1.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals)-

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) को समझने के लिए विभाजित अन्तर को समझना आवश्यक है।
विभाजित अन्तर (Divided Difference):-
परिभाषा (Definition): विभाजित अन्तर,प्रविष्ठ के दो उत्तरोत्तर मानों के अन्तर को उनके संगत स्वतन्त्र चर के मानों के अन्तर को उनके संगत स्वतन्त्र चर के मानों के अन्तर से विभाजन द्वारा प्राप्त मान से परिभाषित किया जाता है।
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2.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals)-

प्रकथन (Statement):यदि प्रक्षेपण x_{0},x_{1},x_{2}, \cdots x_{n} के संगत फलन f(x) के f\left(x_{0}\right), f_{1}\left(x_{1}\right), f\left(x_{2}\right), \ldots, f \left (x_{n}\right)  मान हो तब न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)= f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right) +\cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots-\left(x-x_{n-1}\right)f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}..... x_{n}\right)
उपपत्ति (Proof): विभाजित अन्तर की परिभाषा से

f(x, x_{0})=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\\\Rightarrow f(x)=f\left(x_{0}\right) +\left(x-x_{0}\right) f\left(x, x_{0}\right) \cdots(1)
पुनः f\left(x, x_{0}, x_{1}\right)=\frac{f\left(x, x_{0}\right)-f\left(x_{0}, x_{1}\right)}{x-x_{1}} \\ \Rightarrow f\left(x, x_{0}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{1}\right) f\left(x, x_{0}, x_{1}\right).....(2)
इसी प्रकार f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\left(x-x_{2}\right) f\left(x,x_{0}, x_{1}, x_{2}\right).....(3) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\f\left(x, x_{0}, x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)=f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2},\cdots, x_{n}\right)+\left(x-x_{n}\right)+f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2},\cdots x_{n}\right) ......(4)
समीकरण (1) में (2),(3),(4) की सहायता से हमें प्राप्त होता है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0}, x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}\right)+\cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1},...x_{n} \right) +R_{n}.....(5)
जहां R_{n}=\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)
यदि फलन f(x) को n कोटि के बहुपद के सन्निकट माना जाए तो

f\left(x, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0
अतः (5) से न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left( x_{0},x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1} \right) f\left(x_{0},x_{1},x_{2}\right) + \cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right).....(6)

इस सूत्र को निम्न प्रकार भी लिखा जा सकता है:

f(x) =P_{n}(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) \Delta f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \times \dot{\Delta}^{2} f\left(x_{0}\right) \\ +\cdots \cdot+\left(x-x_{0}\right)\left(x x_{1}\right)\cdots\left(x-x_{n-1}\right) \Delta^{n} f\left(x_{0}\right)\cdots(7)
उपप्रमेय (Corollary):माना कि चर के मान समान दूरी पर हैं
अर्थात् x_{1}-x_{0}=x_{2}-x_{1}=\cdots=x_{n}-x_{n-1}=h
तथा माना कि x=x_{0}+nh तो सूत्र (7) में प्रयुक्त विभाजित अन्तरों को अग्रान्तरों के सूत्रों की सहायता से परिवर्तित करने पर-

f(x+x)=P_{n} \left(x_{0}+nh\right)=f\left(x_{0}\right)+\frac{n h}{1 ! h} \Delta f\left(x_{0}\right)+\frac{n h(nh-h)}{2 ! h^{2}} \Delta^{2} f(x) +\cdots+\frac{n h(n h-h)(n h-2 h)-\cdots(nh-\overline {n-1}h)}{n ! h^{n}} \Delta^{n} f\left(x_{0}\right)
या f\left(x_{0}+n h\right)=f\left(x_{0}\right)+^{n}C_{1} \Delta f\left(x_{0}\right)+^{n}C_{2} \Delta^{2} f\left(x_{0}\right) +\cdots+^{n}C_{n} \Delta^{n} f\left(x_{0}\right) \ldots(8)
जो कि न्यूटन ग्रेगोरी अग्रान्तर सूत्र है।

3.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र के उदाहरण (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals Examples)-

Example-1.निम्न सारणी में भाप के दबाव P तथा तापक्रम T के सम्बन्ध दिये गए हैं।372° तापक्रम पर दबाव ज्ञात कीजिए।
(The following table gives some relation between steam pressure and temperature.Find the pressure at temperature 372°.)

