Menu

Method of finding particular integral

1.विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of finding particular integral,General Method of finding particular integral)-

विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of finding particular integral,General Method of finding particular integral),विशिष्ट समाकल से क्या अभिप्राय है? (What is meant by particular integral?)-किसी अवकल समीकरण का वह हल जो किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में प्रयुक्त समाकलन-अचरों को विशेष मान देने से प्राप्त होता है।
दिया हुआ अवकल समीकरण है:
f\left( D \right) y=Q(x),Q(x)\neq 0….(1)
माना \frac { 1 }{ f\left( D \right) } Q(x)
x कोई ऐसा फलन है जिस पर f(D) की संक्रिया (operation) का परिणाम Q(x) प्राप्त होता है अर्थात्

f\left( D \right) \{ \frac { 1 }{ f\left( D \right) } Q(x)\} =Q(x)….(2)
यदि हम (1) और (2) की तुलना करें तो देखते हैं कि

y=\frac { 1 }{ f\left( D \right) } Q(x)
दिए हुए अवकल समीकरण का एक विशिष्ट हल अथवा विशिष्ट समाकल (P.I.) है।
फलन \frac { 1 }{ f\left( D \right) } Q(x) को साधारणतः { \{ f\left( D \right) \} }^{ -1 }Q(x)के रूप में लिखा जाता है।इस प्रकार हम देखते हैं कि f(D) तथा { \{ f\left( D \right) \} }^{ -1 } प्रतिलोम (inverse) संकारक (operator) है।
स्थिति-I यदि f(D)=D
तो विशिष्ट समाकल (P.I.) होगा

y=\frac { 1 }{ D } Q(x)=\int { Q(x) } dx
स्थिति-II यदि f\left( D \right) =D-\alpha
तो विशिष्ट समाकल (P.I.) होगा

y=\frac { 1 }{ D-\alpha } Q(x)
या (D-\alpha )y=Q(x)
या \frac { dy }{ dx } -\alpha y=Q(x)
यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका हल (समाकल अचर छोड़ने पर) निम्नलिखित होगा:

y{ e }^{ -ax }=\int { { e }^{ -\alpha x } } Q(x)dx\\ \Rightarrow y{ e }^{ -ax }=\int { { Q(x)e }^{ -\alpha x } } dx \\ \Rightarrow y={ e }^{ ax } \int { { Q(x)e }^{ -\alpha x } } dx\\ \therefore \frac { 1 }{ D-\alpha } Q(x)={ e }^{ ax }\int { { Q(x)e }^{ -\alpha x } } dx
स्थिति-III यदि f\left( D \right) =(D-{ \alpha }_{ 1 })(D-{ \alpha }_{ 2 })......(D-{ \alpha }_{ n })
तो विशिष्ट समाकल (P.I.) होगा
y=\frac { 1 }{ (D-{ \alpha }_{ 1 })(D-{ \alpha }_{ 2 })......(D-{ \alpha }_{ n }) } Q(x)\\ \Rightarrow (D-{ \alpha }_{ 2 })(D-{ \alpha }_{ 3 })......(D-{ \alpha }_{ n })y=\frac { 1 }{ (D-{ \alpha }_{ 1 }) } Q(x)\\ ={ e }^{ { \alpha }_{ 1 }x }\int { { Q(x)e }^{ -{ \alpha }_{ 1 }x } } dx\\ ={ Q }_{ 1 }(x)(माना)
इस प्रकार लगातार क्रिया करने पर हम पाएंगे

y=\frac { 1 }{ (D-{ \alpha }_{ n }) } { Q }_{ n-1 }(x)={ e }^{ { \alpha }_{ n }x }\int { { { Q }_{ n-1 }(x)e }^{ { -\alpha }_{ n }x } } dx\\ ={ Q }_{ n }(x)(मान लो )
अर्थात् P.I.=\frac { 1 }{ (D-{ \alpha }_{ 1 })(D-{ \alpha }_{ 2 })......(D-{ \alpha }_{ n }) } Q(x)={ Q }_{ n }(x)
जहां { Q }_{ n }(x)={ e }^{ { \alpha }_{ n }x }\int { { { Q }_{ n-1 }(x)e }^{ { -\alpha }_{ n }x } } dx,n\in N
तथा { Q }_{ 0 }(x)=Q(x)

आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके ।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं। इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Equation Reducible to form of Clairaut

2.विशिष्ट समाकल निकालने की विधि के सवाल और उत्तर (Method of finding particular integral questions and answers), विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method for finding particular integral)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)
Example-1.\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +9y=\sec { 3x }
Solution\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +9y=\sec { 3x } \\ \Rightarrow { (D }^{ 2 }+9)y=\sec { 3x }
सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 2 }+9=0\\ \Rightarrow m=\pm 3i
पूरक फलन (C.F.)={ c }_{ 1 }\cos { 3x } +{ c }_{ 2 }\sin { 3x }
विशिष्ट समाकल (P.I.)=\frac { 1 }{ { (D }^{ 2 }+9) } \sec { 3x } \\ =\frac { 1 }{ (D+3i)(D-3i) } \sec { 3x } \\ =\frac { 1 }{ 6i } [\frac { 1 }{ D-3i } -\frac { 1 }{ D+3i } ]\sec { 3x } \\ =\frac { 1 }{ 6i } \{ { e }^{ i3x }\int { \sec { 3x } .{ e }^{ -i3x } } dx-{ e }^{ -i3x }\int { \sec { 3x } .{ e }^{ i3x } } dx\} \\ =\frac { 1 }{ 6i } \left\{ { e }^{ i3x }\int { \sec { 3x } .\left( \cos { 3x } -i\sin { 3x } \right) dx } -{ e }^{ -i3x }\int { \sec { 3x } .\left( \cos { 3x } +i\sin { 3x } \right) dx } \right\} \\ =\frac { 1 }{ 6i } \left\{ { e }^{ i3x }\left\{ \int { dx } -i\int { \tan { 3x } dx } \right\} -{ e }^{ -i3x }\left\{ \int { dx } +i\int { \tan { 3x } dx } \right\} \right\} \\ =\frac { 1 }{ 6i } \left\{ { e }^{ i3x }\left\{ x+\frac { i }{ 3 } \log { \cos { 3x } } \right\} -{ e }^{ -i3x }\left\{ x-\frac { i }{ 3 } \log { \cos { 3x } } \right\} \right\} \\ =\frac { x }{ 3 } \left( \frac { { e }^{ i3x }-{ e }^{ -i3x } }{ 2i } \right) +\frac { 1 }{ 9 } \left( \frac { { e }^{ i3x }+{ e }^{ i3x } }{ 2i } \right) \log { \cos { 3x } } \\ \Rightarrow P.I.=\frac { x }{ 3 } \sin { 3x } +\frac { 1 }{ 9 } \cos { 3x } \log { \cos { 3x } }
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.\\ y={ c }_{ 1 }\cos { 3x } +{ c }_{ 2 }\sin { 3x } +\frac { x }{ 3 } \sin { 3x } +\frac { 1 }{ 9 } \cos { 3x } \log { \cos { 3x } }

