Rightarrow m+2=0,2 m-1=0 \\ \Rightarrow m=-2, \frac{1}{2}
यह m का मान समीकरण (1) में रखने परः
(2 x+2) \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(7+3 x^{-1}\right) \frac{d y}{d x}-3 x^{-2} y=1 \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण है।अतः इसका प्रथम समाकल होगाः
P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int 1 \cdot dx+C_{1} \\ \Rightarrow(2 x+2) \frac{dy}{dx}+(7+3 x^{-1}-2) y=x+C_{1} \\ \Rightarrow(2 x+2) \frac{d y}{d x}+(5+3 x^{-1})=x+C_1 \cdots(3)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}+\frac{5 x+3}{2 x(x+1)} y=\frac{x}{2(x+1)}+\frac{C_{1}}{2(x+1)} \cdots(4)
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int \frac{5 x+3}{2 x(x+1)} d x\right\} \\ =\exp \left\{\int\left[\frac{3}{2 x}+\frac{1}{x+1}\right] d x\right\} \\ =\exp \left\{\frac{3}{2} \log x+\log (x+1)\right\} \\ =e^{\log x^{\frac{3}{2}}(x+1)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=x^{\frac{3}{2}}(x+1)
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
y x^{\frac{3}{2}}(x+1)=\int x^{\frac{3}{2}}(x+1) \cdot \frac{x}{2(x+1)} d x+C_{1} \int x^{\frac{3}{2}}(x+1) \cdot \frac{1}{2(x+1)} d x+C_2 \\ =\frac{1}{2} \int x^{\frac{5}{2}} d x+\frac{C_1}{2} \int x^{\frac{3}{2}} d x+C_2 \\ =\frac{1}{7} x^{\frac{7}{2}}+\frac{C_1}{5} x^{\frac{5}{2}}+C_2 \\ \Rightarrow 5(x+1) y=\frac{5}{7} x^2+C_1 x+5 C_2 x^{-\frac{3}{2}}
Example:5. \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}+2 y=\cos x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}+2 y=\cos x
यहाँ दिया हुआ समीकरण यथातथ नहीं है।यह \sin x से गुणा करने पर यथातथ हो जाता है।अतः दिए हुए समीकरण को \sin x से गुणा करने परः
\sin x \frac{d^2 y}{d x^2}-\cos x \frac{d y}{d x}+2 \sin x y=\sin x \cos x \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण है।अतः इसका प्रथम समाकल होगाः
P_0 \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=\int (\sin x \cos x) d x+C_{1} \\ \sin x \frac{d y}{d x}+(-\cos x-\cos x) y=\frac{\sin ^2 x}{2}+C_{1} \cdots(2)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}+(-2 \cot x) y=\frac{\sin x}{2}+C_{1} \operatorname{cosec} x \cdots(3)
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int(-2 \cot x) dx\right\} \\ =\exp \left\{-2 \log (\sin x)\right\} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sin ^2 x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
y \cdot \frac{1}{\sin ^2 x}=\int \frac{1}{\sin ^2 x} \times \frac{\sin x}{2} d x+C_{1} \int \frac{\operatorname{cosec} x}{\sin ^2 x} d x+C_{2} \\ \Rightarrow \frac{y}{\sin ^2 x}=\frac{1}{2} \int \operatorname{cosec} x d x+C_{1} \int \operatorname{cosec}^{3} x dx+C_2 \\ =\frac{1}{2} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)+C_{1} \int \operatorname{cosec} x\left(1+\cot ^2 x\right) d x+C_2 \\ = \frac{1}{2} \log \tan \frac{x}{2}+C_{1} \int \operatorname{cosec} x dx+C_{1} \int(\operatorname{cosec} x \cot x) \cot x+C_{2}\\ =\frac{1}{2} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-C_1 \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)+C_{1} \cot x \int(\operatorname{cosec} x \cot x) d x-\int\left[\frac{d}{d x}(\cot x) \int \operatorname{cosec} x \cot x dx\right]dx+C_2 \\ =\frac{1}{2} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-C_{1} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-C_{1} \operatorname{cosec} x \cot x-\int \operatorname{cosec}^2 x \cdot \operatorname{cosec} x d x+C_{2} \\ =\frac{1}{2} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-C_{1} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-C_{1} \operatorname{cosec} x \cot x-\int \operatorname{cosec}^3 x dx+C_{2} \\ \Rightarrow y \operatorname{cosec}^2 x=\frac{1}{2} \log \tan \left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2} C_{1}\left[\log \tan \left(\frac{x}{2}\right)+ \operatorname{cosec} x \cot x\right]+C_2
Example:6. \sin x \frac{d^2 y}{dx^{2}}-\cos x \frac{d y}{d x}+2 y \sin x=0
Solution: \sin x \frac{d^2 y}{dx^{2}}-\cos x \frac{d y}{d x}+2 y \sin x=0
यहाँ P_0=\sin x, P_1=-\cos x, P_2=2 \sin x
अब P_2-P_1^{\prime}+P_0^{\prime \prime}=2 \sin x-\sin x-\sin x=0
दिए हुए समीकरण के लिए यथातथ का प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है।अतः दिया हुआ समीकरण यथातथ (exact) है जिसका प्रथम समाकल होगाः
P_{0} \frac{d y}{d x}+\left(P_1-P_0^{\prime}\right) y=C_1 \\ \Rightarrow \sin x \frac{d y}{d x}+(-\cos x-\cos x) y=C_{1} \\ \Rightarrow \sin x \frac{d y}{d x}-2 \cos x y=C_1 \cdots(1)
जो कि यथातथ समीकरण नहीं है परन्तु प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।अतः इसे निम्न रूप में रखने परः
\frac{d y}{d x}-(2 \cot x) y=C_{1} \operatorname{cosec} x \cdots(2)
यहाँ I.F.=\exp \left\{\int(-2 \cot x) d x\right\} \\ =\exp \left\{-2 \log \sin x\right\} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\frac{1}{\sin ^2 x}
अतः दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल होगाः
3.रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक पर आधारित सवाल (Questions Based on Integrating Factors of Linear DE):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
(1.) x^3 \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x \frac{d y}{d x}-2 y=1
(2.) \sin ^2 x \frac{d^2 y}{d x^2}=2 y
उत्तर (Answers): (1.) y=-\frac{1}{4}(x+2)+\frac{1}{2} C_{1} x +C_2 x e^{\frac{2}{x}}
(2.) y \tan x=C_{1}(\tan x-x)+C_2
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4.रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Frequently Asked Questions Related to Integrating Factors of Linear DE),nवें कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear Differential Equations of nth Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.अवकल समीकरण को परिभाषित करो।(Define Differentiation):
उत्तरःअवकलज निकालने का प्रक्रम अर्थात् किसी स्वतन्त्र चर की अल्प वृद्धि के सापेक्ष आश्रित फलन की अल्प वृद्धि की दर का सीमान्त निर्धारित करने का प्रक्रम।
प्रश्न:2.अवकलन गणित को परिभाषित करो। (Define Differential Mathematics):
उत्तर:किसी फलन के स्वतन्त्र चरों के मानों में परिवर्तन के फलस्वरूप फलन में आये हुए विचरणों का अवकल-विधि द्वारा अध्ययन।इसमें वक्रों की प्रवणता,एक समान वेग एवं त्वरण,फलनों के सन्निकट मान,राशियों के उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मानों आदि का अध्ययन किया जाता है।
प्रश्न:3.अवकल समीकरण को परिभाषित करो। (Define the Differential Equation):
उत्तर:वह समीकरण जो स्वतन्त्र चरों में,आश्रित चरों में और उनके किसी भी कोटि के अवकलजों में परस्पर सम्बन्ध दिखाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear DE),nवें कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear Differential Equations of nth Order) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक
(Integrating Factors of Linear DE)
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रैखिक अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factors of Linear DE) तब
ज्ञात करने की जरूरत होती है जब अवकल समीकरण यथातथ नहीं होता है।अतः इसे किसी
विशेष x के फलन से गुणा करके यथातथ बनाया जा सकता है।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