Solution-चर के मानों 361°,367°,378°,387°,399° के लिए असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) होगा-

P(T)=P(361°)+(T-361°) \begin{matrix} \Delta \\ 367^{\circ} \end{matrix}  P(361°)+(T-361°)(T-367°) \begin{matrix} \Delta^{2} \\ 367^{\circ},378^{\circ} \end{matrix} P(361°)+(T-361°)(T-367°)(T-378°) \begin{matrix} \Delta^{3} \\ 367^{\circ},378^{\circ},387^{\circ} \end{matrix} P(361°)+(T-361°)(T-367°)(T-378°)(T-387°) \begin{matrix} \Delta^{4} \\ 367^{\circ},378^{\circ},387^{\circ},399^{\circ} \end{matrix} P(361°)....(1)

दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

T	P	\Delta P(T)	\Delta ^{2} P(T)	\Delta ^{3} P(T)	\Delta ^{4} P(T)
361°	154.9
		2.02
367°	167.0		0.01
		2.18		0
378°	191.0		0.01		0
		2.39		0
387°	212.5		0.01
		2.64
399°	244.2

उपर्युक्त सारणी से सूत्र (1) में मान रखने पर-

P(T)=154.9°+(T-361°) 2.02+(T-361°)(T-367°) 0.01+(T-361°)(T-367°)(T-378°) (0)+(T-361°)(T-367°)(T-378°)(T-387°) (0) \\ \Rightarrow  P(T)=154.9°+(T-361°) 2.02+(T-361°)(T-367°) 0.01 \\ \Rightarrow \text { put } T=372° \\ \Rightarrow  P(372° )=154.9°+(372°-361°) 2.02+(372°-361°)(372°-367°) 0.01 \\ \Rightarrow P(372°)=154.9°+22.22°+1.21° \\ P(372°)=178.333°
Example-2.निम्न सारणी से न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र का प्रयोग कर f(301) का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Newton’s general interpolation formula for divided differences to find f(301) from the following table:)

Solution-चर के मानों 300,304,305,307 के लिए असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) होगा-

f(x)=f(300)+(x-300) \begin{matrix} \Delta \\ 304 \end{matrix}  f(300)+(x-300) (x-304) \begin{matrix} \Delta^{2} \\ 304,305 \end{matrix}  f(300)+(x-300)(x-304)(x-305) \begin{matrix} \Delta^{3} \\ 304,305,307 \end{matrix}  f(300).....(1)

दिए हुए आंकड़ों के लिए विभाजित अन्तर सारणी निम्न है:

x	f(x)	\Delta f(x)	\Delta^{2} f(x)	\Delta^{3} f(x)
300	2.4771
		0.0015
304	2.4829		0
		0.0014		0
305	2.4843		0
		0.0014
307	2.4871

उपर्युक्त सारणी से सूत्र (1) में मान रखने पर-

\Rightarrow f(x)=2.4771+(x-300) (0.0015)+(x-300) (x-304) (0)+(x-300)(x-304)(x-305)(0) \\ \Rightarrow f(x)=2.4771+(x-300) (0.0015) \\ \text { put } x=301 \\ \Rightarrow f(301)=2.4771+(301-300) (0.0015) \\=2.4771+(1) (0.0015) \\ =2.4771+0.0015 \\ \Rightarrow f(301)=2.4786
Example-3.एक बहुपद ज्ञात कीजिए जो निम्न से सन्तुष्ट सोता है:
(Find the polynomial satisfied by):
(-4,1245);(-1,33);(0,5);(2,9);(5,1335)
Solution-दिए हुए आंकड़ों से निम्न विभाजित अन्तर सारणी प्राप्त होती है।

x	f(x)	\Delta f(x)	\Delta^{2} f(x)	\Delta^{3} f(x)	\Delta^{4} f(x)
-4	1245
		-404
-1	33		94
		-28		-14
0	5		10		3
		2		13
2	9		88
		442
5	1335

अब असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) में सारणी से वांछित मान प्रतिस्थापित करने पर-

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0} ,x_{1}\right) +\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0} ,x_{1},x_{2}\right) + \cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \\ =1245+\{x-(-4)\}(-404)+\{x-(-4\}\{x-(-1)\}(54)+\{x-(-4)\}\{x-(-4)\}(x-0)(-14)+\{x-(-4)\}\{0 x-(-1)\}(x-0)(x-2)(3) \\ =1245+(x+4)(-404)+(x+4)(x+1)(94)+(2+4)(x+1) x(-14)+(x+4)(x+1) x(x-2)(3) \\ =1245-404 x-1616+\left(x^{2}+5 x+4\right)(94)+\left(x^{3}+5 x^{2}+4 x\right)(-14)+\left(x^{4}+3 x^{3}-6 x^{2}-8 x\right)(3) \\ =1245-404 x-1616+94 x^{2}+470 x+376-14 x^{3}-70 x^{2}-56 x \\ f(x)=3 x^{4}-5 x^{3}+6 x^{3}-14 x+5

Example-4.निम्न सारणी के प्रयोग से (x-3) की घात वाला बहुपद f(x) ज्ञात कीजिए।
(Using the following table find f(x) as a polynomial in power of (x-3).):

Solution– दिए हुए आंकड़ों से निम्न विभाजित अन्तर सारणी प्राप्त होती है।

x	f(x)	\Delta f(x)	\Delta ^{2} f(x)	\Delta ^{3} f(x)	\Delta ^{4} f(x)
5	23
		146
11	899		40
		1026		1
27	17315		69		0
		2613		1
34	35606		100
		4113
42	68510

असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) में चर के मानों 5,11,27,34 तथा 42 प्रतिस्थापित करने पर-

f(x)=f(5)+(x-5) \begin{matrix} \Delta \\ 11 \end{matrix} f(5)+(x-5)(x-11)  \begin{matrix} \Delta^{2} \\ 11,27 \end{matrix} f(5)+(x-5)(x-11)(x-27) \begin{matrix} \Delta^{3} \\ 11,27,34 \end{matrix} f(5)+(x-5)(x-11)(x-27)(x-34) \begin{matrix} \Delta^{4} \\ 11,27,34,42 \end{matrix} f(5) \\ =23+(x-5)(146)+(x-5)(x-11)(40)+(x-5)(x-11)(x-27)(x)+(x-5)(x-1)(x-27)(x-34)(0) \\ =23+146 x-730+\left(x^{2}-16 x+55\right)(40)+x^{3}-43 x^{2}+487 x-1485+0 \\ =23+146 x-730+40 x^{2}-640 x+2200+x^{3}-43 x^{2}+487 x-1485\\ f(x)=x^{3}-3 x^{2}-7 x+8
अब f(x) का मान (x-3) की घातों में प्राप्त करने के लिए इसे संश्लिष्ट भाग (Synthetic Division) करने पर-

अतः अभीष्ट फलन f(x)=(x-3)^{3}+6(x-3)^{2}+2(x-3)-13
Example-5.निम्न आंकड़ों से पांचवी कोटि का बहुपद ज्ञात कीजिए:
(Find polynomial of fifth degree from the following data:)

u _{0}=-18,u _{1}=0,u _{3}=0,u _{5}=-248,u _{6}=0,u _{9}=13104
Solution-दिए हुए आंकड़ों से निम्न विभाजित अन्तर सारणी प्राप्त होती है।

x	f(x)	\Delta f(x)	\Delta ^{2} f(x)	\Delta ^{3} f(x)	\Delta ^{4} f(x)	\Delta ^{5} f(x)
0	-18
		18
1	0		-6
		0		-5
3	0		-31		6
		-124		31		1
5	-248		124		15
		248		151
6	0		1030
		4368
9	13104

