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Integrating Factor of Homogeneous Equation

1.समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करना (Integrating Factor of Homogeneous Equation)-

समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करना (Integrating Factor of Homogeneous Equation) तथा समाकलन गुणक से दिए हुए अवकल समीकरण को गुणा करने से अवकल समीकरण यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में परिवर्तित हो जाती है।यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण में परिवर्तित होने पर इसे यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से हल करते हैं।यदि M dx+N dy=0 एक समघात समीकरण हो तो उसका समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{M x+N y} होगा,जबकि M x+N y \neq 0
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2.समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करना के उदाहरण (Integrating Factor of Homogeneous Equation Examples)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example-1.x^{2} y d x-\left(x^{3}+y^{3}\right) d y=0
Solutionx^{2} y d x-\left(x^{3}+y^{3}\right) d y=0
यह एक तृतीय घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(x^{2} y\right) x-\left(x^{3}+y^{3}\right) y \\=x^{3} y-x^{3} y-y^{4} \\=-y^{4}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.)= -\frac{1}{y^{4}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को (-\frac{1}{y^{4}}) से गुणा करने पर-

\left(-\frac{x^{2} y }{y^{4}}\right)d x+\left(\frac{x^{3}+y^{3}}{y^{4}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(-\frac{x^{2}}{y^{3}}\right) +\left(\frac{x^{3}}{y^{4}}+\frac{1}{y}\right) d y=0 \\ M=-\frac{x^{2}}{y^{3}}, \quad N= \frac{x^{3}}{y^{4}}+\frac{1}{y} \\ \frac{\partial M}{\partial x y}=\frac{3 x^{2}}{y^{4}} \\ \frac{2 N}{\partial x}=\frac{3 x^{2}}{y^{4}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial M}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i)U(x, y) =\int M d x \\ =\int-\frac{x^{2}}{y^{3}} d x \\ =\frac{x^{3}}{3 y^{3}} \\ (ii) \frac{\partial U}{\partial y} =\frac{x^{3}}{y^{4}} \\(iii)N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{x^{3}}{y^{4}}+\frac{1}{y}-\frac{x^{3}}{y^{4}} \\ =\frac{1}{y} \\ (iv)V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) \cdot d y \\ =\int \frac{1}{y} d y \\ =\log y
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+V(y)=\log c \\ \Rightarrow -\frac{x^{3}}{3 y^{3}}+\log y=\log c \\ \Rightarrow y=c e^{(\frac{x^{3}}{3 y^{3}})}
Example-2.y^{2}+x y d x-x^{2} d y=0
Solution– यह एक द्वितीय घात का समघात समीकरण है

y^{2}+x y d x-x^{2} d y=0 \\ M x+N y =\left(y^{2}+x y\right) x+\left(-x^{2}\right) y \\=x y^{2}+x^{2} y-x^{2} y \\=x y^{2}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) =\frac{1}{x y^{2}}होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{x y^{2}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{y^{2}+x y}{x y^{2}}\right) d x-\frac{x^{2}}{x y^{2}} d y=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) d x-\left(\frac{x}{y^{2}}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, \quad N=-\frac{x}{x^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{1}{y^{2}} \\ \frac{\partial N}{\partial x} =-\frac{1}{y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)d x \\ =\log x+\frac{x}{y} \\ (ii) \frac{\partial U}{\partial y}=\left(-\frac{x}{y^{2}} \right) \\ (iii) N-\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}+\frac{x}{y^{2}}=0 \\ (iv) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial v}{\partial y}\right) d y =\int 0 d y=0
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

