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Linear Differential Equations

1.रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations):

  • इस आर्टिकल में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) के बारे  में बताया गया है.इसमेP और Q अचर
    या  फलन हैं इसलिए यह रैखिक अवकल  समीकरण है .अवकल गुणांक ज्ञात करके समीकण का पूर्ण
    हल ज्ञात किया जाता है. इसमें बाएं पक्ष को
    y से गुणा करके तथा Q को समाकलन गुणांक से गुना करके  दाएं पक्ष का समाकलन  करते है.समीकरण को सरल करके रैखिक अवकल समीकण का
    सम्पूर्ण हल ज्ञात करते है.
  • रैखिक अवकल समीकरण
    की थ्योरी को प्रश्न के हल द्वारा समझाया गया है.

     

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2.Linear Differential Equation

Definition:A differential equation of the form  \frac{dy}{dx}+Py=Q……(1)

Where P and Q are constants or functions
of x alone (and not of y) is called a linear differential equation of the first
order in y.
To solve such an equation multiplying
both sides of (1) by e^{ʃPdx}
we have \left[\frac{dy}{dx}+Py\right]e^{ʃPdx}
=Q e^{ʃPdx}          ……..(2)\\
Now \frac{d}{dx}\left[y e^{ʃPdx}\right]
=y\frac{d}{dx}\left[ e^{ʃPdx}\right]+e^{ʃPdx}\frac{dy}{dx}
=y. e^{ʃPdx}\frac{d}{dx}\left[ʃPdx\right]+ e^{ʃPdx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
=y. e^{ʃPdx}P+ e^{ʃPdx}\left(\frac{dy}{dx}\right)
\Rightarrow Or \frac{d}{dx}\left[y. e^{ʃPdx}\right]=\left[Py+\frac{dy}{dx}\right] e^{ʃPdx}
From (2) we get \frac{d}{dx}\left[y e^{ʃPdx}\right]=Q e^{ʃPdx}

Integrating both sides with respect to
x,we get
y .e^{ʃPdx}=C+ʃQ e^{ʃPdx}dx where C is constant

Example:
 
  • उपर्युक्त आर्टिकल में रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations) के बारे में बताया गया है.
 

रैखिक अवकल समीकरण

रैखिक अवकल समीकरण

रैखिक अवकल समीकरण

इस आर्टिकल में रैखिक अवकल समीकरण के बारे  में बताया गया है.
इसमेP और Q अचरया  फलन हैं इसलिए यह रैखिक अवकल  समीकरण है .
अवकल गुणांक ज्ञात करके समीकण का पूर्ण
हल ज्ञात किया जाता है.

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