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Variation of Parameters Method in DE

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1 1.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order):

1.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order):

अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE) उस रैखिक अवकल समीकरण का पूर्ण हल ज्ञात करने के प्रयोग में ली जाती है जिसका सम्पूर्ण पूरक फलन ज्ञात हो।यह विधि उन समीकरणों का हल ज्ञात करने के प्रयोग में ली जाती है जहाँ इसका विशिष्ट समाकल ज्ञात करना कठिन हो।
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2.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि के साधित उदाहरण (Variation of Parameters Method in DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिएः
(Solve the following differential equations by the method of variation of parameters):
Example:8. x\frac{d y}{d x}-y=(x-1)\left(\frac{d^2 y}{d x^2}-x+1\right)
Solution:x\frac{dy}{d x}-y=(x-1)\left(\frac{d^2 y}{d x^2}-x+1\right) \\ \Rightarrow x \frac{d y}{d x}-y=(x-1) \frac{d^2 y}{d x^2}-(x-1)^2 \\ \Rightarrow(x-1) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+y=(x-1)^2
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में रखने परः

\frac{d^2 y}{\frac{d}{x^2}}-\frac{x}{x-1} \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x-1}=x-1 \cdots(1)
यहाँ पूरक फलन (C.F.) ज्ञात करने के लिए हम सर्वप्रथम निम्न समीकरण को हल करेंगेः

\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{x}{x-1}\left(\frac{d y}{d x}\right)+\frac{y}{x-1}=0 \cdots(2)
यहाँ P=-\frac{x}{x-1} तथा Q=\frac{1}{x-1}

निरीक्षण द्वारा हम देखते है कि

P+Q x=-\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x+1}=0
अतः y=x पूरक फलन (C.F.) का एक भाग है।
मान लो समीकरण (2) का हल हैः
y =v x \\ \frac{d y}{d x} =v+x \frac{d v}{d x} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d v}{d x^2}
अब y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता है कि

2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^{2}v}{d x^2}-\frac{x}{x-1}\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)+\frac{v x}{x-1}=0 \\ \Rightarrow 2 \frac{d v}{d x}+x \frac{d^2 v}{d x^2}-\frac{v x}{x-1}- \frac{x^2}{x-1}\frac{dv}{dx}+\frac{v x}{x-1}=0 \\ \Rightarrow x \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(2-\frac{x^2}{x-1}\right) \frac{d v}{d x}=0 \\ \Rightarrow \frac{d^2 v}{d x^2}+\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) \frac{d v}{d x}=0 \cdots(3)
माना कि \frac{d v}{d x}=p तब \frac{d^2 v}{d x^2}=\frac{d p}{d x}
(3) सेः

\frac{d p}{d x}+\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) p=0 \\ \frac{d p}{p}+\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) d x=0
समाकलन करने परः

\int \frac{d p}{p}+\int\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{x-1}\right) d x=0 \\ \Rightarrow \log p+2 \log x-x-\log (x-1)=\log c_{1} \\ \Rightarrow \log \frac{p x^2}{c_{1}(x-1)}=x \\ \Rightarrow p= \frac{c_{1}e^x(x-1)}{x^2} \\ \Rightarrow \frac{d v}{d x}= \frac{c_{1} e^x(x-1)}{x^2} \\ \Rightarrow d v= \frac{c_{1}e^x(x-1)}{x^2} d x
पुनः समाकलन करने परः

\int dv=c_{1} \int \frac{e^x}{x} dx-c_{1} \int \frac{e^x}{x^2} d x \\ \Rightarrow v=\frac{c_{1} e^x}{x}+c_{1} \int \frac{e^x}{x^2} dx-c_{1} \int \frac{e^x}{x^2} d x+c_2 \\ \Rightarrow v=\frac{c_{1} e^x}{x}+c_2 \cdots(4)
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन (C.F.) होगाः
y=v x \\ \Rightarrow y=c_1 e^x+c_2 x
जहाँ c_{1} तथा c_{2} अचर राशियाँ हैं।
पुनः माना कि y=A x+B e^x \cdots(5)
जहाँ A तथा B,x के फलन हैं।

\therefore \frac{d y}{d x}=A+B e^x+A_1 x+B_1 e^x
मान लो A_{1}x+B_1 e^x=0 \ldots(6)
तब \frac{d y}{d x}=A+B e^x
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=A_{1}+B_{1} e^x+B e^x
अब (5) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है कि

