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Newton Forward Interpolation

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1 1.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula):
1.2 3.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Forward Interpolation Problems):

1.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula):

न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation):अन्तर्वेशन (interpolation) एक ऐसी विधि है जिनमें स्वतन्त्र चर x के किसी मध्यवर्ती (intermediate) मान के संगत f(x) का मान का आकलन करना होता है।जबकि स्वतन्त्र चर के विभिन्न मानों के संगत f(x) के मान (जिनकों प्रविष्टियां (entries) कहते हैं) दिए हुए हों।
(1.)न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula):

P_{0}(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h}(x-a)+\frac{\Delta^{2} f(a)}{2 ! h^{2}}(x-a)(x-a-h)+\frac{\Delta^{3} f(a)}{3 ! h^{3}}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h)+\ldots \cdots + \frac{\Delta^{n} f(a)}{n ! h^{n}}(x-a)(x-a-h) \cdots(x-a-\overline{n-1}h)
(2.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्र अन्तर्वेशन का अन्य सूत्र (Newton-Gregory Forward Difference Interpolation Formula Other Formula):
f(a+hu)=P_{0}(a+h u)=f(a)+u^{(1)} \Delta f(a)+\frac{1}{2!} u^{(2)} \Delta^{2}f(a)+\frac{1}{3 !} u^{(3)} \Delta^{3} f(a)+ \cdots+\frac{1}{n !} u^{(n)} \Delta^{n} f(a) \cdots(1) जहाँ u^{(n)}=u(u-1)(u-2) \cdots(u-n+1)
(3.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्रगामी अन्तर्वेशन सूत्र (Newton-Gregory Advancing Difference Formula):
(1) में h=1,a=0 तथा x (=u) के मान 0,1,2,3,…….,n होंगे और तब

P_{n}(x)=f(0)+{^x}C_{1} \cdot \Delta f(0)+{^x}C_{2} \cdot \Delta^{2} f(0)+\cdots+{^x}C_{n} \Delta^{n} f(0)
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2.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन के उदाहरण (Newton Forward Interpolation Examples):

Example:1.दिया हुआ है (Given ) u_{0}=580, u_{1}=556, u_{2}=520 तथा u_{4}=385,u_{3} का मान ज्ञात कीजिए (Find )।
Solution:यहाँ हमें का मान ज्ञात करना है।
a=0,h=1 तथा a+hu=3
0+u=3
u=3
दिए हुए अग्रान्तर आंकड़ों की अग्रान्तर सारणी होगी:

xu_{x} \Delta u_{x} \Delta^{2} u_{x} \Delta^{3} u_{x}
0580   
  -24  
1556 -12 
  -36 -87
2520 -99 
  -135  
4385   

अब न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र के अनुसार:

u_{x}=u_{0}+u\left(\Delta u_{0}\right)+\frac{u^{(2)}}{2 !}\left(\Delta^{2} u_{0}\right)+\frac{u^{(3)}}{3 !}\left(\Delta^{3} u_{0}\right)+ \cdots \\ u_{3}=580+3(-24)+(3)(2) \frac{(12)}{2 !}+\frac{(3)(2)(1)(-8 7)}{3 !} \\ =580-72+36-87 \\ u_{3}=457
Example:2.निम्न सारणी फलन y=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{\frac{-t^{2}}{2}} d t
के मान x=0.30,0.32,0.34,…….,0.40 के लिए देती है।x=0.316 के लिए y को ज्ञात कीजिए:
(The following table gives the values of the function

y=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{\frac{-t^{2}}{2}} d t
for x=0.30,0.32,0.34,……….,0.40, Evaluate y for x=0.316)।

x0.300.320.340.360.380.40
y0.61791440.62551580.63307170.64057640.64802730.6544217

