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Logarithm

1.लघुगणक (Logarithm),लोगरिथ्मिक (Logarithmic):

लघुगणक (Logarithm) के माध्यम से गुणा,भाग तथा घातों की संख्याओं को हल करना अत्यन्त सरल हो जाता है।गणित के माध्यम से समस्याओं को हल करते समय कई बार हमें ऐसे व्यंजकों को काम में लेना होता है जिसमें बड़ी संख्याओं का गुणा,भाग या परिमेय घातों का प्रयोग होता है।सामान्य प्रचलित विधि से इनको हल करने में समय अधिक लगता है तथा अशुद्धियाँ रहने की आशंका रहती है।गणित के विद्वानों ने इस ओर ध्यान दिया तथा जाॅन नैपियर (John Napier) ने 1614 ईस्वी में लघुगणक की संकल्पना दी।लघुगणक का प्रयोग कर गुणा,भाग तथा घातांकों से युक्त समस्याओं को क्रमशः योग,व्यवकलन व गुणन में परिवर्तित कर लिया जाता है।परिणामतः जटिल समस्याओं का सरलता से तथा अपेक्षाकृत कम समय में ही हल करना सम्भव हो जाता है।
लघुगणक (Logarithm):समान संख्याओं के सतत गुणन जैसे 2×2×2=8 को संक्षेप में 2^{3} भी लिखते हैं।संख्या 2^{3} में 2 को आधार (base) तथा 3 को घातांक (Index) कहते हैं।
व्यापक रूप में यदि तीन संख्याओं a,x तथा n के मध्य सम्बन्ध a^{x}=n हो तो a आधार तथा x घातांक कहलाता है।
परिभाषा:यदि a और n वास्तविक धन संख्याएँ हों (जबकि a \neq 1 ) तथा a^{x}=n (घातांक रूप) तब घातांक x को आधार a पर n का लघुगणक कहते हैं।इसे \log _{a} n=x (लघुगणकीय रूप) लिखकर व्यक्त करते हैं।
अतः a^{x}=n \Leftrightarrow \log _{a} n=x, \quad \left [ a>0, a \neq 1 ; n>0 \right ]
टिप्पणी:(i)यहाँ को Logarithm के ‘संक्षिप्त रूप’ से व्यक्त किया है।
(ii)0 तथा ऋणात्मक सख्याओं के लघुगणक के मान वास्तविक (Real) नहीं होते।यदि k<0 तो \log _{a} K काल्पनिक होगा।
(iii)\log _{a} 1=0  जहाँ 0<a<1 या a>1
(iv)\log _{a} 1=1 जहाँ 0<a<1 या a>1
(v)आगे के अध्ययन में लघुगणक का आधार सदैव a>0 तथा a \neq 1 देखेंगे।
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2.लघुगणक के उदाहरण (Logarithm Examples):

निम्नलिखित को लघुगणकीय रूप में लिखिए (उदाहरण 1 से 6)
Example:1. 2^{6}=64
Solution: 2^{6}=64 \\ 2^{6}=64 का लघुगणकीय रूप है:

\log _{2} 64=6
Example:2.10^{4}=10000
Solution:10^{4}=10000 \\ 10^{4}=10000 का लघुगणकीय रूप है:

\log _{10} 10000=4
Example:3.2^{10}=1024 
Solution:2^{10}=1024  \\ 2^{10}=1024  का लघुगणकीय रूप है:

\log _{2} 1024=10
Example:4. 5^{-2}=\left(\frac{1}{25}\right)
Solution:5^{-2}=\left(\frac{1}{25}\right) \\ 5^{-2}=\left(\frac{1}{25}\right) का लघुगणकीय रूप है:

\log _{5}\left(\frac{1}{25} \right)=-2
Example:5.10^{-3}=0.001
Solution:10^{-3}=0.001 \\ 10^{-3}=0.001 का लघुगणकीय रूप है:

\log _{10} 0.001=-3
Example:6.4^{\frac{3}{2}}=8
Solution:4^{\frac{3}{2}}=8 \\ 4^{\frac{3}{2}}=8 का लघुगणकीय रूप है:

\log _{4} 8=\frac{3}{2}
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में लिखिए (उदाहरण 7 से 12)
Example:7.\log _{5} 25=2
Solution: \log _{5} 25=2 \\ \log _{5} 25=2 का घातांकीय रूप है:

5^{2}=25
Example:8.\log _{3} 729=6
Solution:\log _{3} 729=6 \\ \log _{3} 729=6 का घातांकीय रूप है:

3^{6}=729
Example:9.\log _{10} 0.001=-3
Solution:\log _{10} 0.001=-3 \\ \log _{10} 0.001=-3 का घातांकीय रूप है:

10^{-3}=0.001

Example:10.\log _{10} 0.1=-1
Solution:\log _{10} 0.1=-1 \\ \log _{10} 0.1=-1 का घातांकीय रूप है:

10^{-1}=0.1
Example:11.\log _{3}\left(\frac{1}{27}\right)=-3
Solution:\log _{3}\left(\frac{1}{27}\right)=-3 \\ \log _{3}\left(\frac{1}{27}\right)=-3 का घातांकीय रूप है:

3^{-3}=\frac{1}{27}
Example:12. \log _{\sqrt{2}} 4=4
Solution: \log _{\sqrt{2}} 4=4 \\ \log _{\sqrt{2}} 4=4 का घातांकीय रूप है:

(\sqrt{2})^{4}=4
Example:13.यदि \log _{81} x=\frac{3}{2} हो तो x का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:\log _{81} x=\frac{3}{2} \\ \Rightarrow(81)^{\frac{3}{2}}=x \\ \Rightarrow x=\left(9^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \\ \Rightarrow x=9^{3} \\ \Rightarrow x=729
Example:14.यदि \log _{125} p=\frac{1}{6} हो तो p का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:\log _{125} p=\frac{1}{6} \\ \Rightarrow(125)^{\frac{1}{6}}=p \\ \Rightarrow p=\left(5^{3}\right)^{\frac{1}{6}} \\ \Rightarrow p=(5)^{\frac{1}{2}} \\ \Rightarrow p=\sqrt{5}
Example:15.यदि \log _{4} m=1.5 हो तो m का मान ज्ञात कीजिए।
Solution:\log _{4} m=1.5 \\ \Rightarrow 4^{1.5}=m \\ \Rightarrow 4^{\left(\frac{15}{10}\right)}=m \\ \Rightarrow (4)^{\frac{3}{2}}=m \\ \Rightarrow\left(2^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=m \\ \Rightarrow 2^{3}=m \\ \Rightarrow m=8
Example:16.सिद्ध कीजिए

\log _{4}\left[\log _{2}\left\{\log _{2}\left(\log _{3} 81\right)\right\}\right]=0
Solution:L.H.S. \log _{4}\left[\log _{2}\left\{\log _{2}\left(\log _{3} 81\right)\right\}\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2}\left\{\log _{2}\left( \log _{3} 3^{4}\right)\right\}\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2}\left\{\log _{2}\left(4 \log _{3} 3\right)\right\}\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2}\left\{\log _{2} 4\right\}\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2}\left(\log _{2}\left(2^{2}\right)\right)\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2}\left(2 \log _{2} 2\right)\right] \\ \Rightarrow \log _{4}\left[\log _{2} 2\right] \\ \Rightarrow \log _{4} 1=0=R.H.S.
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा लघुगणक ,लोगरिथ्मिक (Logarithmic) को समझ सकते हैं।

3.लघुगणक के सवाल (Logarithm Questions):

निम्नलिखित संख्याओं के घातांकीय रूप को लघुगणकीय रूप में लिखिए।

\text { (1.) }3^{4}=81 \quad \text { (2.) } 2^{-5}=\frac{1}{32} \quad \text { (3.) } (81)^{\frac{1}{4}}=3
निम्नलिखित संख्याओं के लघुगणकीय रूप को घातांकीय रूप में परिवर्तित कीजिए।

\text { (4.) } \log _{7} 1=0 \quad \text { (5.) } \log _{128} 2=\frac{1}{7} \quad \text { (6.) } \log _{10} 1000=3
उत्तर (Answers):\text { (1.) } \log _{3} 81=4 \\ \text { (2.) } \log _{2}\left(\frac{1}{32}\right)=-5 \quad \text { (3.) } \log _{81} 3=\frac{1}{4} \\ \text { (4.) } 7^{\circ}=1 \quad \text { (5.}(128)^{\frac{1}{7}}=2 \quad \text { (6.) } 10^{3}=1000
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर लघुगणक ,लोगरिथ्मिक (Logarithmic) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.लघुगणक (Logarithm),लोगरिथ्मिक (Logarithmic) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.\log _{\sqrt{2}} x=4 हो तो x का मान होगा:

उत्तर:\log _{\sqrt{2}} x=4 \Rightarrow(\sqrt{2})^{4}=x \\ \Rightarrow\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{4}=x \Rightarrow 2^{2}=x \Rightarrow x=4

प्रश्न:2.\log _{x} 243=2.5 हो तो x का मान होगा:

उत्तर:\log _{x} 243=2.5 \\ \Rightarrow 2 x^{2.5}=243 \\ \Rightarrow(x)^{\frac{25}{10}}=(3)^{5} \Rightarrow(x)^{\frac{5}{2}}=(3)^{5} \\ \Rightarrow x=\left(3^{5}\right)^{\frac{2}{5}} \\ \Rightarrow x=3^{2} \Rightarrow x=9

प्रश्न:3.\log (1+2 \times 3) का मान है:

उत्तर:\log (1+2 \times 3) \ \Rightarrow \log (1+6) \Rightarrow \log 7

प्रश्न:4. \log_{b} a \cdot \log_{c} b \cdot \log _{a} c का मान है:

उत्तर: \log_{b} a \cdot \log_{c} b \cdot \log_{a} c \\ \Rightarrow \frac{\log_{e} a}{\log_{e} b} \times \frac{\log_{e} b}{\log_{e} c} \times \frac{\log_{e} c}{\log_{e} a}=1

प्रश्न:5.यदि a>0 तो \log _{a} 0 का मान है:

उत्तर:\log _{a} 0=\infty यदि a>0

प्रश्न:6.यदि a<0 तो \log _{a} 0 का मान है:

उत्तर: :\log _{a} 0=-\infty यदि a<0

प्रश्न:7. \log_{a} b का अन्य रूप है:

उत्तर:\log_{a} b=\frac{1}{\log_{b} a}

प्रश्न:8.संख्या \log _{2} 7 है:

उत्तर:अपरिमेय संख्या है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा लघुगणक ,लोगरिथ्मिक(Logarithmic) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

 

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लघुगणक (Logarithm)

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लघुगणक (Logarithm) के माध्यम से गुणा,भाग तथा घातों की संख्याओं को हल करना अत्यन्त सरल हो
जाता है।गणित के माध्यम से समस्याओं को हल करते समय कई बार हमें ऐसे व्यंजकों को काम में
लेना होता है जिसमें बड़ी संख्याओं का गुणा,भाग या परिमेय घातों का प्रयोग होता है।

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