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Numerical Integration by Simpson Rule

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1 1.सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule):

1.सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule):

सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule) में संख्यात्मक समाकलन ज्ञात करने के लिए दो नियम हैं।पहला नियम है सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन तथा दूसरा नियम है सिम्पसन त्रयष्टकम नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन।
सिम्पसन का एक-तिहाई नियम (Simpson’s One-Third Rule):
प्राकथन (Statement):

\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+\ldots + y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\right]
प्रमाण (Proof):समदूरस्थ कोटियों हेतु सामान्य क्षेत्रकलन सूत्र:

I=h[n y_{0}+\frac{n^{2}}{2} \Delta y_{0}+\left(\frac{n^{3}}{3}-\frac{n^{2}}{2}\right) \frac{\Delta^{2} }{2!}y_{0}+\left(\frac{n^{4}}{4}-n^{3}+n^{2}\right) \frac{\Delta^{3}}{3!} y_{0}+\ldots+(n-1) \text { पदो तक }]\ldots(1)
उपर्युक्त सूत्र में n=2 प्रतिस्थापित कर तृतीय तथा उच्च क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करने पर अर्थात् वक्र को द्वितीय कोटि के बहुपद या परवलय की \frac{n}{2} चापों से प्रतिस्थापित करने पर:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+2 h} y d x \approx\left[2 y_{0}+2 \Delta y_{0}+\frac{\left(\frac{8}{3}-2\right)}{2} \Delta^{2} y_{0}\right] \\ =h\left[2 y_{0}+2\left(y_{1}-y_{0}\right)+\frac{1}{3}\left(y_{2}-2 y_{1}+y_{0} \right)\right] \\ =\frac{h}{3}\left[y_{0}+4y_{1}+y_{2}\right] \cdots(2)
इसी प्रकार \int_{x_{0}+2 h}^{x_{0}+4 h }y d x \approx \frac{h}{3}\left[y_{2}+4 y_{3}+y_{4}\right] \ldots(3) \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \int_{x_{0}+(n-2)h}^{x_{0}+n h} y d x \approx \frac{h}{3}\left[y_{n-2}+4 y_{n-1}+y_{n}\right] \cdots(4)
जब n समसंख्या हो अर्थात् n=2m
उक्त सभी समाकलों (2) से (4) तक योग करने पर:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x \approx \frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right) +4\left(y_{1}+y_{3} +y_{5}+\ldots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots+y_{n-2}\right)\right] \cdots(5)
यदि x_{0}+h=x_{1}, x_{0}+2 h=x_{2}, \ldots, x_{0}+n h=x_{0} माने तो (5) का अन्य रूप होगा:

\int_{x_{0}}^{x_{n}} y dx \approx \frac{h}{3}\left[ \left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+ \ldots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots+y_{n-2}\right)\right]\cdots(6)
या \int_{a}^{b} y d x \approx \frac{h}{3}[(पहली तथा अन्तिम कोटियों का योग)+4 (सभी विषम कोटियों का योग)+2 (सभी सम कोटियों का योग)]
इस सूत्र को सिम्पसन के एक-तिहाई नियम के नाम से जाना जाता है।
इस सूत्र के लिए यह ध्यान रखना चाहिए कि पूर्ण परास को h चौड़ाई के भागों में जिनकी संख्या सम है में विभाजित करते हैं तथा तृतीय व उच्च क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करते हैं।यहाँ y=f(x) द्वितीय घात का बहुपद यथा y=A x^{2}+B x+C है।अतः इसे परवलयिक सूत्र (Parabolic Formula) भी कहते हैं।
सिम्पसन त्रयष्टकम नियम (Simpson’s Three-Eight Rule):
प्राकथन (Statement): \int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y d x=\frac{3}{8} h\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+ 3\left(y_{1}+ y_{2}+y_{4}+y_{5}+\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{3}+y_{6}+\cdots+y_{n-3}\right)\right]
प्रमाण (Proof):सामान्य क्षेत्रकलन सूत्र (1) में n=3 प्रतिस्थापित कर तृतीय क्रम से अधिक क्रम के अन्तरों की उपेक्षा करने पर:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+3 h} y d x \approx h\left[3 y_{0}+\frac{9}{2} \Delta y_{0}+\left(\frac{27}{3}-\frac{9}{2}\right) \frac{\Delta^{2} y_{0}}{2 !}+\left(\frac{81}{4}-27+9\right) \frac{\Delta^{3} y_{0}}{3!}\right] \\ =h\left[3 y_{0}+\frac{9}{2}\left(y_{1}-y_{0}\right)+\frac{9}{4}\left(y_{2}-2 y_{1}+y_{0}\right)+\frac{3}{8}\left(y_{3}-3 y_{2}+3 y_{1}-y_{0}\right)\right] \\ \approx \frac{3}{8} h\left[y_{0}+3 y_{1}+3 y_{2}+ y_{3}\right] \cdots(7)
इसी प्रकार \int_{x_{0}+3 h}^{x_{0}+6 h} y dx \approx \frac{3}{8} h\left[y_{3}+3 y_{4}+3 y_{5}+y_{6} \right] \cdots(8) \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \int_{x_{0}+(n-3) h}^{x_{0}+nh} y d x \approx \frac{3}{8} h\left[y_{n-3}+3 y_{n-2}+3 y_{n-1}+y_{n}\right] \cdots(9)
जब n,3 का गुणित है अर्थात् n=3m
सभी समाकलनों (7) से (9) तक का योग करने पर:

\int_{x_{0}}^{x+n h} y d x \approx \frac{3}{8} h[\left(y_{0}+y_{n}\right)+3\left(y_{1}+y_{2} +y_{4}+ y_{5}+\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{3}+y_{6}+\cdots+y_{n-3}\right)] \cdots(10)
यदि x_{0}+h=x_{1}, x_{0}+2 h=x_{2} ; \ldots \ldots ; x_{0}+n h=x_{n} ,तब
समाकलन (10) का अन्य रूप होगा:

\int_{x_{0}}^{x_{1}} y d x \approx \frac{3}{8} h[\left(y_{0}+y_{n}\right)+3\left(y_{1} +y_{2}+y_{4}+ y_{5}+\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{3}+y_{6}+\cdots+y_{n-3}\right)] \cdots(1)
यह सिम्पसन त्रयष्टकम नियम (Simpson’s Three-Eighth Rule) के नाम से जाना जाता है।
इस सूत्र के निगमन में तृतीय क्रम से अधिक क्रम वाले अन्तरों की उपेक्षा की है।इसलिए y एक तृतीय कोटि का बहुपद है अर्थात्

f(x)=y=A x^{2}+B x^{2}+C x+D
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2.सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन के साधित उदाहरण (Numerical Integration by Simpson Rule Solved Examples):

Example:1.सिम्पसन के \frac{1}{3} सूत्र द्वारा निम्न समाकलन का मान ज्ञात कीजिए।
(Use simpson’s \frac{1}{3} rule to evaluate)

\int_{0}^{1} y d x
अग्रलिखित सारणी में x तथा y के मान दिए गए हैं।
(Value of x and y are tabulated as under)

xy
01.0
0.1250.8889
0.2500.8000
0.3750.7273
0.50.6667
0.6250.6154
0.7500.5714
0.8750.5333
1.00.5

Solution:प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [0,1.0] को आठ समान भागों में विभाजित किया है तथा h=0.125 है।अब सिम्पसन नियमानुसार:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x =\frac{1}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right) +4\left(y_{1}+y_{3}+y_{5} +\cdots\right) +2\left(y_{2}+y_{4}+y_{6}+\cdots\right)\right]\\ \int_{0}^{1.0} y d x =\frac{0.125}{3}[ (1.0+0.5)+ 4(0.8889+0.7273+0.6154+0.5333)+2(0.8000+0.6667+0.5714)  ]\\ =\frac{0.125}{3}[1.5+4 \times 2.7649+2 \times 2.0381] \\ =\frac{0.125}{3}[1.5+11.0596+4.0762] \\ =\frac{0.125}{3} \times 16.6358 \\ \Rightarrow \int_{0}^{1.0} y d x =0.69315
Example:2.निम्न आँकड़ों से \int_{0}^{16} y dx का मान सिम्पसन के नियम द्वारा ज्ञात कीजिए:
(Use Simpson’s rule to evaluate \int_{0}^{16} y dx from the following data.)