A_1+B_1 e^x+B e^x-\frac{x}{x-1}\left(A+B e^x\right)+ \frac{A x+B e^x}{x-1}=x-1 \\ \Rightarrow A_1+B_1 e^x+\left(1+\frac{1}{x-1}\right) B e^x-\frac{A x}{x-1}-\frac{B x e^x}{x-1} +\frac{A x}{x-1}=x-1 \\ \Rightarrow A_1+B_1 e^x+\left(\frac{x}{x-1}\right) B e^x-\frac{B x e^x}{x-1}=x-1 \\ \Rightarrow A_1+B_1 e^x+1-x=0 \cdots(7) \\ A_1 x+B_1 e^{x}+0=0 \cdots(6)
(6) व (7) को हल करने परः
\frac{A_1}{0-e^x(1-x)}=\frac{B_{1}}{x(1-x)-0}=\frac{1}{e^x-x e^x} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{-e^x(1-x)}=\frac{B_{1}}{x(1-x)}=\frac{1}{e^x(1-x)} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{-e^x(1-x)}=\frac{1}{e^x(1-x)} \\ \Rightarrow A_1=-1 तथा B_1=x e^{-x}
इनका समाकलन करने परः

\frac{d A}{d x}=-1 \\ \int d A=-\int x \\ \Rightarrow A=-x+c_3 \\ \frac{d B}{d x}=x e^{-x} \\ \int d B=\int x e^{-x} d x \\ \Rightarrow B=-x e^{-x}-e^{-x}+c_4
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=\left(-x+c_3\right) x+\left(-x e^{-x}-e^x+c_4\right) e^x \\ \Rightarrow y=c_3 x+c_4 e^x-\left(x^2+x+1\right)
Example:9. \frac{d^2 y}{d x^2}-6 \frac{d y}{d x}+9 y=x^{-2} e^{3 x}
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-6 \frac{d y}{d x}+9 y=x^{-2} e^{3 x} \cdots(1)
दिए हुए समीकरण का पूरक फलन (C.F.) होगाः

m^2-6 m+9=0 \Rightarrow(m-3)^2=0 \\ \Rightarrow m=3,3 \\ y=(a+b x) e^{3 x}
जहाँ a और b अचर राशियाँ हैं।
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

y=A e^{3 x}+B x e^{3 x} \cdots(2)
जहाँ A और B,x के फलन हैं।

\therefore \frac{d y}{d x}=3 A e^{3 x}+B e^{3 x}+3 B x e^{3 x}+A_{1} e^{3 x}+B_1 x e^{3 x}
माना A_{1} e^{3 x}+B_1 x e^{3 x}=0 \\ \Rightarrow A_1+B_{1} x=0 \cdots(3)
तब \frac{d y}{d x}=3 A e^{3 x}+B e^{3 x}+3 B x e^{3 x}
तथा \frac{d^{2}y}{d x^2}=9 A e^{3 x}+6B e^{3 x}+B_1 e^{3 x}+9 B x e^{3 x}+3 A_1 e^{3 x}+3 B_1 x e^{3 x}
अब (2) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान दिए हुए समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है कि

9 A e^{3 x}+6 B e^{3 x}+B_1 e^{3 x}+9 B x e^{3 x}+3 A_1 e^{3 x}+3 B_{1} x e^{3 x}-6\left(3 A e^{3 x}+B e^{3 x}+3 B x e^{3 x}\right)+9\left(A e^{3 x}+ B x e^{3 x}\right)=x^{-2} e^{3 x} \\ \Rightarrow 9 A e^{3 x}+6 B e^{3 x}+B_{1} e^{3 x}+9 B x e^{3 x}+3 A_{1}e^{3 x}+3 B x e^{3 x}-18 A e^{3 x}-6 B e^{3 x} -18 B x e^{3 x}+9 A e^{3 x}+9 B x e^{3 x} =x^{-2} e^{3 x} \\ \Rightarrow 3A_{1} e^{3 x}+(3 x+1) B_{1} e^{3 x}=x^{-2} e^{3 x} \\ \Rightarrow 3A_{1}+(3 x+1) B_1-x^{-2}=0 \cdots(4) \\ \Rightarrow A_{1}+B_{1} x+0=0 \cdots(3)
अब (3) व (4) को हल करने परः
\frac{A_1}{0+x^{-1}}=\frac{B_1}{-x^{-2}-0}=\frac{1}{3 x-3 x-1} \\ \Rightarrow \frac{A_1}{x^{-1}} =\frac{B_1}{-x^{-2}}=\frac{1}{-1} \\ \Rightarrow A_1=-\frac{1}{x} तथा B_1=\frac{1}{x^2}
इनका समाकलन करने परः