v(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \log x+\frac{x}{y}=c
Example-3.\left(2 y^{3}+3 y^{2} x+4 y x^{2}\right) d x-\left(4 x^{3}-x^{2} y+2 x y^{2}\right) d y=0
Solution\left(2 y^{3}+3 y^{2} x+4 y x^{2}\right) d x-\left(4 x^{3}-x^{2} y+2 x y^{2}\right) d y=0
यह एक तृतीय घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(2 y^{3}+3 y^{2} x+4 y x^{2}\right) x+\left(-4 x^{3}+x^{2} y-2 x y^{2}\right) y \\=2 x y^{3}+3 x^{2} y^{2}+4 x^{3} y-4 x^{3} y+x^{2} y^{2}-2 x y^{3} \\=4 x^{2} y^{2}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{4 x^{2} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{4 x^{2} y^{2}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{2 y^{3}+3 y^{2} x+4 y x^{2}}{4 x^{2} y^{2}}\right) d x+\left(-\frac{4 x^{3}+x^{2} y-2 x y^{2}}{4 x^{2} y^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{y}{2 x^{2}} +\frac{3}{4 x}+\frac{1}{y}\right) d x+\left(-\frac{x}{y^{2}}+\frac{1}{4 y}-\frac{x}{2 x}\right) d y \\ M=\frac{y}{2 x^{2}} +\frac{3}{4 x}+\frac{1}{y}, \quad N=-\frac{x}{y^{2}}+\frac{1}{4 y}-2 x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{2 x^{2}}-\frac{1}{y^{2}} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{2 x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{\cdot y}{2 x^{2}}+\frac{3}{4 x}+\frac{1}{y}\right) d x \\ =-\frac{y}{2 x}+\frac{3}{4} \log x+\frac{x}{y} \\ (ii) \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{1}{2 x}-\frac{x}{y^{2}} \\(iii) N-\frac{\partial U}{\partial y} =-\frac{x}{y^{2}}+\frac{1}{4 y}-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{2 n}+\frac{x}{y^{2}} \\ =\frac{1}{4 y} \\\text { (iv }) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int \frac{1}{2} d y \\ =\frac{1}{4} \log y
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow -\frac{y}{2 x}+\frac{3}{4} \log x+\frac{x}{y}+\frac{1}{4} \log y=c \\ \Rightarrow \frac{1}{x y}\left(4 x^{2}-2 y^{2}\right)+\log \left(x^{3} y\right)=c_{1}
Example-4.\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0
Solution\left(x^{4}+y^{4}\right) d x-x y^{3} d y=0
यह एक चतुर्थ घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(x^{4}+y^{4}\right) x+\left(-x y^{3}\right) y \\ =x^{5}+x y^{4}-x y^{4} \\ =x^{5}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{x^{5}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{x^{5}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{x^{4}+y^{4}}{x^{5}}\right) d x+\left(-\frac{x y^{3}}{x^{5}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{y^{4}}{x^{5}}\right) d x+\left(-\frac{y^{3}}{x^{4}}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{x}+\frac{y^{4}}{x^{5},} N=-\frac{y^{3}}{x^{-4}} \\ \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{4 y^{2}}{x^{5}} \\ \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{4 y^{3}}{x^{5}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

\text { (i) } v(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{1}{x}+\frac{y^{4}}{x^{5}}\right) d x \\ =\log x-\frac{y^{4}}{4 x^{4}} \\ \text { (ii) } \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{y^{3}}{x^{4}} \\ \text { (iii) } N-\frac{\partial U}{\partial y} =-\frac{y^{3}}{x^{4}} +\frac{y^{3}}{x^{4}}=0 \\ (iv) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y=0
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \log x-\frac{y^{4}}{4 x^{4}}=c \\ \Rightarrow 4 x^{4} \log x=c_{1} x^{4}
Example-5.\left(3 y^{4}+3 x^{2} y^{2}\right) d x+\left(x^{3} y-3 x y^{3}\right) d y=0
Solution\left(3 y^{4}+3 x^{2} y^{2}\right) d x+\left(x^{3} y-3 x y^{3}\right) d y=0
यह एक चतुर्थ घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(3 y^{4}+3 x^{2} y^{2}\right) x+\left(x^{3} y-3 x y^{3}\right) y \\ =3 x y^{4}+3 x^{3} y^{2}+x^{3} y^{2}-3 x y^{4} \\ =4 x^{3} y^{2}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{4 x^{3} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{4 x^{3} y^{2}} से गुणा करने पर-

\left(3 y^{4}+3 x^{2} y^{2} \\ 4 x^{3} y^{2}\right) d x+\left(\frac{x^{3} y-3 x y^{3}}{4 x^{3} y^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{3 y^{2}}{4 x^{3}} +\frac{3}{4 x}\right) d x+\left(\frac{1}{4 y}-\frac{3 y}{4 x^{2}}\right) d y=0 \\ M=\frac{3 y^{2}}{4 x^{3}}+\frac{3}{4 x}, \quad N=\frac{1}{4 y}-\frac{3 y}{4 x^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{3 y}{2 x^{3}} \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{3 y}{2 x^{3}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{3 y^{2}}{4 x^{3}}+\frac{3}{11 x}\right) d x \\ =-\frac{3 y^{2}}{8 x^{2}}+\frac{3}{4} \log x \\ \text { (ii) } \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{3 y}{4 x^{2}} \\ \text { (iii) } N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{1}{4 y}-\frac{3 y}{4 x^{2}}+\frac{3 y}{4 x^{2}} \\ =\frac{1}{4 y} \\ (iv) V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int \frac{1}{4 y} d y \\ =\frac{1}{4} \log y
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+V(y)=C_{1} \\ \Rightarrow -\frac{3 y^{2}}{8 x^{2}}+\frac{3}{4} \log x+\frac{1}{4} \log y=C_{1} \\ \Rightarrow \log \left(x^{6} y^{2}\right) -3\left(\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=8 C_{1} \\ \Rightarrow \log \left(x^{6} y^{2}\right)-3\left(\frac{y^{2}}{x^{2}} \right)=c

Example-6.\left(x^{2}-3 x y+2 y^{2}\right) d x+x(3 x-2 y) d y=0
Solution\left(x^{2}-3 x y+2 y^{2}\right) d x+x(3 x-2 y) d y=0
यह एक द्वितीय घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(x^{2}-3 x y+2 y^{2}\right) x+\left(3 x^{2}-2 x y\right) y \\ =x^{3}-3 x^{2} y+2 x y^{2}+3 x^{2} y-2 x y^{2} \\ =x^{3}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{x^{3}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{x^{3}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{x^{2}-3 x y+2 y^{2}}{x^{2}}\right) d x+\left(\frac{3 x^{2}-2 x y}{x^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{x}-\frac{3 y}{x^{2}}+\frac{2 y^{2}}{x^{3}}\right) d x+\left(\frac{3}{x}-\frac{2 y}{x^{2}}\right) d y=0 \\ M=\frac{1}{x}-\frac{3 y}{x^{2}}+\frac{2 y^{2}}{x^{2}}, \quad N=\frac{3}{x}-\frac{2 y}{x^{2}} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{4 y}{x^{3}} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{3}{x^{2}}+\frac{4 y}{x^{3}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{1}{x} \frac{3 y}{x^{2}}+\frac{2 y^{2}}{x^{3}}\right) d x \\ =a \log x+\frac{3 y}{x}-\frac{y^{2}}{x^{2}} \\ \text { (ii) } \frac{\partial U}{\partial y} =\frac{3}{x}-\frac{2 y}{x^{2}} \\ (iii)N-\frac {\partial U} {\partial y} =\frac{3}{x}-\frac{2 y}{x^{2}}-\frac{3}{x}+\frac{2 y}{x^{2}} \\ \text { (iv) } v(y) =\int\left(N-\frac{\partial u}{\partial y}\right) d y \\ =\int 0 d y=0
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \log x+\frac{3 y}{x}-\frac{y^{2}}{x^{2}}=c
Example-7.\left(2 y^{2}+x y\right) d x+\left(x^{2}-2 x y\right) d y=0
Solution\left(2 y^{2}+x y\right) d x+\left(x^{2}-2 x y\right) d y=0
यह एक द्वितीय घात का समघात समीकरण है

