1.अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Derivative of Arc in Calculus),वक्रों के पदिक समीकरण (Pedal Equation of Curves):

Derivative of Arc in Calculus

अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Derivative of Arc in Calculus) को कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।इस आर्टिकल को देखने से पूर्व इस पर आधारित अन्य आर्टिकल भी देखने चाहिए ताकि इसकी concept ठीक से समझ में आ सके।
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2.अवकलन गणित में चाप का अवकलज के साधित उदाहरण (Derivative of Arc in Calculus Solved Examples):

Exercise III (a)
Example:5.सिद्ध कीजिए कि किसी पदिक समीकरण p=f(r) के लिए
(Prove that for any pedal curve p=f(r).

\frac{d s}{d r}=\frac{r}{\sqrt{\left(r^2-p^2\right)}}
Solution:हम जानते हैं कि
\frac{dr}{d s}=\cos \phi \\ \Rightarrow \frac{d s}{d r}=\frac{1}{\cos \phi} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d r}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2 \phi}} \cdots(1) \\ p=r \sin \phi से

\sin \phi=\frac{p}{r}
(1) में मान रखने पर:

\frac{d s}{d r}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{p^2}{r^2}}} \\ \frac{d s}{d r}=\frac{r}{\sqrt{r^2-p^2}}
Example:6.यदि \frac{2 a}{r}=1+\cos \theta तो सामान्य संकेतन से सिद्ध कीजिए कि
(If \frac{2 a}{r}=1+\cos \theta ,show with usual notations,that)

\frac{d s}{d \psi}=\frac{2 a}{\sin ^3 \psi}
Solution: \frac{2 a}{r}=1+\cos \theta \\ \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

s के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d \psi}{d s}=\frac{1}{2} \frac{d \theta}{d s} \\ \frac{d s}{d \phi}=2 \frac{d s}{d \theta} \\ =\frac{2 r}{\sin \phi}\left[\because \sin \phi=r \frac{d \theta}{d s}\right] \\ =\frac{2 r}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)} [(2) से ]

=\frac{2 r}{\cos \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{4 a}{\cos \frac{\theta}{2}(1+\cos \theta)}\left[r=\frac{2 a}{1+\cos \theta}\right] \\ =\frac{4 a}{\cos \frac{\theta}{2} \cdot 2 \cos ^2 \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{2 a}{\cos ^3 \frac{\theta}{2}} \\ =\frac{2 a}{\cos ^3\left(\psi-\frac{\pi}{2}\right)} [(3) से ]

=\frac{2 a}{\sin ^3 \psi} \\ \Rightarrow \frac{d s}{d \psi}=\frac{2 a}{\sin ^3 \psi}
Example:7.किसी वक्र के लिए सिद्ध कीजिए कि (For any curve prove that):

\sin ^2 \phi \cdot \frac{d \phi}{d \theta}+r \frac{d^2 r}{d s^2}=0
Solution: \frac{d r}{d s}=\cos \phi
s के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{d^2 r}{d s^2}=-\sin \phi \frac{d \phi}{d s} \\ \Rightarrow \frac{d^2 r}{d s^2}=-\sin \phi \frac{d \phi}{d \theta} \cdot \frac{d \theta}{d s} \cdots(1) \\ r \frac{d \theta}{dr} =\sin \phi \Rightarrow \frac{d \theta}{dr}=\frac{\sin \phi}{r} \cdots(2)
(2) से (1) में मान रखने पर:

\frac{d^2 r}{d s^2}=-\sin \phi\left(\frac{d \phi}{d \theta}\right) \frac{\sin \phi}{r} \\ \Rightarrow  \sin^2 \left(\frac{d \phi}{d \theta}\right)+r \frac{d^2 r}{d s^2}=0
Exercise III(b)
Example:3.सिद्ध कीजिए कि परवलय \frac{2a}{r}=1-\cos \theta में
(Prove that,in the parabola \frac{2a}{r}=1-\cos \theta)
Example:3(c).पदिक समीकरण (pedal equation):

p^2=a r
Solution: \frac{2a}{r}=1-\cos \theta \cdots(1) \\ \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

-\frac{2 a}{r^2} \frac{d r}{d \theta}=\sin \theta \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\frac{r^2 \sin \theta}{2 a} \cdots(2) \\ \frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 \cdots(3)
(2) से (3) में मान रखने पर:

\frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(-\frac{r^2 \sin \theta}{2 a}\right)^2 \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4} \times \frac{r^4 \sin ^2 \theta}{4 a^2} \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{4 a^2}\left(1-\cos ^2 \theta\right) \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{4 a^2}\left[1-\left(1-\frac{2 a}{r}\right)^2\right] [(1) से ]

