1.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree):

DE of First Order But Not 1st Degree

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree) पर आधारित कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।इसमें ऐसे समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों,क्लैरो के समीकरण तथा क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरणों को हल करेंगे।
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2.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों के उदाहरण (DE of First Order But Not 1st Degree Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:14. x+\frac{p}{\sqrt{1+P^2}}=a
Solution: x+\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=a \cdots(1) \\ \Rightarrow x=a-\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=-\frac{\left(\sqrt{1+p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{p^2}{\sqrt{1+p^2}}\frac{d p}{d y}\right)}{\left(1+p^2\right)} \\ =-\frac{\left(1+p^2-p^2\right) }{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=-\frac{1}{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{d p}{dy} \left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow -\int \frac{p}{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}} dp=\int d y \\ \Rightarrow \text { put } 1+p^2=t \\ 2 p dp=d t \\  \Rightarrow-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t=y+c \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \times -\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}=y+c \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+p^2}}=y+c \\ \Rightarrow(y+c)^2=\frac{1}{1+p^2} \cdots(2)
(1) से:

a-x=\frac{p}{1+p^2} \\ \Rightarrow (a-x)^2=\frac{p^2}{1+p^2} \cdots(3)
(2) व (3) को जोड़ने पर:

(y+c)^2+(a-x)^2=\frac{1}{1+p^2}+\frac{p^2}{1+p^2} \\ \Rightarrow (y+c)^2+(a-x)^2=1
Example:15. x^2=a^2\left(1+p^2\right)
Solution: x^2=a^2\left(1+p^2\right) \cdots(1) \\ \Rightarrow x=a \sqrt{1+p^2}
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{a p}{\sqrt{1+p^2}} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{a p}{\sqrt{1+p^2}} \frac{d p}{d y}\left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow \int d y=\int \frac{a p^2}{\sqrt{1+p^2}} d p \\ \Rightarrow y=a \int \frac{1+p^2-1}{\sqrt{1+p^2}} d p+c \\ =a \int \frac{1+p^2}{\sqrt{1+p^2}} d p-a \int \frac{1}{\sqrt{1+p^2}} d p+c \\ =a \int \sqrt{1+p^2} d p-a \int \sqrt{1+p^2} d p+c \\ =a\left[\frac{p}{2} \sqrt{1+p^2}+\frac{1}{2} \log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)-\log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)\right]+c \\ =\frac{a}{2}\left[p \sqrt{1+p^2}-\log \left(p+\sqrt{1+p^2} \right)\right] \\ \Rightarrow y=\frac{a}{2}\left[p \sqrt{1+p^2}-\log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)\right]
दिए हुए समीकरण (1) के साथ
Example:16. p^3-p(y+3)+x=0
Solution: p^3-p(y+3)+x=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow x=p(y+3)-p^3
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=p+(y+3) \frac{d p}{d y}-3 p^2 \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-p=\left(y+3-3 p^2\right) \frac{d p}{d y}\left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d p}\left(\frac{1-p^2}{p}\right)=y+3-3 p^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{1-p 2}{p}\right) \frac{d y}{d p}-y=3\left(1-p^2\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d p}-\frac{p}{1-p^2}y=3 p \cdots(2)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तथा इसमें y आश्रित चर तथा p स्वतन्त्र चर है।

\therefore \text{I.F.}=e^{-\int \frac{p}{1-p^2} d p} \\ =e^{\frac{1}{2} \log \left(1-p^2\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\sqrt{1-p^2}
अतः (2) का अभीष्ट हल होगा:

y \sqrt{1-p^2}=\int \sqrt{1-p^2} \cdot 3p d p+c \\ =-\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}\left(1-p^2 \right)^{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow y \sqrt{1-p^2}+\left(1-p^2\right)^{\frac{3}{2}}=c
दिए हुए समीकरण (1) के साथ

DE of First Order But Not 1st Degree

Example:17. 4 y p^2+2 p x-y=0
Solution: 4 y p^2+2 p x-y=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow 2 p x=y-4 y p^2 \\ \Rightarrow x=\frac{y}{2 p}-2 y p
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-2 p-2 y \frac{d p}{d y} \left [ \because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p} \right ] \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-2 p-2 y \frac{dp}{dy} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-\frac{1}{2 p}+2 p+y \frac{d p}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2} +2\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}+2 p+y \frac{d p}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)+y\frac{dp}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y\frac{d p}{d y}+p\right)\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \cdots(2)
हम यहाँ पर गुणनखण्ड को छोड़ देते हैं,क्योंकि इससे विचित्र हल (Singular Solution) प्राप्त होता है।
अतः y \frac{d p}{d y}+p=0 \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}+\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log y+\log p=\log c \\ \Rightarrow \log y p =\log c \\ \Rightarrow y p=c \\ \Rightarrow p=\frac{c}{y}
अब (3) से p का मान समीकरण (1) में रखने पर:

4 y\left(\frac{c}{y}\right)^2+2\left(\frac{c}{y}\right) x-y=0 \\ \Rightarrow \frac{4 c^2}{y}+\frac{2 c x}{y}-y=0 \\ \Rightarrow y^2=4 c^2+2 c x
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:18. x=y+p^2
Solution: x=y+p^2 \cdots(1)
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d y}=1+2 p \frac{d p}{d y} \\ \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=1+2 p \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow 1-\frac{1}{p}+2 p \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{p-1}{p}+2 p \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \int d y=-\int\left(\frac{2 p^2}{p-1}\right) d p \\ \Rightarrow y=-\int\left(2 p+2+\frac{2}{p-1}\right) d p+c \\ \Rightarrow y=c-\left[p^2+2 p+2 \log (p-1)\right]
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:

x=c-[2 p+2 \log (p-1)]
Example:19. y=a+b p+c p^2
Solution: y=a+b p+c p^2
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=b \frac{d p}{d x}+2 c p \frac{d p}{d x} \\ \because \frac{d y}{d x}=p \\ \Rightarrow p=b \frac{d p}{d x}+2 c p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow d x=\left(\frac{b+2 c p}{p}\right) d p \\ \Rightarrow \int d x=\int \frac{b}{p} d p+2 c \int d p \\ \Rightarrow x=b \log p+2 c p+A
दिए हुए समीकरण के साथ
Example:20. (p y+n x)^2=\left(y^2+n x^2\right)\left(1+p^2\right)
Solution: (p y+n x)^2=\left(y^2+n x^2\right)\left(1+p^2\right) \\ \text{put } y=v x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow p=v+x \frac{d v}{d x} \left[\because \frac{d y}{d x}= p\right] \\ \Rightarrow\left[\left(v+x \frac{d v}{d x}\right) v x+n x\right]^2=\left(v^2 x^2+n x^2\right) \left[1+\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)^2\right] \\ \Rightarrow x^2\left[v^2+v x \frac{d v}{d x}+n\right]^2 =x^2\left(v^2+n\right)\left(1+v^2+2 v x \frac{d v}{d x}+x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2\right] \\ \Rightarrow \left(v^2+n\right)^2+2\left(v^2+n\right) v x \frac{d v}{d x}+v^2 x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 =v^2+n+v^2 \left(v^2+n\right)+2\left(v^2+n\right) v x \frac{dv}{dx}+v^2 x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2+n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^4+2 v^2 n+n^2=v^2+n+v^4+v^2 n+n x^2 \left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^2 n+n^2-v^2-n=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^2(n-1)+n(n-1)=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow\left(v^2+n\right)(n-1)=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{\sqrt{v^2+n}}= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}} \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{\sqrt{v^2+n}}= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}} \int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left[v+\sqrt{v^2+n}\right]= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}\log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left[\frac{y}{x}+ \sqrt{\frac{y^2}{x^2}+n}\right]=\log x^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\log c \\ \log \left[\frac{y+ \sqrt{y^2+n x^2}}{x}\right]=\log cx^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}} \\ \Rightarrow y+\sqrt{y^2+m x^2}=c x^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}}
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।

3.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों के सवाल (DE of First Order But Not 1st Degree Questions):

DE of First Order But Not 1st Degree

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) 4 y=x^2+p^2 (2.) p^3-4x yp+8 y^2=0
उत्तर (Answers): (1.) \log (p-x)=\frac{x}{p-x}+c
(2.) 64 y^2=\left(c-4 x\right)^2 c y
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Frequently Asked Questions Related to DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not
1st Degree) पर आधारित कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।