अब असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) में सारणी से मान रखने पर-

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left(x_{0} ,x_{1} \right)+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1}\right) f\left(x_{0},x_{1} ,x_{2}\right) + \cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \\ =-18+(x-0)(18)+(x-0)(x-1)(-6)+(x-0)(x-1)(x-3)(-5)+(x-0)(x-1)(x-3)(x-5) 6+(x-0)(x-1)(x-3)(x+5)(x-6) \\ =-18+18 x-6 x^{2}+6 x-5 x(x-1)(x-3)+6x(x-1)(x-3)(x-5)+x(x-1)(x-3)(x-5)(x-6) \\ =-6\left(x^{2}-4 x+3\right)+(x-3)[-5 x(x-1)+6 x(x-1)(x-5)+x(x-1)(x-5)(x-6)]\\ =-6\left[x^{2}-3 x-x+3\right]+(x-3) [-5 x^{2}+5 x+6 x^{2}-36 x^{2}+30 x+x^{4}-12x^{3}+41x^{2}-30x] \\ =-6[x(x-3)-1(x-3)]+(x-3)\left[x^{4}-6 x^{3}+5 x\right] \\ =-6(x-3)(x-1)+(x-3)\left(x^{4}-6 x^{3}+5 x\right) \\ =-6(x-3)(x-1)+(x-3)\left[x^{4}-8 x^{3}-5 x^{3}+5 x^{2}-5 x^{2}+5 x\right] \\ =(x-3)[-6 (x-1)+\left[x^{3}(x-1)-5 x^{2}(x-1)-5 x(x-1)\right] \\ =(x-3)\left[-6(x-1)+(x-1)\left(x^{3}-5 x^{2}-5 x\right)\right] \\ =(x-3)(x-1) \left(-6+x^{3}-5 x^{2}-5 x\right) \\ =(x-3)(x-1)\left[x^{3}-6 x^{2}+x^{2}-6 x+x-6\right] \\ =(x-3)(x-1)\left[x^{2}(x-6)+x(x-6)+1(x-6)\right] \\ \Rightarrow f(x) =(x-1)(x-3)(x-6)\left(x^{2}+x+1\right)
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) को समझ सकते हैं

4.असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र की समस्याएं (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals Problems)-

(1.) निम्न सारणी से न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र द्वारा f(2),f(8) तथा f(15) का मान ज्ञात कीजिए।
(By means of Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals,Find the values of f(2),f(8) and f(15) from the following table.):

(2.) दिया हुआ है (Given) 

\log_{10} 654=2.8156,\log _{10} 658=2.8182,\log _{10}659=2.8189, \log_{10} 661=2.8202

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र का प्रयोग कर \log _{10} 656 का मान ज्ञात कीजिए:
(Use Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals to find the value of \log _{10} 656 ):
(3.) न्यूनतम घात वाला बहुपद ज्ञात कीजिए जो मान 3,12,15,-21 ग्रहण करता है जबकि x के मान क्रमशः 3,2,1,-1 है।
(Find the polynomial of the lowest possible degree which assumes the values 3,12,15,-21;When x has values 3,2,1,-1 respectively.)
(4.) निम्न सारणी से (x-6) घात वाला बहुपद ज्ञात कीजिए:
(Find polynomial in powers of (x-6) घात वाला बहुपद ज्ञात कीजिए:
(Find polynomial in powers of (x-6) from the following table):

उत्तर (Answers):(1.)f(2)=4,f(8)=448,f(15)=3150 

(2)\log _{10} 656=2.816812

(3) f(x)=x^3-9x^2+17x+16

(4) f(x)=73+54(x-6)+13(x-6)^2+(x-6)^3
उपर्युक्त सवालों को हल करके असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) को ठीक समझ सकते हैं।