Solution:दिए हुए आंकडों की निम्न अन्तर सारणी प्राप्त होती है:

xy\Delta y\Delta ^{2} y\Delta ^{3} y\Delta ^{4} y\Delta ^{5} y
0.300.6179144     
  0.0076014    
0.320.6255158 -0.0000455   
  0.0075559 -0.00000570.0000031 
0.340.6330717 -0.0000512  -0.0010032
  0.0075047 -0.0000026-0.0010001 
0.36 0.6405764 -0.0000538   
  0.0074509 -0.0010027  
0.380.6480273 -0.0010565   
  0.0063944    
0.400.6544217     

a=0.30, \quad h=0.02, \quad x=a+h u \\ \Rightarrow 0.316=0.30+0.02(u) \\ \Rightarrow 0.316-0.30=0.02 u \\ \Rightarrow \frac{0.016}{0.02}=u \Rightarrow u=0.8
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)=y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)} y}{4 !}+\frac{u^{(5)}}{5!} \Delta^{5} y \\ {^y}_{0.316}=0.6179144+(0.8)(0.0076014)+\frac{(0.8)(-0.2)}{2!}(-0.0000455)+ \frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)}{3 !}(-0.0000057)+\frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)(-2.2)}{4 !}(0.0000031)+\frac{(0.8)(-0.2)(-1.2)(-2.2)(-3.2)}{5 !} (-0.0010032)\\ =0.6179144+0.00608112+0.00000364-0.000000182-0.000000054-0.0000113\\ {^y}_{0.316}=0.6239876

Example:3.दिया हुआ है (Given) \log 100=2, \log 101=2.0043, \log 103=2.0128, \log 104=2.0170 ,\log 102 का मान ज्ञात कीजिए (Find \log 102 )।
Solution:दिए हुए आंकड़ों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है:

xf(x)=log x\Delta f(x)\Delta^{2} f(x)\Delta^{3} f(x)
1002   
  0.0043  
1012.0043 0.0042 
  0.0085 -0.0085
1032.0128 -0.0043 
  0.0042  
1042.0170   

A=100,h=1 तथा a+h u=x \\ \Rightarrow 100+(1) u=102 \\ \Rightarrow u=2
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)=f(x)+u^{(1)} \Delta f(x)+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} f(x)+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} f(x)+\cdots \\ f(102)=2+2(0.0043)+\frac{2(1)}{1}(0.0042) \\ =2+0.0086+0.0042 \\ \log 102=2.0128
Example:4.व्यास d के निम्न मान वाले वृत्तों के क्षेत्रफल A सारणी में दिए गए हैं:
(The area A of a circle of diameter d is given for the following values):

d80859095100
A50265674636270887854

व्यास 82 और 91 वाले वृत्तों के क्षेत्रफल का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(Find the approximate values the area of circle of diameter 82 and 91 respectively):
Solution:दिए हुए आंकडों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है

dA\Delta A\Delta ^{2} A\Delta ^{3} A\Delta ^{4} A
805026    
  648   
855674 40  
  688 -2 
906362 38 4
  726 2 
957088 40  
  766   
1007854    

a=80,h=5 तथा a+h u=d \\ \Rightarrow 80+5(u)=82 \\ \Rightarrow 5 u=2 \Rightarrow u=0.4
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

A_{d} =A_{0}+u^{(1)} \Delta A+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} A+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} A+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} A+\cdots \\ A_{82} =5026+(0.4)(648)+\frac{(0.4)(-0.6)}{2} 40+\frac{(-0.4)(-0.6)(-1.6)}{3 !}(-2)+\frac{(0.4)(-0.6)(-1.6)(-2.6)}{4 !}(4) \\ = 5026+259.2-4.8-0.128-0.26624 \\= 5280.005 \\ A_{82}= 5280
a=80,h=5  तथा a+h u=91 \\ \Rightarrow 80+5(u)=91 \\ \Rightarrow u=\frac{11}{5}=2.2 \\ A_{91}=5026+(2.2)(648)+\frac{(2.2)(1.2)}{2}(40)+\frac{(2.2)(1.2)(0.2)}{3 !}(-2) +\frac{(2.2)(1.2)(0.2)(-0.8)}{4 !}(4)\\ =5026+1425.6+52.8-0.176-0.0704 \\ =6504.1536=6504(Appox.)
Example:5.न्यूटन के अन्तर्वेशन को प्रयोग में लेते हुए वर्ष 1905 के लिए जनसंख्या का आकलन कीजिए:
(Using Newton’s formula for interpolation, estimate the population for year 1905):

वर्ष18911901191119211931
जनसंख्या98752132285168076195620246050

Solution:दिए हुए आंकड़ों से अग्रान्तर सारणी निम्न प्राप्त होती है:

x(year)y(Population)\Delta y\Delta^{2} y\Delta^{3} y\Delta^{4} y
189198752    
  33533   
1901132285 2258  
  35791 -10505 
1911168076 -8247 41638
  27544 31133 
1921195620 22886  
  50430   
1931246050    

a=1891,h=10 तथा a+h u=x \\ \Rightarrow 1891+10(u)=1905 \\ \Rightarrow 10 u=14 \Rightarrow u=1.4
न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation) सूत्र:

f(a+h u)= y_{0}+u^{(1)} \Delta y+\frac{u^{(2)}}{2 !} \Delta^{2} y+\frac{u^{(3)}}{3 !} \Delta^{3} y+\frac{u^{(4)}}{4 !} \Delta^{4} y+\cdots \\ = 98752+1.4 (33533)+\frac{(1.4)(0.4)}{2 !} (2258)+\frac{(1.4)(0.4)(-0.6)}{3!}(-10505)+\frac{(1.4)(0.4)(-0.6)(-1.6)}{4 !}(41638) \\=98752+46946.2+632.24+ 588.28+932.692 \\ =147851.4112 \\ =147851
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) को समझ सकते हैं।

3.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन की समस्याएं (Newton Forward Interpolation Problems):

(1.)न्यूटन-ग्रेगोरी अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग निम्न सारणी से y(3.62) की गणना कीजिए:
(Use Newton-Gregory forward difference interpolation formula to compute y(3.62) from the following table):

x3.603.653.703.75
y35.59838.47540.44742.521

(2.)न्यूटन के अन्तर्वेशन सूत्र के प्रयोग से निम्न सारणी से 25 वर्ष की आयु पर शुद्ध अधिशुल्क ज्ञात कीजिए:
(Use Newton formula for interpolation to find the net premium at the age 25 form the table given below):

आयु20242832
वार्षिक शुद्ध अधिशुल्क0.014270.015810.017720.01996

(3.)दिया हुआ है (Given)

\sin 45^{\circ}=0.7071, \sin 50^{\circ}=0.7660, \sin 55^{\circ}=0.8192 ,\sin 60^{\circ}=0.8660^{\circ}
अन्तर्वेशन विधि का प्रयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Answers):(1){^y}_{3.62}=37.338 \\ (2.)f(25)=0.0162543 \\ (3)\sin 52^{\circ}=0.788
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.मुख्य बातें (Highlights):

(1.) अंतर्वेशन के द्वारा ज्ञात सामग्री के आधार पर मांग और उत्पादन में होने वाले भावी परिवर्तनों का सही अनुमान लगाकर व्यापार व उद्योग में सफलता प्राप्त की जा सकती है।
(2.)भावी प्रवृत्तियों के आधार पर सरकार की कर नीति,मूल्य नीति,औद्योगिक नीति आदि का निर्धारण में अंतर्वेशन का उपयोग कर सकती है।
(3.)अंतर्वेशन के अनुमान आंकड़ों के प्रचण्ड वृद्धि या अत्यधिक कमी में सही नहीं उतरते हैं।
(4.)दी हुई अवधि में डेटा के लगभग नियमित परिवर्तन अर्थात् वृद्धि या कमी की दर समान रहने पर अंतर्वेशन के अनुमान सही प्राप्त होते हैं।
(5.)दिए हुए आंकड़ों से होने वाले उतार-चढ़ाव के संबंध में जितनी अधिक जानकारी होगी अंतर्वेशन मूल्यों में उतनी अधिक वास्तविकता व विश्वसनीयता का अंश होगा।
(6.)यदि अंतर्वेशन ज्ञात करने वाले को उपलब्ध आंकड़ों पर प्रभाव डालने वाली महत्वपूर्ण घटनाओं का ज्ञान है तो वह सभी तथ्यों को ध्यान में रखते हुए अंतर्वेशन में आवश्यक संशोधन करके उन्हें शुद्ध बना सकता है।

5.न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.न्यूटन का अग्रान्तर सूत्र क्या है? (What is the Newton’s forward difference formula?):

