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Sum of Terms of Geometric Progression

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1 1.गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series)-

1.गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series)-

गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression) से तात्पर्य है कि गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात करना।
माना कि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a,सार्व अनुपात r तथा n पदों का योगफल S_{n} है।तब

S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{n-1}
दोनों पक्षों को r से गुणा करने पर-

r S_{n}=a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots+a r^{n}
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर-

S_{n}-r S_{n}=a-a r^{n} \\ \Rightarrow S_{n}(1-r)=a-a r^{n} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}
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2.अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series)-

माना कि एक अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद a तथा सार्व अनुपात r है, जहां -1<r<1 अर्थात् |r|<1 है।तब इस गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल S_{n} दिया जाता है
S_{n} =a\left(\frac{1-r^{n}}{1-r}\right) \\ =\frac{a}{1-r}-\frac{ar^{n}}{1-r} \\ \begin{matrix} \lim \\ x \rightarrow \infty \end{matrix} S_{n} =\begin{matrix} \lim \\ x \rightarrow \infty \end{matrix}\left(\frac{a}{1-r}-\frac{a r^{n}}{1-r}\right)\\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r} [\because |r|<1 \text { तथा  } \begin{matrix} \lim \\ x \rightarrow \infty \end{matrix} r^{n} =0 \text { यदि } |r|<1]
फलत: अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल
S_{\infty} =\frac{a}{1-r} यदि |r|<1
(1.)यदि |r|\geq 1 तब अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है।अतः अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का उपर्युक्त सूत्र r का संख्यात्मक मान 1 से कम अर्थात् |r|<1 होने पर ही सार्थक है।
(2.) उपर्युक्त सूत्र के प्रयोग से किसी परिमेय संख्या को आवर्ती दशमलव विस्तार कहते हैं। जैसे 2.454545….,0.3565656…. इनको क्रमशः 2.\overline{45} \text { तथा  } 0.3\overline{56} के रूप में लिखते हैं।आवर्ती दशमलव में पुनरावृत्ति वाले अंक समूह पर एक रेखा (bar) या बिन्दु (dot) लगाकर लिखा जाता है।

3.गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल के उदाहरण (Sum of Terms of Geometric Progression Examples),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र के उदाहरण (Formula for Sum of Infinite Geometric Series Examples)-

निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल ज्ञात कीजिए।
Example-1.\frac{2}{9}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\cdots 8 पदों तक
Solution- \frac{2}{9}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{3}{4}+\cdots 8 पदों तक

a=\frac{2}{9},r=\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2}{9}} \\ a=\frac{2}{9}, r=-\frac{1}{3} \times \frac{9}{2}=-\frac{3}{2}, n=8 \\ S_{n}= \frac{a(1-r^{n})}{1-r} \\ S_{8}=\frac {\frac{2}{9}\left[1-\left(-\frac{3}{2}\right)^{8}\right]}{1-\left(-\frac{3}{2} \right)} \\=\frac{2}{9} \frac{\left [1-\frac{6561}{256}\right]}{1+\frac{3}{2}} \\ =\frac{2}{9} \frac{\frac{256-6561}{256}}{\frac{2+3}{2}} \\ \Rightarrow S_{8} =\frac{2}{9} \times \frac{2}{5} \times\left(\frac{-6305}{256}\right)\\ \Rightarrow S_{8}=-\frac{25220}{11520} \\ \Rightarrow S_{8}=-\frac{1261}{576}
Example-2. a^{8}-a^{7} b+a^{6} b^{2}-a^{5} b^{3}+\cdots 10 पदों तक
Solution- a^{8}-a^{7} b+a^{6} b^{2}-a^{5} b^{3}+\cdots 10 पदों तक

A=a^{8}, \quad r=\frac{-a^{7} b}{a^{8}} \\ r=-\frac{b}{a} \\ A=a^{8},r=\frac{-b}{a},n=10 \\ S_{n}=\frac{A\left(1-r^{n}\right)}{(1-r)} \\ \Rightarrow S_{10}= a^{8} \frac{\left[1-\left(-\frac{b}{a}\right)^{10}\right]}{1-\left(\frac{-b}{a} \right)} \\=a^{8} \frac{\left[1-\left(\frac{b}{a}\right)^{10} \right]}{1+\frac{b}{a}} \\ =a^{8}{\frac{[\frac{a^{10}-b^{10}}{a^{10}}]}{\frac{a+b}{a}}} \\= \frac{a^{8} \times a^{a}}{(a+b)} \times \frac{a^{10}-b^{10}}{a^{10}} \\ \Rightarrow S_{10}=\frac{a^{10}-b^{10}}{a(a+b)}
निम्नलिखित गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल ज्ञात कीजिए।
Example-3. 2+6+8+54+…..+486
Solution- 2+6+8+54+…….+486
a=2,l=486, \quad r=\frac{6}{2}=3 \\S_{n}=\frac{lr-a}{r-1} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{486(3)-2}{3-1} \\=\frac{1458-2}{2} \\ \Rightarrow s_{n}= \frac{1456}{2} \\ \Rightarrow s_{n}=728
Example-4.64+32+16+\cdots+\frac{1}{4}
Solution64+32+16+\cdots+\frac{1}{4} \\ a=64, r=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}, l=\frac{1}{4} \\ S_{n}=\frac{l r-a}{r-1} \\ \Rightarrow S_{n}=\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)-64}{\frac{1}{2}-1} \\ =\frac{\frac{1}{8}-64}{\left (\frac{1}{2}\right)} \\= \frac{1-512}{8} \times\left(-\frac{2}{1}\right) \\= \frac{511}{4}
Example-5.गुणोत्तर श्रेढ़ी के 4,12,36,….के कितने पदों का योगफल 484 है?
Solution– 4,12,36,…..
a=4,r=\frac{12}{4}=3,S_{n}=484,n=? \\ S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\\ \Rightarrow 484=\frac{4\left(1-3^{n}\right)}{1-3} \\ \Rightarrow \frac{484(-2)}{4}=1-3^{n} \\ \Rightarrow 121(-2)=1-3^{n} \\ \Rightarrow -242=1-3^{n} \\ \Rightarrow -242-1=-3^{n} \\ \Rightarrow 3^{n}=243 \\ \Rightarrow 3^{n}=3^{5} \\ \Rightarrow n=5 \text { पद }
Example-6.किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम 5 पदों का योगफल 124 तथा सार्व अनुपात 2 है।श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
Solutionr=2,n=5,S_{n}=124 \\ S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ \Rightarrow 124=\frac{a\left[1-(2)^{5}\right]}{1-2} \\ \Rightarrow 124(-1)=a[1-32] \\ \Rightarrow -124=-319 \\ \Rightarrow a=\frac{124}{31} \\ \Rightarrow a=4
Example-7.किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का सार्व अनुपात 2,अंतिम पद 160 तथा योगफल 310 है।श्रेढ़ी का प्रथम पद ज्ञात कीजिए।
Solution r=2,l=160,S_{n}=310,a=? \\S_{n} =\frac{l r-a}{r-1} \\ 310 =\frac {160(2)-a}{2-1} \\ 310=320-a \\ \Rightarrow a=320-310 \\ \Rightarrow a=10
निम्नलिखित श्रेढ़ियों के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Example-8.7+77+777+…..
Solution– 7+77+777+…..

S_{n} =7+77+777+\cdots n\text { पद } \\ S_{n}=7(1+11+111+\cdots n\text { पद }) \\=\frac{7}{9}\left(9+99+999+\cdots n\text { पद } \right) \\ =\frac{7}{9}[(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdots n\text { पद }] \\ =\frac{7}{9}\left[\left (10+10^{2} +10^{3}+\cdots n\text { पद } \right)-(1+1+1+\cdots n\text { पद } )\right] \\ =\frac{7}{9} \left[\frac{10\left(1-10^{n}\right)}{1-10}-n\right] \\ =\frac{7}{9}\left[\frac{10}{9}\left(10^{n} -1\right)-n\right] \\ =\frac{70}{81} \left(10^{n}-1\right)-\frac{79 n}{9}
Example-9. .5+.55+.555+….
Solution– .5+.55+.555+…..

S_{n} =.5+.55+.555+\cdots n \text { पद } \\=5(0.1+0.11+0.111+\cdots n \text { पद }) \\ =\frac{5}{9}[0.9+0.99+0.999+\cdots n\text { पद }] \\ =\frac{5}{9}[(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)+\cdots n\text { पद }] \\ =\frac{5}{9} \left[(1+1+1 +\cdots n \text { पद })-\left(\frac{1}{10}+\frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}} +\cdots n \text { पद } \right)\right] \\ =\frac{5}{9}\left[\frac{n-\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)}{1-\frac{1}{10}}\right] \\ =\frac{5}{9}\left[n-\frac{1}{9}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)\right] \\ =\frac{5}{81}\left(9 n-1+\frac{1}{10^{n}}\right)
Example-10. .9+.99+.999+……
Solution– .9+.99+.999+……

