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Homogeneous Differential Equation DE

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1.समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations):

समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE) के इस आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरणों के हल ज्ञात करना सीखेंगे।उदाहरणों के हल निम्नलिखित हैंः
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2.समघात अवकल समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Homogeneous Differential Equation DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:1.\frac{dy}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x y} 
Solution: \frac{dy}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x y} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना
y=vx \\ \Rightarrow \frac{dy}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2+v^2 x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(1+v^2\right)}{x^2(2 v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^2}{2 v} \\ \Rightarrow \frac{-2 v}{1-v^2} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left(-\frac{2 v}{1-v^2}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1-v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left(1-v^2\right)=\log \left(\frac{c}{x}\right) \\ \Rightarrow 1-v^2=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow 1-\frac{y^2}{x^2}=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x^2-y^2=c x 
Example:2. \left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}=x y 
Solution: \left(x^2+y^2\right) \frac{d y}{d x}=x y 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y}{x^2+y^2} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x y}{x^2+y^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x}{x^2+v^2 x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x^2}{x^2\left(1+v^2\right)} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^2}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-v-v^3}{1+v^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{v^3}{1+v^2} \\ \Rightarrow \frac{1+v^2}{v^3} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{v^3}+\frac{1}{v}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\frac{1}{2 v^2}+\log v=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \log v+\log x-\log c=\frac{1}{2 v^2} \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v x}{c}\right)=\frac{1}{2 v^2} \\ \Rightarrow \quad \frac{v x}{c}=e^{\frac{1}{2 v^{2}}} \\ \Rightarrow \quad \frac{y}{c}=e^{\frac{x^2}{2 y^2}} \\ \Rightarrow y=c e^{\frac{x^2}{2 y^2}} 
Example:3. \left(x y+y^2\right) d x+\left(x y-x^2\right) d y=0 
Solution: \left(x y+y^2\right) d x+\left(x y-x^2\right) d y=0 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x} =v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2) 
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \\ v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x+v^2 x^2}{x^2-x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2(1-v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2}{1-v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v^2}{1-v} \\ \Rightarrow \frac{1-v}{2 v^{2}} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \frac{1-v}{v^2} d v=\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \int\left(\frac{1}{v^2}-\frac{1}{v}\right) d v=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow -\frac{1}{v}-\log v=\log c x^2 \\ \Rightarrow \log \left(v c x^2\right)=-\frac{1}{v} \\ \Rightarrow \log (c x y)=-\frac{x}{y} \\ \Rightarrow c x y=e^{-\frac{x}{y}} 
Example:4. x \frac{d y}{d x}+\frac{y^2}{x}=y 
Solution: x \frac{d y}{d x}+\frac{y^2}{x}=y 
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

x \frac{d y}{d x}=y-\frac{y^2}{x} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{x y-y^2}{x^2} \cdots(1) 
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x-v^2 x^2}{x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d r}{d x}= \frac{x^2\left(v-v^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v-v^2-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{v^2}=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow-\int \frac{d v}{v^{2}}=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{v}=\log x+\log c \\ \Rightarrow \frac{1}{v}=\log c x \\ cx=e^{\frac{1}{v}} \\ \Rightarrow c x =e^{\frac{x}{y}}
Example:5. x^2 d y+y(x+y) d x=0
Solution: x^2 d y+y(x+y) d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(x y+y^2\right)}{x^2} \cdots(1)
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(x \cdot v x+v^2 x^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v-v^2-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-2 v-v^2 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-v(v+2) \\ \Rightarrow \frac{d v}{v(v+2)}=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{2} \int\left[\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\right] d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \left(\frac{1}{v}-\frac{1}{v+2}\right) d v=-\int \frac{2}{x} d x \\ \Rightarrow \log v-\log (v+2)=-2 \log x+\log C \\ \Rightarrow \log \left(\frac{v}{v+2}\right)=\log \frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{v}{v+2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}+2}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{y}{y+2 x}=\frac{c}{x^2} \\ \Rightarrow c(y+2 x)=x^2 y
Example:6. y \frac{d y}{d x}+x=y-x \frac{d y}{d x}
Solution: y \frac{d y}{d x}+x=y-x \frac{d y}{d x}
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