\frac{d A}{d x}=-\frac{1}{x} \\ \Rightarrow \int d A=-\int \frac{1}{x} d x \\ \Rightarrow A =-\log x+c_{1} \\ \frac{d B}{d x} =\frac{1}{x^2} \\ \int d B =\int \frac{d x}{x^2} \\ \Rightarrow B=-\frac{1}{x}+c_{2}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=(-\log x+c_{1}) e^{3 x}+\left(\frac{-1}{x}+c_{2}\right) x e^{3 x} \\ =-e^{3 x} \log x+c_{1} e^{3 x}+c_2 x e^{3 x}-e^{3 x} \\ \Rightarrow y=(c_{1}+c_{2} x) e^{3 x}-(\log x+1) e^{3 x}

Example:10. \frac{d^2 y}{d x^2}+(\tan x-3 \cos x) \frac{d y}{d x}+2 y \cos ^2 x =\cos ^4 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+(\tan x-3 \cos x) \frac{d y}{d x}+2 y \cos ^2 x =\cos ^4 x \cdots(1)
दिए हुए समीकरण को \frac{d^2 y}{dx^2}+P \frac{d y}{d x}+Q y=R  से तुलना करने परः
यहाँ P=\tan x-3 \cos x,Q=2 \cos ^2 x तथा R=\cos ^4 x
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर दिया हुआ समीकरण निम्न रूप में रूपान्तरित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
जहाँ Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=2 (माना)

\Rightarrow \frac{2 \cos^{2} x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\cos ^2 x \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\cos x
समाकलन करने परः

\int d z=\int \cos x \\ \Rightarrow z=\sin x \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{-\sin x+(\tan x-3 \cos x) \cos x}{\cos ^2 x} \\ =-\frac{\sin x+\sin x-3 \cos ^2 x}{\cos ^2 x} \\ =\frac{-3 \cos ^2 x}{\cos ^2 x} \\ \Rightarrow P_1=-3 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{dz}{d x}\right)^2} =\frac{\cos ^4 x}{\cos ^2 x}=\cos^2x
अब P_1,Q_1 तथा R_1 का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}-3 \frac{d y}{d z}+2 y=\cos ^2 x \\ \left(D^2-3 D+2\right) y=\cos ^2 x
इसका सहायक समीकरण निम्न हैः

m^2-3 m+2=0 \\ \Rightarrow m^2-2 m-m+2=0 \\ \Rightarrow m(m-2)-1(m-2)=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=1,2
अतः पूरक फलन हैः

y=c_{1} e^z+c_2 e^{2 z} \\ y=c_1 e^{\sin x}+c_2 e^{2 \sin x} \cdots(3)
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

y=A e^{\sin x}+ B e^{2 \sin x}
जहाँ A व B, x के फलन हैं।
अब \frac{d y}{d x}=A \cos x e^{\sin x}+2 B \cos x e^{2 \sin x}+A_{1} e^{\sin x}+B_1 e^{2 \sin x}
मान लो A_1 e^{\sin x}+B_1 e^{2 \sin x}=0 \cdots(4)
तब \frac{d y}{d x}=A \cos x \cdot e^{\sin x}+2 B \cos x e^{2 \sin x} \\ \frac{d^2 y}{d x^2}=-A \sin x e^{\sin x}+A \cos ^2 x e^{\sin x}-2 B \sin x e^{2 \sin x}+4 B \cos^2 x e^{2 \sin x}+A_{1} \cos x e^{\sin x} +2 B_{1} \cos x e^{2 \sin x}
अब (3) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान दिए हुए समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता है कि