S_{n}=0.9+0.99+0.999+\cdots n\text { पद } \\=[(1-0.1)+(1-0.01)+(1-0.001)+ \cdots+n\text { पद } ] \\=\left[(1+1+1+\cdots n\text { पद })-\left(\frac{1}{10}+ \frac{1}{10^{2}}+\frac{1}{10^{3}}+\cdots n\text { पद } \right)\right]\\ =n-\frac{\frac{1}{10}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)}{1-\frac{1}{10}} \\=x-\frac{1}{9}\left(1-\frac{1}{10^{n}}\right)

निम्नलिखित आवर्ती दशमलव विस्तार वाली परिमेय संख्याओं का भिन्नात्मक रूप ज्ञात कीजिए:
Example-11.2.3 \overline{5}
Solution2.3 \overline{5} =2.3555 \cdots . . \\ =2.3+0.05+0.005 +0.0005+\cdots \\ =\frac{23}{10}+\frac{5}{100}+\frac{5}{1000}+\frac{5}{10000}+\\ =\frac{23}{10}+\frac{5}{100}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100} +\cdots \right) \\ =\frac{23}{10}+\frac{5}{100}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{10}}\right)\left[s _{\infty}=\frac{a}{1-r}\right] \\ =\frac{23}{10}+\frac{5}{100} \times \frac{1}{\frac{9}{10}} \\ =\frac{23}{10}+\frac{5}{100} \times \frac{10}{9} \\ =\frac{23}{10}+\frac{1}{18} \\=\frac{207+5}{90} \\ =\frac{212}{90} \\ =\frac{106}{45}
Example-12. 0.\overline{625}
Solution0.\overline{625}=0.6252525 \cdots \\ =0.6+0.025+0.00025+ \cdots \\ =\frac{6}{10}+\frac{25}{1000}+\frac{25}{100000}+\frac{25}{10000000}+\cdots \\ =\frac{3}{5}+\frac{1}{40}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{100}}\right)\left[\because S_{\infty}=\frac{a}{1-r}\right] \\ =\frac{3}{5}+\frac{1}{40}\left(\frac{1}{\frac{99}{100}}\right) \\ =\frac{3}{5}+\frac{1}{40} \times \frac{100}{99} \\ =\frac{3}{5}+\frac{5}{198} \\ =\frac{594+25}{990} \\ =\frac{619}{990}
Example-13.2.\overline{752}
Solution2.\overline{752} =2.752752752 \cdots \\ =2+0.752+0.000752 +0.000000752+\cdots \\=2+\frac{752}{1000}+\frac{752}{1000000}+\frac{752}{100000000}+\cdots \\ =2+\frac{752}{1000}\left(1+\frac{1}{1000}+\frac{1}{1000000}+\ldots\right) \\ =2+\frac{94}{125}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{1000}} \right)\left[S_{\infty} \\=\frac{9}{1-r}\right] \\ =2+\frac{94}{125} \times \frac{1}{\frac{999}{1000}} \\ =2+\frac{94}{125} \times \frac{1000}{999} \\ =\frac{2}{1}+\frac{752}{999} \\ =\frac{1998+752}{999} \\=\frac{2750}{999}
Example-14.यदि y=x+x^{2}+x^{3}+\cdots \infty , जहां |x|<1 हो,तब सिद्ध कीजिए x=\frac{y}{1+y}
Solutiony=x+x^{2}+x^{3}+\cdots \infty \\ a=x ,r= \frac{x^{2}}{x}=x \\S_{\infty}=\frac{a}{1-r} \\ \Rightarrow y=\frac{x}{1-x} \\ \Rightarrow y-xy=x \\ \Rightarrow xy+x=y \\ \Rightarrow x(1+y)=y \\ \Rightarrow x=\frac{y}{1+y}
Example-15. यदि x=1+a+a^{2}+\cdots \infty, जहां |a|<1 तथा
y=y+b+b^{2}+\cdots \infty , जहां |b|<1 हो तब
सिद्ध कीजिए 1+a b+a^{2} b^{2}+\cdots \infty=\frac{x y}{x+y-1}
Solutionx=1+a+a^{2}+\cdots-\infty \\ s_{\infty}=\frac{a}{1-r} \\ \Rightarrow x=\frac{1}{1-a} \\ \Rightarrow x-a x=1 \\ \Rightarrow a x=x-1 \\ \Rightarrow a=\frac{x-1}{x} \cdots(1) \\ y=1+b+b^{2}+\cdots \infty \\ y=\frac{1}{1-b} \\ \Rightarrow y-b y=1 \\ \Rightarrow y-1=b y \\ \Rightarrow b=\frac{y-1}{y} \cdots(2) \\ 1+a b+a^{2} b^{2}+\cdots \infty = \frac{1}{1-a b}
समीकरण (1) व (2) से मान रखने पर-

