Menu

Subsets in Mathematics

1.गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11):

गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics) समुच्चय का एक प्रकार है जिसकी परिभाषा निम्न प्रकार से है:
उपसमुच्चय की परिभाषा (Definition of Subsets):यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव, समुच्चय B का भी एक अवयव है तो A,B का उपसमुच्चय कहलाता है.
दूसरे शब्दों में A \subset B यदि जब कभी a \in A तो a \in B बहुधा प्रतीक ' \Rightarrow ' जिसका अर्थ ‘तात्पर्य है’ होता है,का प्रयोग सुविधाजनक होता है.इस प्रतीक का प्रयोग करके, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं: A \subset B यदि a \in A \Rightarrow a \in B
हम उपर्युक्त कथन को इस प्रकार पढ़ते हैं,”A,B का एक उपसमुच्चय है यदि इस तथ्य का कि a,A का एक अवयव है तात्पर्य है कि a,B का भी एक अवयव है”.यदि A,B का एक उपसमुच्चय नहीं है तो हम लिखते हैं कि A \not \subset B .
हमें ध्यान देना चाहिए कि A को B का समुच्चय होने के लिए केवल मात्र यह आवश्यक है कि A का प्रत्येक अवयव B में है.यह संभव है कि B का प्रत्येक अवयव A में हो या न हो.यदि ऐसा होता है कि B का प्रत्येक अवयव A में भी है तो B \subset A. इस दशा में A और B समान समुच्चय हैं और इस प्रकार A \subset B और B \subset A \Leftrightarrow A=B जहाँ '\Leftrightarrow' द्विधा तात्पर्य (Two way implication) के लिए प्रतीक है और जिसे प्रायः ‘यदि और केवल यदि’ पढ़ते हैं तथा संक्षेप में ‘iff’ लिखते हैं.
परिभाषा से निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक समुच्चय स्वयम् का उपसमुच्चय है अर्थात् A \subset A. चूँकि रिक्त समुच्चय \phi में कोई अवयव नहीं होता है अतः हम इस बात से सहमत हैं कि \phi प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय है.
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q,वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि Q \subset R
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं.यदि A \subset B तथा A \neq B तो A,B का उचित उपसमुच्चय (Proper Subset) कहलाता है और B,A का अधिसमुच्चय कहलाता है.
उपसमुच्चय की परिभाषा से स्पष्ट है कि:
(i)प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होता है.
(ii)रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उप-समुच्चय होता है.
(iii) A \subseteq B तथा B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
(iv)A \subseteq B तथा B \subseteq A \Leftrightarrow A \subseteq C
(v)x \in A \Rightarrow x \in B तथा A \neq B \Rightarrow A \subset B
(vi) x \in A \Leftrightarrow x \in B तथा A=B \Rightarrow A \subseteq B
(2.)वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय:
R के बहुत से महत्त्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं.जैसे:
प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N={1,2,3,4,5,…}
पूर्णांकों का समुच्चय Z={…-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q={x : x=\frac{p}{q}, p, q \in z तथा q \neq 0 } जिनको इस प्रकार पढ़ते हैं:
“Q उन सभी संख्याओं x का समुच्चय इस प्रकार है कि x भागफल \frac{p}{q} ,के बराबर है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q शून्य नहीं है.”Q के अवयवों में -5 जिसे –\frac{5}{1} से भी प्रदर्शित किया जा सकता है। 3\frac{1}{2} जिसे \frac{7}{2} से भी प्रदर्शित किया जा सकता है और –\frac{11}{3} आदि सम्मिलित हैं.
अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय जिसे T से निरूपित करते हैं,शेष अन्य वास्तविक संख्याओं (परिमेय संख्याओं को छोड़कर) से मिलकर बनता है.
अतः T={ x : x \in R  और x \notin Q}=R-Q अर्थात् वह सभी वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय नहीं है। T के सदस्यों में \sqrt{2},\sqrt{5} और \pi आदि सम्मिलित हैं।
इन समुच्चयों के मध्य कुछ स्पष्ट सम्बन्ध इस प्रकार हैं:

