1.अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations in DE),यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations):

Exact Differential Equations in DE

अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations in DE) का कुछ उदाहरणों द्वारा व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।उदाहरण हल सहित निम्नलिखित हैंः
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2.अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण के साधित उदाहरण (Exact Differential Equations in DE Solved Examples):

निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः
(Solve the following differential equations):
Example:2. \left(y^2 e^{x y^2}+4 x^3\right) d x+\left(2 x y e^{x y^2}-3 y^2\right) d y=0
Solution: \left(y^2 e^{x y^2}+4 x^3\right) d x+\left(2 x y e^{x y^2}-3 y^2\right) d y=0 \cdots(1)
दिए हुए समीकरण में

M=y^2 e^{x y^2}+4 x^3, N=2 x y e^{x y^2}-3 y^2 \cdots(2) \\ \frac{\partial M}{\partial y}=2 y e^{x y^2}+2 x y^3 e^{x y^2} \text { तथा } \frac{\partial N}{\partial x}=2 y e^{x y^2}+2 x y^3 e^{x y^2} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i)U(x, y)=\int M d x=\int\left(y^2 e^{x y^2}+4 x^3\right) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=e^{x y^2}+x^4 
(ii) \frac{\partial U}{\partial y}=2 x y e^{x y^2}
(iii)N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right) =2 x y e^{x y^2}-3 y^2-2 x y e^{x y^2} \\=-3 y^2 \\ \therefore V(y) =\int\left\{N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)\right\} d y \\ =\int\left(-3 y^2\right) d y \\ \Rightarrow V(y) =-y^3
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow e^{x y^2}+x^{4}-y^3=c
Example:3. \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx +e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) d y=0
Solution: \left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) dx +e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) dy=0 \cdots(1)
दिए हुए समीकरण में

M=1+e^{\frac{\partial}{y}}, N=e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) \cdots(2) \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} तथा  \frac{\partial N}{\partial x}=-\frac{x}{y^2} e^{\frac{x}{y}} \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i)U(x, y)=\int M d x=\int\left(1+e^{\frac{x}{y}}\right) d x \\ \Rightarrow U(x,y)=x+y e^{\frac{x}{y}}
(ii)\frac{\partial U}{\partial y}=e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)
(iii)N-\frac{\partial U}{\partial y}=e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right)-e^{\frac{x}{y}}\left(1-\frac{x}{y}\right) \\ \Rightarrow N-\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0 \\ \therefore V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

U(x, y)+V(y)=c \\ \Rightarrow x+y e^{\frac{x}{y}}=c
Example:4. \left(e^y+1\right) \cos x d x+e^y \sin x d y=0
Solution: \left(e^y+1\right) \cos x d x+e^y \sin x d y=0 \cdots(1)
दिए हुए समीकरण में

M=\left(e^y+1\right) \cos x, N=e^y \sin x \\ \frac{\partial M}{\partial y}=e^y \cos x \cdots(2) तथा \frac{\partial N}{\partial x}=e^y \cos x \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i) U(x, y)=\int M d x=\int\left(e^y+1\right) \cos x dx \\ \Rightarrow U(x, y)=\left(e^y+1\right) \sin x
(ii) \frac{\partial U}{\partial y}=e^y \sin x
(iii) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=e^y \sin x-e^y \sin x=0 \\ \therefore V(y)=\int \left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int 0 d y=0
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

Exact Differential Equations in DE

Example:6. \left(x^2-2 x y-y^2\right) d x-(x+y)^2 d y=0
Solution: \left(x^2-2 x y-y^2\right) d x-(x+y)^2 d y=0 \cdots(1)
दिए हुए समीकरण में

M=\left(x^2-2 x y-y^2\right), N=-(x+y)^2 \\ \frac{\partial M}{\partial y}=-2 x-2 y तथा  \frac{\partial N}{\partial x}=-2(x+y) \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i)U(x, y)=\int M d x=\int\left(x^2-2 x y-y^2\right) d x \\ \Rightarrow U(x,y)=\frac{1}{3} x^3-x^2 y-x y^2

(ii) \frac{\partial U}{\partial y}=-x^2-2 x y

(iii)N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=-(x+y)^2+x^2+2 x y=-y^2 \\ \therefore V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int-y^2 d y \\ \Rightarrow V(y)=-\frac{1}{3} y^3
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

U(x, y)+v(y)=c \\ \Rightarrow \frac{1}{3} x^3-x^2 y-x y^2-\frac{1}{3} y^3=c \\ \Rightarrow x^3-y^3-3 x^2 y-3 x y^2=c
Example:7. (x+y)^3 d x-\left(y^3-3 x^2 y-3 x y^2-x^3\right) d y=0
Solution: (x+y)^3 d x-\left(y^3-3 x^2 y-3 x y^2-x^3\right) d y=0 \cdots(1)
दिए हुए समीकरण में

M=(x+y)^3, N=-\left(y^3-3 x^2 y-3 x y^2-x^3\right) \\ \frac{\partial M}{\partial y}=3(x+y)^2 \text { तथा } \frac{\partial N}{\partial x}=-\left(-6 x y-3 y^2-3 x^2\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=3(x+y)^2 \\ \therefore \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i) U(x, y)=\int M d x=\int(x+y)^3 d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{1}{4}(x+y)^4
(ii) \frac{\partial U}{\partial y}=(x+y)^3
(iii) N-\left(\frac{\partial y}{\partial y}\right)=-y^3+3 x^2 y+3 x y^2+x^2-(x+y)^3 \\ =-y^3+3 x^2 y+3 x y^2+x^3-x^2-3x^2y-3x^2-y^3 \\ \Rightarrow \left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) =-2 y^2 \\ \therefore V(y) =\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y \\ =\int-2 y^3 d y=-\frac{y^4}{2} \\ \Rightarrow V(y) =-\frac{y^4}{2}
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

U\left(x_1 y\right)+v(y)=c_1 \\ \frac{1}{4}(x+y)^4-\frac{y^4}{2}=c_{1} \\ \Rightarrow(x+y)^4-2 y^4=c
Example:9. \frac{d y}{d x}+\frac{a x+h y+g}{h x+b y+f}=0
Solution: \frac{d y}{d x}+\frac{a x+h y+g}{h x+b y+f}=0
(ax+hy+g)dx+(hx+by+f)dy=0…..(1)
दिए हुए समीकरण में
M=a x+h y+g, N=h x+b y+f \cdots(2) \\ \frac{\partial M}{\partial y}=h तथा \frac{\partial N}{\partial x}=h \\ \Rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
अवकल समीकरण (1) एक यथातथ (exact) अवकल समीकरण है।
इसका हल प्राप्त करने के लिए

(i) U(x, y)=\int M d x=\int(a x+h y+g) d x \\ \Rightarrow U(x, y)=\frac{a x^2}{2}+h x y+g x
(ii) \frac{\partial U}{\partial y}=h x
(iii) N-\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)=h x+h y+f-h x=h y+f \\ V(y)=\int\left(N-\frac{\partial U}{\partial y}\right) d y=\int(h y+f) d y \\ \Rightarrow V(y)=\frac{h y^2}{2}+f y
अतः दिए समीकरण का व्यापक हल होगाः

U(x, y)+V(y)=c_1 \\ \frac{1}{2} a x^2+hxy+gx+\frac{1}{2} h y^2+f y=C_{1} \\ a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations in DE),यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations) को समझ सकते हैं।

3.अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण की समस्याएँ (Exact Differential Equations in DE Problems):
निम्नलिखित अवकल समीकरणों का हल ज्ञात कीजिएः

Exact Differential Equations in DE

(Solve the following differential equations):

(1.)\left(12 x^2 y+2 x y^2+4 x^3-4 y^3+2 y e^{2x}-e^y\right) d x+\left(2 x^2 y+4 x^3-12 x y^2+3 y^2-x e^y+e^{2 x}\right) d y=0

(2.)\left\{y\left(1+\frac{1}{x}\right)+\cos x\right\} d x+(x+\log x-x \sin y) d y=0
(3.)\left\{y\left(1+\frac{1}{x}\right)+\cos y\right\} d x+\{x+\log x-x \sin y\} d y=0
उत्तर (Answers):(1.)4 x^3 y+x^2 y^2+x^4-4 x y^3+y e^{2 x}-x e^y+y^3=c
(2.) \{\sin 2 x-\cos (x+2 y)\}+\{\sin y\}=c
(3.) y(x+\log x)+x \cos y=c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations in DE),यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Frequently Asked Questions Related to Exact Differential Equations in DE),यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकल समीकरण में यथातथ अवकल समीकरण (Exact Differential Equations in DE)
का कुछ उदाहरणों द्वारा व्यापक हल ज्ञात करना सीखेंगे।