=\frac{1}{1-\left(\frac{x-1}{x}\right)\left(\frac{y-1}{y}\right)} \\ =\frac{\frac{1}{x y-x y+x+y-1}}{x y} \\ =\frac{x y}{x+y-1} \\ \Rightarrow 1+a b+a^{2} b^{2}+\cdots \cdot \infty=\frac{x y}{x+y-1}
Example-16. श्रेढ़ी का योग ज्ञात कीजिए।
\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{4}}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{6}}\right)+\cdots \infty तक
Solution-\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{4}}\right)+\left(\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{6}}\right)+\cdots \infty \\ \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\cdots \infty\right)+\left(\frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{2^{6}}+\cdots \cdot \infty\right) \\ S_{\infty} =\frac{a}{1-r} \\ =\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\right)+ \left(\frac{\frac{1}{2^{2}}}{1-\frac{1}{2^{2}}}\right) \\ =\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{14}{1-\frac{1}{4}} \\ =2+\frac{1}{4} \times \frac{1}{\frac{3}{4}} \\ =2+\frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \\ =\frac{2}{1}+\frac{1}{3} \\ =\frac{6+1}{3} \\ =\frac{7}{3}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series) को समझ सकते हैं।

4.गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल की समस्याएं (Sum of Terms of Geometric Progression Problems),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र के समस्याएं (Formula for Sum of Infinite Geometric Series Problems)-

(1.)गुणोत्तर श्रेढ़ी \sqrt{3},3,3 \sqrt{3}, 9, \cdots का प्रथम 10 पदों तक योगफल ज्ञात कीजिए।
(2.)किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद 7,अंतिम पद 567 तथा पदों का योगफल 847 है,श्रेढ़ी का सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।
(3.)श्रेणी 5+55+555+5555+….के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(4.) किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी के n,2n तथा 3n पदों का योगफल क्रमशः है तो सिद्ध कीजिए:S_{1}^{2}+S_{2}^{2}=S_{1}\left(S_{2}+S_{3}\right)
(5.)श्रेणी 0.2+0.22+0.222+…..के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
(6.) सिद्ध कीजिए कि श्रेणी 11+103+1005+…. का n पदों का योगफल \frac{10}{9}\left(10^{n}-1\right)+n^{2} है।
उत्तर (Answers): (1) 121(3+\sqrt{3}) \\ (2) r=3 \\ (3) \frac{50}{81}\left(10^{n} -1\right)-\frac{5n}{9} \\ (4) \frac{2}{81}\left[9n-1+\frac{1}{10^{n}}\right]
उपर्युक्त सवालों को हल करके गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series) को ठीक से समझ सकते हैं।

5.गुणोत्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल (Sum of n terms of geometric progression)-

एक ज्यामितीय श्रेणी के पद एक ज्यामितीय श्रेढ़ी का निर्माण करती हैं, जिसका अर्थ है कि श्रेणी में क्रमिक पदों का अनुपात स्थिर है।r≠1 के लिए, ज्यामितीय श्रेणी के पहले n पदों का योग सूत्र  S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} द्वारा दिया जाता है।

6.अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी के योगफल का सूत्र (Sum of an infinite geometric series formula)-

एक अनंत ज्यामितीय श्रेणी के योग का सूत्र (The formula for the sum of an infinite geometric series is) S_{\infty} =\frac{a}{1-r}

7.गुणोत्तर श्रेढ़ी का सूत्र क्या है? (What is geometric progression formula?)-

ज्यामितीय श्रेढ़ी के सूत्र
जीपी (GP) के पदों का सामान्य रूप a,a r,a r^{2},a r^{3}....... और इसी तरह है।यहाँ, पहला पद a और r सार्व अनुपात है।GP का nth पद T_{n} = ar^{n-1} है।सार्व अनुपात = r = \frac {T_{n}}{ T_{n-1}}
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर, उदाहरणों, सवालों को हल करके गुणोत्तर श्रेढ़ी के पदों का योगफल (Sum of Terms of Geometric Progression),अनन्त गुणोत्तर श्रेढ़ी का योगफल के लिए सूत्र (Formula for Sum of Infinite Geometric Series) को भली-भांति समझ सकते हैं।

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