y \frac{d y}{d x} + x \frac{d y}{d x}=y-x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}(x+y)=y-x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{x+y} \cdots(1)
यह एक प्रथम घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v x-x}{x+v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x(v-1)}{x(1+v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1}{1+v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-1-v-v^2}{1+v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(1+v^2\right)}{1+v} \\ \Rightarrow \frac{1+v}{1+v^2} d v=-\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \left(\frac{1}{1+v^2}+\frac{v}{1+v^2}\right) d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \tan^{-1} v+\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow \tan ^{-1} v=-\frac{1}{2} \log \left(1+v^2\right)-\log x+\log c \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\log \frac{c}{\left(\sqrt{1 +v^2}\right) x} \\ \Rightarrow \tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)=\log \frac{c}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \Rightarrow c=\sqrt{\left(x^2+y^2\right)} e^{\tan^{-1} \left(\frac{y}{x}\right)}
Example:7. \frac{d y}{d x}+\frac{x^2+3 y^2}{3 x^2+y^2}=0
Solution:\frac{d y}{d x}+\frac{x^2+3 y^2}{3 x^2+y^2}=0
यह एक द्वितीय घात का समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}+\frac{x^2+3 v^2 x^2}{3 x^2+v^2 x^2}=0 \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}+ \frac{\left(1+3 v^2\right) x^2}{\left(3+v^2\right) x^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{1+3 v^2}{3+v^2}+v=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{1+3 v^2+3 v+v^3}{3+v^2}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}+\frac{3+3 v+3 v^2+v^3}{3+v^2}=0 \\ \Rightarrow \frac{3+v^2}{1+3 v+3 v^2+v^3} d v+\frac{d x}{x}=0 \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{1+v}-\frac{2}{(1+v)^2}+\frac{4}{(1+v)^3}\right] d v+\int \frac{d x}{x}=c \\ \Rightarrow \log (1+v)+\frac{2}{1+v}-\frac{2}{(1+v)^2}+\log x=c \\ \Rightarrow \log \left(1+ \frac{y}{x}\right)+\frac{2}{1+\frac{y}{x}}-\frac{2}{\left(1+\frac{y}{x}\right)^2}+\log x=c \\ \Rightarrow \log (x+y)-\log x+\frac{2 x}{x+y}-\frac{2 x^2}{\left(x+y\right)^{2}}+ \log x=c \\ \Rightarrow \log (x+y)+2 x y(x+y)^{-2}=c
Example:8. x(x-y) dy +y^2 d x=0
Solution: x(x-y) dy +y^2 d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{y^2}{x^2-x y} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y^2}{x y-x^2} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2 x^2}{x \cdot v x-x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2 x^2}{x^2(v-1)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2}{V-1}-V \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-v^2+v}{v-1} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{v-1} \\ \Rightarrow \frac{v-1}{v} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left(1-\frac{1}{v}\right) d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow v-\log v=\log x+\log c \\ \Rightarrow \log (c x v)=v \\ \Rightarrow c x v=e^v \\ \Rightarrow c y=e^{\frac{y}{x}}