5.असमान अंतराल के लिए किस पद्धति का उपयोग किया जाता है? (Which method is used for unequal intervals?)-

(1.)गांधीनगर इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी न्यूमेरिकल एंड स्टैटिस्टिकल मेथड फॉर इंफॉर्मेशन टेक्नोलॉजी (2140706) एक्टिव लर्निंग असाइनमेंट “विषय: असमान अंतराल के लिए अन्तर्वेशन और अंतराल व्यवस्था”
(2.)असमान अंतराल के साथ अन्तर्वेशन।यदि x के मान असमान रूप से हैं, तो समान रूप से स्थान बिंदुओं के लिए अन्तर्वेशन सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है।  इसलिए, x के असमान रूप से अंतर वाले मूल्यों के लिए अन्तर्वेशन सूत्र तैयार करना वांछनीय है।x के असमान रूप से अंतरित मूल्यों के लिए दो ऐसे सूत्र हैं।लग्रांज का अन्तर्वेशन सूत्र तथा विभाजित अंतर के साथ न्यूटन का अन्तर्वेशन सूत्र।
(3.)लग्रांज •लग्रांज का सूत्र उन समस्याओं पर लागू होता है जहां स्वतंत्र चर समान और असमान अंतराल पर होता है, लेकिन अधिमानतः यह सूत्र उस स्थिति में लागू किया जाता है, जहां दी गई स्वतंत्र श्रृंखला के लिए असमान अंतराल होते हैं।

6.न्यूटन विभाजित अंतर सूत्र क्या है? (What is Newton divided difference formula?)-

न्यूटन के विभाजित अंतर अन्तर्वेशन फार्मूला एक प्रक्षेप तकनीक है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब अंतराल अंतर सभी मानों के अनुक्रम के लिए समान नहीं होता है।विभाजित अन्तर, चरों के मानों के संबंध में सममित होते हैं अर्थात चरों के क्रम से स्वतंत्र होते हैं।

न्यूटन विभाजित अन्तर सूत्र निम्न है:

f(x)=f\left(x_{0}\right)+\left(x-x_{0}\right) f\left( x_{0},x_{1}\right)+\left(x-x_{0}\right) \left(x-x_{1} \right) f\left(x_{0},x_{1},x_{2}\right) + \cdots+\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdot \cdots\left(x-x_{n-1}\right) f\left(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right).....(6)

7.असमान अंतराल के लिए अन्तर्वेशन बहुपद खोजने का सूत्र क्या है? (What is the formula to find the interpolating polynomial for unequal intervals?)-

जब स्वतंत्र चर का मान असमान रिक्ति के साथ होता है, तो पहले चर्चा किया गया फॉर्मूला अब लागू नहीं होता है।  इस स्थिति में एक और सूत्र जो विभाजित अंतर पर आधारित होता है, का उपयोग किया जाता है।
बहुपद ज्ञात करने के लिए विभाजित अन्तर सूत्र तथा असमान अंतराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर अन्तर्वेशन सूत्र का प्रयोग किया जाता है।

8.आप एक विभाजित अंतर तालिका कैसे बनाते हैं? (How do you create a divided difference table?)-

विभाजित अंतर तालिका का निर्माण
क्रम बहुपद पर्याप्त है।न्यूटन विभाजित अंतर तालिका से हम देखते हैं कि चौथा क्रम अंतर शून्य है।इसके अलावा तालिका में विभाजित अंतर सीधे न्यूटन विभाजित अंतर अन्तर्वेशन बहुपद के निर्माण के लिए उपयोग किया जा सकता है जो डेटा को फिट करेगा।
उपर्युक्त उदाहरणों, सवालों को हल करके तथा प्रश्नों के उत्तर द्वारा असमान अन्तराल के लिए न्यूटन का विभाजित अन्तर सूत्र (Newton Divided Difference Formula For Unequal Intervals) को ठीक से समझा जा सकता है।

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