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Derivative of Parametric Equations

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1 1.प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12):

1.प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12):

प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations)में उन फलनों के अवकलज का अध्ययन करेंगे जिसमें दो चर एक-दूसरे से सीधे सम्बन्धित न होकर तीसरे चर द्वारा सम्बन्धित हों।
इस रूप के फलनों के अवकलज ज्ञात करने हेतु श्रृंखला नियम द्वारा:
x=f(t), y=g(t) \\ \frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \cdot \frac{d x}{d t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}  (जब कभी \frac{d x}{d t} \neq 0) प्राप्त होता है।

इस

\frac{d y}{d x}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \frac{d y}{d t}=g^{\prime}(t) तथा \frac{d x}{d t}=f^{\prime}(t)

f^{\prime}(t) \neq 0
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2.प्राचलिक समीकरणों के अवकलज पर आधारित उदाहरण (Example Based on Derivative of Parametric Equations):

यदि प्रश्न 1 से 8 तक में दिए समीकरणों द्वारा,एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना ज्ञात कीजिए:
Example:1.x=2 a t^{2}, y=a t^{4}
Solution:x=2 a t^{2}, y=a t^{4}
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t} =4 a t, \frac{d y}{d t}=4 a t^{3} \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{4 a t^{3}}{4 a t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =t^{2}
Example:2. x=a \cos \theta, y=b \cos \theta
Solution:x=a \cos \theta, y=b \cos \theta
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d \theta}=-a \sin \theta, \frac{d y}{d \theta}=-b \sin \theta \\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{-b \sin \theta}{-a \sin \theta} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{b}{a}
Example:3. x=\sin t, y=\cos 2 t
Solution: x=\sin t, y=\cos 2 t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t} =\cos t, \frac{d y}{d t}=-2 \sin 2 t \\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{-2 \sin 2 t}{\cos t} \\ =\frac{-4 \sin t \cos t}{\cos t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-4 \sin t
Example:4. x=4 t, y=\frac{4}{t}
Solution: x=4 t, y=\frac{4}{t}
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t}=4, \frac{d y}{d t}=-\frac{4}{t^{2}}\\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}\\ =\frac{-\frac{4}{t^{2}}}{4}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{t^{2}}

Example:5. x=a(\theta-\sin \theta), y=a(1+\cos \theta)
Solution: x=a(\theta-\sin \theta), y=a(1+\cos \theta)
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d \theta} =a(1-\cos \theta), \frac{d y}{d \theta}=-a \sin \theta \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{-a \sin \theta}{a(1-\cos \theta)} \\ =\frac{-2 a \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 a \sin ^{2} \frac{\theta}{2}} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =-\cot \frac{\theta}{2}
Example:6. x=a\left(\cos t+\log \tan \frac{t}{2}\right), y=a \sin t
Solution: x=a\left(\cos t+\log \tan \frac{t}{2}\right), y=a \sin t
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d t} =a\left(-\sin t +\frac{\sec ^{2} \frac{t}{2}}{\tan \frac{t}{2}} \cdot \frac{1}{2}\right) \\ =a\left(-\sin t + \frac{1}{2 \sin \frac{t}{2} \cos \frac{t}{2}}\right) \\ =a\left(-\sin t+\frac{1}{\sin t}\right) \\ =a\left(\frac{-\sin^{2} t+1}{\sin t}\right) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d t} =\frac{a \cos ^{2} t}{\sin t} \\ \frac{d y}{d t} =a \cos t \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ =\frac{a \cos ^{2}}{\frac{a \cos ^{2} t}{\sin t}} \\ =\frac{\sin t}{\cos t} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\tan t
Example:7. x=a(\cos \theta+\theta \sin \theta),y=a(\sin \theta-\theta \cos \theta)
Solution: x=a(\cos \theta+\theta \sin \theta),y=a(\sin \theta-\theta \cos \theta)
\theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d x}{d \theta}=a(-\sin \theta+\sin \theta+\theta \cos \theta) \\ \Rightarrow \frac{d x}{d \theta}=a \theta \cos \theta \\ \frac{d y}{d \theta}=a(\cos \theta-\cos \theta+\theta \sin \theta) \\ \Rightarrow \frac{d y}{d \theta} =a \theta \sin \theta \\ \frac{d y}{d x} =\frac{\frac{d y}{d \theta}}{\frac{d x}{d \theta}} \\ =\frac{a \theta \sin \theta}{a \theta \cos \theta} \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\tan \theta
Example:8.यदि x=\sqrt{a^{\sin ^{-1} t}}, y=\sqrt{a^{\cos^{-1} t}} तो दर्शाइए कि \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}
Solution: x=\sqrt{a^{\sin ^{-1} t}}, y=\sqrt{a^{\cos^{-1} t}}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

\log x=\log \left(\sqrt{a^{\sin ^{-1} t} }\right), \log y=\log \sqrt{a^{\cos ^{-1} t}} \\ \Rightarrow \log x=\frac{\sin ^{-1} t}{2}\log a ; y=\frac{\cos ^{-1} t}{2} \log a
t के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{1}{x} \cdot \frac{d x}{d t}=\frac{\log a}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\\ \Rightarrow \frac{d x}{d t}=\frac{x \log a}{2 \sqrt{1-t^{2}}}\\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d t}=\frac{\log a}{2} \cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}\right)\\ \Rightarrow \frac{d y}{d t}=-\frac{y \log a}{2 \sqrt{1-t^{2}}}\\ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}\\ =\frac{-\frac{y \log a}{2 \sqrt{1-t^{2}}}}{\frac{x \log a}{2 \sqrt{1-t^{2}}}}\\=-\frac{y}{x}\\ \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12) को समझ सकते हैं।

3.प्राचलिक समीकरणों के अवकलज पर आधारित सवाल (Questions Based on Derivative of Parametric Equations):

\text { (1.) } x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t \\ \text { (2.) } x=\sin ^{-1}\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}\right), y=\cos ^{1}\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\right) \\ \text { (3.) } x=e^{\theta}\left(\theta+\frac{1}{\theta}\right), y=e^{-\theta}\left(\theta-\frac{1}{\theta}\right)

उत्तर (Answers):(1.) -tan t (2.) 1

(3.) \frac{e^{-\theta} \left[\theta^{2}+1-\theta^{3}+\theta\right]}{e^{\theta} \left[\theta^{2}-1 +\theta^{3}+\theta\right]}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.प्राचलिक समीकरण से क्या तात्पर्य है? (What is meant by parametric equation?):

उत्तर:जब x तथा y दोनों किसी तीसरी चर राशि के पदों में व्यक्त किये जाते हैं। जैसे यदि x=f(t), y=g(t) हो तो चर राशि t को प्राचल कहते हैं तथा इस प्रकार के समीकरण को प्राचलिक समीकरण (Parametric Equation) कहलाते हैं।

प्रश्न:2.प्राचल किसे कहते हैं? (What is the parameter called?):

उत्तर:कभी-कभी दो चर राशियों के बीच का सम्बन्ध न तो स्पष्ट होता है और न अस्पष्ट किन्तु एक अन्य (तीसरी) चर राशि से पृथक-पृथक सम्बन्धों द्वारा प्रथम दो राशियों के मध्य एक सम्बन्ध स्थापित हो जाता है ऐसी स्थिति में हम कहते हैं कि उन दोनों के बीच का सम्बन्ध एक तीसरी चर राशि के माध्यम से वर्णित है।यह तीसरी चर राशि प्राचल (parameter) कहलाती है।

प्रश्न:3.प्राचलिक समीकरण के अवकलज का सूत्र लिखो।(Write the formula of the derivative of the parametric equation):

उत्तर:यदि प्राचलिक समीकरण से प्राचल का विलोपन करना कठिन हो तब \frac{dy}{dx} का मान निम्न सूत्र से ज्ञात कर सकते हैं:
\frac{d y}{d t}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{\text{प्राचल t के सापेक्ष y का अवकलन }}{\text{प्राचल t के सापेक्ष x का अवकलन}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations),फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज कक्षा 12 (Derivative of Parametric Function Class 12) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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प्राचलिक समीकरणों के अवकलज
(Derivative of Parametric Equations)

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प्राचलिक समीकरणों के अवकलज (Derivative of Parametric Equations) में उन फलनों के
अवकलज का अध्ययन करेंगे जिसमें दो चर एक-दूसरे से सीधे सम्बन्धित न होकर तीसरे चर
द्वारा सम्बन्धित हों।

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