-A \sin x e^{\sin x}+A \cos ^2 x e^{\sin x}-2 B \sin x e^{2 \sin x}+4 B \cos ^2 x e^{3 \sin x}+A_1 \cos x e^{\sin x} +2 B_{1} \cos x e^{2 \sin x}+(\tan x-3 \cos x) \left(A \cos x e^{\sin x}+2 B \cos x e^{2 \sin x} \right)+ 2 \cos^{2} x\left(A e^{\sin x}+B e^{2 \sin x}\right)=\cos ^4 x \\ \Rightarrow-A \sin x e^{\sin x}+A \cos ^2 x e^{\sin x}-2 B \sin x e^{2 \sin x}+4 B \cos ^2 x e^{2 \sin x}+ A_{1} \cos x e^{\sin x}+2 B_{1} \cos x e^{2 \sin x}+ A \sin x e^{\sin x}-3 A \cos ^2 x e^{\sin x}+ 2 B \sin x e^{2 \sin x}-6 B \cos ^2 x e^{2 \sin x} +2 A \cos ^2 x e^{\sin x}+2 B \cos ^2 x e^{2 \sin x} =\cos ^4 x \\ \Rightarrow A_1 \cos x e^{\sin x}+2 B_1 \cos x e^{2 \sin x}=\cos ^4 x \\ \Rightarrow A_1 e^{\sin x}+2 B_1 e^{2 \sin x}-\cos ^3 x=0 \cdots(5) \\ A_1 e^{\sin x}+B_1 e^{2 \sin x}+0=0 \cdots(4)
समीकरण (4) व (5) को हल करने परः
\frac{A_1}{0+\cos ^3 x \cdot e^{2 \sin x}}=\frac{B_1}{-\cos ^3 x e^{\sin x}-0 }=\frac{1}{e^{3 \sin x}-2 e^{3 \sin x}} \\ \frac{A_1}{\cos ^3 x e^{2 \sin x}}=\frac{1}{-e^{3 \sin x}}  तथा \frac{B_1}{-\cos^{3} x e^{\sin x}}-\frac{1}{-e^{3 \sin x}} \\ \Rightarrow A_1=-\cos ^3 x e^{-\sin x}  तथा B_1=\cos ^3 x e^{-2 \sin x}
इनका समाकलन करने परः

\frac{d A}{d x}=-\left(1-\sin ^2 x\right) \cos x e^{-\sin x} \\ \int d A=-\int\left(1-\sin ^2 x\right) \cos x e^{-\sin x} d x \\ \text{put}=\sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ A=-\int\left(1-t^2\right) \bar{e}^t d t \\ =-\int e^{-t} d t+\int t^2 e^{-t} d t \\ =e^{-t}-t^2 e^{-t}+2 \int t e^{-t} d t \\ =e^{-t}-t^2 e^{-t}-2 t e^{-t}-2 e^{-t}+c_3 \\ \Rightarrow A=\left(-\sin ^2 x-2 \sin x-1\right) e^{-\sin x}+c_3 \\ \frac{d B}{d x}=(1-\sin x) \cos x e^{-2 \sin x} \\ \int d B=\int\left(1-\sin ^2 x\right) \cos x e^{-2 \sin x} d x \\ \text { Put } \sin x=t \Rightarrow \cos x d x=d t \\ B=\int\left(1-t^2\right) e^{-2 t} d t \\ =\int e^{-2 t} d t-\int t^2 e^{-2 t} d t \\ =-\frac{1}{2} e^{-2 t}+\frac{1}{2} t^2 e^{-2 t}-\int t e^{-2 t} d t \\ =-\frac{1}{2} e^{-2 t}+\frac{1}{2} t^2 e^{-2 t}+\frac{1}{2} t e^{-2 t}+\frac{1}{1} e^{-2 t}+c_4 \\ =\frac{1}{2} t^2 e^{-2 t}+\frac{1}{2} t e^{-2 t}-\frac{1}{4} e^{-2 t}+c_{4} \\ \Rightarrow B =\left(\frac{1}{2} \sin ^2 x+\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{4}\right) e^{-2 \sin x}+c_4
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=\left[\left(-\sin ^2 x-2 \sin x-1\right) e^{-\sin x}+c_3\right] e^{\sin x} +\left[\left(\frac{1}{2} \sin ^2 x+\frac{1}{2} \sin x-\frac{1}{4}\right) e^{-2 \sin x}+c_{4}\right] e^{2 \sin x} \\ \Rightarrow y =c_3 e^{\sin x}+c_{4} e^{2 \sin x}-\frac{1}{2} \sin ^2 x-\left(\frac{3}{2}\right) \sin x-\left(\frac{5}{4}\right)
Example:11. \left(D^3-6 D^2+11 D-6\right) y=e^{2 x}
Solution: \left(D^3-6 D^2+11 D-6\right) y=2^{2 x} \cdots(1)
दिए हुए समीकरण का सहायक समीकरण (A.E.) हैः

m^3-6 m^2+11 m-6=0 \\ \Rightarrow m^3-m^2-5 m^2+5 m+6 m-6=0 \\ \Rightarrow m^2(m-1)-5 m(m-1)+6(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(m^2-5 m+6\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^2-3 m-2 m+6\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)[m(m-3)-2(m-3)]=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m-2)(m-3)=0 \\ \Rightarrow m=1,2,3
अतः दिए हुए समीकरण का पूरक फलन (C.F.) निम्न हैः