xy
00
24
47
69
812
1015
1214
148
163

Solution:प्रश्नानुसार स्पष्ट है कि परास [0,16] को आठ समान भागों में विभाजित किया गया है तथा h=2 है।अब सिम्पसन नियमानुसार:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+ 4\left(y_{1}+y_{3} +y_{5}+\cdots\right) +2\left(y_{2}+ y_{4}+y_{6}+\cdots\right)\right]
xy
0y_{0}=0
2y_{1}=4
4y_{2}=7
6y_{3}=9
8y_{4}=12
10y_{5}=15
12y_{6}=14
14y_{7}=8
16y_{8}=3

अतः सिम्पसन का नियम निम्न रूप में होगा:

\int_{0}^{16} y d x =\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{8}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+y_{5}+y_{7}\right) +2\left(y_{2}+y_{4}+y_{6}\right)\right] \\ =\frac{2}{3}[(0+3)+4(4+9+15+8)+2(7+12+14)] \\ =\frac{2}{3}[3+4 \times 36+2 \times 33] \\ =\frac{2}{3} [3+144+66] \\ =\frac{2}{3} \times 213 \\ \Rightarrow \int_{0}^{16} y dx =142

Example:3.सिम्पसन के \frac{1}{3} तथा \frac{3}{8} नियमों के द्वारा समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Simpson’s \frac{1}{3}  and \frac{3}{8} rule to evaluate):

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}
दोनों स्थितियों में \log_{e} 2 प्राप्त के मानों की तुलना कीजिए।
(Compare the values of \log_{e} 2 in the two cases):
Solution:यहाँ परास [0,1] है।यहाँ प्रत्येक भाग की चौड़ाई h=\frac{1-0}{8}=0.125 है।अब प्रत्येक विभाजित बिन्दु पर फलन y=\frac{d x}{1+x} का अभिकलित मान निम्न है:

xy=\frac{1}{1+x}
x_{0}=0y_{0}=1
x_{0}+h=0.125y_{1}=\frac{1}{1+0.125}=0.88889
x_{0}+2 h=0.250y_{2}=\frac{1}{1+0.250}=0.8
x_{0}+3 h=0.375y_{3}=\frac{1}{1+0.375}=0.72727
x_{0}+4 h=0.5y_{4}=\frac{1}{1+0.5}=0.66667
x_{0}+5 h=0.625y_{5}=\frac{1}{1+0.625}=0.61538
x_{0}+6 h=0.750y_{6}=\frac{1}{1+0.750}=0.57143
x_{0}+7 h=0.875y_{7}=\frac{1}{1.875}=0.53333
x_{0}+8 h=1y_{8}=\frac{1}{1+1}=0.5

सिम्पसन \frac{1}{3} नियमानुसार:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x=\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+y_{5} +\ldots\right) +2\left(y_{2}+y_{4}+y_{6}+\ldots\right)\right]
प्रश्नानुसार:

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}=\frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{8}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+y_{5}+ y_{7} \right)+ 2\left(y_{2}+y_{4}+y_{6}\right)\right] \\ = \frac{0.125}{3}[(1+0.5)+4(0.88889+0.72727+0.61538 +0.53333)+ 2(0.8+0.66667+0.57143)]\\ = \frac{0.125}{3}[1.5+4 \times 2.76487+2 \times 2.0381] \\=\frac{0.125}{3} \times\left[1.5 +11.05948+4.0762)\right] \\ =\frac{0.125}{3} \times 16.63568 \\ \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}=0.69315
सिम्पसन \frac{3}{8} नियमानुसार:

\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} y d x=\frac{3 h}{8}\left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+3\left(y_{1}+ y_{2}+ y_{4}+y_{5}+\ldots \right)+2\left(y_{3}+y_{6}+\ldots \right)\right]