Example-2.\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +{ a }^{ 2 }y=cosecax
Solution\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +{ a }^{ 2 }y=cosecax\\ \Rightarrow \left( { D }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) y=cosecax
सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }=0\\ \Rightarrow m=\pm ai
पूरक फलन (C.F.)={ c }_{ 1 }\cos { ax } +{ c }_{ 2 }\sin { ax }
विशिष्ट समाकल (P.I.)=\frac { 1 }{ \left( { D }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) } \left( cosecax \right) \\ =\frac { 1 }{ \left( D+ai \right) \left( D-ai \right) } \left( cosecax \right) \\ =\frac { 1 }{ 2ai } \left[ \frac { 1 }{ D-ai } -\frac { 1 }{ D+ai } \right] cosecax\\ =\frac { 1 }{ 2ai } \left\{ { e }^{ iax }\int { cosecax.{ e }^{ -iax }dx } -{ e }^{ -iax }\int { cosecax.{ e }^{ iax }dx } \right\} \\ \Rightarrow P.I.=\frac { 1 }{ 2ai } \left\{ { e }^{ iax }\int { cosecax.\left( \cos { ax } -i\sin { ax } \right) dx } -{ e }^{ -iax }\int { cosecax.\left( \cos { ax } +i\sin { ax } \right) dx } \right\} \\ =\frac { 1 }{ 2ai } \left\{ { e }^{ iax }\left\{ \int { \cot { ax } dx } -i\int { dx } \right\} -{ e }^{ -iax }\left\{ \int { \cot { ax } dx } +i\int { dx } \right\} \right\} \\ =\frac { 1 }{ 2ai } \left\{ { e }^{ iax }\left\{ \frac { \log { \sin { ax } } }{ a } -ix \right\} -{ e }^{ -iax }\left\{ \frac { \log { \sin { ax } } }{ a } +ix \right\} \right\} \\ =\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \left( \frac { { e }^{ iax }-{ e }^{ -iax } }{ 2i } \right) \log { \sin { ax } } -\frac { 1 }{ a } \left( \frac { { e }^{ iax }+{ e }^{ -iax } }{ 2i } \right) x\\ \Rightarrow P.I.=\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \sin { ax } \log { \sin { ax } } -\frac { x }{ a } \cos { ax }
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.\\ y={ c }_{ 1 }\cos { ax } +{ c }_{ 2 }\sin { ax } +\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \sin { ax } \log { \sin { ax } } -\frac { x }{ a } \cos { ax }
Example-3.\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +4y=\tan { 2x }
Solution\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +4y=\tan { 2x } \\ \Rightarrow \left( { D }^{ 2 }+4 \right) y=\tan { 2x }
सहायक समीकरण होगा-

{ m }^{ 2 }+4=0\Rightarrow m=\pm 2i
पूरक फलन (C.F.)={ c }_{ 1 }\cos { 2x } +{ c }_{ 2 }\sin { 2x }
विशिष्ट समाकल (P.I.)=\frac { 1 }{ \left( { D }^{ 2 }+4 \right) } \tan { 2x } \\ =\frac { 1 }{ \left( D+2i \right) \left( D-2i \right) } \tan { 2x } \\ =\frac { 1 }{ 4i } \left[ \frac { 1 }{ D-2i } -\frac { 1 }{ D+2i } \right] \tan { 2x } \\ =\frac { 1 }{ 4i } \left[ \frac { 1 }{ D-2i } -\frac { 1 }{ D+2i } \right] \tan { 2x } \\ =\frac { 1 }{ 4i } \left\{ { e }^{ i2x }\int { \tan { 2x } .{ e }^{ -i2x }dx } -{ e }^{ -i2x }\int { \tan { 2x } .{ e }^{ i2x }dx } \right\} \\ =\frac { 1 }{ 4i } \left\{ { e }^{ i2x }\int { \tan { 2x } .\left( \cos { 2x } -i\sin { 2x } \right) dx } -{ e }^{ -i2x }\int { \tan { 2x } .\left( \cos { 2x } +i\sin { 2x } \right) dx } \right\} \\ =\frac { 1 }{ 4i } \left\{ { e }^{ i2x }\left\{ \int { \sin { 2x } dx } -i\int { \sin { 2x } \tan { 2x } dx } \right\} -{ e }^{ -i2x }\left\{ \int { \sin { 2x } dx } +i\int { \sin { 2x } \tan { 2x } dx } \right\} \right\} \\ =\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { e }^{ i2x }-{ e }^{ -i2x } }{ 2i } \right) \int { \sin { 2x } dx } -\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { { e }^{ i2x }+{ e }^{ -i2x } }{ 2 } \right) \int { \sin { 2x } \frac { \sin { 2x } }{ \cos { 2x } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2 } \sin { 2x } .\frac { \cos { 2x } }{ 2 } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { 2x } \int { \frac { 1-\cos ^{ 2 }{ 2x } }{ \cos { 2x } } dx } \\ =\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2x } \cos { 2x } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { 2x } \int { \sec { 2x } dx } +\frac { 1 }{ 2 } \cos { 2x } \int { \cos { 2x } dx } \\ =\frac { 1 }{ 4 } \sin { 2x } \cos { 2x } -\frac { 1 }{ 2 } \cos { 2x } .\frac { 1 }{ 2 } \log { \tan { \left( x+\frac { \pi }{ 4 } \right) } } -\frac { 1 }{ 4 } \cos { 2x } \sin { 2x } \\ P.I.=-\frac { 1 }{ 4 } \cos { 2x } \log { \tan { \left( x+\frac { \pi }{ 4 } \right) } }
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.\\ y={ c }_{ 1 }\cos { 2x } +{ c }_{ 2 }\sin { 2x } -\frac { 1 }{ 4 } \cos { 2x } \log { \tan { \left( x+\frac { \pi }{ 4 } \right) } }
Example-4.9\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } -y={ e }^{ -x }
Solution9\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } -y={ e }^{ -x }\\ \Rightarrow \left( 9{ D }^{ 2 }-1 \right) y={ e }^{ -x }
सहायक समीकरण होगा-