M x+x y =\left(2 y^{2}+x y\right) x+\left(x^{2}-2 x y\right) y \\ =2 x y^{2}+x^{2} y+x^{2} y-2 x y^{2} \\ =2 x^{2} y(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{2 x^{2} y} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{2 x^{2} y} से गुणा करने पर-

\left(\frac{2 y^{2}+x y}{2 x^{2} y}\right) d x+\left(\frac{x^{2}-2 x y}{2 x^{2} y}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{2 x}\right) d x+\left(\frac{1}{2 y}-\frac{1}{x}\right) d y=0 \\ M=\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{2 x}, \quad y=\frac{1}{2 y}-\frac{1}{x} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}} \\ \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int\left(\frac{y}{x^{2}}+\frac{1}{2 x}\right) d x \\ =-\frac{y}{x}+\frac{1}{2} \log x \\ \text { (ii) } \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{1}{x} \\ \text { (iii) } N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{1}{2 y}-\frac{1}{x}+ \frac{1}{x}=\frac{1}{2 y} \\(v) V(y) =\int\left(N-\frac{\partial x}{\partial y}\right) d y \\ =\int \frac{1}{2 y} d y=\frac{1}{2} \log y
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow -\frac{y}{x}+\frac{1}{2} \log x+\frac{1}{2} \log y=c_{1} \\ \Rightarrow \log (x y)-2(\frac{y}{x})=c
Example-8.y^{2}+x^{2} \frac{d y}{d x}=x y \frac{d y}{d x}
Solutiony^{2}+x^{2} \frac{d y}{d x}=x y \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow y^{2} d x+\left(x^{2}-x y\right) d y=0
यह एक द्वितीय घात का समघात समीकरण है

M x+N y =y^{2} x+\left(x^{2}-x y\right) y \\ =x y^{2}+x^{2} y-x y^{2} \\ =x^{2} y-(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{ x^{2} y}होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{ x^{2} y} से गुणा करने पर-

\left(\frac{y^{2}}{x^{2} y}\right) d x+\left(\frac{x^{2}-x y}{x^{2} y}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{y}{x^{2}}\right) d x+\left(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}\right) d y=0 \\ M=\frac{y}{x^{2}}, \quad N=\frac{1}{y}-\frac{1}{x} \\ \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{1}{x^{2}}, \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{1}{x^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है
इसका हल ज्ञात करने के लिए-

(i) U(x, y) =\int M d x \\ =\int \frac{y}{x^{2}} d x \\ =-\frac{y}{x} \\ \text { (ii) } \frac{\partial U}{\partial y} =-\frac{1}{x} \\ \text { (iii) } N-\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{1}{y}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x} \\ =\frac{1}{y} \\ \text { (iv) } V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int \frac{1}{y} d y \\ =\log y
अतः दिए हुए यतातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण का हल होगा

U\left(x, y\right)+V(y)=c_{1} \\ -\frac{y}{x^{2}}+\log y=c_{1} \Rightarrow x \log y-y=c
Example-9.\left(x^{2} y-2 x y^{2}\right) d x-\left(x^{3}-3 x^{2} y\right) d y=0
Solution\left(x^{2} y-2 x y^{2}\right) d x-\left(x^{3}-3 x^{2} y\right) d y=0
यह एक तृतीय घात का समघात समीकरण है

M x+N y =\left(x^{2} y-2 x y^{2}\right) x+\left(-x^{3}+3 x^{2} y\right) y \\ =x^{2} y-2 x^{2} y^{2}-x^{3} y+3 x^{2} y^{2} \\ =x^{2} y^{2}(\neq 0)
इसलिए समाकलन गुणक (I.F.) \frac{1}{ x^{2} y^{2}} होगा।
अब दिए हुए समीकरण को \frac{1}{ x^{2} y^{2}} से गुणा करने पर-