N \subset Z \subset Q ; Q \subset R, T \subset R, N \not \subset T
(3.)अन्तराल R के उपसमुच्चय के रूप में (Interval as Subset of R):
मान लीजिए कि a, b \in R और a<b तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय {y:a<y<b} एक विवृत अन्तराल कहलाता है और प्रतीक (a,b) द्वारा निरूपित होता है.a और b के बीच स्थित सभी बिन्दु इस अन्तराल में होते हैं परन्तु a और b स्वयं इस अन्तराल में नहीं होते हैं.
वह अन्तराल जिसमें अंत्य बिन्दु होते हैं,संवृत (बंद) अन्तराल कहलाता है और प्रतीक [a,b] द्वारा निरूपित होता है.अतः [a, b]=\{x: a \leq x \leq b\}
 ऐसे अन्तराल भी हैं जो एक अंत्य बिन्दु पर बंद और दूसरे पर खुले होते हैं:
[a, b)=\{x: a \leq x < b\},a से b तक एक खुला अन्तराल है जिसमें a अन्तर्विष्ट है किन्तु b अपवर्जित है.बायीं ओर से संवृत और दायीं ओर से विवृत (a, b]=\{x: a < x \leq b\}, a से b तक एक खुला अन्तराल है जिसमें b सम्मिलित है किन्तु a अपवर्जित है.दायीं ओर संवृत और बायीं ओर से विवृत.
इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है.उदाहरण के लिए यदि A=(-3,5) और B=[-7,9] तो A \subset B. समुच्चय ऋणेतर [0,∞) वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है जबकि (-∞,0)  ऋण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है. (-∞,∞),-∞ से ∞ तक विस्तृत रेखा सम्बन्धित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है.
(4.)घात समुच्चय (Power Set):
समुच्चय A के उपसमुच्चयों के संग्रह को A का घात समुच्चय कहते हैं.इसे P(A) से निरूपित करते हैं.P(A) का प्रत्येक अवयव एक समुच्चय होता है.
व्यापकरूप से यदि A एक ऐसा समुच्चय है कि n(A)=m तो यह सिद्ध किया जा सकता है कि n[P(A)]=2^{m}
यदि A={1,2} तो

P(A)={\phi,{1},{2},{1,2}},n[P(A)]=2^{2}=4
(5.)सार्वत्रिक समुच्चय (Universal Set):
सामान्यतः किसी विशेष सन्दर्भ में हमें आधारभूत समुच्चय के अवयवों और उपसमुच्चयों पर विचार करना पड़ता है जो कि उस विशेष सन्दर्भ में प्रासंगिक होते हैं.उदाहरण के लिए संख्या प्रणाली का अध्ययन करते समय हमें प्राकृत संख्याओं के समुच्चय और उसके उपसमुच्चयों में रुचि होती है.
जैसे:अभाज्य संख्याओं का समुच्चय,सम संख्याओं का समुच्चय इत्यादि.यह आधारभूत समुच्चय ‘सार्वत्रिक समुच्चय’ कहलाता है.सार्वत्रिक समुच्चय को सामान्यतः प्रतीक U से निरूपित करते हैं और इसके उपसमुच्चयों को अक्षर A,B,C आदि द्वारा.
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Kinds of Sets

2.गणित में उपसमुच्चय के साधित उदाहरण (Subsets in Mathematics Solved Examples):

Example:1.रिक्त स्थानों में प्रतीक या को भरकर सही कथन बनाइए:
(i){2,3,4}…{1,2,3,4,5}
(ii){a,b,c}…{b,c,d}
(iii){x:x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी}…{x:x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}
(iv){x:x किसी समतल में स्थित एक वृत है}…{x:x एक समान समतल में वृत है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।}
(v){x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}…{x:x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
(vi){x:x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है}…{x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(vii){x:x एक सम प्राकृत संख्या है}…{x:x एक पूर्णांक है}
Solution:(i){2,3,4} \subset {1,2,3,4,5}
(ii){a,b,c} \not \subset {b,c,d}
(iii){x:x आपके विद्यालय की कक्षा XI का एक विद्यार्थी} \subset {x:x आपके विद्यालय का एक विद्यार्थी है}
(iv){x:x किसी समतल में स्थित एक वृत है} \not \subset {x:x एक समान समतल में वृत है जिसकी त्रिज्या 1 इकाई है।}
(v){x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है} \not \subset {x:x किसी समतल में स्थित एक आयत है}
(vi){x:x किसी समतल में स्थित एक समबाहु त्रिभुज है} \subset {x:x किसी समतल में स्थित एक त्रिभुज है}
(vii){x:x एक सम प्राकृत संख्या है} \subset {x:x एक पूर्णांक है}
Example:2.जाँचिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है अथवा असत्य हैं:

(i){a,b} \not \subset {b,c,a}
(ii){a,e} \subset {x:x अंग्रेजी वर्णमाला का एक स्वर है}

(iii){1,2,3} \subset {1,3,5}

(iv){a} \subset {a,b,c}

(v){a} \in {a,b,c}
(vi){x:x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है} \subset {x:x एक प्राकृत संख्या है,जो संख्या 36 को विभाजित करती है}

Solution:(i)असत्य
(ii)सत्य
(iii)असत्य
(iv)सत्य
(v)असत्य
(vi)सत्य
Example:3.मान लीजिए कि A={1,2,{3,4},5}।निम्नलिखित में से कौनसा कथन सही नहीं है और क्यों?

(i){3,4} \subset A (ii) {3,4} \in A (iii) {{3,4}} \subset

(iv) 1 \in A (v) 1 \subset A (vi) {1,2,5} \subset A

(Vii) {1,2,5} \in A (viii) {1,2,3} \subset A

(ix) \phi \in A (x) \phi \subset

(xi){ \phi } \subset
Solution:(i)सही नहीं है क्योंकि 3,4 समुच्चय A के अवयव नहीं हैं.
(v)सही नहीं है क्योंकि समुच्चय या उपसमुच्चय के अवयवों को कोष्ठक में दर्शाया जाता है.
(vii)सही नहीं है क्योंकि {1,2,5} समुच्चय A का अवयव नहीं है.
(viii)सही नहीं है क्योंकि 3 समुच्चय A का अवयव नहीं है इसलिए {1,2,3} समुच्चय A का उपसमुच्चय नहीं हो सकता.
(ix)सही नहीं है.क्योंकि \phi  समुच्चय A का अवयव नहीं है.
(xi)सही नहीं है क्योंकि {\phi}समुच्चय A का उपसमुच्चय नहीं है.

Example:4.निम्नलिखित समुच्चयों के सभी उपसमुच्चय लिखिए:
(i){a}
Solution:{a}
 \{\phi\},{a}
(ii){a,b}
Solution:{a,b}

\{\phi\},{a},{b},{a,b}
(iii){1,2,3}
Solution:{1,2,3}
\{\phi\},{1},{2},{3},{1,2},{2,3{,{1,3},{1,2,3}
(iv)\{\phi\}
Solution:\{\phi\}
Example:5.P(A) के कितने अवयव हैं यदि A=\{\phi\}

Solution:-2^{m} \\ m=0 \\ \Rightarrow 2^{0}=1
Example:6.निम्नलिखित को अन्तराल रूप में लिखिए:
(i) \{x : x \in R,-4<x \leq 6\}

Solution: \{x : x \in R,-4<x \leq 6\}

(-4,6]
(ii)\{x : x \in R,-12<x <-10\}
Solution:\{x : x \in R,-12<x <-10\}

(-12,-10)
(iii) \{x : x \in R,0 \leq x < 7  \}
Solution: \{x : x \in R,0 \leq x < 7  \}
[0,7)
(iv) \{x : x \in R,3 \leq x \leq 4  \}
Solution: \{x : x \in R,3 \leq x \leq 4  \}
[3,4]
Example:7.निम्नलिखित अन्तरालों को समुच्चय निर्माण रूप में लिखिए:
(i)(-3,0)
Solution:(-3,0)

\{x : x \in R,-3 < x <0  \}
(ii)[6,12]
Solution:[6,12]

\{x : x \in R,6 \leq x \leq 12  \}
(iii)(6,12]
Solution:(6,12]

\{x : x \in R,6 < x \leq 12  \}
(iv)[-23,5)
Solution:[-23,5)

\{x : x \in R,-23 \leq x < 5  \}
Example:8.निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए आप कौन-सा सार्वत्रिक समुच्चय प्रस्तावित करेंगे?
(i)समकोण त्रिभुजों का समुच्चय।
Solution:समकोण त्रिभुजों का समुच्चय.
U={x:x किसी समतल में स्थित त्रिभुज}
(ii)समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय.
Solution:समद्विबाहु त्रिभुजों का समुच्चय.
U={x:x किसी समतल में स्थित त्रिभुज}
Example:9.समुच्चय A={1,3,5},B={2,4,6} और C={0,2,4,6,8} प्रदत्त हैं.इन तीनों समुच्चय A,B और C के लिए निम्नलिखित में से कौन सा (से) सार्वत्रिक समुच्चय लिए जा सकते हैं?
(i){0,1,2,3,4,5,6} (ii) \{\phi\}
(iii){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
(iv){1,2,3,4,5,6,7,8}
Solution:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) को समझ सकते हैं।

3.गणित में उपसमुच्चय के सवाल (Subsets in Mathematics Questions):

(i)निम्नलिखित समुच्चयों के लिए उपयुक्त सार्वत्रिक समुच्चय ज्ञात कीजिए:
(i){g,h,i},{p,q,r},{x,y,z}
(ii){0,1,3},{5,6,7},{1,2,3}
(2.)समुच्चय A={a,b,c} के सभी उपसमुच्चय लिखो।
उत्तर (Answers):(1.)(i)U={g,h,i,p,q,r,x,y,z}
(1.)(ii)U={0,1,2,3,5,6,7}
(2.) \{\phi\},{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Sets Class 11

4.गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.जाॅर्ज कैन्टर के समुच्चय सिद्धान्त के आगे समुच्चय सिद्धान्त कैसे विकसित हुआ? (How did the set theory evolve next to George Cantor’s set theory?):

उत्तर:कैंटर (Georg Cantor) के शोध को एक अन्य विख्यात गणितज्ञ Richard Dedekind (1831 ईस्वी-1916 ईस्वी) ने प्रशंसनीय ढंग से स्वीकार किया.लेकिन क्रोनेकर (Kronecker) (1810-1893 ईस्वी) ने अपरिमित समुच्चयों को,उसी प्रकार से लेने के लिए जिस प्रकार परिमित समुच्चयों को लिया जाता है,उनकी भर्त्सना की.एक दूसरे जर्मन गणितज्ञ Gottlob Frege ने शताब्दी की समाप्ति पर समुच्चय सिद्धांत को तर्कशास्त्र के नियमों के रूप में प्रस्तुत किया.उस समय तक संपूर्ण समुच्चय सिद्धांत सभी समुच्चयों के समुच्चय के अस्तित्व की कल्पना पर आधारित था.विख्यात अंग्रेज दार्शनिक बर्टंड रसेल (Bertand Russel) (1872 ईस्वी-1970 ईस्वी) थे जिन्होंने 1902 ईस्वी में बतलाया कि सभी समुच्चयों के समुच्चय के अस्तित्व की कल्पना एक विरोधोक्ति को जन्म देती है.इस प्रकार रसेल (Russel) की विख्यात विरोधोक्ति मिली.Paul R. Halmos इसके बारे में अपनी पुस्तक ‘Naive Set Theory’ में लिखा है कि ‘कुछ नहीं में सब कुछ समाहित है’.
इन सभी विरोधोक्तियों के परिणामस्वरुप समुच्चय सिद्धांत का पहला अभिगृहीतीकरण 1908 ईस्वी में Ernst Zermelo द्वारा प्रकाशित किया गया. 1922 ईस्वी में अब्राहम फ्रैंकल (Abraham Fraenkel ) ने एक दूसरा प्रस्ताव भी दिया.1925 ईस्वी में जॉन वॉन न्यूमैन (John Von Neumann) ने नियमितीकरण का अभिगृहीत स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया.इसके बाद 1937 ईस्वी में Paul Bernays ने संतोषजनक अभिगृहीतीकरण प्रस्तुत किया.इन अभिगृहीतों में सुधार,कर्ट गोडेल (Kurt Godel) द्वारा 1940 ईस्वी में अपने मोनोग्राफ में प्रस्तुत किया गया.इस सुधार को वॉन न्यूमैन-बर्नेज़ (Von Neumann-Bernays) (VNB) अथवा गोडेल-बर्नेस (Godel-Bernays) (GB) का समुच्चय सिद्धांत कहते हैं.
इन सभी कठिनाइयों के बावजूद,कैन्टर (Cantor) के समुच्चय सिद्धांत को वर्तमान काल के गणित में प्रयोग किया जाता है.वास्तव में आजकल गणित के अधिकांश संकल्पनाएँ तथा परिणामों को समुच्चय सैद्धांतिक भाषा में प्रस्तुत करते हैं.

प्रश्न:2.घात समुच्चय की परिभाषा लिखो.(Write the definition of power set):

उत्तर:किसी समुच्चय A के संभावित उपसमुच्चयों के समुच्चय को घात समुच्चय कहते हैं.इसे P(A) से व्यक्त करते हैं.n अवयवों वाले समुच्चय A में उपसमुच्चयों की संख्या 2^{n} होती है.अर्थात् n P(A)=2^{n}.

प्रश्न:3.सार्वत्रिक समुच्चय की परिभाषा लिखो.(Write down the definition of a universal set):

उत्तर:जब कई समुच्चयों A,B,C आदि का निर्माण करना हो तो पहले एक समुच्चय U लेते हैं जिसके अवयवों से ही A,B,C आदि के अवयव चुने जाए अर्थात् A,B,C आदि सभी U के उपसमुच्चय हों तब U को A,B,C आदि के लिए सार्वत्रिक या समष्टीय समुच्चय कहते हैं।इसको साधारणतया U से व्यक्त किया जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics),उपसमुच्चय कक्षा 11 (Subsets Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

No.Social MediaUrl
1.Facebookclick here
2.you tubeclick here
3.Instagramclick here
4.Linkedinclick here
5.Facebook Pageclick here

Subsets in Mathematics

गणित में उपसमुच्चय
(Subsets in Mathematics)

Subsets in Mathematics

गणित में उपसमुच्चय (Subsets in Mathematics) समुच्चय का एक प्रकार है जिसकी परिभाषा निम्न
प्रकार से है:उपसमुच्चय की परिभाषा (Definition of Subsets):यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव,
समुच्चय B का भी एक अवयव है

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *