DE of First Order But Not 1st Degree
1.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree):
प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree) पर आधारित कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।इसमें ऐसे समीकरण जो x के लिए हल होने योग्य हों,क्लैरो के समीकरण तथा क्लैरो के रूप में परिवर्तन योग्य समीकरणों को हल करेंगे।
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2.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों के उदाहरण (DE of First Order But Not 1st Degree Examples):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:14. x+\frac{p}{\sqrt{1+P^2}}=a
Solution: x+\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=a \cdots(1) \\ \Rightarrow x=a-\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d x}{d y}=-\frac{\left(\sqrt{1+p^2} \frac{d p}{d y}-\frac{p^2}{\sqrt{1+p^2}}\frac{d p}{d y}\right)}{\left(1+p^2\right)} \\ =-\frac{\left(1+p^2-p^2\right) }{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=-\frac{1}{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}}\frac{d p}{dy} \left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow -\int \frac{p}{\left(1+p^2\right)^{\frac{3}{2}}} dp=\int d y \\ \Rightarrow \text { put } 1+p^2=t \\ 2 p dp=d t \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} d t=y+c \\ \Rightarrow-\frac{1}{2} \times -\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}=y+c \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+p^2}}=y+c \\ \Rightarrow(y+c)^2=\frac{1}{1+p^2} \cdots(2)
(1) से:
a-x=\frac{p}{1+p^2} \\ \Rightarrow (a-x)^2=\frac{p^2}{1+p^2} \cdots(3)
(2) व (3) को जोड़ने पर:
(y+c)^2+(a-x)^2=\frac{1}{1+p^2}+\frac{p^2}{1+p^2} \\ \Rightarrow (y+c)^2+(a-x)^2=1
Example:15. x^2=a^2\left(1+p^2\right)
Solution: x^2=a^2\left(1+p^2\right) \cdots(1) \\ \Rightarrow x=a \sqrt{1+p^2}
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{a p}{\sqrt{1+p^2}} \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{a p}{\sqrt{1+p^2}} \frac{d p}{d y}\left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow \int d y=\int \frac{a p^2}{\sqrt{1+p^2}} d p \\ \Rightarrow y=a \int \frac{1+p^2-1}{\sqrt{1+p^2}} d p+c \\ =a \int \frac{1+p^2}{\sqrt{1+p^2}} d p-a \int \frac{1}{\sqrt{1+p^2}} d p+c \\ =a \int \sqrt{1+p^2} d p-a \int \sqrt{1+p^2} d p+c \\ =a\left[\frac{p}{2} \sqrt{1+p^2}+\frac{1}{2} \log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)-\log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)\right]+c \\ =\frac{a}{2}\left[p \sqrt{1+p^2}-\log \left(p+\sqrt{1+p^2} \right)\right] \\ \Rightarrow y=\frac{a}{2}\left[p \sqrt{1+p^2}-\log \left(p+\sqrt{1+p^2}\right)\right]
दिए हुए समीकरण (1) के साथ
Example:16. p^3-p(y+3)+x=0
Solution: p^3-p(y+3)+x=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow x=p(y+3)-p^3
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d x}{d y}=p+(y+3) \frac{d p}{d y}-3 p^2 \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-p=\left(y+3-3 p^2\right) \frac{d p}{d y}\left[\because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p}\right] \\ \Rightarrow \frac{d y}{d p}\left(\frac{1-p^2}{p}\right)=y+3-3 p^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{1-p 2}{p}\right) \frac{d y}{d p}-y=3\left(1-p^2\right) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d p}-\frac{p}{1-p^2}y=3 p \cdots(2)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तथा इसमें y आश्रित चर तथा p स्वतन्त्र चर है।
\therefore \text{I.F.}=e^{-\int \frac{p}{1-p^2} d p} \\ =e^{\frac{1}{2} \log \left(1-p^2\right)} \\ \Rightarrow \text{I.F.}=\sqrt{1-p^2}
अतः (2) का अभीष्ट हल होगा:
y \sqrt{1-p^2}=\int \sqrt{1-p^2} \cdot 3p d p+c \\ =-\frac{3}{2} \times \frac{2}{3}\left(1-p^2 \right)^{\frac{3}{2}}+c \\ \Rightarrow y \sqrt{1-p^2}+\left(1-p^2\right)^{\frac{3}{2}}=c
दिए हुए समीकरण (1) के साथ
Example:17. 4 y p^2+2 p x-y=0
Solution: 4 y p^2+2 p x-y=0 \cdots(1) \\ \Rightarrow 2 p x=y-4 y p^2 \\ \Rightarrow x=\frac{y}{2 p}-2 y p
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-2 p-2 y \frac{d p}{d y} \left [ \because \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p} \right ] \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{2 p}-\frac{y}{2 p^2} \frac{d p}{d y}-2 p-2 y \frac{dp}{dy} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}-\frac{1}{2 p}+2 p+y \frac{d p}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2} +2\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2 p}+2 p+y \frac{d p}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)+y\frac{dp}{d y}\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \\ \Rightarrow \left(y\frac{d p}{d y}+p\right)\left(\frac{1}{2 p^2}+2\right)=0 \cdots(2)
हम यहाँ पर गुणनखण्ड को छोड़ देते हैं,क्योंकि इससे विचित्र हल (Singular Solution) प्राप्त होता है।
अतः y \frac{d p}{d y}+p=0 \\ \Rightarrow \int \frac{d y}{y}+\int \frac{d p}{p}=0 \\ \Rightarrow \log y+\log p=\log c \\ \Rightarrow \log y p =\log c \\ \Rightarrow y p=c \\ \Rightarrow p=\frac{c}{y}
अब (3) से p का मान समीकरण (1) में रखने पर:
4 y\left(\frac{c}{y}\right)^2+2\left(\frac{c}{y}\right) x-y=0 \\ \Rightarrow \frac{4 c^2}{y}+\frac{2 c x}{y}-y=0 \\ \Rightarrow y^2=4 c^2+2 c x
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
Example:18. x=y+p^2
Solution: x=y+p^2 \cdots(1)
इसका y के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d x}{d y}=1+2 p \frac{d p}{d y} \\ \frac{d x}{d y}=\frac{1}{p} \\ \Rightarrow \frac{1}{p}=1+2 p \frac{d p}{d y} \\ \Rightarrow 1-\frac{1}{p}+2 p \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \frac{p-1}{p}+2 p \frac{d p}{d y}=0 \\ \Rightarrow \int d y=-\int\left(\frac{2 p^2}{p-1}\right) d p \\ \Rightarrow y=-\int\left(2 p+2+\frac{2}{p-1}\right) d p+c \\ \Rightarrow y=c-\left[p^2+2 p+2 \log (p-1)\right]
y का मान समीकरण (1) में रखने पर:
x=c-[2 p+2 \log (p-1)]
Example:19. y=a+b p+c p^2
Solution: y=a+b p+c p^2
इसका x के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d y}{d x}=b \frac{d p}{d x}+2 c p \frac{d p}{d x} \\ \because \frac{d y}{d x}=p \\ \Rightarrow p=b \frac{d p}{d x}+2 c p \frac{d p}{d x} \\ \Rightarrow d x=\left(\frac{b+2 c p}{p}\right) d p \\ \Rightarrow \int d x=\int \frac{b}{p} d p+2 c \int d p \\ \Rightarrow x=b \log p+2 c p+A
दिए हुए समीकरण के साथ
Example:20. (p y+n x)^2=\left(y^2+n x^2\right)\left(1+p^2\right)
Solution: (p y+n x)^2=\left(y^2+n x^2\right)\left(1+p^2\right) \\ \text{put } y=v x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ \Rightarrow p=v+x \frac{d v}{d x} \left[\because \frac{d y}{d x}= p\right] \\ \Rightarrow\left[\left(v+x \frac{d v}{d x}\right) v x+n x\right]^2=\left(v^2 x^2+n x^2\right) \left[1+\left(v+x \frac{d v}{d x}\right)^2\right] \\ \Rightarrow x^2\left[v^2+v x \frac{d v}{d x}+n\right]^2 =x^2\left(v^2+n\right)\left(1+v^2+2 v x \frac{d v}{d x}+x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2\right] \\ \Rightarrow \left(v^2+n\right)^2+2\left(v^2+n\right) v x \frac{d v}{d x}+v^2 x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 =v^2+n+v^2 \left(v^2+n\right)+2\left(v^2+n\right) v x \frac{dv}{dx}+v^2 x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2+n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^4+2 v^2 n+n^2=v^2+n+v^4+v^2 n+n x^2 \left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^2 n+n^2-v^2-n=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow v^2(n-1)+n(n-1)=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow\left(v^2+n\right)(n-1)=n x^2\left(\frac{d v}{d x}\right)^2 \\ \Rightarrow \frac{d v}{\sqrt{v^2+n}}= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}} \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \int \frac{d v}{\sqrt{v^2+n}}= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}} \int \frac{d x}{x} \\ \Rightarrow \log \left[v+\sqrt{v^2+n}\right]= \pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}\log x+\log c \\ \Rightarrow \log \left[\frac{y}{x}+ \sqrt{\frac{y^2}{x^2}+n}\right]=\log x^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\log c \\ \log \left[\frac{y+ \sqrt{y^2+n x^2}}{x}\right]=\log cx^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}} \\ \Rightarrow y+\sqrt{y^2+m x^2}=c x^{\pm \sqrt{\frac{n-1}{n}}}
जो कि दिए हुए समीकरण का अभीष्ट हल है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को समझ सकते हैं।
3.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों के सवाल (DE of First Order But Not 1st Degree Questions):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
(1.) 4 y=x^2+p^2 (2.) p^3-4x yp+8 y^2=0
उत्तर (Answers): (1.) \log (p-x)=\frac{x}{p-x}+c
(2.) 64 y^2=\left(c-4 x\right)^2 c y
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (Frequently Asked Questions Related to DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.समीकरण का विचित्र हल किसे कहते हैं? (What is Singular Solution of the Equation?):
उत्तर:जब भी अवकल समीकरण के व्यापक हल द्वारा प्रदर्शित वक्रों के समूह (Family of curves) के अन्वालोप (envelope) का अस्तित्व (exist) होता है तब अन्वालोप का समीकरण भी अवकल समीकरण का एक हल होता है और इसको समीकरण का विचित्र हल (singular solution) कहते हैं।
प्रश्न:2.अवकल समीकरण का व्यापक हल किसे कहते हैं? (What is the General Solution of Differential Equation?):
उत्तर:किसी अवकल समीकरण के ऐसे हल को जिसमें अवकल समीकरण की कोटि (order) के बराबर संख्या में स्वेच्छ-अचर (arbitrary constants) आते हों,समीकरण का व्यापक हल (general solution) कहते हैं।इसे समीकरण का पूर्ण हल (complete solution) अथवा पूर्ण पूर्वग (complete primitive) भी कहते हैं।
प्रश्न:3.व्यापक हल के स्वेच्छ अचरों की गणना करते समय क्या ध्यान रखें? (What to Keep in Mind While Calculating the Arbitrary Constants of a General Solution?):
Solution:(1.)व्यापक हल के स्वेच्छ अचरों की गणना करते समय यह ध्यान रखना चाहिए कि वे सब स्वतन्त्र हों और उनकी संख्या अवकल-समीकरण की कोटि के बराबर हो।
(2.)व्यापक हल के एक से अधिक रूप हो सकते हैं।ऐसी दशा में एक रूप में आए स्वेच्छ अचर दूसरे रूप में आए स्वेच्छ अचरों से सदैव सम्बन्धित होते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों (DE of First Order But Not 1st Degree),प्रथम कोटि के अवकल समीकरण जो प्रथम घात के न हों का व्यापक हल (General Solution of Differential Equations of First Order But Not of First Degree) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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1st Degree) पर आधारित कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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Satyam
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