y=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}+c_3 e^{3 x}
जहाँ c_1,c_2 तथा c_3 अचर राशियाँ हैं।
मान लो दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल हैः

y=A e^x+B e^{2 x}+C e^{3 x} \cdots(2)
जहाँ A,B तथा C,x के फलन हैं।

\therefore \frac{d y}{d x}=A e^x+2 B e^{2 x}+3 C e^{3 x}+A_{1} e^x+B_{1} e^{2 x}+C_{1} e^{3 x}
माना A_{1} e^x+B_{1} e^{2 x}+C_{1} e^{3 x}=0 \cdots(3)
तब \frac{d y}{d x}=A e^x+2 B e^{2 x}+3 C e^{3 x}
तथा \frac{d^2 y}{d x^2}=A e^x+4 B e^{2 x}+9 C e^{3 x}+ A_{1} e^x+2 B_{1} e^{2 x}+3 C_{1} e^{3 x}
पुनः माना A_{1} e^x+2 B_{1} e^{2 x}+3 C_{1} e^{3 x}=0 \cdots(4)
तब \frac{d^2 y}{d x^2}=A e^x+4 B e^{2 x}+9 C e^{3 x}
तथा \frac{d^3 y}{d x^3}=A e^x+8 B e^{2 x}+27 C e^{3 x}+ A_{1} e^x+4 B_{1} e^{2 x}+9 C_1 e^{3 x}
अब (2) से y तथा इसके अवकलजों (derivatives) के मान दिए हुए समीकरण (1) में रखने पर हमें प्राप्त होता हैः

A e^x+8 B e^{2 x}+27 C e^{3 x}+A_1 e^x+4 B_{1} e^{2 x} +9 C_{1} e^{3 x}-6\left(A e^x+4 B e^{2 x}+9 C e^{3 x}\right) +11\left(A e^x+2 B e^{2 x}+3 C e^{3 x}\right)-6\left(A e^x+B e^{2 x}+C e^{3 x} \right)=e^{2x} \\ \Rightarrow A e^x+8 B e^{2 x}+27 C e^{3 x}+A_{1} e^x+4 B_{1} e^{2 x}+9 C_{1} e^{3 x}-6 A e^x-24 B e^{2 x}-54 C e^{3 x} +11 A e^x+22 B e^{2 x}+33 C e^{3 x}-6 A e^x -6 B e^{2 x}-6 C e^{3 x}=e^{2 x} \\ \begin{array}{lll}\Rightarrow A_1 e^x+4 B_1 e^x+9 C_{1} e^{3 x}=e^{2 x} \\ \Rightarrow A_1+4 B_1 e^x+9 C_{1} e^{2 x}-e^{3 x}=0 \cdots(5) \\ A_1+B_1 e^x+C_{1} e^{2 x}=0 [(3) \text { से } ]\\ - \quad \quad \quad - \quad \quad \quad - \\ \hline \end{array} \\ 3 B_1 e^x+84 e^{2 x}-e^x=0 \cdots(6) \\ \begin{array}{lll}A_1+B_1 e^x+C_{1}e^{2 x}=0 \quad[ (3) \text { से }] \\ A_1+2 B_1 e^x+3C_{1} e^{2 x}=0 \quad[(4) \text { से }]\\ - \quad \quad \quad - \quad \quad \quad - \text{ घटाने पर }\\ \hline \end{array} \\ -B_1 e^x-2C_{1} e^{2 x}=0 \cdots(7)
(7) को 3 से गुणा करने परः
\begin{array}{lll}-3 B_1 e^x-6C_1 e^{2 x}=0 \cdots(8) \\ 3 B_1 e^x+8C_{1} e^{2 x}-e^x=0 \cdots(6)  \text { जोड़ने पर } \\ \hline \end{array} \\ 2C_{1} e^{2 x}-e^x=0 \\ \Rightarrow C_{1}=\frac{1}{2} e^{-x} \cdots(7) \\ C_{1} का मान समीकरण (7) में रखने परः

-B_1 e^x-2 \times \frac{1}{2} e^{-x} \cdot e^{2x}=0 \\ \Rightarrow-B_1 e^x-e^x=0 \\ \Rightarrow B_1=-1 \ldots(8) \\ B_1 का C_1 मान (3) में रखने परः