9{ m }^{ 2 }-1=0\\ \Rightarrow { m }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 9 } \\ \Rightarrow m=\pm \frac { 1 }{ 3 }
पूरक फलन (C.F.)={ c }_{ 1 }{ e }^{ \frac { x }{ 3 } }+{ c }_{ 2 }{ e }^{ -\frac { x }{ 3 } }
विशिष्ट समाकल (P.I.)=\frac { 1 }{ \left( 9{ D }^{ 2 }-1 \right) } { e }^{ -x }\\ =\frac { 1 }{ \left( 3D-1 \right) \left( 3D+1 \right) } { e }^{ -x }\\ =\frac { 1 }{ 2 } \left[ \frac { 1 }{ 3D-1 } -\frac { 1 }{ 3D+1 } \right] { e }^{ -x }\\ =\frac { 1 }{ 6 } \left[ \frac { 1 }{ D-\frac { 1 }{ 3 } } -\frac { 1 }{ D+\frac { 1 }{ 3 } } \right] { e }^{ -x }\\ =\frac { 1 }{ 6 } { e }^{ \frac { x }{ 3 } }\int { { { e }^{ -x }e }^{ -\frac { x }{ 3 } }dx } -\frac { 1 }{ 6 } { e }^{ -\frac { x }{ 3 } }\int { { { e }^{ -x }e }^{ \frac { x }{ 3 } }dx } \\ =\frac { 1 }{ 6 } { e }^{ \frac { x }{ 3 } }\int { { e }^{ -\frac { 4x }{ 3 } }dx } -\frac { 1 }{ 6 } { e }^{ -\frac { x }{ 3 } }\int { { e }^{ \frac { -2x }{ 3 } }dx } \\ =-\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ \frac { x }{ 3 } }{ e }^{ -\frac { 4x }{ 3 } }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -\frac { x }{ 3 } }{ e }^{ \frac { -2x }{ 3 } }\\ \Rightarrow P.I.=-\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ -x }+\frac { 1 }{ 4 } { e }^{ -x }=\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ -x }
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा-

y=C.F.+P.I.\\ y={ c }_{ 1 }{ e }^{ \frac { x }{ 3 } }+{ c }_{ 2 }{ e }^{ -\frac { x }{ 3 } }+\frac { 1 }{ 8 } { e }^{ -x }
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of finding particular integral,General Method of finding particular integral) को समझ सकते हैं।

3.विशिष्ट समाकल निकालने की विधि की समस्याएं (Method of finding particular integral problems),विशिष्ट समाकल निकालने की व्यापक विधि (General method for finding particular integral)-

