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Solution of differential equation

1.अवकल समीकरण का हल का परिचय (Introduction to Solution of differential equation)-

अवकल समीकरण  का हल (Solution of differential equation) को ज्ञात करने के लिए अवकल समीकरण को समझना आवश्यक है।

(1.)अवकल समीकरण (Differential equation)-

एक ऐसी समीकरण जिसमें स्वतन्त्र चर,आश्रित चर एवं आश्रित चर में स्वतन्त्र चर के सापेक्ष अवकलन विद्यमान हो अवकल समीकरण कहलाती है।अवकल समीकरण सामान्यतः दो प्रकार की होती है:
(i) साधारण अवकल समीकरण (Ordinary differential equation)
(ii)आंशिक अवकल समीकरण (partial Differential Equation)
इस आर्टिकल में हम साधारण अवकल समीकरण का हल (Solution of differential equation) के बारे में अध्ययन करेंगे।

(2.) साधारण अवकल समीकरण (Ordinary differential equation)-

ऐसी अवकल समीकरण जिसमें केवल एक ही स्वतन्त्र चर हो तथा इस चर और उसके सापेक्ष एक या अधिक क्रम के अवकलज विद्यमान हो तो वे साधारण अवकल समीकरण कहलाती है।
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2.साधारण अवकल समीकरण की कोटि (Order of ordering ordinary differential equation)-

किसी अवकल समीकरण में विद्यमान स्वतन्त्र चर के सापेक्ष आश्रित चर के उच्चतम अवकलज की कोटि ही उस अवकलज की कोटि कहलाती है।
अवकल समीकरण { x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +x\frac { dy }{ dx } +2y=\sin { \theta } की कोटि दो है क्योंकि इस समीकरण में आश्रित चर y का अधिकतम अवकलज दो बार हुआ है।

3.साधारण अवकल समीकरण की घात (Degree of ordinary differential equation)-

किसी अवकल समीकरण की घात उस अवकल समीकरण को अवकलजों के संदर्भ में परिमेय तथा पूर्ण बीजीय बनाने के बाद उसमें विद्यमान उच्चतम कोटि के अवकलज गुणांक की घात ही उस अवकल समीकरण की घात कहलाती है।

{ \left( \frac { { d }^{ 3 }y }{ d{ x }^{ 3 } } \right) }^{ 2 }+\frac { dy }{ dx } -3y=0

की घात दो है क्योंकि इस समीकरण में उपस्थित अधिकतम अवकलन \frac { { d }^{ 3 }y }{ d{ x }^{ 3 } } है जिसकी घात दो है।

4.अवकल समीकरण का हल (Solution of differential equation)-

अवकल समीकरण के हल से अभिप्राय समीकरण में प्रयुक्त स्वतन्त्र एवं आश्रित चरों में एक ऐसा सम्बन्ध जिसमें कोई भी अवकल गुणांक न हो तथा इससे एवं इससे प्राप्त अवकलजों से दिया गया अवकल समीकरण सन्तुष्ट हो।अवकल समीकरण का पूर्वग (Primitive) भी कहलाता है क्योंकि वह अवकल समीकरण उसी से व्युत्पन्न एक सम्बन्ध होता है।

5.अवकल समीकरण का व्यापक, विशिष्ट एवं विचित्र हल (General,perticular and singular solution of differential equation)-

(1.)अवकल समीकरण का व्यापक हल (General solution of differential equation)-
अवकल समीकरण के हल में यदि उसकी कोटि (order) के बराबर स्वेच्छ अचर हो तो वह हल व्यापक हल कहलाता है।इसे पूर्ण हल,पूर्ण समाकल या पूर्ण पूर्वग भी कहते हैं। y=A\cos { x } +B\sin { x } समीकरण \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +y=0 का व्यापक हल (General solution of differential equation ) है क्योंकि अवकल समीकरण की कोटि 2 के बराबर स्वेच्छ अचर विद्यमान है।
(2.)अवकल समीकरण का विशिष्ट हल (perticular Solution of differential equation)-
अवकल समीकरण के व्यापक हल में प्रयुक्त अचरों को स्वेच्छ मान देने पर प्राप्त हल विशिष्ट हल कहलाता है।
y=3\cos { x } +2\sin { x } अवकल समीकरण \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +y=0 का विशिष्ट हल है।
(3.)अवकल समीकरण का विचित्र हल (Singular solution of differential equation)-
अवकल समीकरण के वे हल जिनमें स्वेच्छ अचर विद्यमान नहीं होते हैं तथा सामान्यतया व्यापक हल की विशेष स्थिति नहीं होती है।

6.अवकल समीकरण का हल (Solution of differential equation) पर आधारित सवाल-

Question-1.सिद्ध कीजिए कि { y }^{ 2 }=4a(x+a) अवकल समीकरण y\left[ 1-{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right] =2x\frac { dy }{ dx } का हल है।
Solution{ y }^{ 2 }=4a(x+a) ….(1)
अवकलन करने पर-

2y\frac { dy }{ dx } =4a\\ y\frac { dy }{ dx } =2a\\ \frac { 1 }{ 2 } y\frac { dy }{ dx } =a…..(2)
a का मान समीकरण (1) में रखने पर-

{ y }^{ 2 }=4\left( \frac { 1 }{ 2 } y\frac { dy }{ dx } \right) \left( x+\frac { 1 }{ 2 } y\frac { dy }{ dx } \right) \\ \Rightarrow y=2\frac { dy }{ dx } \left( x+\frac { 1 }{ 2 } y\frac { dy }{ dx } \right) \\ \Rightarrow y=2x\frac { dy }{ dx } +y{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }\\ \Rightarrow y-y{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 }=2x\frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow y\left[ 1-{ \left( \frac { dy }{ dx } \right) }^{ 2 } \right] =2x\frac { dy }{ dx }

Question-2.सिद्ध कीजिए कि y=a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x } अवकल समीकरण \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } -2y=0 का हल है।
Solutiony=a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x }….(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =-2a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x }…..(2)
समीकरण (2) का x के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर-

\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =4a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =2a{ e }^{ -2x }-b{ e }^{ x }+2a{ e }^{ -2x }+2b{ e }^{ x }\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =-(-2a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x })+2(a{ e }^{ -2x }+b{ e }^{ x })…..(3)
समीकरण (1) व (2) से समीकरण (3) में मान रखने पर-

\Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =-\frac { dy }{ dx } +2y\\ \Rightarrow \frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +\frac { dy }{ dx } -2y=0

Question-3.सिद्ध कीजिए कि y=a\cos { (\log { x } ) } +b\sin { (\log { x } ) } अवकल समीकरण { x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +x\frac { dy }{ dx } +y=0 का हल है।
Solutiony=a\cos { (\log { x } ) } +b\sin { (\log { x } ) } ….(1)
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } =-a\sin { (\log { x } ) } .\frac { 1 }{ x } +b\cos { (\log { x } ) } .\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow x\frac { dy }{ dx } =-a\sin { (\log { x } ) } +b\cos { (\log { x } ) } …..(2)
पुनः समीकरण (2) का ‌x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dx } +x\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } =-a\cos { (\log { x } ) } .\frac { 1 }{ x } -b\sin { (\log { x } ) } .\frac { 1 }{ x } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +x\frac { dy }{ dx } =-\frac { a }{ x } \cos { (\log { x } ) } -\frac { b }{ x } \sin { (\log { x } ) } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +x\frac { dy }{ dx } =-y\\ \Rightarrow { x }^{ 2 }\frac { { d }^{ 2 }y }{ d{ x }^{ 2 } } +x\frac { dy }{ dx } +y=0
Question-4.सिद्ध कीजिए कि xy=\log { y } +cअवकल समीकरण \frac { dy }{ dx } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 1-xy } \left( xy\neq 1 \right) का हल है।

Solution:-xy=\log { y } +c
समीकरण (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

y+x\frac { dy }{ dx } =\frac { 1 }{ y } \frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow { y }^{ 2 }+xy\frac { dy }{ dx } =\frac { dy }{ dx } \\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } -xy\frac { dy }{ dx } ={ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } (1-xy)={ y }^{ 2 }\\ \Rightarrow \frac { dy }{ dx } =\frac { { y }^{ 2 } }{ 1-xy }

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