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Second order derivative

1.द्वितीय कोटि का अवकलज का परिचय (Introduction to Second order derivative)-

द्वितीय कोटि का अवकलज (Second order derivative) का प्रयोग कुछ भौतिक एवं ज्यामितीय अवधारणाओं के अध्ययन में किया जाता है।यदि y चर x का एक अवकलनीय फलन है तो इसके अवकलज \frac { dy }{ dx } का अस्तित्व होता है जो इसका प्रथम क्रम का अवकलज कहलाता है।
यदि \frac { dy }{ dx }   पुनः चर x का अवकलनीय फलन है तो हम इसका भी अवकलज \frac { d }{ dx } \left( \frac { dy }{ dx } \right) ज्ञात कर सकते हैं जो फलन y का x के सापेक्ष द्वितीय क्रम का अवकलज कहलाता है।इसे\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \quad या\quad { y }_{ 2 }\quad या\quad { y }^{ \prime \prime }\quad या\quad { D }^{ 2 }y\quad या\quad f^{ \prime \prime }\left( x \right)   से व्यक्त करते हैं।
इस आर्टिकल में द्वितीय कोटि का अवकलज (Second order derivative) का अध्ययन करेंगे।
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2.द्वितीय कोटि का अवकलज (Second order derivative)-

निम्नलिखित उदाहरणों से द्वितीय कोटि का अवकलज को आसानी से समझा जा सकता है।
Question-1.यदि y=a.sinx+b.cosx,तब सिद्ध कीजिए कि\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y=0

Solution-y=a.sinx+b.cosx....(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =a.cosx-b.sinx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-a.sinx-b.cosx\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\left( a.sinx+b.cosx \right)
समीकरण (1) से मान रखने पर-

\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-y\\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +y=0
Question-2.यदि y=secx+tanx,तब सिद्ध कीजिए कि\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { cosx }{ { \left( 1-sinx \right) }^{ 2 } }
Solution-y=secx+tanx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =secx.tanx+{ sec }^{ 2 }x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =secx.{ tan }^{ 2 }x+{ sec }^{ 3 }x+2{ sec }^{ 2 }x.tanx\\ =\frac { { sin }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 3 }x } +\frac { 1 }{ { cos }^{ 3 }x } +\frac { 2sinx }{ { cos }^{ 3 }x } \\ =\frac { { sin }^{ 2 }x+1+2sinx }{ { cos }^{ 3 }x } \\ =\frac { { \left( 1+sinx \right) }^{ 2 } }{ cosx\left( { cos }^{ 2 }x \right) } \\ =\frac { { \left( 1+sinx \right) }^{ 2 } }{ cosx\left( 1-{ sin }^{ 2 }x \right) } \\ =\frac { { \left( 1+sinx \right) }^{ 2 } }{ cosx\left( 1-{ sin }x \right) \left( 1{ +sin }x \right) } \\ =\frac { { \left( 1+sinx \right) } }{ cosx\left( 1-{ sin }x \right) } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { \left( 1+sinx \right) \left( 1-{ sin }x \right) } }{ cosx{ \left( 1-sinx \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { { \left( 1-sin^{ 2 }x \right) } } }{ cosx{ \left( 1-sinx \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { { cos }^{ 2 }x } }{ cosx{ \left( 1-sinx \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { { cos }x } }{ { \left( 1-sinx \right) }^{ 2 } }
Question-3.यदिy=a.cosnx+b.sinnx ,तब सिद्ध कीजिए कि\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ n }^{ 2 }y=0
Solution-y=a.cosnx+b.sinnx....(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dy }{ dx } =-ax.sinnx+bx.cosnx
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-a{ x }^{ 2 }.sinnx-b{ x }^{ 2 }.sinnx\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-{ x }^{ 2 }\left( a.sinnx+b.sinnx \right)
समीकरण (1) से मान रखने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-{ n }^{ 2 }y\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } +{ n }^{ 2 }y=0

Question-4.यदिx=a.{ cos }^{ 3 }\theta ,y=a.{ sin }^{ 3 }\theta ,तब \theta =\frac { \pi }{ 4 } पर \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } का मान ज्ञात कीजिए।
Solution-x=a.{ cos }^{ 3 }\theta ,y=a.{ sin }^{ 3 }\theta
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dx }{ d\theta } =-3a.{ cos }^{ 2 }\theta .sin\theta ......(1)\\ \frac { dy }{ d\theta } =3a.{ sin }^{ 2 }\theta .cos\theta ......(2)
समीकरण (1) तथा (2) से-

\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ d\theta } .\frac { d\theta }{ dx } \\ =3a.{ sin }^{ 2 }\theta .cos\theta \times \frac { 1 }{ -3a.{ cos }^{ 2 }\theta .sin\theta } \\ =-\frac { sin\theta }{ cos\theta } \\ =-tan\theta
पुनः x के  सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\frac { d }{ dx } \left( tan\theta \right) \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-\frac { d }{ d\theta } \left( tan\theta \right) .\frac { d\theta }{ dx } \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =-{ sec }^{ 2 }\theta .\frac { 1 }{ -3a.{ cos }^{ 2 }\theta .sin\theta } \\ \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 3a.{ cos }^{ 4 }\theta .sin\theta } \\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \theta =\frac { \pi }{ 4 } }=\frac { 1 }{ 3a.{ cos }^{ 4 }\frac { \pi }{ 4 } .sin\frac { \pi }{ 4 } } \\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \theta =\frac { \pi }{ 4 } }=\frac { 1 }{ 3a.{ \left( \frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \right) }^{ 4 }\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } } \\ { \left( \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } \right) }_{ \theta =\frac { \pi }{ 4 } }=\frac { 4\sqrt { 2 } }{ 3a }
Question-5.यदि { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }-3axy=0,तब सिद्ध कीजिए कि\frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { 2{ a }^{ 3 }xy }{ { \left( ax-{ y }^{ 2 } \right) }^{ 3 } }
Solution-{ x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }-3axy=0

x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow 3{ x }^{ 2 }+3{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } -3ay-3ax\frac { dy }{ dx } =0\\ \Rightarrow 3{ y }^{ 2 }\frac { dy }{ dx } -3ax\frac { dy }{ dx } =3ay-3{ x }^{ 2 }\\ \Rightarrow 3\frac { dy }{ dx } \left( { y }^{ 2 }-ax \right) =3\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { \left( ay-{ x }^{ 2 } \right) }{ \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) \left[ a\frac { dy }{ dx } -2x \right] -\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \left[ 2y\frac { dy }{ dx } -a \right] }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) \left[ a.\frac { \left( ay-{ x }^{ 2 } \right) }{ \left( { y }^{ 2 }-ax \right) } -2x \right] -\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \left[ 2y.\frac { \left( ay-{ x }^{ 2 } \right) }{ \left( { y }^{ 2 }-ax \right) } -a \right] }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 2 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) \left[ { a }^{ 2 }y-{ ax }^{ 2 }-2x{ y }^{ 2 }+2a{ x }^{ 2 } \right] -\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \left[ 2a{ y }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 }y-a{ y }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }x \right] }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) \left[ { a }^{ 2 }y+a{ x }^{ 2 }-2x{ y }^{ 2 } \right] -\left( ay-{ x }^{ 2 } \right) \left[ a{ y }^{ 2 }-2{ x }^{ 2 }y+{ a }^{ 2 }x \right] }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { { a }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+ax^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2xy^{ 4 }-{ a }^{ 3 }xy-{ a }^{ 2 }x^{ 3 }+2a{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }\\ -{ a }^{ 2 }{ y }^{ 3 }+2a{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-{ a }^{ 3 }xy+a{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2{ x }^{ 4 }y+{ a }^{ 2 }x^{ 3 } }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { -2xy^{ 4 }-2{ x }^{ 4 }y+6a{ x }^{ 2 }{ y }^{ 2 }-2{ a }^{ 3 }xy }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { -2xy\left[ { x }^{ 3 }+{ y }^{ 3 }-3axy \right] -2{ a }^{ 3 }xy }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { -2xy\left[ 0 \right] -2{ a }^{ 3 }xy }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } } \\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { -2{ a }^{ 3 }xy }{ { \left( { y }^{ 2 }-ax \right) }^{ 3 } }

Question-6.यदि y=\sin ^{ -1 }{ x } ,तब सिद्ध कीजिए कि\left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } =0
Solution-y=\sin ^{ -1 }{ x }
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } ......(1)
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { x }{ { \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } } } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =\frac { x }{ \sqrt { 1-{ x }^{ 2 } } } \\ \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } =x\frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow \left( 1-{ x }^{ 2 } \right) \frac { { d }^{ 2 }y }{ { dx }^{ 2 } } -x\frac { dy }{ dx } =0
इस प्रकार उपर्युक्त सवालों के हल द्वारा द्वितीय कोटि का अवकलज (Second order derivative) को समझा जा सकता है।

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