1.युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients):

Simultaneous Differential Equations DE

युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE) वे साधारण अवकल समीकरण होते हैं जिनमें युगपत समीकरणों की संख्या आश्रित चर राशियों की संख्या के बराबर होती है तथा समस्त समीकरण रैखिक होते हैं।
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2.युगपत अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Simultaneous Differential Equations DE Solved Examples):
निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:

(Solve the Following Simultaneous Differential Equations):
Example:1. \frac{d x}{d t}+7 x-y=0 ; \frac{d y}{d t}+2 x+5 y=0
Solution: \frac{d x}{d t}+7 x-y=0 ; \frac{d y}{d t}+2 x+5 y=0
(D+7)x-y=0…(1)
2x+(D+5)y=0…. (2)
समीकरण (1) को (D+5) से संक्रिया करने पर:
(D+5)(D+7)x-(D+5)y=0… (3)
2x+(D+5)y=0…. (2)
(3) व (2) को जोड़ने पर:
(D+5)(D+7) x+2x=0 \\ \left(D^2+12 D+35+2\right) x=0 \\ \Rightarrow \left(D^2+12 D+37\right) x=0 \quad \ldots (4)
इसका सहायक समीकरण होगा:

x=(c_{1}+c_{2})e^{-6t} \cdots(5)
अब (4) का व्यापक हल होगा:

m^2+12 m+37=0 \\ m =\frac{-12 \pm \sqrt{12^2-4 \times 1 \times 37}}{2 \times 1} \\ =\frac{-12 \pm \sqrt{144-148}}{2} \\ =\frac{-12 \pm 2 i}{2}=-6 \pm i
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-6 e^{-6 t}\left(c_1 \cos t+c_2 \sin t\right) +e^{-6 t}\left(-c_1 \sin t+c_2 \cos t\right) \cdots(6)
अब (5) व (6) से x तथा \frac{d x}{d t} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

-6 e^{-6 t}\left(c_1 \cos t+c_2 \sin t\right)+e^{-6 t}\left(-c_{1} \sin t+c_2 \cos t\right)+7 e^{-6 t}\left(c_1 \cos t +c_2 \sin t\right)-y=0\\ \Rightarrow y=-6 c_1 e^{-6 t} \cos t-6 e^{-6 t} c_2 \sin t-c_{1} e^{-6 t} \sin t+c_{2} e^{-6 t} \cos t+7 c_{1} e^{-t} \cos t+7 c_2 e^{-6 t} \sin t\\ \Rightarrow y=c_1 e^{-t} \cos t+c_2 e^{-6 t} \sin t-c_1 e^{-6 t} \sin t+c_2 e^{-6 t} \cos t\\ \Rightarrow y=\left(c_1 +c_2\right) e^{-6 t} \cos t+\left(c_2-c_{1}\right) e^{-6 t} \sin t\\ \Rightarrow x=e^{-6 t}(c_{1} \cos t+c_{2} \sin t)
Example:2. \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}+2 x+y=0 ; \frac{d y}{d t}+5 x+3 y=0
Solution: \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}+2 x+y=0 ; \frac{d y}{d t}+5 x+3 y=0
(D+2)x+(D+1)y=0… (1)
5x+(D+3)y=0…. (2)
समीकरण (1) को (D+3) तथा समीकरण (2) को (D+1) से संक्रिया करने पर:
(D+3)(D+2)x+(D+3)(D+1)y=0… (3)
5(D+1)x +(D+3)(D+1)y=0… (4)
समीकरण (3) में से (4) घटाने पर:
(D+3)(D+2) x-5(D+1) x=0 \\ \Rightarrow\left(D^2+5 D+6-5 D-5\right) x=0 \\ \Rightarrow \left(D^2+1\right) x=0 \quad \cdots(4)
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+1=0 \Rightarrow m=\pm i
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=c_1 \cos t+c_2 \sin t \cdots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=-c_{1} \sin t+c_{2} \cos t
(1) में से (2) घटाने पर:
(D+2)x-5x+(D+1)y-(D+3)y=0
Dx-3x-2y=0… (6)
x तथा \frac{d x}{d t} का मान (6) में रखने पर:

-c_1 \sin t+c_2 \cos t-3 c_1 \cos t-3 c_2 \sin t=2 y \\ \Rightarrow 2 y=\left(3 c_2-c_1\right) \sin t+\left(c_2-3 c_1\right) \cos t \\ \Rightarrow y=\frac{1}{2} [-\left(3 c_2+c_1\right) \sin t+\left(c_2-3 c_1\right) \cos t ] \\ x=c_1 \cos t+c_2 \sin t
Example:3. \frac{d x}{d t}=a x+b y ; \frac{d y}{d t}=a^{\prime} x+b^{\prime} y
Solution: \frac{d x}{d t}=a x+b y ; \frac{d y}{d t}=a^{\prime} x+b^{\prime} y
(D-a)x-by=0… (1)
-a’x+(D-b’)y=0… (2)
(1) को (D-b’) से तथा (2) को b से संक्रिया करने पर:
\left(D-b^{\prime}\right)(D-a) x-b\left(D-b^{\prime}\right) y=0 \cdots(3) \\ -a^{\prime} b x+b\left(D-b^{\prime}\right) y=0 \cdots(4)
(3) व (4) को जोड़ने पर:
\left(D-b^{\prime}\right)(D-a) x-a^{\prime} b x=0 \\ \Rightarrow D^2x-D a x-b^{\prime} D x+a b^{\prime} x-a^{\prime} b x=0 \\ \Rightarrow \left[D^2-(a+b^{\prime}) D+a b^{\prime}-a^{\prime} b\right] x=0
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2-\left(a+b^{\prime}\right) m+a b^{\prime}-a^{\prime} b=0 \\ \Rightarrow m=\frac{\left(a+ b^{\prime} \right) \pm \sqrt{\left\{-\left(a+b^{\prime}\right)\right\}^2-4 \times 1 \times(a b^{\prime}-a^{\prime} b)}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=\frac{a+b^{\prime} \pm \sqrt{a^2+ b^{\prime^{2}}+2 a b^{\prime}-4 a b^{\prime}+4 a^{\prime} b}}{2} \\ m=\frac{a+b^{\prime} \pm \sqrt{a^2+b^{\prime^{2}}-2 a b^{\prime}+4 a^{\prime} b}}{2}\\ m_1=\frac{a+b^{\prime}+\sqrt{(a-b^{\prime})^2+4 a^{\prime} b}}{2}\\ m_2=\frac{a+b^{\prime}-\sqrt{(a-b^{\prime})^2+4 a^{\prime} b}}{2}
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=c_1 e^{m_{1} t}+c_2 e^{m_{2} t} \ldots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{dx}{dt}=c_1 m_{1} e^{m_{1} t}+c_{2} m_{2} e^{m_{2} t}
x व \frac{dx}{dt} का मान (1) में रखने पर:

b y=c_{1} m_1 e^{m_1 t}+c_{2} m_2 e^{m_2 t}-a c_1 e^{m_1 t}-a c_2 e^{m_2 t} \\ y=\frac{1}{b}\left[\left(m_1-a\right) c_1 e^{m_1 t}+\left(m_2-a\right) c_2 e^{m_2 t}\right] \\ x=c_1 e^{m_1 t}+c_2 e^{m_2 t}
जहाँ m_{1} व m_{2} निम्न के धनात्मक व ऋणात्मक चिन्हों वाले मान हैं

\frac{1}{2}\left[(a+b^{\prime}) \pm \sqrt{\left\{(a-b^{\prime})^2+4 a^{\prime} b\right\}}\right]
Example:4. \frac{d z}{d x}=x+y ; \frac{d y}{d x}=x+z
Solution: \frac{d z}{d x}=x+y ; \frac{d y}{d x}=x+z \\ \frac{d z}{d x}-y=x \cdots(1) \\ \frac{d y}{d x}-z=x \cdots(2)
(1) व (2) से:

\frac{d z}{d x}-y=\frac{d y}{d x}-z \\ \frac{d z}{d x}-\frac{d y}{d x}-y+z=0 \\ (D+1)(z-y)=0 \ldots(3)
इसका सहायक समीकरण होगा:

m+1=0 \Rightarrow m=-1
अतः (3) का व्यापक हल होगा:

z-y=c e^{-x} \\ \Rightarrow e^x (z-y)=c
Example:5. \frac{d^2 x}{d t^2}+3 \frac{d y}{d t}+16 x=0 ; \frac{d^2 y}{d t^2}-5 \frac{d x}{d t}+9 y=0
Solution: \frac{d^2 x}{d t^2}+3 \frac{d y}{d t}+16 x=0 ; \frac{d^2 y}{d t^2}-5 \frac{d x}{d t}+9 y=0 \\ \left(D^2+16\right) x+3 D y=0 \cdots(1) \\ -5 D x+\left(D^2+9\right) y=0 \cdots(2)
(1) को \left(D^2+9\right) से तथा (2) को 3D से संक्रिया करने पर:

\left(D^2+9\right)\left(D^2+16\right) x+3 D\left(D^2+9\right) y=0 \cdots(3) \\ -15 D^2 x+3 D\left(D^2+9\right) y=0 \cdots(4)
(3) में से (4) घटाने पर:

\left(D^2+9\right)\left(D^2+16\right) x+15 D^2 x=0 \\ \Rightarrow \left(D^4+25 D^2+144+15 D^2\right) x=0 \\ \Rightarrow \left(D^4+40 D^2+144\right) x=0 \cdots(5)
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^4+40 m^2+144=0 \\ \Rightarrow m^4+36 m^2+4 m^2+144=0 \\ \Rightarrow m^2\left(m^2 +36\right)+4\left(m^2+36\right)=0 \\ \Rightarrow \left(m^2+4\right)\left(m^2+36\right)=0 \\ \Rightarrow m=\pm 2 i, \pm 6 i
अब (5) का व्यापक हल होगा:

x=c_{1} \cos 2 t+c_2 \sin 2 t+c_3 \cos 6 t+c_4 \sin 6 t \cdots(6)
(6) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

पुनः t के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-4c_{1} \cos 2t-4 c_2 \sin 2 t-36 c_3 \cos 6 t -36 c_4 \sin 6 t \cdots(7)
(6) व (7) से (1) में मान रखने पर:

Simultaneous Differential Equations DE

Example:6. \frac{d x}{d t}+4 x+3 y=t ; \frac{d y}{d t}+2 x+5 y=e^t
Solution: \frac{d x}{d t}+4 x+3 y=t ; \frac{d y}{d t}+2 x+5 y=e^t  \\(D+4) x+3 y=t \ldots(1) \\ 2 x+(D+5) y=e^t \ldots(2)
(1) को (D+5) से संक्रिया करने पर तथा (2) को 3 से गुणा करने पर:

(D+5)(D+4) x+3(D+5) y =(D+5) t \\ \Rightarrow(D+5)(D+4) x+3(D+5) y =1+5 t \cdots(3) \\ 6 x+3(D+5) y =3 e^t \ldots(5)
(3) में से (4) घटाने पर:

[(D+5)(D+4)-6] x=1+5 t-3 e^t \\ \Rightarrow\left(D^2+9 D+20-6\right) x=1+5 t-3 e^t \\ \Rightarrow \left(D^2+9 D+14\right) x=1+5 t-3 e^t \cdots(5)
इसका सहायक समीकरण होगा:

\Rightarrow m^2+9 m+14=0 \\ \Rightarrow m^2+7 m+2 m+14=0 \\ \Rightarrow m(m+7)+2(m+7)=0 \\ \Rightarrow(m+2)(m+7)=0 \\ \Rightarrow m=-2,-7 \\ \text{C.F.}=c_1 e^{-2 t}+c_2 e^{-7t} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{\left(D^2+9 D+14\right)}\left[1+5 t-3 e^t\right] \\ =\frac{1}{\left(D^2+9 D+14\right)}(1)+\frac{1}{\left( D^2+9 D+14\right)} (5t)-\frac{3}{\left( D^2+9 D+14\right)} e^t \\ =\frac{1}{0^2+9(0)+14}+\frac{5}{14} \cdot \frac{1}{\left(1+\frac{D^2+9 D}{14}\right)}-\frac{3}{1^2+9 \times 1+14} e^t \\ =\frac{1}{14}+\frac{5}{14}\left(1+\frac{D^2+9 D}{14}\right)^{-1} t-\frac{3}{24} e^t \\ \text{P.I.} =\frac{1}{14}+\frac{5}{14}\left[1+\frac{D^2+9 D}{14}+\cdots\right] t-\frac{3}{24} e^t\\ \text{P.I.} =\frac{1}{14}+\frac{5}{14}\left[t-\frac{9}{14}\right]-\frac{3}{24} e^t \\ \text { P.I } =-\frac{31}{196}+\frac{5}{14} t-\frac{3}{24} e^t
अतः (5) का व्यापक हल होगा:

x=c_1 e^{-2 t}+c_2 e^{-7t}+\frac{5}{14} t-\frac{1}{8} e^t-\frac{31}{196} \cdots(6)
(6) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:.

x तथा \frac{d x}{d t} का मान (1) में रखने पर:

Example:7. \frac{d x}{d t}+5 x+y=e^t ; \frac{d y}{d t}-x+3 y=e^{2 t}
Solution: \frac{d x}{d t}+5 x+y=e^t ; \frac{d y}{d t}-x+3 y=e^{2 t} \\ (D+5) x+y=e^t \ldots(1) \\ -x+(D+3) y=e^{2 t} \cdots(2)
(1) को (D+3) से संक्रिया करने पर:

(D+3)(D+5) x+(D+3) y=4 e^t \cdots(3) \\ -x+(D+3) y=e^{2 t} \ldots(2)
(3) में से (2) घटाने पर:

(D+3)(D+5) x+x=4 e^t-e^{2 t} \\ \Rightarrow\left(D^2+8 D+15+1\right) x=4 e^t-e^{2 t} \\ \Rightarrow\left(D^2+8 D+16\right) x=4 e^t-e^{2 t} \ldots(4)
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2+8 m+16=0\\ \Rightarrow(m+4)^2=0\\ \Rightarrow m=-4,-4\\ \text { C.F. }=\left(c_1+c_2 t\right) e^{-4 t}\\ \text { P.I. }=\frac{1}{D^2+8 D+16}\left(e^t-e^{2 t}\right)\\ =\frac{1}{\left(D^2+8 D+16\right)} 4e^{t}-\frac{1}{\left(D^2+8 D+16\right)} e^{2 t} \\ =4 \frac{1}{1^2+8 \times 1+16} e^t-\frac{1}{2^2+8 \times 2+16} e^{2 t} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=\frac{4}{25} e^t+\frac{1}{36} e^{2 t}
अतः (4) का व्यापक हल होगा:

x=\left(c_1+c_2 t\right) e^{-4t}+\frac{4}{25} e^t-\frac{1}{36} e^{2 t} \ldots(5)
(5) का t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}= c_2 e^{-4 t}-4 c_1 e^{-4 t}-4 c_2 t e^{-4 t} +\frac{4}{25} e^t-\frac{1}{18} e^{2 t}
x तथा \frac{d x}{d t} का मान (1) में रखने पर:

c_2 e^{-4 t}-4 c_1 e^{-4 t}-4 c_2 t e^{-4 t}+\frac{4}{25} e^t-\frac{1}{18} e^{2 t} +5 c_1 e^{-4 t}+5 c_2 t e^{-4 t}+\frac{4}{5} e^t-\frac{5}{36} e^{2 t} +y=e^t \\ \Rightarrow c_1 e^{-4 t}+c_2 t e^{-4 t}+c_2 e^{-4 t}+\frac{24}{25} e^t-\frac{7}{36} e^{2 t} +y=e^t \\ \Rightarrow y=-c_1 e^{-4 t}-c_2 t e^{-4 t}-c_2 e^{-4 t}+\frac{1}{25} e^t+\frac{7}{36} e^{2 t} \\ \Rightarrow y=-\left(c_1+c_2+c_2 t\right) e^{-4 t}+\frac{1}{25} e^t+\frac{7}{36} e^{2 t} \\ x=\left(c_1+c_2 t\right) e^{-4 t}+\frac{4}{25} e^t-\frac{1}{36} e^{2 t}
Example:8. \frac{d x}{d t}-7 x+y=e^t; \frac{d y}{d t}-2 x-5 y=e^{2 t}
Solution: \frac{d x}{d t}-7 x+y=e^t; \frac{d y}{d t}-2 x-5 y=e^{2 t} \\ (D-7) x+y=e^t \cdots(1) \\ -2 x+(D-5) y=e^{2 t} \cdots(2)
(1) को (D-5) से संक्रिया करने पर:

(D-5)(D-7) x+(D-5) y=(D-5) e^t \\ \Rightarrow (D-5)(D-7) x+(D-5) y=-4 e^t \cdots(3) \\ -2 x+(D-5) y=e^{2 t} \cdots(2)
(3) में से (2) घटाने पर:

(D-5)(D-7) x+2 x=-4 e^t-e^{2 t} \\ \Rightarrow \left(D^2-12 D+35+2\right) x=-4 e^t-e^{2 t} \\ \Rightarrow \left(D^2-12 D+37\right) x=-4 e^t-e^{2 t} \cdots(4)
इसका सहायक समीकरण होगा:

m^2-12 m+37=0 \\ m=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4 \times 1 \times 37}}{2 \times 1} \\ \Rightarrow m=\frac{12 \pm \sqrt{144-148}}{2}\\ \Rightarrow m=\frac{12 \pm \sqrt{-4}}{2}\\ \Rightarrow m=\frac{12 \pm 2 i}{2}\\ \Rightarrow m=6+i\\ \text { C.F. }=e^{6 t}(c_{1} \cos t+c_{2} \sin t)\\ \text{P.I.}=\frac{1}{D^2-12 D+37}\left(-4 e^t-e^{2 t}\right)\\ =-4 \cdot \frac{1}{D^2-12 D+37}e^{t}-\frac{1}{D^2-12 D+37} e^{2 t}\\ =-\frac{4}{(1)^2-12 \times 1+37} e^{t}-\frac{1}{2^2-12 \times 2+37} e^{2 t}\\ \Rightarrow \text{P.I.}=-\frac{4}{26} e^t-\frac{1}{17} e^{2 t}
अब (4) का व्यापक हल होगा:

x=e^{6 t} \cdot\left(c_1 \cos t+c_{2} \sin t\right)-\frac{2}{13} e^t-\frac{1}{17} e^{2 t}
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=6 e^{6 t}(c_{1} \cos t+c_{2} \sin t)+e^{6 t} (-c_{1} \sin t+c_{2} \cos t)-\frac{2}{13} e^t-\frac{2}{17} e^{2 t}
x तथा \frac{d x}{d t} का मान (1) में रखने पर:

6 c_1 e^{6 t} \cos t+6 c_2 e^{6 t} \sin t-c_1 e^{6 t} \sin t +c_2 e^{6 t} \cos t-\frac{2}{13} e^t-\frac{2}{17} e^{2 t}-7 c_1 e^{6 t} \cos t-7 c_2 e^{6 t} \sin t+\frac{14}{13} e^t + \frac{7}{17} e^{2 t}+y=e^t \\ \Rightarrow -c_1 e^{6 t} \cos t-c_2 e^{6 t} \sin t-c_1 e^{6 t} \sin t +c_2 e^{6 t} \cos t+\frac{12}{13} e^t+\frac{5}{17} e^{2 t}+y=e^t \\ \Rightarrow y=\left(c_1-c_2\right) e^{6 t} \cos t+\left(c_1+c_2\right) e^{6 t} \sin t +\frac{1}{13} e^t-\frac{5}{17} e^{2 t} \\ x=e^{6 t}\left(c_1 \cos t+c_2 \sin t\right)-\frac{2}{13} e^t-\frac{1}{17} e^{2 t}
Example:9. \frac{d x}{d t} +2\frac{d y}{d t}-2 x+2 y=3 e^{t}; 3 \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}+2 x+y=4 e^{2 t}
Solution: \frac{d x}{d t} +2\frac{d y}{d t}-2 x+2 y=3 e^{t}; 3 \frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}+2 x+y=4 e^{2 t} \\ (D-2) x+(2 D+2) y=3 e^t \cdots(1) \\ (3 D+2) x+(D+1) y=4 e^{2 t} \cdots(2)
(2) को 2 से गुणा करने पर:

(6 D+4) x+(2 D+2) y=8 e^{2 t} \cdots(3) \\ (D-2) x+(2 D+2) y=3 e^t \cdots(1)
(3) में से (1) घटाने पर:

(6 D+4) x-(D-2) x=8 e^{2 t}-3 e^t \\ \Rightarrow(6 D-D+4+2) x=8 e^{2 t}-3 e^t \\ \Rightarrow(5 D+6) x=8 e^{2 t}-3 e^t \cdots(4)
इसका सहायक समीकरण होगा:

5 m+6=0 \Rightarrow m=-\frac{6}{5} \\ \text{C.F.}=c_{1} e^{-\frac{6t}{5}} \\ \text{P.I.}=\frac{1}{(5 D+6)}\left(8 e^{2 t}-3 e^t\right) \\ =8 \cdot \frac{1}{(5 D+6)} e^{2 t}-\frac{3}{5 D+6} e^t \\ =8 \cdot \frac{1}{5 \times 2+6} e^{2 t}-\frac{3}{5 \times 1+6} e^t \\ \Rightarrow \text{P.I.}=\frac{1}{2} e^{2 t}-\frac{3}{11} e^t
अतः (4) का व्यापक हल होगा:

x=c_{1} e^{-\frac{6t}{5}}+\frac{1}{2} e^{2 t}-\frac{3}{11} e^t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

x तथा \frac{d x}{d t} का मान (1) में रखने पर:

-\frac{6}{5} c_{1} e^{-\frac{6 t}{5}}+e^{2t}-\frac{3}{11} e^t-2 c_{1} e^{-\frac{6 t}{5}}-e^{2 t}+\frac{6}{11} e^{t} +2(D+1) y=3 e^t \\ \Rightarrow -\frac{16}{5} e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{3}{11} e^t+2(D+1) y=3 e^t \\ \Rightarrow 2(D+1) y=\frac{16}{5} e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{30}{11} e^t \cdots(5)
सहायक समीकरण होगा:

2(m+1)=0\\ \Rightarrow m=-1 \\ \text{C.F.}=c_2 e^t \\ \text{P.I.}=\frac{1}{2(D+1)}\left(\frac{16}{5} e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{30}{11} e^t\right) \\ =\frac{8}{5} \cdot \frac{1}{D+1} \cdot e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{15}{11} \frac{1}{D+1} e^{t}\\ =\frac{8}{5} \times\left(-\frac{5}{1}\right) e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{15}{22} e^t \\ \Rightarrow \text{P.I.}=-8 e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{15}{22} e^t
(5) का व्यापक हल होगा:

y=c_2 e^{-t}-8 e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{15}{22} e^t \\ x=c_1 e^{-\frac{6 t}{5}}+\frac{1}{2} e^{2 t}-\frac{3}{11} e^t
Example:10. 5 \frac{d y}{d x}-2 \frac{d z}{d x}+4 y-z=e^{-x} ; \frac{d y}{d x}+8 y-3 z=5 e^{-x}
Solution: 5 \frac{d y}{d x}-2 \frac{d z}{d x}+4 y-z=e^{-x} ; \frac{d y}{d x}+8 y-3 z=5 e^{-x} \\ (5 D+4) y-(2 D+1) z=e^{-x} \cdots(1) \\ (D+8) y-3 z=5 e^{-x} \cdots(2)
(1) को 3 से गुणा करने तथा (2) को (2D+1) से संक्रिया करने पर:

(25 D+12) y-3(2 D+1) z=3 e^{-x} \cdots(3) \\ (2 D+1)(D+8) y-3(2 D+1) z=5(2 D+1) e^{-x} \\ (2 D+1)(D+8) y-3\left(2 D+1\right) z=-5 e^{-x} \cdots(4)
(3) में से (4) घटाने पर:

(15 D+12) y-(2 D+1)( D+8) y=8 e^{-x} \\ \left(15 D+12-2 D^2-17 D-8\right) y=8 e^{-x} \\ \left(-2 D^2-2 D+4\right) y=8 e^{-x} \cdots(5)
इसका सहायक समीकरण होगा:

\Rightarrow-2 m^2-2 m+4=0 \\ \Rightarrow-2 m^2-4 m+2 m+4=0 \\ \Rightarrow-2 m(m+2)+2(m+2)=0 \\ \Rightarrow(m+2)(-2 m+2)=0 \\ \Rightarrow m=1,-2 \\ \text { C.F. }=c_1 e^x+c_2 e^{-2 x} \\ \text { P.I. }=\frac{1}{-2 D^2-2 D+4} 8 e^{-x} \\ =8 e^{-x} \frac{1}{-2 \times (-1)^2-2\times -1+4} \\ =\frac{8 e^{-x}}{4} \\ \Rightarrow \text { P.I. }=2 e^{-x}
अब (5) का व्यापक हल होगा:

y=c_1 e^x+c_{2} e^{-2 x}+2 e^{-x}
x के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d y}{d x}=c_1 e^x-2 c_2 e^{-2 x}-2 e^{-x}
y तथा \frac{d y}{d x} का मान (2) में रखने पर:

c_{1} e^x-2 c_2 e^{-2 x}-2 e^{-x}+8c_{1} e^x+8 c_2 e^{-2 x}+16 e^{-x}-3 z=5 e^{-x} \\ 9 c_1 e^x+6 c_2 e^{-2 x}+14 e^{-x}-3 z=5 e^{-x} \\ 3 z=9 c_1 e^x+6 c_2 e^{-2 x}+9 e^{-x} \\ z=3 c_1 e^x+2 c_2 e^{-2 x}+3 e^{-x} \\ y=c_1 e^x+c_2 e^{-2 x}+2 e^{-x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) को समझ सकते हैं।

3.युगपत अवकल समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Simultaneous Differential Equations DE):

Simultaneous Differential Equations DE

निम्नलिखित युगपत अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the Following Simultaneous Differential Equations):
(1.) D^2 x+4 x+y=t e^t ; D^2 y+y-2 x=\sin ^2 t where D \equiv \frac{d}{d t}
(2.) D x+D y-2 y=2 \cos t-3 \sin t \\ D x-D y+2 x=4 \cos t-7 \sin t  where D \equiv \frac{d}{d t}
उत्तर (Answers):(1.) x=c_1 \cos \left(\sqrt{3} t+c_2\right)+c_3 \cos \left(\sqrt{2} t+c_3\right) +\left(\frac{1}{6}\right) e^t\left[t-\frac{1}{6}\right]- \frac{1}{12}+\frac{1}{4} \cos 2 t \\ y=-c_{1} \cos \left(\sqrt{3} t+c_2\right)-2 c_{3} \cos \left(\sqrt{2} t-c_4\right)+\frac{1}{6} \left[t-\frac{7}{6}\right] e^t+\frac{1}{3}

(2 .) y=c_{1} e^{\sqrt{2} t}+c_2 e^{-\sqrt{2} t}+\left(\frac{2}{3}\right)(\sin t-2 \cos t) \\ x=c_1(\sqrt{2}-1) e^{\sqrt{2} t}-c_2(\sqrt{2}+1) e^{-\sqrt{2} t}-\frac{4}{3} \sin t+3 \cos t 
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE),अचर गुणांकों वाले युगपत रैखिक अवकल समीकरण (Simultaneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

युगपत अवकल समीकरण (Simultaneous Differential Equations DE) वे साधारण
अवकल समीकरण होते हैं जिनमें युगपत समीकरणों की संख्या आश्रित चर राशियों की
संख्या के बराबर होती है