A_1 e^x-e^{2 x}+\frac{1}{2} e^{-x} \cdot e^{3 x}=0 \\ \Rightarrow A_1 e^x-e^{2 x}+\frac{1}{2} e^{2 x}=0 \\ \Rightarrow A_1 e^x-\frac{1}{2} e^{2 x}=0 \\ \Rightarrow A_1=\frac{1}{2} e^x \cdots(9)
(7),(8) तथा (9) का समाकलन करने परः

A=\frac{1}{2} e^x \\ \frac{d A}{d x}=\frac{1}{2} e^x \\ \Rightarrow \int d A=\int \frac{1}{2} e^x d x \\ \Rightarrow A=\frac{1}{2} e^x+C_4 \\ B_{1}=-1 \\ \Rightarrow \frac{d B}{d x}=-1 \\ \Rightarrow \int d B=-\int 1 d x \\ \Rightarrow B=-x+C_{5} \\ C_{1}=\frac{1}{2} e^{-x} \\ \frac{dC}{dx}=\frac{1}{2} e^{-x} \\ \int dC=\frac{1}{2} \int e^{-x} d x \\ \Rightarrow C=-\frac{1}{2} e^{-x}+C_{6}
अतः दिए हुए समीकरण का पूर्ण हल निम्न हैः

y=A e^x+B e^{2 x}+C e^{3 x} \\ =\left(\frac{1}{2} e^x+C_4\right) e^x+\left(-x+C_5\right) e^{2 x} +\left(-\frac{1}{2} e^x+C_6\right) e^{3 x} \\ = \frac{1}{2} e^{2 x}+C_4 e^x-x e^{2 x}+C_5 e^{2 x} -\frac{1}{2} e^{2 x}+C_6 e^{3 x} \\ \Rightarrow y= C_4 e^x+C_5 e^{2 x}+C_6 e^{3 x}-x e^{2 x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि पर आधारित सवाल (Questions Based on Variation of Parameters Method in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को प्राचल विचरण विधि द्वारा हल कीजिएः
(Solve the following differential equations by the method of variation of parameters):

(1.) (1-x) y_2+x y-y=2(x-1)^2 e^{-x}
(2.) y_2-2 y_1+y=e^x
उत्तर (Answers): (1.)y=C_1 x+2 e^x+\left(\frac{1}{2}-x\right) e^{-x}
(2.) y=(C_{1}x+C_{2}) e^x+\frac{1}{2} x^2 e^x
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Solution by Operational Factors of DE

4.अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Frequently Asked Questions Related to Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवकल समीकरणों का वर्गीकरण करो। (Classify the Differential Equations):

उत्तर:(1.)तृतीय कोटि तथा प्रथम घात का एक साधारण अवकल समीकरण
(2.)प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के साधारण अवकल समीकरण
(3.)द्वितीय कोटि तथा द्वितीय घात का साधारण अवकल समीकरण
(4.)प्रथम कोटि तथा प्रथम घात का आंशिक अवकल समीकरण
(5.)द्वितीय कोटि तथा प्रथम घात का आंशिक अवकल समीकरण

प्रश्न:2.अवकल समीकरण में परिसीमा मान समस्याएं किसे कहते हैं? (What are the Boundary Value Problems?):

उत्तरःऐसी समस्याएं जिनमें अवकल समीकरण को हल करने के लिए सभी शर्ते एक से अधिक बिन्दुओं पर दी गई हों,
परिसीमा मान समस्याएं (Boundary Value Problems) BVP कहलाती हैं।
उदाहरणार्थः \frac{d^{2}y}{d x^2}+k^2 y=0, y(0)=1, y\left(\frac{\pi}{2 k}\right)=1
एक BVP है।इसका हल y=\cos kx+ \sin kx है।

प्रश्न:3.अवकल समीकरण की कोटि ज्ञात करते समय क्या ध्यान रखना चाहिए? (What Should be Kept in Mind While Determining the Order of a Differential Equation?):

उत्तरःकोटि ज्ञात करते समय यह ध्यान रखना चाहिए कि अवकल समीकरण में \int f(x) \cdot dx या \int F(x) dy जैसे पद ना हो; अगर ऐसा हो तो उनको पहले अवकलन करके हटा देना चाहिए और फिर कोटि ज्ञात करनी चाहिए।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अलकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations of Second Order) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Variation of Parameters Method in DE

अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि
(Variation of Parameters Method in DE)

Variation of Parameters Method in DE

अवकल समीकरण में प्राचल विचरण विधि (Variation of Parameters Method in DE)
उस रैखिक अवकल समीकरण का पूर्ण हल ज्ञात करने के

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