\left(\frac{x^{2} y-2 x y^{2}}{x^{2} y^{2}}\right) d x-\left(\frac{x^{3}-3 x^{2} y}{x^{2} y^{2}}\right) d y=0 \\ \Rightarrow\left(\frac{1}{y}-\frac{2}{x}\right) d x-\left(\frac{x}{y^{2}}-\frac{3}{y}\right) d y=0
अतः दिया हुआ समीकरण एक यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण है इसलिए यतातथ (यथार्थ) समीकरण की विधि से हल करने पर

\int\left(\frac{1}{y}-\frac{2}{x}\right) d x-\int\left(\frac{x}{y^{2}}-\frac{3}{y}\right) d y=c \\ \Rightarrow \frac{x}{y}-2 \log x+3 \log y=c \\ \Rightarrow \frac{x}{y}+\log \left(\frac{y^{3}}{x^{2}}\right)=c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करने (Integrating Factor of Homogeneous Equation) को समझ सकते हैं।

3.समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करना की समस्याएं (Integrating Factor of Homogeneous Equation Problems)-

निम्न अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(x^{2} y-2 x y^{2}\right) d x-\left(x^{3}-3 x^{2} y\right) d y=0 \\ (2.) y^{2} d x+\left(x^{2}-x y-y^{2}\right) d y=0 \\ (3.) (x y \sin x y+\cos x y) y d x+(x y \sin x y-\cos x y) x d y=0 \\ (4.) \left(y^{4}-2 x^{3} y\right) d x+\left(x^{4}-2 x y^{3}\right) d y=0 \\ (5.) \left(x^{3}+3 x y^{2}\right) d x+\left(y^{3}+3 x^{2} y\right) d y=0
उत्तर (Answers): (1) \frac{x}{y}-2 \log x+3 \log y=c \\ (2.) (x-y) y^{2}=c(x+y) \\ (3) x=c y \cos (x y) \\ (4.) (y+2) \log \left(x^{2} +y^{2}\right)-2(y+2) \log x=c \\ (5.) y^{4}+6 x^{2} y^{2}+ x^{4} =c

उपर्युक्त सवालों को हल करके समघात समीकरण का समाकलन गुणक ज्ञात करने (Integrating Factor of Homogeneous Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

4.समाकलन गुणक का सूत्र क्या है? (What is the formula for integrating factor?)-

हम समाकलन गुणक द्वारा अवकल समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करते हैं।फिर यथातथ (यथार्थ) अवकल समीकरण की विधि से हल करते हैं।

5.सजातीय समीकरण का सही समाधान कौन सा है? (Which is the correct solution for homogeneous equation?)-

एक समघात अवकल समीकरण को प्रतिस्थापन y = ux द्वारा हल किया जा सकता है, जो चरों को अलग-अलग अवकल समीकरण के हल की ओर जाता है।

6.समाकलन गुणक से आपका क्या मतलब है? (What do you mean by integrating factor?)-

गणित में, एक समाकलन गुणक एक फ़ंक्शन है जिसे किसी दिए गए समीकरण को हल करने के लिए अवकल को शामिल करने के लिए चुना जाता है।

7.आप समाकलन गुणक के द्वारा अवकल समीकरणों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve differential equations integrating factors?)-

इंटीग्रेटिंग फैक्टर का उपयोग करके फर्स्ट-ऑर्डर डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करना
अवकल समीकरण के रूप के साथ दिए गए समीकरण की तुलना करें और P (x) का मान ज्ञात करें।
समाकलन गुणक μ की गणना करें।
इस तरह से दोनों तरफ समाकलन गुणक के साथ अवकल समीकरण को गुणा करें।

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