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations:)

(1)\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +y=cosecx\qquad \qquad \\ (2)\left( { D }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) y=\tan { ax } \\ (3)\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } -3\frac { dy }{ dx } +2y={ e }^{ 5x }\qquad \qquad \\ (4)\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +y=\sec ^{ 2 }{ x } \\ (5)\left( { D }^{ 2 }-9D+18 \right) y={ e }^{ { e }^{ -3x } }
उत्तर-(1)y={ c }_{ 1 }\cos { 2x } +{ c }_{ 2 }\sin { 2x } -x\cos { x } +\sin { x } .\log { \sin { x } } \\ (2)\quad y={ c }_{ 1 }\cos { ax } +{ c }_{ 2 }\sin { ax } -\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } \cos { ax } \log { \tan { \left( \frac { \pi }{ 4 } +\frac { ax }{ 2 } \right) } } \\ (3)\quad y={ c }_{ 1 }{ e }^{ 2x }+{ c }_{ 2 }{ e }^{ x }+\frac { 1 }{ 12 } { e }^{ 5x }\\ (4)\quad y={ c }_{ 1 }\cos { 2x } +{ c }_{ 2 }\sin { 2x } +\sin { x } \log { \left( \sec { x } +\tan { x } \right) } -1\\ (5)\quad y={ c }_{ 1 }{ e }^{ 6x }+{ c }_{ 2 }{ e }^{ 3x }+\frac { 1 }{ 9 } { e }^{ 6x }{ e }^{ { e }^{ -3x } }
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर विशिष्ट समाकल निकालने की विधि (Method of finding particular integral,General Method of finding particular integral) को ठीक से समझा जा सकता है।

4.अवकल समीकरण का विशिष्ट हल क्या है? (What is particular integral of differential equation?)-

निम्नलिखित चर्चा दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरण के हल की जांच करेगी

a\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +b\frac { dy }{ dx } +cy=f\left( x \right) ,
जिसमें a, b और c स्थिरांक हैं, लेकिन f (x) समान रूप से शून्य के बराबर नहीं है।
विशिष्ट समाकल और पूरक फलन
(i) मान लीजिए कि y = u (x) अवकल समीकरण का कोई विशिष्ट हल है; बस इतना ही
इसका कोई स्वेच्छ स्थिरांक नहीं है।वर्तमान संदर्भ में,हम ऐसे विशिष्ट हलों का उल्लेख करेंगे जैसे “विशिष्ट समाकल” और उन्हें खोजने के व्यवस्थित तरीकों पर चर्चा की जाएगी
बाद में।

5.पूरक फलन तथा विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करते हैं?(How do you find the complementary function and particular integral?)-

स्पष्ट फलनों के साथ f और g।जब y = f (x) + cg (x) एक ODE का हल होता है,तो f को विशिष्ट समाकल (P.I) कहा जाता है और g को पूरक फलन (C.F.) कहा जाता है।

6.विशिष्ट हल क्या है? (What is particular solution?)-

व्यापक हल में स्वेच्छ स्थिरांक को विशेष मान प्रदान करके अवकल समीकरण का समाधान।

7.विशिष्ट समाकल कैसे ज्ञात करते हैं? (How to find particular integral)-

निम्न सूत्र से ज्ञात करते है :-

P.I.=\frac { 1 }{ (D-{ \alpha }_{ 1 })(D-{ \alpha }_{ 2 })......(D-{ \alpha }_{ n }) } Q(x)={ Q }_{ n }(x)
जहां { Q }_{ n }(x)={ e }^{ { \alpha }_{ n }x }\int { { { Q }_{ n-1 }(x)e }^{ { -\alpha }_{ n }x } } dx,n\in N
तथा { Q }_{ 0 }(x)=Q(x)

Also Read This Article:-Complementary Function

No.Social MediaUrl
1.Facebookclick here
2.you tubeclick here
3.Instagramclick here
4.Linkedinclick here
5.Facebook Pageclick here

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *