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Typical Formula Based Problems in Math

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1.गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याएं (Specific Formula Based Problems in Mathematics):

  • गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math) किसी निश्चित सूत्र की सहायता से हल होती हैं।गणित में सूत्र एक समीकरण होता है जिसकी सहायता से हम गणितीय समस्याओं को हल करते हैं।इन सूत्रों की सहायता से गणितीय समस्याएँ व सवाल आसानी तथा शीघ्रता से हल कर सकते हैं।
  • किसी गणितीय समस्या व सवाल में सूत्र का उपयोग करने से पूर्व हमें ध्यानपूर्वक यह पता लगाने की कोशिश करनी चाहिए कि वह समस्या किस कंटेंट (टॉपिक) से संबंधित है।जैसे द्विघात समीकरण है तो उसमें बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखंड किए जा सकते हैं।अथवा श्रीधराचार्य सूत्र से समीकरण के मूल ज्ञात किए जा सकते हैं।इसलिए गणितीय समस्या या सवाल किस टाॅपिक से संबंधित है,यह सर्वप्रथम जानना आवश्यक है।इसके पश्चात सूत्र की सहायता से उसका हल ज्ञात किया जा सकता है।
  • सूत्र (फाॅर्मूला) में अंकगणितीय ऑपरेटर,कोष्ठक,बराबर (=) के प्रतीक होते हैं। इसलिए ऑपरेटर्स की पहचान होना भी आवश्यक है।इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि सूत्र एक तथ्य या नियम है जो सभी गणितीय प्रतीकों (Mathematical Symbols) के साथ लिखा जाता है।
  • ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी के अनुसार सूत्र (Formula) की परिभाषा निम्नलिखित है:
  • A series of letters,numbers or symbols that represent a rule or law:These formula used to calculate the mathematical problems.
  • (अक्षरों,संख्याओं या प्रतीकों की एक श्रृंखला जो एक नियम या कानून का प्रतिनिधित्व करती है।ये सूत्र गणितीय समस्याओं की गणना करने के लिए प्रयोग किए जाते हैं।)
  • गणित से विद्यार्थियों में विशिष्ट चिंतन शक्ति,तर्कशक्ति,मनन करने की क्षमता,निर्णय लेने की शक्ति,रचनात्मकता तथा गणितीय कौशल जैसे गुणों का विकास होता है।इसलिए गणित विषय में तभी पारंगत,प्रखर तथा निपुण हो सकते हैं जबकि गणित के विभिन्न सूत्रों का ठीक से उपयोग करने की जानकारी हो।
  • इन सूत्रों का प्रयोग करने पर बोरियत नहीं होती है। हमेशा जब भी हम सूत्र का प्रयोग करते हैं तो उसमें नवीनता नजर आती है।ऐसा इसलिए होता है क्योंकि सूत्रों की सहायता से कोई भी गणितीय समस्या आसानी से और तत्काल हल हो जाती है। सूत्रों की सहायता से सवालों को हल करने में अद्भुत आनंद की अनुभूति होती है।इस आर्टिकल में कुछ उदाहरणों के द्वारा सूत्रों के उपयोग को समझाया गया है।
  • उपर्युक्त विवरण में गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याएं (Specific Formula Based Problems in Mathematics) के बारे में बताया गया है।
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2.गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याओं के उदाहरण (Typical Formula Based Problems in Math Examples),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याओं के उदाहरण (Specific Formula Based Problems in Mathematics Examples):

  • Example:1.एक पुस्तक का विक्रय मूल्य ₹119 है।यदि पुस्तक को उतने प्रतिशत लाभ पर बेचा गया हो जितना कि उसका क्रय मूल्य था तो पुस्तक का क्रय मूल्य ज्ञात करो।
  • Solution:माना पुस्तक का क्रय मूल्य=x
    पुस्तक पर लाभ=x%
    \Rightarrow x+x ×\frac{x}{100}=119
    \Rightarrow 100x+x ^2=11900
    \Rightarrow x ^2+100x-11900=0
    \Rightarrow x ^2+170x-70x-11900=0
    \Rightarrow x (x+170x)-70(x+170)=0
    \Rightarrow (x-70)(x+170)=0
    \Rightarrow x=70,-170
    \Rightarrow x=-170 (असंभव है)
    \Rightarrow \text अतःx=70
  • सूत्र:विक्रय में तत्त्व मिलाय के।
    गुनिये शत से ताहे।
    वर्गमूल निकाल के।
    शत आधा घट जाय।।
  • यहां तत्त्व का अर्थ 25 है,शत=100,शत का आधा=50
    क्रय मूल्य=√{(विक्रय मूल्य+25)×100}-50
    =√{(119+25)×100}-50
    \Rightarrow √(14400)-50
    \Rightarrow \text क्रयमूल्य=120-50=70
  • Example:2.प्रतीकों +,-,×,√ का उपयोग करते हुए केवल चार बार 4 का उपयोग कर 1 से 20 तक संख्याओं को लिखो।
  • Solution:\frac{4+4}{4+4}=1,\frac{4+√(4×4)}{4}=\frac{4+4}{4}=2
    \frac{4+4+4}{4}=3
    \frac{√4+√4}{4}×4=4
    √(4×4)+\frac{4}{4}=5
    \frac{4+4+4}{√4}=6
    \frac{44}{4}-4=7
    \frac{4×4×√4}{4}=8
    4+4+\frac{4}{4}=9
    4√4\frac{4}{√4}=10
    \frac{44}{√4+√4}=11
    4+4+√4+√4=12
    \frac{44}{4}+√4=13
    4×4-\frac{4}{√4}=14
    4×4-\frac{4}{4}=15
    4+4+4+4=16
    4×4+\frac{4}{4}=17
    4×4+\frac{4}{√4}=18
    4×4+√(4×4)=20
  • Example:3.ताश की एक गड्डी से 6 ताश के पत्ते यादृच्छिक (Random) तरीके से खींचे गए।सभी 6 पत्तों के काले होने की प्रायिकता क्या है?
  • Solution:ताश की गड्डी में कुल पत्ते=52
    ताश की गड्डी में कुल काले पत्ते=26 (13 चिड़ी के+13 हुकुम के पत्ते)
    अतः 6 काले पत्ते निकालने की प्रायिकता=\frac{^{26}c_{6}}{^{52}c_{6}}
    =\frac{\frac{26!}{20!6!}}{\frac{52!}{46!6!}}
    \Rightarrow\frac{26×25×24×23×22×21×20!}{20!6!}×\frac{46!6!}{52×51×50×49×48×47×46!}
    \Rightarrow\frac{26×25×24×23×22×21}{52×51×50×49×48×47}
    \Rightarrow\frac{253}{22372}
  • Example:4.एक बालक 10 मीटर ऊंचे खंभे पर चढ़ने की कोशिश कर रहा है।वह एक मिनट में 2 मीटर चढ़ता है जबकि दूसरे मिनट में एक मीटर नीचे फिसल जाता है।बालक कितनी देर में खंभे की चोटी पर पहुंच जाएगा?
  • Solution:बालक 2 मिनट में चढ़ता है=2 मीटर-1 मीटर=1 मीटर
    इस प्रकार 8 मिनट में 8 मीटर चढ़ जाएगा।नवीं मिनट में खम्भे की चोटी पर पहुंच जाएगा।अतः बालक खंभे की चोटी पर 9 मिनट में चढ़ जाएगा।
  • Example:5.एक विद्यालय के 5 अध्यापकों का औसत वेतन ₹20000 (बीस हजार रुपए) है।यदि उनमें प्रधानाध्यापक के वेतन भी शामिल किया जाए तो उनके औसत वेतन में 1000 की वृद्धि हो जाती है।प्रधान अध्यापक का वेतन ज्ञात करो।
  • Solution:5 अध्यापकों का कुल वेतन=5×20000=₹100000
    प्रधानाध्यापक सहित अध्यापकों का औसत वेतन=20000+1000=₹21000
    प्रधानाध्यापक सहित अध्यापकों का कुल वेतन=21000×6=₹126000
    प्रधानाध्यापक का वेतन=₹126000-₹120000=₹26000
  • Example:6.वह छोटी से छोटी संख्या बताओ जिसमें 2,3,4,5,6,7,8 और 9 का भाग देने पर क्रमशः 1,2,3,4,5,6,7,8 बचे तथा वह संख्या 11 से विभाज्य हो।
  • Solution:1,2,3,4,5,6,7,8,9 का क्रमशःअंतर=2-1=1,3-2=1,4-3=1,3,4-3=1,5-4=1,6-5=1,7-6=1,7-6=1,8-7=1,9-8=1 इत्यादि।
    2,3,4,5,6,7,8,9 का लघुतम समापवर्त्य=2520
    अतः वह छोटी से छोटी संख्या है=2520-1=2519
  • उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याएं (Specific Formula Based Problems in Mathematics) को ठीक से समझ सकते हैं।

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3.गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याएं (Specific Formula Based Problems in Mathematics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1 समस्या समाधान का सूत्र क्या है? (What is the formula for problem solving?):

उत्तर:यह एक दूरी की समस्या है इसलिए हम सूत्र d=rt का उपयोग कर सकते हैं,जहां दूरी समय से गुणा दर के बराबर होती है।ध्यान दें कि जब दर मील/घंटा में दी जाती है,तो समय को घंटों में व्यक्त किया जाना चाहिए।माप की संगत इकाइयाँ (Consistent units) एक सही समाधान प्राप्त करने की कुंजी हैं।सबसे पहले,हम ज्ञात और अज्ञात मात्राओं की पहचान करते हैं।

प्रश्न:2.गणित के टॉप 5 फॉर्मूले कौन से हैं? (What are the top 5 formulas in math?):

उत्तर:पूर्व-बीजगणित (Algebra)/प्रारंभिक बीजगणित (Elementary Algebra)
अंकगणितीय माध्य (औसत) (Arithmetic mean (average))=मानों का योग (Sum of values)/मानों की संख्या (Number of values)।
प्रायिकता (Probability)=लक्ष्य परिणाम (Target outcomes)/कुल परिणाम (Total outcomes)।
द्विघात सूत्र (Quadratic Formula): x =\frac{−b ± √b²-4ac}{2a}
दूरी सूत्र (Distance Formula):d=√(x₁–x₂)²+(y₁–y₂)²
ढाल सूत्र (Slope Formula): ढाल (Slope)= \frac{y₂-y₁}{ x₂-x₁}
ढलान अन्त:खण्ड (Slope Intercept):y=mx+b।

प्रश्न:3.सूत्रों के कुछ उदाहरण क्या हैं? (What are some examples of formulas?):

उत्तर:सूत्र के उदाहरण:
आयत का परिमाप (Perimeter of rectangle)=2(लंबाई + चौड़ाई)
आयत का क्षेत्रफल (Area of rectangle)=लंबाई × चौड़ाई।
वर्ग का परिमाप (Perimeter of square)=4× भुजा की लंबाई।
वर्ग का क्षेत्रफल (Area of square)=भुजा की लंबाई × भुजा की लंबाई।
घनाभ का आयतन (Volume of cuboid)= लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई।

प्रश्न:4.सबसे अच्छा गणितीय समीकरण कौन सा है? (What is the best mathematical equation?):

उत्तर:7 सबसे सुंदर गणितीय समीकरण
कलन (Calculus)।
पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem)।
1 = 0.999999999।
विशिष्ट सापेक्षता (Special relativity)।
यूलर का समीकरण (Euler’s equation)।
यूलर-लैग्रेंज समीकरण और नोएथर की प्रमेय (Euler-Lagrange equations and Noether’s theorem)।
कैलन-सिमान्ज़िक समीकरण (The Callan-Symanzik equation)।
न्यूनतम सतह समीकरण (The minimal surface equation)।

प्रश्न:5.गणित में सूत्रों का उपयोग क्यों किया जाता है? (Why are formulas used in maths?):

उत्तर:हमने सीखा है कि गणित के सूत्र समीकरण हैं जो हमें दिखाते हैं कि किसी चीज़ को कैसे हल किया जाए।समस्याओं को आसान और तेज़ी से हल करने में हमारी सहायता के लिए हम उनका उपयोग करते हैं।जिस तरह से हम उनका उपयोग करते हैं,वह यह है कि पहले अपनी समस्या को ध्यान से पढ़कर पता करें कि वह क्या मांग रहा है और फिर एक सूत्र की तलाश करें जो हमें हमारी समस्या का उत्तर दे।

प्रश्न:6.गणित के सबसे महत्वपूर्ण सूत्र कौन से हैं? (What are the most important math formulas?):

उत्तर:पाइथागोरस प्रमेय (The Pythagorean Theorem)।
लघुगणक और इसकी पहचान (The logarithm and its identities)।
कलन का मौलिक प्रमेय (The fundamental theorem of calculus)।
न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का सार्वत्रिक नियम (Newton’s universal law of gravitation)।
सम्मिश्र संख्याओं की उत्पत्ति (The origin of complex numbers)।
पॉलीहेड्रा के लिए यूलर का सूत्र (Euler’s formula for polyhedra)।
सामान्य वितरण (बंटन) (The normal distribution)।
तरंग समीकरण (The wave equation)।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math),गणित में विशिष्ट फाॅर्मूला आधारित समस्याएं (Specific Formula Based Problems in Mathematics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Typical Formula Based Problems in Math

गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math)

Typical Formula Based Problems in Math

गणित में विशिष्ट सूत्र आधारित समस्याएँ (Typical Formula Based Problems in Math) किसी निश्चित सूत्र की सहायता से हल होती हैं।गणित में सूत्र एक समीकरण होता है जिसकी सहायता से हम गणितीय समस्याओं को हल करते हैं।

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