1.अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Change of Independent Variable in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Change of Independent Variable of Linear Differential Equations of Second Order):

Change of Independent Variable in DE

अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Change of Independent Variable in DE) के इस आर्टिकल में द्धितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के स्वतन्त्र चर को परिवर्तित करके अवकल समीकरण का हल ज्ञात करेंगे।
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2.अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Change of Independent Variable in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. \left(1+x^2\right)^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x\left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+4 y=0
Solution: \left(1+x^2\right)^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+2 x\left(1+x^2\right) \frac{d y}{d x}+4 y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2 x}{1+x^2} \frac{d y}{d x}+\frac{4 y}{\left(1+x^2\right)^2}=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{2 x}{1+x^2}, Q=\frac{4}{\left(1+x^2\right)^2} तथा  R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
जहाँ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^{2}}+P \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}, Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}, R=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_{1}=अचर=1 हो जाए अर्थात्

Q_1=\frac{\frac{4}{\left(1+x^2\right)^2}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=4 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{1}{1+x^2} \\ \Rightarrow \int d z=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)} d x \\ \Rightarrow z=\tan^{-1} x \\ P_{1}=\frac{-\frac{2 x}{(1+x)^2} +\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^{2}}}{\left(\frac{dz}{dx}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=0, \quad R_1=\frac{0}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \Rightarrow R_1=0
P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+y=0 \\ \Rightarrow\left(D^2+4\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+4=0 \Rightarrow m=\pm 2 i \\ \therefore y=c_1 \cos 2z+c_{2} \sin 2z \\ \Rightarrow y=c_1 \cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)+c_2 \sin \left(\tan ^{-1} x\right) \\ \Rightarrow y=c_{1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+c_{2}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right) \\ y=c_{1} \cos \left[\tan^{-1} \left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\right]+c_{2} \sin \left[\tan^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\right]
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।

Example:2. \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}-y \sin ^2 x=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x \frac{d y}{d x}-y \sin ^2 x=0 \cdots(1)
यहाँ P=-\cot x, Q=-\sin ^2 x तथा R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_{1}=अचर=-1 हो जाए अर्थात्
\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2) \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^{2}}+P \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}, Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=-\frac{\sin^{2}x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=-1(माना)

\Rightarrow \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\sin ^2 x \\ \Rightarrow \int d z=\int \sin x d x \\ \Rightarrow z=-\cos x \\ \Rightarrow z=-\cos x \\ P_1=\frac{\cos x-\cot x \cdot \sin x}{\sin ^2 x} \\ P_1=0, R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{0}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=0
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}-y=0 \\ \left(D^2-1\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2-1=0 \Rightarrow m=\pm 1 \\ \therefore y=c_1 e^z+c_2 e^{-z} \\ \Rightarrow y=c_1 e^{-\cos x}+c_2 e^{\cos x}
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:3. \frac{d^2 y}{d x^2}+\tan x \frac{d y}{d x}+y \cos ^2 x=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+\tan x \frac{d y}{d x}+y \cos ^2 x=0 \cdots(1)
यहाँ P=\tan x, Q=\cos ^2 x तथा R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \cdot \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=1 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{\cos ^2 x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=1 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\cos ^2 x तथा \frac{d z}{d x}=-\sin x \\ \Rightarrow \int d z=\int \cos x d x \\ \Rightarrow z=\sin x \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+P \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ P_1 =\frac{-\sin x+\tan x \cos x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1 =0 तथा  R_1=\frac{p}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=0
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0 \Rightarrow (D^{2}+1)y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+1=0 \Rightarrow m=\pm i \\ \therefore y=c_1 \cos z+c_{2} \sin z \\ \Rightarrow y=c_{1} \cos (\sin x)+c_{2} \sin (\sin x)
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:4. \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{a^2}{x^4} y=0
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{2}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{a^2}{x^4} y=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{2}{x}, Q=\frac{a^{2}}{x^4} तथा R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=p_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=a^{2} हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{\frac{a^2}{x^4}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=a^2 \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\frac{1}{x^4} \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{1}{x^2} तथा \frac{d^2 z}{d x^{2}}=-\frac{2}{x^{3}} \\ \Rightarrow \int d z=\int \frac{1}{x^2} d x \\ \Rightarrow z=-\frac{1}{x} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{-\frac{2}{x^3}+\left(\frac{2}{x}\right)\left(\frac{1}{x^2}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=0 तथा R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=0
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+a^2 y=0 \Rightarrow\left(D^2+a^2\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+a^2=0 \Rightarrow m=\pm a i \\ \therefore y=c_1 \cos (a z)+c_2 \sin (a z) \\ =c_1 \cos \left(-\frac{a}{x}\right)+c_2 \sin \left(-\frac{a}{x}\right) \\ \Rightarrow y=c_1 \cos \left(\frac{a}{x}\right)-c_2 \sin \left( \frac{a}{x} \right)
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:5. \left(a^2-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{a^2}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{x^2}{a} y=0
Solution: \left(a^2-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{a^2}{x} \frac{d y}{d x}+\frac{x^2}{a} y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{a^2}{x\left(a^2-x^2\right)} \frac{d y}{d x}+\frac{x^2}{a\left(a^2-x^2\right)} y=0
यहाँ P=-\frac{a^2}{x\left(a^2-x^2\right)}, Q=\frac{x^2}{a\left(a^2-x^2\right)}  तथा  R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_{1} \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=-a^2  हो जाए अर्थात्

Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z)}{d x}\right)^{2}}=\frac{1}{a} \\ =\frac{\frac{x^2}{a\left(a^2-x^2\right)}}{\left(\frac{d z}{dx}\right)^2}=\frac{1}{a} \\ \Rightarrow\left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\frac{x^2}{a^2-x^2} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} तथा \frac{d^2 z}{d x^2}=\frac{a^2}{\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \Rightarrow \int d z=\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} d x \\ z=- \sqrt{a^2-x^2} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+P\left(\frac{d z}{d u}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{\frac{a^2}{\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a^2}{x\left(a^2-x^2\right)}\left(\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=\frac{\frac{a^2}{\left(a^2-x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}-\frac{a^2}{\left(a^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(\frac{dz}{d x}\right)^2}=0 तथा R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=0
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 z}{d z^2}+\frac{1}{a} y=0 \Rightarrow\left(D^2+\frac{1}{a}\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+\frac{1}{a}=0 \Rightarrow m=\pm \frac{i}{\sqrt{a}} \\ \therefore y=c_{1} \cos \left(\frac{z}{\sqrt{a}} \right)+c_{2} \sin \left(\frac{z}{\sqrt{a}}\right) \\ \Rightarrow y=c_{1} \cos \left(-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a}}\right)+c_{2} \sin \left(-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a}}\right) \\ \Rightarrow y=c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a}}\right)-c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\sqrt{a}}\right)
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।

Change of Independent Variable in DE

Example:6. \left(x^3-x\right) \frac{d^{2} y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}+n^2 x^3 y=0
Solution: \left(x^3-x\right) \frac{d^{2} y}{d x^2}+\frac{d y}{d x}+n^2 x^3 y=0
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{1}{x^3-x} \frac{d y}{d x}+\frac{n^2 x^3}{x^3-x} y=0 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{1}{x^3-x}, Q=\frac{n^2 x^3}{x^3-x}  तथा  R=0
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=n^2 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{\frac{n^2 x^3}{x^3-x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=n^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\frac{x^3}{x^3-x} \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}} तथा \frac{d^2 z}{d x^2}=\frac{-1}{\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}} \\ \int d z =\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx \\ \Rightarrow z=\sqrt{x^2-1} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+P\left(\frac{d z}{d x}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{-\frac{1}{\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{x^3-x} \times \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=\frac{-\frac{1}{\left(x^2-D\right)^{\frac{3}{2}}}+\frac{1}{\left(x^2-1\right)^{\frac{3}{2}}}}{\left(\frac{dz}{d x}\right)^2}=0 तथा R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=0
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+n^2 y=0 \Rightarrow\left(D^2+n^2\right) y=0
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+n^2=0 \Rightarrow m=\pm n i \\ \therefore y=c^{\prime} \cos (n z)+c^{\prime \prime} \sin (n z)
माना c^{\prime}=C_{1} \sin c_2 ; c^{\prime \prime}=c_{1} \cos c_2 \\ y=c_{1} \sin c_2 \cos (n z)+c_{1} \cos c_2 \sin (n z) \\ y=c_1 \sin \left[c_2+n z\right] \\ \Rightarrow y=c_1 \sin \left[c_2+n \sqrt{x^2-1}\right]
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:7. \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+4 x^2 y=x^4
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\frac{1}{x} \frac{d y}{d x}+4 x^2 y=x^4 \cdots(1)
यहाँ P=-\frac{1}{x}, Q=4 x^2 \text { तथा } R=x^4
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=4 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{4 x^2}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=4 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=x^2 \\ \Rightarrow \frac{d z}{d x}=x तथा \frac{d^2 z}{d x^2}=1 \\ \Rightarrow \int d z=\int x d x \\ \Rightarrow z=\frac{x^2}{2} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p\left( \frac{d z}{d x}\right)}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{1-\frac{1}{x} \times x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=0 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{x^4}{x^2} \\ \Rightarrow R_1=x^2
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+4 y=x^2 \\ \Rightarrow\left(D^2+4\right) y=x^2 \\ \Rightarrow \left(D^2+4\right) y=2 z
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2+4=0 \Rightarrow m=\pm 2 i \\ \text{C.F.}=c^{\prime} \cos 2 z+c^{\prime \prime} \sin 2 z
माना c^{\prime}=c_1 \cos c_2, c^{\prime \prime}=c_1 \sin c_2 \\ \text{C.F.}=c_1 \cos c_2 \cos 2 z+c_1 \sin c_2 \sin 2 z \\ =c_1\left(\cos c_2 \cos 2 z+\sin c_2 \sin 2 z\right) \\ \text { C.F.}=c_1\left(2 z-c_2\right) \\ \text { C.F.} =c_1\left(x^2+c_3\right) \quad\left[\because -c_2=c_3\right]
पुनः \text{P.I.} =\frac{1}{D^2+4}(2 z) \\ =\frac{1}{4\left(1+\frac{D^2}{4}\right)}(2 z) \\ =\frac{1}{2}\left(1+\frac{D^2}{4}\right)^{-1}(z) \\ =\frac{1}{2}\left(1-\frac{D^2}{4}+\frac{D^4}{16}-\cdots\right)z \\ =\frac{1}{2}(z) \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{x^2}{4}
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=c_{1}\left(x^2+c_{3}\right)+\frac{x^2}{4}
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:8. x \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(4 x^2-1\right) \frac{d y}{d x}+4 x^3 y=2 x^{3}
Solution: x \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(4 x^2-1\right) \frac{d y}{d x}+4 x^3 y=2 x^{3}
दिए हुए समीकरण को मानक रूप में लिखने परः

\frac{d^2 y}{d x^2}+\frac{4 x^2-1}{x}\left(\frac{d y}{d x}\right)+4 x^2 y=2 x^2 \cdots(1)
यहाँ P=\frac{4 x^2-1}{x}, Q=4 x^2 तथा R=2 x^2
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_{1} \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=4 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{4 x^2}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=4 \\ \Rightarrow \left( \frac{d z}{d x}\right)^2=x^2 \\ \frac{d z}{d x}=x तथा \frac{d^2 z}{dx^2}=1 \\ \int d z=\int x d x \\ z=\frac{x^2}{2} \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+P \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x} \right)^2} \\ =\frac{1+\left(\frac{4 x^2-1}{x}\right) \times x}{x^2} \\=\frac{1+4 x^2-1}{x^2} \\ P_1=4 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{2 x^2}{x^2} \\ \Rightarrow R_1=2
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{dz^{2}}+4 \frac{d y}{d z}+4 y=2 \\ \Rightarrow \left(D^2+4 D+4\right) y=2 \\ \Rightarrow (D+2)^2 y=2
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

(m+2)^2=0 \Rightarrow m=-2,-2 \\ \text{C.F.}=\left(c_1+c^{\prime}_2 z\right) e^{-2 z} \\ =\left( c_1+c_2^{\prime} \frac{x^2}{2}\right) e^{-x^2} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=\left(c_1+c_2 x^2\right) e^{-x^2}
पुनः \text{P.I.} =\frac{1}{(D+2)^2} 2 \\ =\frac{2}{(D+2)^2} e^{0 \cdot z} \\ =2 \frac{1}{(0+2)^2} \\ =2\left(\frac{1}{4}\right) \\ \Rightarrow \text{P.I.} =\frac{1}{2}
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(c_1+c_2 x^2\right) e^{-x^2}+\frac{1}{2}
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:9. \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x-y \sin ^2 x=\cos x-\cos ^3 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}-\cot x-y \sin ^2 x=\cos x-\cos ^3 x \cdots(1)
यहाँ  P=-\cot x, Q=-\sin ^2 x तथा R=\cos x-\cos ^3 x
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=-1 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{-\sin ^2 x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=-1 \\ \Rightarrow \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\sin ^2 x \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\sin x तथा \frac{d^2 z}{d x^{2}}=\cos x \\ \int d z=\int \sin x d x \Rightarrow z=-\cos x \\ P_1=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+p \frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ =\frac{\cos x-\cot x \cdot \sin x}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} \\ \Rightarrow P_1=0 तथा R_1=\frac{R}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}= \frac{\cos ^2 x-\cos ^3 x}{\sin ^2 x} \\ R_1=\frac{\cos x\left(1-\cos ^2 u\right)}{\sin ^2 x}=\frac{\cos x \sin ^2 x}{\sin ^2 x} \\ \Rightarrow R_1=\cos x
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}-y=\cos x \\ \Rightarrow\left(D^2-1\right) y=\cos x \Rightarrow\left(D^2-1\right) y=-z
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

m^2-1 =0 \Rightarrow m=\pm 1 \\ \text{C.F.}=c_{1} e^z+c_2 e^{-z} \\ \Rightarrow \text{C.F.} =c_{1} e^{-\cos x}+c_2 e^{\cos x}
पुनः \text{P.I.}=\frac{1}{D^2-1}(-z)=(1-D^{2})^{-1}z \\ =\left(1+D^2+D^4+\cdots \right)z \\ \Rightarrow \text{P.I.}=z=-\cos x
y=C.F.+P.I.

y=c_1 e^{-\cos x}+c_2 e^{\cos x}-\cos x
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।
Example:10. \frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x}+2 y \sin ^2 x=e^{-\cos x} \cdot \sin ^2 x
Solution: \frac{d^2 y}{d x^2}+(3 \sin x-\cot x) \frac{d y}{d x}+2 y \sin ^2 x=e^{-\cos x} \cdot \sin ^2 x \cdots(1)
यहाँ P=3 \sin x-\cot x, Q=2 \sin ^2 x तथा R=e^{-\cos x} \sin^{2} x
अब स्वतन्त्र चर x को z में परिवर्तित करने पर समीकरण (1) निम्न रूप में परिवर्तित हो जाता हैः

\frac{d^2 y}{d z^2}+P_1 \frac{d y}{d z}+Q_1 y=R_1 \cdots(2)
अब यदि z का चयन इस प्रकार से किया जाए कि Q_1=अचर=2 हो जाए अर्थात्
Q_1=\frac{Q}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2}=\frac{2 \sin ^2 x}{\left(\frac{d z}{d n}\right)^2}=2 \\ \left(\frac{d z}{d x}\right)^2=\sin ^2 x \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\sin x तथा \frac{d^2 z}{d x^2}=\cos x \\ \int d z=\int \sin x d x \Rightarrow z=-\cos x \\ P_{1}=\frac{\frac{d^2 z}{d x^2}+\frac{d z}{d x}}{\left(\frac{d z}{d x}\right)^2} =\frac{\cos x+(3 \sin x-\cot x ) \sin x}{\sin x} \\ \Rightarrow P_1=\frac{\cos x+3 \sin ^2 x-\cos x}{\sin ^2 x}=3 \\ R_1=\frac{R}{\left(\frac{dz}{d x}\right)^2}=\frac{e^{-\cos x} \sin ^2 x}{\sin ^2 x}=e^{-\cos x}
अब P_{1},Q_{1} व R_{1} का मान (2) में रखने परः

\frac{d^2 y}{d z^2}+3 \frac{d y}{d z}+2 y =e^{-\cos x} \\ \Rightarrow\left(D^2+3 D+2\right) y =e^z \\ (D+2)(D+1)y=e^z
इसका सहायक समीकरण (A.E.) निम्न हैः

(m+2)(m+1)=0 \Rightarrow m=-1,-2 \\ \text{C.F.}=c_{1} e^{-z}+c_{2} e^{-2 z} \\ \Rightarrow \text{C.F.}=c_{1} e^{\cos x}+c_{2} e^{2 \cos x}
पुनः \text{P.I.}= \frac{1}{\left(D^2+3 D+2\right)} e^z \\ =\frac{1}{1^2+3 \times 1+2} e^z=\frac{1}{6} e^z \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{6} e^{-\cos x}
अतः y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=c_{1} e^{\cos x}+c_2 e^{2 \cos x}+\frac{1}{6} e^{-\cos x}
जो कि दिए हुए समीकरण का व्यापक हल है।

3.अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन पर आधारित सवाल (Questions Based on Change of Independent Variable in DE):

Change of Independent Variable in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) (1+x)^2 y_2+(1+x) y_1+y=4 \sin \{\log (1+x)\}
(2.) x^4 y_2+2 x^3 y_1+x^2 y=0
उत्तर (Answers): (1.) y=c_{1} \cos \{\log (1+x)\}+c_{2} \sin \{\log (1+x)\}-2 \log (1+x) \cos \{\log (1+x)\}
(2.) y=c_1 \cos \left(\frac{n}{x}\right)+c_2 \sin \left(\frac{n}{x}\right)

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4.अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Frequently Asked Questions Related to Change of Independent Variable in DE),द्वितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Change of Independent Variable of Linear Differential Equations of Second Order) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

अवकल समीकरण में स्वतन्त्र चर का परिवर्तन (Change of Independent Variable in DE) के
इस आर्टिकल में द्धितीय कोटि के रैखिक अवकल समीकरण के स्वतन्त्र चर को परिवर्तित करके