उत्तर:न्यूटन का ग्रेगरी फॉरवर्ड इंटरपोलेशन फॉर्मूला (NEWTON’S GREGORY FORWARD INTERPOLATION FORMULA):
h को अंतर का अंतराल कहा जाता है और u =\frac{(x - a)}{h},यहाँ a पहला पद है।
न्यूटन का अग्रान्तर सूत्र निम्न है:
P_{0}(x)=f(x)=f(a)+\frac{\Delta f(a)}{h}(x-a)+\frac{\Delta^{2} f(a)}{2 ! h^{2}}(x-a)(x-a-h)+\frac{\Delta^{3} f(a)}{3 ! h^{3}}(x-a)(x-a-h)(x-a-2 h)+\ldots \cdots + \frac{\Delta^{n} f(a)}{n ! h^{n}}(x-a)(x-a-h) \cdots(x-a-\overline{n-1}h)

प्रश्न:2.न्यूटन ग्रेगरी अन्तर्वेशन क्या है? (What is Newton Gregory interpolation?):

उत्तर:ग्रेगरी न्यूटन एक फॉरवर्ड डिफरेंस फॉर्मूला है जिसे परिमित अंतर पहचान (finite difference identity) की गणना के लिए लागू किया जाता है।पहले मान f_{0} और आगे के अंतर Δ की घात के संबंध में,ग्रेगरी न्यूटन का आगे का सूत्र सारणीबद्ध बिंदुओं के बीच एक अंतर्वेशित (interpolated) मान देता है।अंतर्वेशित (interpolated) मान {f_{p}} द्वारा व्यक्त किया जाता है।

प्रश्न:3.न्यूटन फॉरवर्ड और बैकवर्ड इंटरपोलेशन में क्या अंतर है? (What is the difference between Newton forward and backward interpolation?):

उत्तर:तो विभाजित अंतरों (divided differences) की तुलना में अग्रान्तर अन्तर्वेशन (forward interpolation) बहुत सरल है।न्यूटन की फॉरवर्ड इंटरपोलेशन तकनीक का उपयोग तब किया जाता है जब x-डेटा बिंदु शुरुआत के करीब हो।न्यूटन की बैकवर्ड डिफरेंस तकनीक का उपयोग तब किया जाता है जब x – डेटा बिंदु समाप्ति के निकट हो।
अग्र अन्तर्वेशन श्रेणी के बीच रिक्तियों को पूरा करने में उपयोगी है जबकि पश्च अन्तर्वेशन भावी पूर्वानुमान में सहायक होता है।
वस्तुतः अग्र और पश्च अन्तर्वेशन का अन्तर कोई महत्त्व नहीं रखता है क्योंकि पूर्वानुमान (क्रियाओं) के लिए एक सी विधियों का ही प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:4.न्यूटन फॉरवर्ड इंटरपोलेशन फॉर्मूला का उपयोग कब किया जाता है? (When Newton forward interpolation formula is used?):

उत्तर:यह सूत्र न्यूटन के विभाजित अंतर सूत्र (Newton’s Divided difference formula) द्वारा अंतरालों को h के रूप में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।ऐसा इसलिए किया जाता है क्योंकि हम मानते हैं कि अंतराल स्थिर (constant) हैं,यानी समान दूरी पर हैं।
ग्रेगरी-न्यूटन फॉरवर्ड डिफरेंस फॉर्मूला (Gregory–Newton forward difference formula) एक ऐसा फॉर्मूला है जिसमें परिमित अंतर शामिल होते हैं जो f(x), जहां x=x(0+θh), और 0 < θ <1 के लिए एक सन्निकटन देता है।सन्निकटन f(x) ≈ f(0+θΔ),f(0) रैखिक अन्तर्वेशन (linear interpolation) का परिणाम देता है।

प्रश्न:5.अन्तर्वेशन का उदाहरण क्या है? (What is an example of interpolation?):

उत्तर:इंटरपोलेशन अज्ञात मूल्यों का अनुमान लगाने की प्रक्रिया है जो ज्ञात मूल्यों के बीच आते हैं।इस उदाहरण में, एक सीधी रेखा ज्ञात मान के दो बिंदुओं से होकर गुजरती है।मध्य बिंदु का प्रक्षेपित मान 9.5 हो सकता है।

प्रश्न:6.इंटरपोलेशन क्यों किया जाता है? (Why interpolation is done?):

