1.अवकल समीकरण में युगपत समीकरण (Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree):

Simultaneous Equations in DE

अवकल समीकरण में युगपत समीकरण (Simultaneous Equations in DE) अर्थात् प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरणों को हल करने की कुछ सरल विधियाँ हैं।ये विधियाँ पहले दी गई विधियों से लघु (shorter) हैं।यहाँ ये विधियाँ तीन चर संख्याओं वाले समीकरणों के लिए दी गई है।
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2.अवकल समीकरण में युगपत समीकरण पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Simultaneous Equations in DE):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):
Example:1. \frac{d x}{y}=\frac{d y}{x}=\frac{d z}{z}
Solution: \frac{d x}{y}=\frac{d y}{x}=\frac{d z}{z}
प्रथम दो भिन्नों से:

\frac{d x}{y}=\frac{d y}{x}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int x d x=\int y d y \\ \Rightarrow x^2=y^2+C_1 \\ \Rightarrow x^2-y^2=C_1
प्रथम दो व अन्तिम भिन्न से:

\frac{d x+d y}{x+y}=\frac{d z}{z}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x+d y}{x+y}=\int \frac{d z}{z} \\ \text { put } x+y=t \\ d x+d y=d t \\ \int \frac{d t}{t}=\int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log t=\log z+\log C_2 \\ \Rightarrow \log t= \log \left(z C_2\right) \\ \Rightarrow t=z C_2 \\ \Rightarrow x+y=z C_2, x^2-y^2=C_{1}
Example:2. \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{z}
Solution: \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}=\frac{d z}{z}
प्रथम दो भिन्नों से:

\frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{x} =\int \frac{d y}{y} \\ \log x =\log y+\log C_{1} \\ \Rightarrow \log x =\log (y C_{1}) \\ \Rightarrow x =y C_{1}
अन्तिम दो भिन्नों से:

\frac{d y}{y}=\frac{d z}{z}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d y}{y}=\int \frac{d z}{z} \\ \log y=\log z+\log c \\ \Rightarrow y=z C_{2}, x=y C_{1}
Example:3. \frac{d x}{m z-n y}=\frac{d y}{n x-l z}=\frac{d z}{l y-m x}
Solution: \frac{d x}{m z-n y}=\frac{d y}{n x-l z}=\frac{d z}{l y-m x} \\ \frac{l d x}{lm z-ln y}=\frac{m d y}{ln x-mlz}=\frac{n d z}{n l y-nmx} \\ \Rightarrow \frac{l d x}{lm z-ln y}=\frac{m d y}{m n x-m l z}=\frac{n d z}{n l y-n m x}= \frac{l dx+m d y+n d z}{lm z-l n y+m n x-m l z+n l y-n m x } \\ \Rightarrow x dx+m d y+n dz=0
समाकलन करने पर:

\int l d x+\int m d y+\int n d z=0 \\ \Rightarrow l x+m y+n z=C_{1} \\ \frac{x d x}{m x z-n x y}=\frac{y d y}{n x y-l z y}=\frac{z d z}{l z y-m x z} \\ \Rightarrow \frac{x d x}{m x z-n x y}=\frac{y d y}{n x y-l z y}=\frac{z d z}{l z y-m x z}=\frac{x d x+y d y+z d z}{m x z-n x y+n x y-l z y+l z y-m x z} \\ \Rightarrow x d x+y d y+z d z=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int x d x+\int y d y+\int z d z=0\\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2= C_2\\ l x+m y+n z=C_1
Example:4. \frac{l d x}{m n(y-z)}=\frac{m d y}{n l(z-x)}=\frac{n d z}{ln (x-y)}
Solution: \frac{l d x}{m n(y-z)}=\frac{m d y}{n l(z-x)}=\frac{n d z}{ln (x-y)} \\ \Rightarrow \frac{l^2 d x}{lmn(y-z)}=\frac{m^2 d y}{lm n(z-x)}=\frac{n^2 d z}{lm n(x-y)}=\frac{l^2 d x+m^2 d y+n^2 d z}{lm n y-lm n z+lm n z-lmn x+lmnx-lmny} \\ \Rightarrow l^2 d x+m^2 d y+n^2 d z=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int l^2 d x+\int m^2 d y+\int n^2 d z=0\\ \Rightarrow l^2 x+m^2 y+n^2 z=C_{1}\\ \frac{l^2 x d y}{lmn x(y-z)}=\frac{m^2 y d y}{lmn y(z-x)}=\frac{n^2 z d z}{lmn z(x-y)}=\frac{l^2 x dx+m^{2} y d y+n^2 z d z}{lmn xy-lmn x z+lmn y z-lmn y x+lmn zx-lmnzy}\\ \Rightarrow l^2 x d x+m^2 y d y+n^2 z d z=0
समाकलन करने पर:

\int l^2 x d x+\int m^2 y d y+\int n^2 z d z=0 \\ \Rightarrow l^2 x^2+m^2 y^2+n^2 z^2=C_2 \\ l^2 x+m^2 x+n^2 z=C_{1}
Example:5. \frac{d x}{y-zx}=\frac{d y}{x+y z}=\frac{d z}{x^2+y^2}
Solution: \frac{d x}{y-zx}=\frac{d y}{x+y z}=\frac{d z}{x^2+y^2} \\ \frac{y d x}{y^2-x y z}=\frac{x d y}{x^2+x y z}=\frac{d z}{x^2+y^2} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{y^2+x^2-x y z+x y z}=\frac{d z}{x^2+y^2} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{x^2+y^2}=\frac{d z}{x^2+y^2} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{1}=\frac{d z}{1}
समाकलन करने पर:

\int(y d x+x d y)=\int d z \\ \Rightarrow x y=z+C_{1} \\ \Rightarrow x y-z=C_{1} \\ \frac{x d x}{x y-z x^2}=\frac{y d y}{x y+y^2 z}=\frac{z d z}{x^2 z+y^2 z}= \frac{x d x-y d y+z d z}{x y-z x^2-x y-y^2 z+x^2 z+y^2 z} \\ \Rightarrow x d x-y d y+z d z=0
समाकलन करने पर:

\int x d x-\int y d y+\int z d z=0 \\ x^2-y^2+z^2=C_2 \\ x y-z=C_{1}
Example:6. \frac{d x}{x(y-z)}=\frac{d y}{y(z-x)}=\frac{d z}{z(x-y)}
Solution: \frac{d x}{x(y-z)}=\frac{d y}{y(z-x)}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \frac{d x}{x(y-z)}=\frac{d y}{y(z-x)}=\frac{d z}{z(x-y)}=\frac{d x+d y+d z}{x y-x z+y z-x y+z x-z y} \\ \Rightarrow d x+d y+d z=0
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int d x+\int d y+\int d z=0 \\ \Rightarrow x+y+z=C_{1} \\ \frac{y d x+x d y}{x y(y-z)+y x(z-x)}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{x y^2-x y z+x y z-x^2 y}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{-x y(x-y)}=\frac{d z}{z(x-y)} \\ \Rightarrow \frac{y d x+x d y}{x y}=-\frac{d z}{z}
समाकलन करने पर:

\int \frac{y d x+x d y}{x y}=-\int \frac{d z}{z} \\ \text { put } x y=t \\ xdy+ydx=dt \\ \Rightarrow \int \frac{d t}{t}=-\int \frac{d z}{z} \\ \Rightarrow \log t=-\log z+\log C_{2} \\ \Rightarrow \log t+\log z=\log C_2 \\ \Rightarrow \log (t z)=\log C_{2} \\ \Rightarrow t z=C_{2} \\ \Rightarrow x y z=C_{2} \\ x+y+z=C_{1}
Example:7. \frac{d x}{x\left(y^2-z^2\right)}=\frac{d y}{y\left(z^2-x^2\right)}=\frac{d z}{z\left(x^2-y^2\right)}
Solution: \frac{d x}{x\left(y^2-z^2\right)}=\frac{d y}{y\left(z^2-x^2\right)}=\frac{d z}{z\left(x^2-y^2\right)} \\ \frac{x d x}{x^2\left(y^2 -z^2\right)}=\frac{y d y}{y^2\left(z^2-x^2\right)}=\frac{z d z}{z^2\left(x^2-y^2\right)}=\frac{x d x+y d y+z d z}{x^2 y^2-x^2 z^2+y^2 z^2-y^2 x^2+z^2 x^2-z^2 y^2} \\ \Rightarrow x d x+y d y+z d z=0
समाकलन करने पर:

\int x d x+\int y d y+\int z d z=0 \\ \Rightarrow x^2+y^2+z^2=C_{1} \\ \frac{\frac{d x}{x}}{y^{2}-z^{2}}=\frac{\frac{d y}{y}}{z^{2}-x^{2}}=\frac{\frac{d z}{z}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{\frac{d x}{x}+\frac{d y}{y}+\frac{d z}{z}}{y^{2}-z^{2}+z^{2}-x^{2}+x^{2}-y^{2}} \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}+\frac{d y}{y}+\frac{d z}{z}=0
समाकलन करने पर:

Simultaneous Equations in DE

Example:8. \frac{d x}{y z}=\frac{d y}{z x}=\frac{d z}{x y}
Solution: \frac{d x}{y z}=\frac{d y}{z x}=\frac{d z}{x y} \\ \Rightarrow \frac{x d x}{x y z}=\frac{y d y}{x y z}=\frac{z d z}{x y z}
प्रथम दो भिन्नों से:

\frac{x d x}{x y z}= \frac{y d y}{x y z} \\ \Rightarrow x d x=y d y
समाकलन करने पर:

\int x d x =\int y d y \\ \Rightarrow x^2-y^2 =C_{1}
अन्तिम दो भिन्नों से:

\frac{y d y}{x y z}=\frac{z d z}{x y z} \\ \Rightarrow y d y=z d z
समाकलन करने पर:

\int y d y=\int z d z \\ \Rightarrow y^2-z^2=C_{2}, x^2-y^2=C_{1}
Example:9. \frac{d x}{y^2}=\frac{d y}{x^2}=\frac{d z}{x^2 y^2 z^2}
Solution: \frac{d x}{y^2}=\frac{d y}{x^2}=\frac{d z}{x^2 y^2 z^2}
प्रथम व द्वितीय भिन्न से:

\frac{d x}{y^2}=\frac{d y}{x^2}\\ \Rightarrow x^2 d x=y^2 d y
समाकलन करने पर:

\int x^2 d x=\int y^2 d y\\ \Rightarrow x^3-y^3=C_{1} \\ \frac{\frac{d x}{y^2}+\frac{d y}{x^2}}{1+1}=\frac{dz}{x^2 y^2 z^2} \\ x^2 y^2\left(\frac{d x}{y^2}+\frac{d y}{x^2}\right)=\frac{2 d z}{z^2} \\ \Rightarrow 3 x^2 d x+3 y^2 d y=\frac{6 d z}{z^2}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow \int 3 x^2 d x+\int 3 y^2 d y=6 \int \frac{d z}{z^2} \\ \Rightarrow x^3+y^3=-\frac{6}{z}+C_2 \\ \Rightarrow x^3+y^3+\frac{6}{z}=C_2, x^3-y^3=C_{1}
Example:10. \frac{x}{y^2 z}=\frac{d y}{x z}=\frac{d z}{y^2}
Solution: \frac{x}{y^2 z}=\frac{d y}{x z}=\frac{d z}{y^2}
प्रथम दो भिन्नों से:

\frac{x d x}{y^2 z}=\frac{d y}{x z} \\ \Rightarrow x^2 d x=y^2 d z
समाकलन करने पर:

\int x^2 d x=\int y^2 d z \\ \Rightarrow x^3-y^3=C_{1}
प्रथम व अन्तिम भिन्न से:

\frac{x d x}{y^2 z}=\frac{d z}{y^2} \\ \Rightarrow x d x=z d z \\ \Rightarrow x^2-z^2=C_2, x^3-y^3=C_{1}
Example:11. \frac{d x}{1}=\frac{d y}{-2}=\frac{d z}{3 x^2 \sin (y+2 x)}
Solution: \frac{d x}{1}=\frac{d y}{-2}=\frac{d z}{3 x^2 \sin (y+2 x)}
प्रथम व द्वितीय भिन्न से:

\frac{d x}{1}=\frac{d y}{-2}
समाकलन करने पर:

\Rightarrow 2 \int d x=-\int d y \\ \Rightarrow 2 x+y=C_1
प्रथम व अन्तिम भिन्न से:

\frac{d x}{1}=\frac{d z}{3 x^2 \sin (y+2 x)} \\ \Rightarrow 3 x^2 d x=\frac{d z}{\sin C_{1}} \\ \Rightarrow 3 x^2 \sin\left( C_{1} \right ) d x=d z \\ \Rightarrow-3 x^2 \sin\left( C_{1} \right ) d x=-d z
समाकलन करने पर:

-3 \sin \left( C_{1} \right ) \int x^2 d x=-\int d z \\ \Rightarrow -x^3 \sin \left( C_{1} \right )=-z+C_{2} \\ \Rightarrow -x^3 \sin (y+2 x)+C_{2}, 2 x+y=C_{1}
Example:12. \frac{d x}{x y}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{x y z-2 x^2}
Solution: \frac{d x}{x y}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{x y z-2 x^2}
प्रथम दो भिन्नों से

\frac{d x}{x y}=\frac{d y}{y^2} \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{d y}{y}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{x}=\int \frac{d y}{y} \\ \log x=\log y+\log C_{1} \\ \Rightarrow x=C_{1} y \\ \frac{d x}{x y}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{x yz-2 x^2} \\ \Rightarrow \frac{d x}{C_{1} y^2}=\frac{d y}{y^2}=\frac{d z}{C_{1} y^2 z-2C_{1}^2 y^2} \\ \Rightarrow \frac{d x}{C_{1}}=\frac{d z}{C_1 z-2 C_{1}^2}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{C_{1}}=\int \frac{dz}{C_{1} z-2 C_{1}^2} \\ x=\log \left(C_{1} z-2 C_{1}^{2}\right)+C_{2} \\ \Rightarrow x=\log \left(\frac{x z}{y}- \frac{2x^2}{y^2}\right)+C_2 \\ \Rightarrow x=\log \left(x z y-2 x^2\right)-2 \log y+z=C_2 \\ x=C_{1} y
Example:13. \frac{d x}{x z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d y}{-y z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d z}{x^{4}}
Solution: \frac{d x}{x z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d y}{-y z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d z}{x^{4}}
प्रथम दो भिन्नों से:

\frac{d x}{x z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d y}{-y z\left(z^2+x y\right)} \\ \Rightarrow \frac{d x}{x}=\frac{d y}{-y}
समाकलन करने पर:

\int \frac{d x}{x}=\int \frac{d y}{-y} \\ \Rightarrow \log x =-\log y+\log C_1 \\ \Rightarrow x y =C_1
प्रथम व अन्तिम भिन्न से:

\frac{d x}{x z\left(z^2+x y\right)}=\frac{d z}{x^4} \\ \Rightarrow \frac{d x}{z\left(z^2+C_{1}\right)} =\frac{d z}{x^3} \\ x^3 d x=z\left(z^2+C_{1}\right) d z
समाकलन करने पर:

\int x^3 d x=\int z^3 d z+\int C_{1} y d z \\ \Rightarrow \frac{x^4}{4}=\frac{z^4}{4}+\frac{z^2}{2} C_{1} \\ \Rightarrow x^4=z^4+2z^2 C_{1}+C_2 \\ \Rightarrow x^4=z^2\left(z^2+2 x y\right)+C_2 \\ \Rightarrow x^4-z^2\left(z^2+2 x y\right)=C_{2} ,xy=C_{1}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में युगपत समीकरण (Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में युगपत समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Simultaneous Equations in DE):

Simultaneous Equations in DE

निम्नलिखित अवकल समीकरणों को हल कीजिए:
(Solve the following differential equations):

(1.) \frac{d x}{y^3 x-2 x^4}=\frac{d y}{2 y^4-x^3 y}=\frac{d z}{9 z\left(x^3-y^3\right)}
(2.) \frac{d z}{x^2-y z}=\frac{d y}{y^2-z x}=\frac{d z}{z^2-x y}
उत्तर (Answers):(1) x y z^{\frac{1}{3}}=C_{1}, x^3+y^3=C_{2} x^2 y^2
(2.)\frac{x-y}{y-z}=C_{1}, \frac{y-z}{z-x}=C_2
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में युगपत समीकरण (Simultaneous Equations in DE),प्रथम कोटि तथा प्रथम घात के युगपत समीकरण (Simultaneous Equations of 1st Order and 1st Degree) ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में युगपत समीकरण पर आधारित सवाल (Questions Based on Simultaneous Equations in DE) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में युगपत समीकरण (Simultaneous Equations in DE) अर्थात् प्रथम
कोटि तथाप्रथम घात के युगपत समीकरणों को हल करने की कुछ सरल विधियाँ हैं।