प्रश्नानुसार:

\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x} =\frac{3 h}{8}\left[\left(y_{0}+y_{8}\right)+3\left(y_{1}+y_{2}+y_{4}+y_{5} +y_{7}\right)+2\left(y_{3}+y_{6}\right)\right] \\ =\frac{3 \times 0.125}{8}[(1+0.5)+3(0.88889+0.8+0.66667+ 0.61538+0.5333)+2(0.72727+0.57143)] \\ =\frac{0.375}{8}[1.5+3 \times 3.50427+2 \times 1.2987] \\ =\frac{0.375}{8} \times[1.5+10.51281+2.5974] \\ =\frac{0.375}{8} \times 14.61021 \\ \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x} =0.68485
उपर्युक्त प्रश्नों के द्वारा सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule) को समझ सकते हैं।

3.सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन पर आधारित सवाल (Questions Based on Numerical Integration by Simpson Rule):

(1.)सिम्पसन \frac{1}{3} नियम द्वारा \int_{3}^{4.6} \log _{e} x d x के मान की गणना करो।
(Compute \int_{3}^{4.6} \log _{e} x d x,by Simpson’s one-third rule.)
(2.)सिम्पसन \frac{3}{8} के नियम का प्रयोग करके \int_{0}^{0.3}\left(1-8 x^{3} \right)^{\frac{1}{2}}dx का लगभग मान प्राप्त करो।
(Use Simpson’s \frac{3}{8} rule to obtain an approximate value of \int_{0}^{0.3}\left(1-8 x^{3} \right)^{\frac{1}{2}}dx.)
उत्तर (Answers):(1)2.12405 (2)0.29162
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.कोट सूत्र से सिम्पसन एक-तिहाई सूत्र का निगमन करो। (Simpson’s One-Third Rule Deduction simpson’s one-third formula from the cote’s formula):

उत्तर:न्यूटन कोट क्षेत्रकलन सूत्र: I=\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} f(x) d x \approx h \sum_{i=0}^{n} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)
उपर्युक्त सूत्र में n=2 प्रतिस्थापित करने पर:
\int_{x_{0}}^{x_{0}+2h} f(x) d x=\int_{x_{0}}^{x_{2}} y d x=h \sum_{i=0}^{2} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right) \cdots(1)
अब \lambda_{i}=\frac{(-1)^{n-i}}{i !(n-i) !} \int_{0}^{n} \frac{u(u-1) \cdots(u-n)}{(u-i)} d u से
\lambda_{0}=\frac{(-1)^{2}}{0 ! 2!} \int_{0}^{2} \frac{u(u-1)(u-2)}{(u-0)} d u=\frac{1}{3} \cdots(2) \\ \lambda_{1}=\frac{(-1)^{1}}{1 !(2-1) !} \int_{0}^{2} \frac{u(u-1)(u-2)}{(u-1)} d u=\frac{4}{3} \cdots(3)
तथा \lambda_{2}=\frac{(-1)^{0}}{2! 0!} \int_{0}^{2} \frac{u(u-1)(u-2)}{(u-2)} d u=\frac{1}{3} \cdots(4)
अतः \int_{x_{0}}^{x_{0}+2h} y d x=\int_{x_{0}}^{x_{2}} y d x=\frac{h}{3}\left[y_{0} +4 y_{1}+y_{2}\right] \cdots(5)
इसमें आगे सिम्पसन \frac{1}{3} विधि से परिकलना करने पर निम्न सूत्र प्राप्त होगा:
\int_{x_{0}}^{x_{n}} y dx \approx \frac{h}{3}\left[\left(y_{0}+y_{n} \right)+ 4\left(y_{1} +y_{3} +y_{5} +\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\cdots+y_{n-2}\right)\right] \cdots(6)
जो कि सिम्पसन \frac{1}{3} नियम है।

प्रश्न:2.कोट सूत्र से सिम्पसन त्रयष्टकम नियम का निगमन करो।(Deduction the simpson’s Three-Eight rule from the quote formula):