उत्तर:इंटरपोलेशन अन्य अज्ञात बिंदुओं पर मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए ज्ञात मूल्यों या नमूना बिंदुओं वाले बिंदुओं का उपयोग करने की प्रक्रिया है।इसका उपयोग किसी भी भौगोलिक बिंदु डेटा (geographic point data) के लिए अज्ञात मानों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है,जैसे कि ऊंचाई (elevation),वर्षा (rainfall),रासायनिक सांद्रता (chemical concentrations),शोर का स्तर (noise levels) और इसी तरह।

प्रश्न:7.न्यूटन की अन्तर्वेशन विधि क्या है? (What is Newton’s interpolation method?):

उत्तर:जैसा कि पहले कहा गया है,इंटरपोलेशन किसी दिए गए फ़ंक्शन को अनुमानित करने (approximating) की प्रक्रिया है,जिसका मान सारणीबद्ध बिंदुओं पर,उपयुक्त बहुपद (suitable polynomial) द्वारा,डिग्री के मानों को लेता है।ध्यान दें कि यदि दिए गए डेटा में त्रुटियां हैं,तो यह प्राप्त बहुपद (polynomial) में भी परिलक्षित (reflected) होगा।

प्रश्न:8.इंटरपोलेशन कितने प्रकार के होते हैं? (What are the types of interpolation?):

उत्तर:कई औपचारिक प्रकार के इंटरपोलेशन हैं,जिनमें रैखिक इंटरपोलेशन (linear interpolation),बहुपद इंटरपोलेशन (polynomial interpolation) और टुकड़े-टुकड़े अचर इंटरपोलेशन (piecewise constant interpolation) शामिल हैं।

प्रश्न:9.प्रक्षेप अधिक सटीक क्यों है? (Why is interpolation more accurate?):

उत्तर:दो विधियों में से,अन्तर्वेशन को प्राथमिकता दी जाती है।ऐसा इसलिए है क्योंकि हमारे पास एक वैध अनुमान (valid estimate) प्राप्त करने की अधिक संभावना है।जब हम एक्सट्रपोलेशन का उपयोग करते हैं,तो हम यह धारणा (assumption) बना रहे हैं कि हमारे मॉडल को बनाने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली सीमा के बाहर x के मूल्यों (values of x outside the range) के लिए हमारी देखी गई प्रवृत्ति (trend) जारी है।

प्रश्न:10.आप अन्तर्वेशन सूत्र का उपयोग कैसे करते हैं? (How do you use interpolation formula?):

उत्तर:रैखिक अन्तर्वेशन प्रक्रिया के सूत्र को जानें।सूत्र y = y_{1} + \frac{(x - x_{1})} {(x_{2} - x_{1})}* (y_{2} - y_{1}) है,जहां x ज्ञात मान है,y अज्ञात मान है, x_{1} और y_{1} निर्देशांक हैं जो नीचे दिए गए हैं  ज्ञात x मान, और x_{2} और y_{2} निर्देशांक हैं जो x मान से ऊपर हैं।

प्रश्न:11.सबसे अच्छा प्रक्षेप विधि क्या है? (What is the best interpolation method?):

उत्तर:रेडियल बेसिस फंक्शन इंटरपोलेशन (Radial Basis Function interpolation) डेटा इंटरपोलेशन विधियों का एक विविध समूह है।आपके डेटा को फिट करने और एक चिकनी सतह का प्रस्तुत करने (produce a smooth surface) की क्षमता के संदर्भ में, कई लोगों द्वारा मल्टीक्वाड्रिक पद्धति (Multiquadric method) को सबसे अच्छा माना जाता है।रेडियल बेसिस फ़ंक्शन के सभी तरीके सटीक इंटरपोलेटर हैं, इसलिए वे आपके डेटा का सम्मान करने का प्रयास करते हैं।

प्रश्न:12.कौन सा अन्तर्वेशन अधिक महंगा है? (Which interpolation is more expensive?):

उत्तर:व्याख्या: रैखिक अन्तर्वेशन (linear interpolation) की तुलना में बहुपद अन्तर्वेशन (Polynomial interpolation) अधिक महंगा है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा न्यूटन अग्रांतर अन्तर्वेशन (Newton Forward Interpolation),न्यूटन का अग्रान्तर अन्तर्वेशन.सूत्र (Newton’s Forward Difference Interpolation Formula) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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