Example:9. x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}
Solution: x^3\left(\frac{d y}{d x}\right)=y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{y^3+y^2 \sqrt{\left(y^2-x^2\right)}}{x^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^3 x^3+v^2 x^2 \sqrt{\left(v^2 x^2-x^2\right)}}{x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^3 x^3+v^2 x^3 \sqrt{\left(v^2-1\right)}}{x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}\right)}{x^3} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}-v \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{v^3+v^2 \sqrt{v^2-1}-v}=\int \frac{d x}{x} \\ \text { put } v=\sec \theta \Rightarrow dv=\sec \theta \tan \theta d \theta \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta \tan \theta}{\sec ^2 \theta+\sec ^2 \theta \sqrt{\sec ^2 \theta-1}-\sec \theta}=\log x+\log \theta \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta \tan \theta d \theta}{\sec \theta\left(\sec ^2 \theta+\sec \theta \sqrt{\tan ^2 \theta}-1\right)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\tan \theta d \theta}{\left(1+\tan ^2 \theta+\sec \theta \tan \theta-1\right)} =\log cx \\ \Rightarrow \int \frac{\tan \theta d \theta}{\tan \theta(\sec \theta+\tan \theta)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta-\tan \theta d \theta}{(\sec \theta+\tan \theta)(\sec \theta-\tan \theta)}=\log c x \\ \Rightarrow \int \frac{\sec \theta-\tan \theta}{\sec ^2 \theta-\tan ^2 \theta} d \theta=\log c x \\ \\ \Rightarrow \int \sec \theta d \theta-\int \tan \theta d x=\log cx \\ \Rightarrow \log (\sec \theta+\tan \theta)-\log \sec \theta=\log cx \\ \Rightarrow \log \left(\frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta}\right)=\log cx \\ \Rightarrow \frac{\sec \theta+\tan \theta}{\sec \theta}=c x \\ \sec \theta=v अत: \tan \theta=\sqrt{v^2-1} \\ \Rightarrow \frac{v+\sqrt{v^2-1}}{v}=c x \\ \Rightarrow \frac{\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y^2}{x^2}-1}}{\frac{y}{x}}=c x \\ \Rightarrow \frac{y+\sqrt{y^2-x^2}}{y}=c x \\ \Rightarrow y+\sqrt{y^2-x^2}=cxy
Example:10. \left(x^2+2 x y\right) d y+\left(2 x y+y^2+3 x^2\right) d x=0
Solution: \left(x^2+2 x y\right) d y+\left(2 x y+y^2+3 x^2\right) d x=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=-\frac{\left(2 x y+y^2+3 x^2\right)}{x^2+2 x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=vx \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(2 x \cdot vx+v^2 x^2+3 x^2\right)}{x^2+2 x \cdot vx} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=-\frac{\left(2 v x^2+v^2 x^2+3 x^2\right)}{x^2+2 v x^2} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{-x^2\left(2 v+v^2+3\right)}{x^2(1+2 v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{\left(-2 v-v^2-3\right)}{1+2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-2 v-v^2-3-v-2 v^2}{1+2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-3 v^2-3 v-3}{1+2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=-\frac{3\left(v^2+v+1\right)}{1+2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{(1+2 v)}{v^2+v+1} d v=-3 \int \frac{d x}{x}

put  v^2+v+1=u \\ (2 v+1) d v=d u \\ \Rightarrow \frac{d u}{u}=-3 \log x+\log c \\ \Rightarrow \log u=\log \left(\frac{c}{x^3}\right) \\ \Rightarrow u=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow v^2+v+1=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow \frac{y^2}{x^2}+\frac{y}{x}+1=\frac{c}{x^3} \\ \Rightarrow x\left(x^2+x y+x^2\right)=c
Example:11. x^2 y d x-\left(x^3+y^3\right) d y=0
Solution: x^2 y d x-\left(x^3+y^3\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2 y}{x^3+y^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x}
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2 \cdot v x}{x^3+v^3 x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3 v}{x^3\left(1+v^3\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v}{1+v^3}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v-v-v^4}{1+v^3} \\ \Rightarrow \int \frac{1+v^3}{v^{4}}=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{v^4}+\frac{1}{v}\right] d v=-\log x+\log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{3 v^3}+\log v=\log \frac{c}{x} \\ \Rightarrow \log \frac{c}{v x}=-\frac{1}{3 v^3} \\ \Rightarrow \frac{c}{v x}=e^{-\frac{1}{3 v^3}} \\ \Rightarrow v x=c e^{\frac{1}{3 v 3}} \\ \Rightarrow y=c e^{\frac{x^3}{3 y^3}}
Example:12. \left(y^3-2 x^2 y\right) d x+\left(2 x y^2-x^3\right) d y=0
Solution: \left(y^3-2 x^2 y\right) d x+\left(2 x y^2-x^3\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{2 x^2 y-y^3}{2 x y^2-x^3} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{2 x^2 \cdot v x-v^3 x^3}{2 x v^2 x^2-x^3} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^3\left(2 v-v^3\right)}{x^3\left(2 v^2-1\right)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v-v^3}{2 v^2-1}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{2 v-v^3-2 v^3+v}{2 v^2-1} \\ \Rightarrow \frac{\left(2 v^2-1\right)v}{3 v-3 v^3}=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \int \frac{\left(2 v^2-1\right)}{v(1-v)(1+v)} d v=\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} \int\left[-\frac{1}{v}+\frac{1}{2(1-v)}-\frac{1}{2(1+v)}\right] d v=\log x + \log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{3} \log v+\frac{1}{6} \log (1-v)-\frac{1}{6} \log (1+v)=\log c x \\ \Rightarrow-\log v \sqrt{1-v^{2}}=\log cx^3 \\ \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1-v^2}}=c x^3 \\ \Rightarrow \frac{x^2}{y \sqrt{x^2-y^2}}=c x^3 \\ \Rightarrow x y \sqrt{x^2-y^2}=c_{1}
Example:13. \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0
Solution: \left(x^2-y^2\right) d x+2 x y d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-x^2}{2 x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2 x^2-x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2\left(v^2-1\right)}{x^2 \cdot 2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v^2-1-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{-\left(1+v^2\right)}{2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2 v}{1+v^2} d v=-\int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left(1+v^2\right)=-\log x+\log c \\ \Rightarrow 1+v^2=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow 1+\frac{y^2}{x^2}=\frac{c}{x} \\ \Rightarrow x^2+y^2=c x
Example:14. x(x-y) dy=y(x+y) d x
Solution: x(x-y) d y=y(x+y) d x
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x y+y^2}{x^2-x y} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x \cdot v x+v^2 x^2}{x^2-x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(v+v^2\right)}{x^2(1-v)} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2}{1-v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{v+v^2-v+v^2}{1-v} \\ \Rightarrow \int \frac{1-v}{2 v^2} d v=\frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int\left[\frac{1}{v^2}-\frac{1}{v}\right] d v=2 \log x+\log c \\ \Rightarrow-\frac{1}{v}-\log v=\log c x^2 \\ -\frac{x}{y}=\log c x^2 v \\ \Rightarrow-\frac{x}{y}=\log c x y \\ \Rightarrow c x y=e^{-x y}
Example:15. \left(x^2+3 y^2\right) d x-2 x y d y=0
Solution: \left(x^2+3 y^2\right) d x-2 x y d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+3 y^2}{2 x y}
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना y=v x \\ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+x \frac{d v}{d x}=\frac{x^2+3 v^2 x^2}{2 x \cdot v x} \\ \Rightarrow v+x \frac{d v}{d x}= \frac{x^2\left(1+3 v^2\right)}{2 x^2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+3 v^2}{2 v}-v \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+3 v^2-2 v^2}{2 v} \\ \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^2}{2 v} \\ \Rightarrow \int \frac{2 v}{1+v^2} d v=\int \frac{d x}{x} \\ \log \left(1+v^2\right)=\log x+\log c \\ \Rightarrow 1+v^2=c x \\ \Rightarrow 1+\frac{y^2}{x^2}=c x \\ \Rightarrow x^2+y^2=c x^3
Example:16. x y \log \frac{x}{y} d x+\left(y^2-x^2 \log \frac{x}{y}\right) d y=0 
Solution: x y \log \frac{x}{y} d x+\left(y^2-x^2 \log \frac{x}{y}\right) d y=0
दिए हुए समीकरण को निम्न रूप में लिखा जा सकता हैः

\frac{d x}{d y}=\frac{x^2 \log \frac{x}{y}-y^2}{x y \log \frac{x}{y}} \cdots(1)
यह एक समघात अवकल समीकरण है अतः
माना x=v y \\ \frac{d x}{d y}=v+y \frac{d v}{d y} \cdots(2)
अब (2) का (1) में प्रयोग करने परः

v+y \frac{d v}{d y}=\frac{v^2 y^2 \log \left(\frac{v^y}{y}\right)-y^2}{v y-y \log \left(\frac{v}{y}\right)} \\ \Rightarrow v+y \frac{d v}{d y}=\frac{y^2\left[v^2 \log v-1\right]}{v y^2 \log v} \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v^2 \log v-1}{v \log v}-v \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=\frac{v^2 \log v-1-v^2 \log v}{v \log v} \\ \Rightarrow y \frac{d v}{d y}=-\frac{1}{v \log v} \\ \Rightarrow 2 \int v \log v d v=-2 \int \frac{d y}{y}+c \\ \Rightarrow v^2 \log v-\frac{v^2}{2}=-2 \log y+c \\ \Rightarrow v^2\left[\log v-\frac{1}{2}\right] = \log y^2 c \\ \Rightarrow \frac{x^2}{y^2}\left[\log \frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right]+\log y^2=c

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.समघात अवकल समीकरण के सवाल (Homogeneous Differential Equation DE Questions):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिएः
(Solve the following differential equations):

(1.) \left(6 x^2+2 y^2\right) d x=\left(x^2+4 x y\right) d y
(2.) \left(x^2+y^2\right) \cdot d y=\left(x^2+x y\right) d x
उत्तर (Answers): (1.)6 x^2-x y-2 y^2+c x=0
(2.) \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left\{\frac{2 y+x}{x \sqrt{3}}\right\}=\log \left[c\left\{(x-y)^4\left(x^2+x y+y\right)\right\}^{\frac{1}{2}}\right]

उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.समघात अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समघात अवकल समीकरण की परिभाषा दीजिए। (Give the Definition of Differential Equation):

उत्तर:एक अवकल समीकरण जिसका रूप
\frac{d y}{d x}=\frac{f_1(x, y)}{f_2(x, y)} \cdots(1)
का हो,जहाँ f_1(x,y) तथा f_2(x,y) दोनों x और y के एक ही घात के समघात फलन (homogeneous functions of the same degree) हो, उनको समघात अवकल समीकरण (homogeneous differential equation) कहते हैं।

प्रश्न:2.समघात अवकल समीकरण का सूत्र लिखो। (Write the Formula of Differential Equation):

उत्तर: \int \frac{F_2(v)}{\left[F_1(v)-v F_2(v)\right]} d v=\int \frac{d x}{x}+C
तत्पश्चात् v के स्थान पर \frac{y}{x} प्रतिस्थापित करने पर समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त हो जाता है।

प्रश्न:3.समघात अवकल समीकरण के सूत्र का निगमन करो। (Explain the Formula of the Differential Equation):

उत्तर: \frac{d y}{d x}=\frac{f_1(x, y)}{f_2(x, y)} \cdots(1)
इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए हम
y=vx  …. (2)
प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे y एक नये आश्रित चर (dependent variable) v में बदल जाता है।
मान लो f_1 तथा f_2 के दोनों n घात के समघात फलन हैं तब
f_1(x, y)=x^n F_{1}\left(\frac{y}{x}\right) तथा f_2(x, y)=x^n F_2\left(\frac{y}{x}\right) \cdots(3)
और समीकरण (1) को हम लिखते हैं
\frac{d y}{d x}=\frac{F_1(\frac{y}{x})}{F_2(\frac{y}{x})} \cdots(4)
अब चूँकि y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \cdots(5)
इसलिए समीकरण (4) का नया रूप होगा
v+x \frac{d v}{d x}=\frac{F_1(v)}{F_2(v)} या \frac{F_2(v) d v}{\left[F_{1}(v)-v F_2(v)\right]}=\frac{d x}{x} \cdots(6)
जिसमें चर पृथक किए जा सकते हैं और इसका हल ज्ञात किया जा सकता है (चर पृथक्करण विधि से) अर्थात् \int \frac{F_2(v)}{\left[F_1(v)-v F_2(v)\right]} d v=\int \frac{d x}{x}+c
तत्पश्चात् v के स्थान पर \frac{y}{x} प्रतिस्थापित करने पर समीकरण का अभीष्ट हल प्राप्त हो जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE),होमोजिनियस डिफरेंशियल इक्वेशन्स (Homogeneous Differential Equations) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Homogeneous Differential Equation DE

समघात अवकल समीकरण
(Homogeneous Differential Equation DE)

Homogeneous Differential Equation DE

समघात अवकल समीकरण (Homogeneous Differential Equation DE) के इस
आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरणों के हल ज्ञात करना सीखेंगे।

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