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PI and CF of Differential Equation

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1 1.अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation):

1.अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation):

अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation) ज्ञात करेंगे।ये ऐसे रैखिक अवकल समीकरण हैं जिनमें आश्रित चर (Dependent Variable) तथा उसके अवकलज (Derivatives) केवल प्रथम घात (First Degree) में आते हों और आपस में गुणित (multiplied) नहीं होते।
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2.अवकल समीकरण का PI और CF के उदाहरण (PI and CF of Differential Equation Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the Differential Equations):
Example:1. \left(D^{4}-m^{4}\right) y=\cos m x+\cosh m x
Solution: \left(D^{4}-m^{4}\right) y=\cos m x+\cosh m x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

M^{4}-m^{4}=0 \\ (M-m)(M+m)\left(M^{2}+m^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow m=m,-m, \pm i

C.F.=c_{1} e^{m x}+c_{2} e^{-m x}+c_{3} \cos m x+c_{4} \sin m x

P.I.=\frac{1}{D^{4}-m^{4}}(\cos m x+\cosh m x)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \left ( \cos mx+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \right ) \\ =\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \cos x+\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2} \right)^{2}} \left(\frac{e^{x}}{2}\right)+\frac{1}{\left(D^{2}-m^{2}\right) \left(D^{2}+m^{2}\right)} \left(\frac{e^{-x}}{2}\right)\\ =\frac{1}{(i m)^{2}-m^{2}} \frac{1}{D^{2}+m^{2}} \cos m x+\frac{1}{4m^{3} \cdot(D-m)} \left(\frac{e^{x}}{2}\right)+\frac{1}{4 m^{3}(D-m)} \frac{e^{-x}}{2}\\ =\frac{1}{\left(-m^{2}-m^{2}\right)} \cdot \frac{x}{2 m} \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}}\left(\frac{e^{m} x-e^{-mx}}{2}\right) \\ =\frac{1}{-4 m^{3}} x \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}} \sinh x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{m x}+c_{2} e^{-m x}+c_{2} \cos mx+c_{4} \sin m x-\frac{x}{4 m^{3}} \sin m x+\frac{1}{4 m^{3}} \sinh mx
Example:2. \left(D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}+4 D-4\right) y=e^{2 x}
Solution: \left(D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}+4 D-4\right) y=e^{2 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}-4 m^{3}+3 m^{2}+4 m-4=0 \\ \Rightarrow m^{4}-m^{3}-3 m^{3}+3 m^{2}+4 m-4=0 \\ \Rightarrow m^{3}(m-1)-3 m^{2}(m-1)+4(m-1)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left(m^{3}-3 m^{2}+4\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^{3}+m^{2}-4 m^{2}-4 m+4 m+4\right]=0 \\ \Rightarrow (m-1)\left[m^{2}(m+1)-4 m(m+1)+4(m+1)\right]=0\\ \Rightarrow (m-1)(m+1)\left(m^{2}-4 m+4\right)=0 \\ \Rightarrow (m-1)(m+1)(m-2)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=-1,1,2,2

C.F.=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) e^{2 x}

P.I. =\frac{1}{(D-1)(D+1)(D-2)^{2}} e^{2 x} \\ =\frac{1}{(2-1)(2+1)(D-2)^{2}} e^{2 x} \\ =\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{2}}{21} e^{2 x} \\ =\frac{1}{6} x^{2} e^{2 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) e^{2 x}+\frac{1}{6} x^{2} e^{2 x}
Example:3. \left\{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}\right\} y=\cos x
Solution: \left\{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}\right\} y=\cos x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

(m-1)\left(m^{2}+1\right)^{2}=0 \\ m=1, \pm i, \pm i

C.F.=c_{1} e^{x}+\left(c_{2}+c_{3} x\right) \cos x+\left(c_{4}+c_{5} x\right) \sin x

P.I=\frac{1}{(D-1)\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cos x \\ =\frac{D+1}{\left(D^{2}+1\right)^{2} \left(D^{2} -1\right)}  \cos x \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cdot \frac{(-\sin x+\cos x)}{D^{2}-1} \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \frac{-\sin x+\cos x}{i^{2}-1} \\ =\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \frac{\cos x-\sin x}{-2} \\=-\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)^{2}} \cos x+ \frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1 \right)^{2}} \sin x\\ =-\frac{1}{2} \text { R.P of } \frac{e^{i x}}{(D+i)^{2} (D-i)^{2}}+\frac{1}{2} \text { I.P of } \frac{1}{(D+i)^{2}(D-i)^{2}} e^{ix}\\ =-\frac{1}{2} \text { R.P of } \frac{1}{(2 i)^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2 !} e^{i x}+\frac{1}{2} \text { I.P of } \frac{1}{(2 i)^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2 !} e^{i x}\\ =\frac{1}{16} x^{2} \cos x-\frac{1}{16} x^{2} \sin x\\ \text {P.I.}=\frac{1}{16} x^{2}(\cos x-\sin x)

अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} e^{x}+\left(c_{2}+c_{3} x\right) \cos x+\left(c_{4}+c_{5} x\right) \sin x+\frac{1}{16} x^{2}(\cos x-\sin x)
Example:4. \left(b^{4}-a^{4}\right) y=x^{2}+\sin y b x
Solution: \left(b^{4}-a^{4}\right) y=x^{2}+\sin y b x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}-a^{4}=0\\ \Rightarrow(m-a)(m+a)\left(m^{2}+a^{2}\right)=0\\ \Rightarrow m=a,-a, \pm a i

C.F=C_{1} e^{a x}+C_{2} e^{a x}+C_{3} \cos a x+C_{4} \sin a x

P.I.=\frac{1}{D^{4}-a^{4}}\left(x^{2}+\sin bx\right)\\ =\frac{1}{D^{4}-a^{4}} x^{2}+\frac{1}{D^{4}-a^{4}} \sin bx\\ =-\frac{1}{a^{4}}\left(1-\frac{D^{4}}{a^{4}}\right)^{-1} x+\frac{1}{\left(D^{2}+ a^{2}\right)\left(D^{2}-a^{2}\right)} \sin bx\\ =-\frac{1}{a^{4}}\left(1+\frac{D^{4}}{a^{4}}+ \cdots\right)^{-1} x+\frac{1}{\left(b^{4}-a^{4}\right)} \sin bx \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{1}{a^{4}} x+\frac{1}{b^{4}-a^{4}} \sin b x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y= c_{1} e^{a x}+c_{2} e^{-a x}+c_{3} \cos a x+c_{4} \sin a x -\frac{1}{a^{4}} x+\frac{1}{b^{4}-a^{4}} \sin b x
Example:5. \left(D^{4}+D^{2}+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
Solution: \left(D^{4}+D^{2}+1\right) y=e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}+m^{2}-1=0 \\ \Rightarrow m^{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{\left.(1)^{2}-4 \times 1 \times 1\right)}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m^{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{1-1}}{2} \\ \Rightarrow m^{2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \\ \Rightarrow m=\frac{\pm 1 \pm \sqrt{3} i}{2}

C.F.=e^{-\frac{x}{2}} \left [ c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right ] +e^{\frac{x}{2}}\left[\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{4} \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right)\right] \\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^{4}+D^{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}+D+1\right)\left(D^{2}-D+1\right)} e^{-\frac{x}{2}} \cos \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left[\left ( D-\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( D-\frac{1}{2} \right )+1\right] \left[\left ( D-\frac{1}{2} \right )^{2}-\left ( D-\frac{1}{2} \right )+1\right]} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}-D+\frac{1}{4}+D-\frac{1}{2}+1\right)\left(D^{2}-D+\frac{1}{4}-D+\frac{1}{2}+1\right)}\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(D^{2}-2 D+\frac{7}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2} i\right)^{2}-2 D+\frac{7}{4}\right]} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{ 1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-3}{4}+\frac{7}{4}-2 D\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)(1-2 D)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1+2 D}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(1-4 D^{2}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{1+2 D}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)\left(1+4 \times \frac{3}{4}\right)} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\\ =e^{-\frac{x}{2}} \frac{\left[\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)-\sqrt{3} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]}{\left(D^{2}+\frac{3}{4}\right)(+4)}\\ =\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left[\frac{x}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+x \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right] \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}} \left[\frac{x}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+x \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=e^{-\frac{x}{2}}\left[c_{1} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{2} \sin \left(\frac{\sqrt{3} x}{2} x\right)\right] +e^{\frac{x}{2}} \left[C_{3} \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+c_{4} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]+\frac{1}{4} e^{-\frac{x}{2}}\left[\frac{x}{\sqrt{3}} \sin \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)+x \cos \left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)\right]

Example:6. \left(D^{2}+2 D+1\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
Solution:\left(D^{2}+2 D+1\right) y=\frac{e^{-x}}{x+2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+2 m+1=0 \\ \Rightarrow (m+1)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=-1,-1

C.F.=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{-x}

P.I.=\frac{1}{(D+1)^{2}} \frac{e^{-x}}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{(D-1+1)^{2}} \cdot \frac{1}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{D^{2}} \frac{1}{x+2} \\ =e^{-x} \frac{1}{D}\left[\frac{1}{D} \cdot \frac{1}{x+2}\right] \\= e^{-x} \frac{1}{D} \log (x+2) \\ =e^{-x}\left[\log (x+2) \int 1 d x- \left\{\int \frac{d}{d x} \cdot \log (x+2) \int 1 d x\right\} d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int \frac{1}{x+2} \cdot x d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int \frac{x+2-2}{x+2} d x\right] \\ =e^{-x}\left[x \log (x+2)-\int 1 d x+\int \frac{2}{x+2} d x\right] \\ =e^{-x} [x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=(c_{1}+c_{2} x) e^{-x}+e^{-x}[x \log (x+2)-x+2 \log (x+2)]
Example:7. \left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
Solution: \left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right) y=\cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

\left( m^{2}+1 \right)\left(m^{2}+4\right)=0 \\ \Rightarrow m=\pm i, \pm 2 i

C.F.=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x +c_{3} \cos 2x +c_{4} \sin 2x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cdot 2 \cos \left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2}\right)\\=\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)}[\cos 2 x+\cos x]\\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)\left(D^{2}+4\right)} \cos 2 x+\frac{1}{2} \frac{1}{(D+1)\left(D^{2}+4\right)} \cos x \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left[(2 i)^{2}+1\right]\left(D^{2}+4\right)} \cos 2 x +\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2} +1\right)\left[i^{2}+4\right]} \cos x\\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(4 i^{2}+1\right)} \cdot \frac{x}{4} \sin 2 x+\frac{1}{2(-1+4)} \frac{x}{2} \sin x\\ =\frac{x^{2}}{8} \frac{1}{(-4+1)} \sin 2 x+\frac{1}{12} x \sin x\\ =-\frac{x}{24} \sin 2 x+\frac{1}{12} x \sin x \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{x}{12}\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x+c_{3} \cos 2 x +c_{4} \sin 2 x+\frac{x}{12}\left(\sin x-\frac{1}{2} \sin 2 x\right)
Example:8. \left(D^{2}+9\right) y=\sin 2 x \cos 2 x
Solution: \left(D^{2}+9\right) y=\sin 2 x \cos 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+9=0 \\ \Rightarrow m=\pm 3 i

C.F.=c_{1} \cos 3 x+c_{2} \sin 3 x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin 2 x \cdot \cos x \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} 2 \sin 2 x \cos x \\=\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)}\left(\sin 3x+\sin x\right) \\ =\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin 3 x+\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}+9\right)} \sin x \\ =\frac{1}{2}\left(-\frac{x}{6} \cos 3 x\right)+\frac{1}{2} \frac{1}{i^{2}+9} \sin x \\ \text{P.I.}=-\frac{x}{12} \cos 3 x+\frac{1}{16} \sin x
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=C_{1} \cos 3 x+C_{2} \sin 3 x-\frac{x}{12} \cos 3 x+\frac{1}{16} \sin x
Example:9. \left(D^{2}+1\right) y=x^{2} \sin 2 x
Solution:\left(D^{2}+1\right) y=x^{2} \sin 2 x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}+1=0 \Rightarrow m=\pm i

C.F.=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x

P.I=\frac{1}{\left(D^{2}+1\right)} x^{2} \sin 2 x \\ =x^{2} \cdot \frac{1}{\left(D^{2}+1\right)} \sin 2 x+2 x\left[\frac{d}{d D} \cdot \frac{1}{D^{2}+1}\right] \sin 2 x +\left[\frac{d^{2}}{d D^{2}} \cdot \frac{1}{D^{2}+1} \sin 2 x\right] \\ =\frac{x^{2} \cdot \sin 2 x}{\left(2i\right)^{2}+1}+2 x\left[\frac{-2 D}{\left(D^{2}+1\right)^{2}}\right] \sin 2 x-2\left[\frac{\left(D^{2}+1\right)^{2}-D \cdot 2\left(D^{2}+1\right) \cdot 2 D }{\left(D^{2}+1\right)^{4}}\right] \sin 2 x \\ =-\frac{x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{4 D(\sin 2 x)}{\left((2 i)^{2}+1\right)^{2}}-2 \left[\frac{-3 D^{2}+1}{\left(D^{2}+1\right)^{3}}\right] \sin 2 x\\ =-\frac{x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{8}{9} \cos 2x -2 \left[\frac{-3 D^{2}+1}{\left((2i)^{2}+1\right)^{3}}\right] \sin 2x\\ =\frac{-x^{2}}{3} \sin 2 x-\frac{8}{9} \cos 2 x+\frac{2}{27} \times 13 \sin 2 x\\ \text{P.I.}=-\frac{1}{3}\left[\left(x^{2}-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} \cos 2 x\right]
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=c_{1} \cos x+c_{2} \sin x-\frac{1}{3}\left[\left(x^{2}-\frac{26}{9}\right) \sin 2 x+\frac{8}{3} \cos 2 x\right]
Example:10. \left(D^{2}-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2} y=\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x
Solution: \left(D^{2}-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2} y=\sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

\left(m^{2}-1\right)^{2}\left(m^{2}+1\right)^{2}=0\\ \Rightarrow m=1,1,\pm i, \pm i

C.F=\left(c_{1}+c_{2}\right) e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos x+\left(c_{5}+c_{6} x\right) \sin x

P.I.=\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} \sin ^{2}\left(\frac{x}{2}\right)+e^{x}+x \\ =\frac{1}{\left.(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}\right]} \left [ \left(\frac{1-\cos x}{2}\right)+e^{x}+x \right ] \\ =\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)}\left(\frac{1-\cos x}{2}\right)+\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} e^{x}+\frac{1}{(D-1)^{2}\left(D^{2}+1\right)^{2}} x\\ =\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \frac{1}{\left(D^{2}-2 D+1\right)\left(D^{2}+1\right)} \cos x+\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{4} e^{x}+\frac{1}{\left(D^{2}-2 D+1\right)\left(D^{4}+2 D^{2}+1\right)^{2}} x \\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \frac{1}{D \left(D^{2} +1\right)^{2}} \cos x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+ \frac{1}{\left(D^{6}-2 D^{5}+3 D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}-2 D+1\right)} x\\ =\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \frac{\sin x}{\left(D^{2}+1\right)^{2}}+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+\left(1+D^{6}-2 D^{5}+3 D^{4}-4 D^{3}+3 D^{2}-2 D\right)^{-1} x \\ =\frac{1}{2} -\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+\left(1+2 D-3 D^{2}+4 D^{3}-3 D^{4}+2 D^{5}-D^{6}+\cdots\right) x \\ =\frac{1}{2}-\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+2 \\ \text{P.I.}=-\frac{x^{2}}{32} \sin x+\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+\frac{5}{2}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

y=\left(c_{1}+c_{2} x\right) e^{x}+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \cos x +\left(c_{5}+c_{6} x\right) \sin x-\left(\frac{1}{32}\right) x^{2} \sin x +\frac{1}{8} x^{2} e^{x}+x+\frac{5}{2}
Example:11. \left(D^{2}-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}
Solution: \left(D^{2}-3 D+2\right) y=\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{2}-3 m+2=0 \\ \Rightarrow\left[m^{2}-2 m-m+2\right]=0 \\ \Rightarrow {[m(m-2)-1(m-2)]=0 } \\ \Rightarrow(m-1)(m-2)=0 \\ \Rightarrow m=1,2

C.F.=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}

P.I. =\frac{1}{\left(D^{2}-3 D+2\right)}\left(\sin 3 x+x^{2}+x+e^{4 x}\right) \\ = \frac{1}{D^{2}-3 D+2} \sin 3 x+\frac{1}{2\left(1+\frac{D^{2}-3 D}{2}\right)}\left(x^{2}+x\right) +\frac{1}{(4)^{2}-3 \times 4+2} e^{4 x} \\= \frac{1}{(3 i)^{2}-3 D+2} \sin 3 x +\frac{1}{2}\left(1+\frac{D^{2}-3 D}{2}\right)^{-1} \left(x^{2}+x\right) +\frac{1}{6} e^{4 x} \\ =-\frac{3 D-7}{9 D^{2}-49} \sin 3 x+\frac{1}{2}\left[1-\frac{D^{2}-3 D}{2}+\left(\frac{D^{2}-3 D^{2}}{2}\right)^{2} +\cdots\right] \left(x^{2}+x\right)+\frac{1}{6} e^{4 x} \\ =-\frac{9 \cos 3 x-7 \sin 3 x}{-81-49}+\frac{1}{2}\left [ \frac{7 D^{2}}{4}+\frac{3 D}{2}+\cdots \right ](x^{2}+x)+\frac{1}{6} e^{4x} \\ =\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x)+\frac{1}{2}\left(x^{2}+x+\frac{7}{2}+3 x+\frac{3}{2}\right)+\frac{1}{6} e^{4 x} \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{130}(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x)+\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)+\frac{1}{6} e^{4 x}
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{2 x}+\left(\frac{1}{130}\right) \cdot(9 \cos 3 x-7 \sin 3 x) +\frac{1}{2}\left(x^{2}+4 x+5\right)+\frac{1}{6} e^{4 x}
Example:12. \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{4} y=\cos m x+e^{n x}+x^{2}
Solution: \frac{d^{4} y}{d x^{4}}+2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x^{4} y=\cos m x+e^{n x}+x^{2}
इसका सहायक समीकरण (A.E.) होगा:

m^{4}+2 m^{2} n^{2}+n^{4}=0\\ \Rightarrow\left(m^{2}+n^{2}\right)^{2}=0 \\ \Rightarrow m=\pm ni,n i

C.F.=\left(c_{1}+c_{2} x\right) \cos n x+\left(c_{3}+c_{4} x\right) \sin n x

P.I.=\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}}\left(\cos m x+e^{m x}+x^{2}\right)\\ =\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}} \cos mx+\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2}} e^{mx}+\frac{1}{\left(D^{2}+n^{2}\right)^{2} x^{2}}\\ =\frac{1}{\left[(m i)^{2}+n^{2}\right]^{2} }\cos m x+\frac{1}{\left(n^{2}+n^{2}\right)^{2}} e^{n x}+\frac{1}{n^{4}}\left(1+\frac{D^{2}}{n^{2}}\right)^{-2} x^{2}\\ =\frac{1}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}} \cos m x+\frac{1}{4 n^{4}} e^{m x}+\frac{1}{n^{4}}\left(1 -2 \frac{D^{2}}{n^{2}}+\frac{3 D^{4}}{n^{4}}+\cdots\right) x^{2}\\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}} \cos m x+\frac{1}{4 n^{4}} e^{n x} +\frac{1}{n^{4}}\left(x^{2}-\frac{y}{n^{2}}\right)
अतः समीकरण का व्यापक हल होगा:
y=C.F.+P.I.

\Rightarrow y=\left(c_{1}+c_{2} x \right)\cos x+ \left(c_{3} +c_{4} x\right) \sin n x +\frac{\cos m x}{\left(n^{2}-m^{2}\right)^{2}}+\frac{e^{nx}}{4 x^{4}}+\frac{x^{2}}{n^{4}}-\frac{4}{n^{6}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण का PI और CF के सवाल (PI and CF of Differential Equation Questions):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the Differential Equations):
(1.)हल कीजिए (Solve):

\left(D^{2}+3 D+2\right) y=e^{2x} \sin 2x
(2.)हल कीजिए (Solve):

\left(D^{3}-D^{2}-6 D\right) y=1+x^{2}
उत्तर (Answers):(1)c_{1} e^{-x}+c_{2} e^{-2 x}-\frac{1}{170} e^{2 x}[7 \cos x-11 \sin x]

(2.) c_{1}+c_{2} e^{-2x}+c_{3} e^{3 x}-\frac{25}{108} x+\frac{1}{36} x^{2}-\frac{1}{18} x^{3}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-CF and PI of Differential Equation

4.अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.अवकल समीकरण में 1/D का क्या अर्थ है? (What Does 1/D stand for in Differential Equation?):

उत्तर: \frac{1}{D}[Q(x)] या D^{-1}[G(x)] स्वेच्छ अचर से स्वतन्त्र,x का एक ऐसा फलन है जिसका यदि x के सापेक्ष अवकलन किया जाए अथवा दूसरे शब्दों में उसे D से आॅपरेट (operate) किया जाए तो हमको मूल फलन Q(x) प्राप्त होता है।अर्थात् D^{-1} समाकलन (Integration) प्रदर्शित करता है।

प्रश्न:2.अवकल समीकरण में सहायक समीकरण किसे कहते हैं? (What is the auxiliary equation called in the differential equation?):

उत्तर:माना कि अवकल समीकरण:
\left[D^{n}+a_{1} D^{n-1}+a_{2} D^{n-2}+\cdots+a_{n}\right] y=0
अथवा f(D)y=0…. (1)
\left[m^{n}+a_{1} m^{n-1}+a_{2} m^{n-2}+\cdots+a_{n}\right] e^{m x}=0
चूँकि e^{m x} \neq 0 इसलिए
m^{n}+a_{1} m^{n-1}+a_{2} m^{n-2}+\cdots+ a_{n}=0
अथवा f(m)=0 …. (2)
यह m में एक n घातीय बीजगणितीय समीकरण (algebraic equation of the degree) है जिसके साधारणतः n मूल (roots) होंगे और m के प्रत्येक मान के लिए जो इससे विदित होता है, अवकल समीकरण का हल होगा।
समीकरण (2) को हम अवकल समीकरण (1) का सहायक समीकरण (Auxiliary Equation) कहते हैं इसे संक्षेप में A.E. लिखते हैं।

प्रश्न:3.अवकल समीकरण में व्यापक हल से क्या तात्पर्य है? (What is meant by General solution in differential equation?):

उत्तर:पूरक फलन (Complementary Function) तथा विशिष्ट समाकल (Particular Integral) को मिलाकर व्यापक हल होता है। अर्थात्
General solution=Complementary Function+particular Integral
अथवा
y=C.F.+P.I.
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation),अवकल समीकरण का विशिष्ट समाकल तथा पूरक फलन ज्ञात करना (To Find out Particular Integral and Complementary Function of Differential Equation) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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PI and CF of Differential Equation

अवकल समीकरण का PI और CF
(PI and CF of Differential Equation)

PI and CF of Differential Equation

अवकल समीकरण का PI और CF (PI and CF of Differential Equation) ज्ञात करेंगे।ये ऐसे
रैखिक अवकल समीकरण हैं

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