उत्तर:न्यूटन कोट सूत्र में n=3 प्रतिस्थापित करने पर:
\int_{x_{0}}^{x_{0}+3 h} f(x) d x=\int_{x_{0}}^{x_{3}} y d x=h \sum_{i=0}^{3} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right) \cdots(7)
अब \lambda_{i} से:
\lambda_{0}=\frac{(-1)^{3}}{0! 3 !} \int_{0}^{3} \frac{u(u-1)(u-2) (u-3)}{u} d u= \frac{3}{8} \cdots(8) \\ \lambda_{1}=\frac{(-1)^{2}}{1! 2 !} \int_{0}^{3} \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{(u-1)} d u=\frac{9}{8} \cdots(9) \\ \lambda_{2}=\frac{(-1)^{1}}{2! 1 !} \int_{0}^{3} \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{(u-2)} d u=\frac{9}{8} \cdots(10) \\ \lambda_{3}=\frac{(-1)^{0}}{3 ! 0 !} \int_{0}^{3} \frac{u(u-1)(u-2)(u-3)}{(u-3)} d u=\frac{3}{8} \cdots(11)
अतः \int_{x_{0}}^{x_{0}+3h} y d x=\int_{x_{0}}^{x_{3}} y d x \approx \frac{3 h}{8}\left[y_{0}+3\left(y_{1}+y_{2}\right)+y_{3}\right] \cdots(12)
इससे आगे सिम्पसन \frac{3}{8} की विधि से परिकलना करने पर निम्न सूत्र प्राप्त होगा:
\int_{x_{0}}^{x_{n}} y d x \approx \frac{3 h}{8} \left[\left(y_{0}+y_{n}\right)+ 3\left(y_{1} + y_{2}+\cdots+y_{n-1}\right)+2\left(y_{0}+y_{6}+\cdots+y_{n-3}\right)\right] \cdots(13)
जो कि सिम्पसन \frac{3}{8} नियम है।

प्रश्न:3.कोट सूत्र से ट्रेपिजोइडल नियम का निगमन करो।(Subtract the trapezoidal rule from the cote’s formula):

उत्तर:न्यूटन कोट क्षेत्रकलन सूत्र से:
I=\int_{x_{0}}^{x_{0}+n h} f(x) d x=\int_{x_{0}}^{x_{0}+nh} y d x=h \sum_{i=0}^{n} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)
इसमें n=1 रखने पर:
\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} y d x=\int_{x_{0}}^{x} y d x=h\left[\lambda_{0} f\left(x_{0} \right)+ \lambda_{1} f\left(x_{1}\right)\right] \cdots(13) \\ \lambda_{0}=\frac{(-1)}{|x|} \int_{0}^{1} \frac{u(u-1)}{u} d u=(-1)\left[\frac{u^{2}}{2}-u\right]_{0}^{1} \\ \lambda_{0}=\frac{1}{2} \cdots(14)
तथा \lambda_{1}=\frac{1}{1} \cdot \int_{0}^{1} u d u=\frac{1}{2} \cdots(15)
(13) में \lambda_{0} तथा \lambda_{1} का मान रखने पर:
\int_{x_{0}}^{x_{1}} y d x=\frac{h}{2}\left(y_{0}+y_{1}\right)\cdots(16)
इससे आगे ट्रेपिजोइडल विधि से परिकलना करने पर निम्न सूत्र प्राप्त होगा।
I=\int_{x_{0}}^{x_{n}} y d x=h\left[\frac{1}{2}\left(y_{0}+y_{n}\right) +\left(y_{1} +y_{2} +\cdots+y_{n-1}\right)\right]
जो कि ट्रेपिजोइडल नियम है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule),सिम्पसन का एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson’s One-Third Rule) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन
(Numerical Integration by Simpson Rule)

Numerical Integration by Simpson Rule

सिम्पसन के नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन (Numerical Integration by Simpson Rule) में
संख्यात्मक समाकलन ज्ञात करने के लिए दो नियम हैं।पहला नियम है सिम्पसन का
एक तिहाई नियम द्वारा संख्यात्मक समाकलन तथा दूसरा नियम है

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