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Integration by substitution

1.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का परिचय (Introduction to Integration by substitution)-

(1.)प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) में चरों के प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का अध्ययन करेंगे।दिए हुए चर के प्रतिस्थापन द्वारा स्वतन्त्र चर में परिवर्तन करके समाकल्य को मानक रूप में बदलकर समाकलन करना,प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) कहलाता है।
सामान्यतः प्रतिस्थापन करने का कोई सुनिश्चित तथा निर्धारित नियम नहीं है।यह समाकल्य की प्रकृति पर निर्भर करता है।प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) की सफलता इस बात पर निर्भर करती है कि हम किसी समाकल्य को दो ऐसे फलनों के गुणनफल के रूप में प्रकट कर सकें, जिनमें एक फलन दूसरे का अवकलज हो।
(2.)स्वतन्त्र चर के किसी फलन को एक चर के रूप में लिखकर उस चर के फलन के रूप में समाकल्य को परिवर्तित करना और फिर इस प्रकार सरल बनाए गए फलन का समाकलन करना। जैसे \int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } dxके निर्धारण के लिए x=sinu लिखते हैं और तब समाकल \int _{ 0 }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ { cos }^{ 2 }u } du हो जाता है जिसका निर्धारण सरल है।
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2.प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution)-

अब हम चरों के प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) को कुछ सवालों के हल द्वारा समझेंगे।

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए-
Question-1.\frac { { e }^{ x }-sinx }{ { e }^{ x }+cosx }
Solution-I=\int { \frac { { e }^{ x }-sinx }{ { e }^{ x }+cosx } dx } \\ { e }^{ x }+cosx=t\\ \left( { e }^{ x }-sinx \right) dx=dt\\ I=\int { \frac { 1 }{ t } dt } \\ I=\log { t } +c\\ I=\log { \left( { e }^{ x }+cosx \right) } +c

Question-2.\frac { 1 }{ x\left( 1+\log { x } \right) }
Solution-I=\frac { 1 }{ x\left( 1+\log { x } \right) } \\ 1+\log { x } =t\\ \frac { 1 }{ x } dx=dt\\ I=\int { \frac { 1 }{ t } dt } \\ I=\log { t } +c\\ I=\log { \left( 1+\log { x } \right) } +c

Question-3.\frac { { e }^{ m }\tan ^{ -1 }{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } }
Solution-I=\int { \frac { { e }^{ m }\tan ^{ -1 }{ x } }{ 1+{ x }^{ 2 } } } dx\\ m\tan ^{ -1 }{ x } =t\\ \frac { m }{ 1+{ x }^{ 2 } } dx=dt\\ \frac { dx }{ 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ m } dt\\ I=\frac { 1 }{ m } \int { { e }^{ t } } dt\\ I=\frac { 1 }{ m } { e }^{ t }+c\\ I=\frac { 1 }{ m } { e }^{ m\tan ^{ -1 }{ x } }+c

Question-4.\frac { sin\left( x+a \right) }{ sin\left( x-a \right) }
Solution-I=\int { \frac { sin\left( x+a \right) }{ sin\left( x-a \right) } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( x-a+2a \right) }{ sin\left( x-a \right) } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( x-a \right) .cos2a+cos\left( x-a \right) .sin2a }{ sin\left( x-a \right) } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( x-a \right) .cos2a }{ sin\left( x-a \right) } } dx+\int { \frac { cos\left( x-a \right) .sin2a }{ sin\left( x-a \right) } } dx\\ I=cos2a\int { dx } +sin2a\int { cot\left( x-a \right) dx } \\ I=x.cos2a+sin2a.\log { \left| sin\left( x-a \right) \right| } +c

Question-5.\frac { sin2x }{ sin5xsin3x }
Solution-I=\int { \frac { sin2x }{ sin5xsin3x } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( 5x-3x \right) }{ sin5xsin3x } } dx\\ I=\int { \frac { sin5x.cos3x-cos5x.sin3x }{ sin5xsin3x } } dx\\ I=\int { \frac { sin5x.cos3x }{ sin5xsin3x } } dx-\int { \frac { cos5x.sin3x }{ sin5xsin3x } } dx\\ I=\int { cot3x } dx-\int { cot5x } dx\\ I=\frac { 1 }{ 3 } \log { \left| sin3x \right| } -\frac { 1 }{ 5 } \log { \left| sin5x \right| } +c

Question-6.\frac { sin2x }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) }
Solution-=\int { \frac { sin2x }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } dx } \\ I=\int { \frac { sin\left\{ \left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) +\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) \right\} }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) .cos\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) +cos\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) .sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } } dx\\ I=\int { \frac { sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) .cos\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } } dx+\int { \frac { cos\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) .sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) }{ sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } } dx\\ =\int { cot\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) } dx\quad +\quad \int { cot\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) } dx\\ I=\log { \left| sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) \right| } +\log { \left| sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) \right| } +c\\ I=\log { \left| sin\left( x-\frac { \pi }{ 6 } \right) sin\left( x+\frac { \pi }{ 6 } \right) \right| } +c

Question-7.\frac { { sec }^{ 4 }x }{ \sqrt { tanx } }
Solution-I=\int { \frac { { sec }^{ 4 }x }{ \sqrt { tanx } } dx } \\ tanx=t\\ { sec }^{ 2 }xdx=dt\\ I=\int { \frac { { sec }^{ 2 }x }{ \sqrt { t } } } dt\\ I=\int { \frac { \left( 1+{ tan }^{ 2 }x \right) }{ \sqrt { t } } } dt\\ I=\int { \frac { 1+{ t }^{ 2 } }{ \sqrt { t } } } dt\\ I=\int { { t }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }dt } +\int { t^{ \frac { 3 }{ 2 } } } dt\\ I=2\sqrt { t } +\frac { 2 }{ 5 } t^{ \frac { 5 }{ 2 } }\\ I=2\sqrt { tanx } +\frac { 2 }{ 5 } tan^{ \frac { 5 }{ 2 } }x+c
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन (Integration by substitution) को ठीक से समझा जा सकता है।

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