=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{4 a^2}\left[1-1+\frac{4 a}{r}-\frac{4 a^2}{r^2}\right] \\ =\frac{1}{r^2} +\frac{1}{a^2}-\frac{1}{r^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2} =\frac{1}{a r} \\ \Rightarrow p^2 =a r
Example:4.निम्न कार्तीय वक्रों के पदिक समीकरण ज्ञात कीजिए:
(Find the pedal equation of the following cartesian curves):
Example:4(c).अतिपरवलय (The Hyperbola)

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
Solution:अतिपरवलय का समीकरण है:

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
अतिपरवलय के किसी बिन्दु (a \sec \theta , b \tan \theta) पर स्पर्शरेखा का समीकरण:

\frac{x}{a} \sec \theta-\frac{y}{b} \tan \theta=1 \\ b x \sec \theta-a y \tan \theta=ab \\ \Rightarrow b x \sec \theta-a y \tan \theta-a b=0
p=मूल बिन्दु से स्पर्श रेखा पर लाम्बिक दूरी

\Rightarrow r=\frac{a b}{\sqrt{b^2 \sec ^2 \theta+a^2 \tan ^2 \theta}} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2}=\frac{b^2 \sec ^2 \theta +a^2 \tan ^2 \theta}{a^2 b^2} \cdots(1)
पुन: r^2 =x^2+y^2 \\ =a^2 \sec ^2 \theta+b^2 \tan ^2 \theta \\=a^2\left(1+\tan ^2 \theta \right)+ b^2\left(\sec ^2 \theta-1\right) \\ =a^2+a^2 \tan ^2 \theta+b^2 \sec ^2 \theta-b^2 \\ \Rightarrow a^2 \tan ^2 \theta+b^2 \sec ^2 \theta=r^2-a^2+b^2 \cdots(2)
(1) व (2) से:

\frac{1}{b^2}=\frac{r^2-a^2+b^2}{a^2 b^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{b^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}+\frac{r^2}{a^2 b^2}
जो कि अभीष्ट पदिक समीकरण है।
Example:4(d).आयतीय अतिपरवलय (Rectangular Hyperbola)

x^2-y^2=a^2
Solution:आयतीय अतिपरवलय का समीकरण
आयतीय अतिपरवलय के किसी बिन्दु (a \sec \theta, a \tan \theta) पर स्पर्श रेखा का समीकरण:

\frac{x}{a} \sec \theta-\frac{y}{a} \tan \theta=1 \\ \Rightarrow x \sec \theta-y \tan \theta-a=0
p=मूल बिन्दु से स्पर्श रेखा पर लाम्बिक दूरी

पुन: r^2=x^2+y^2 \\ =a^2 \sec ^2 \theta+a^2 \tan ^2 \theta \\ \Rightarrow r^2 =a^2 \left(\sec ^2 \theta+\tan ^2 \theta\right) \\ \Rightarrow \sec ^2 \theta+\tan ^2 \theta=\frac{r^2}{a^2} \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) से:

\frac{1}{p^2}=\frac{r^2}{a^4} \\ \Rightarrow p^2 r^2=a^4 \\ \Rightarrow p r=a^2
Example:5.निम्न ध्रुवीय वक्रों के पदिक समीकरण ज्ञात कीजिए:
(Find the pedal equation of the following polar curves):
Example:5(d). r^n=a^n \sin n \theta(ज्या सर्पिल)
Solution: r^n=a^n \sin n \theta \cdots(1)
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर:

n \log r=n \log a+\log \sin n \theta
दोनों पक्षों का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{n}{r} \frac{d r}{d \theta} =\frac{n \cos n \theta}{\sin n \theta} \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =\frac{r \cos n \theta}{\sin n \theta}
अब \Rightarrow \frac{1}{b^2} =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4} r^2 \frac{\cos ^2 n \theta}{\sin ^2 n \theta} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2} =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2}\left(\frac{1-\sin ^2 n \theta}{\sin ^2 n \theta}\right)
(1) से का मान रखने पर:

\frac{1}{p^2} =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2}\left[\frac{1-\left(\frac{r^n}{a^n}\right)^2}{\left(\frac{r^n}{a^n}\right)^2}\right] \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2}\left(\frac{a^{2 n}-r^{2 n}}{r^{2 n}}\right) \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^2}\left(\frac{a^{2 n}}{r^{2 n}}-1\right) \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{a^{2 n}}{r^{2 n+2}}-\frac{1}{r^2} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2}=\frac{a^{2 n}}{r^{2 n+2}} \\ p^2 a^{2 n}=r^{2 n+2} \\ \Rightarrow p a^n=r^{n+1}
Example:5(e). r=a \theta (आर्कमिडिज का सर्पिल)
Solution:दी हुई वक्र का समीकरण

r=a \theta \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=a
अब \frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4} \cdot a^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2}=\frac{r^2+a^2}{r^4} \\ \Rightarrow p^2=\frac{r^4}{r^2+a^2}
Example:5(f). r =a(1+\cos \theta)
Solution:दी हुई वक्र का समीकरण

r =a(1+\cos \theta) \ldots(1) \\ \frac{d r}{d \theta} =-a \sin \theta
अब \frac{1}{p^2}=\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 \\ =\frac{1}{r^2} +\frac{1}{r^4} \cdot a^2 \sin ^2 \theta \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4} a^2\left(1-\cos ^2 \theta\right) \\ =\frac{1}{r^2}+\frac{a^2}{r^4}\left[1-\left(\frac{r}{a}-1\right)^2\right] [(1) से ]

=\frac{1}{r^2}+\frac{a^2}{r^4}\left[1-\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}-1\right] \\ =\frac{1}{r^2}+ \frac{a^2}{r^4}\left(-\frac{r^2}{a^2}+\frac{2 r}{a}\right) \\=\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r^2}+\frac{2 a}{r^3} \\ \Rightarrow \frac{1}{p^2} =\frac{2 a}{r^3} \\ \Rightarrow 2 a p^2 =r^3 \\ \Rightarrow p^2 =\frac{r^3}{2 a}
Example:9.सिद्ध कीजिए कि वक्र r^n=a^n \cos n \theta किसी बिन्दु (r,\theta)  पर खींचा गया अभिलम्ब प्रारम्भिक रेखा से (n+1) \theta कोण बनाता है।
(Prove that the normal at any point (r,\theta) to the curve r^n=a^n \cos n \theta makes an angle (n+1) \theta with the initial line)
Solution:दी हुई वक्र का समीकरण

दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:

Derivative of Arc in Calculus

दोनों पक्षों का के सापेक्ष अवकलन करने पर:

\frac{n}{r} \frac{d r}{d \theta}=0-\frac{n \sin n \theta}{\cos n \theta} \\ \Rightarrow \frac{dr}{d \theta}=-\frac{r \sin n \theta}{\cos n \theta} \\ \tan \phi=r \frac{d \theta}{d r} \\ =r e\left(-\frac{\cos n \theta}{r \sin n \theta}\right) \\ =-\frac{\cos n \theta}{\sin n \theta} \\ \Rightarrow \tan \phi=\tan \left(\frac{\pi}{2}+n \theta\right) \\ \Rightarrow \phi=n \theta+\frac{\pi}{2}
स्पर्श रेखा का प्रारम्भिक रेखा के साथ कोण

अभिलम्ब का प्रारम्भिक रेखा के साथ कोण

\theta_1 =90+\psi \\ =90+\frac{\pi}{2}+(n+1)\theta \\ \Rightarrow \theta_1 =\pi+(n+1) \theta \\ \tan \theta_1 =\tan [\pi+(n+1) \theta] \\ \Rightarrow \theta_1 =(n+1) \theta
Example:12.सिद्ध कीजिए कि वक्र r=a \cos 2 \theta के बिन्दु \theta=\frac{\pi}{6} पर स्पर्श रेखा आरम्भिक रेखा को ध्रुव से \frac{a}{\sqrt{3}} दूरी पर मिलती है।
(Show that the tangent to the curve r=a \cos 2 \theta at the point \theta=\frac{\pi}{6} meets the initial line at a distance \frac{a}{\sqrt{3}} from the pole.)
Solution:- दी हुई वक्र का समीकरण

Derivative of Arc in Calculus

समीकरण (1) का \theta के सापेक्ष अवकलन करने पर:
\frac{d r}{d \theta}=-2 a \sin 2 \theta \\ \frac{d r}{d \theta}=-2 a \sin \frac{\pi}{3}[\theta=\frac{\pi}{6}] \\ \Rightarrow \frac{d r}{d \theta} =-\frac{2 \sqrt{3}}{2} a \Rightarrow \frac{d r}{d \theta}=-\sqrt{3 a} \ldots(3) \\ \tan \phi =r \frac{d \theta}{d r} \\ =\frac{a}{2} \times\left(-\frac{1}{\sqrt{3 a}}\right) \left[\because r=\frac{a}{2} \text { (2)से }\right] \\ =-\frac{1}{2 \sqrt{3}}\\ \phi \tan ^{-1}\left(-\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right) \\ \phi=-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right) \\ \psi=\theta+\phi \\ \Rightarrow \psi=\frac{\pi}{6}-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right) \\ \sin \psi =\sin \left[\frac{\pi}{6}-\tan ^{-1} \left(\frac{1}{2 \sqrt{3}} \right)\right] \\ =\sin \frac{\pi}{6} \cos \left[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}} \right)\right]-\cos \frac{\pi}{6} \sin \left[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{3}}\right)\right] \\ =\frac{1}{2} \cos \left[\cos ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}\right)\right]-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left[\sin ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{13}}\right)\right] \\ =\frac{1}{2} \times \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{13}}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{13}} \\ =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{13}}-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} \\ \Rightarrow \sin \psi =\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} \cdots(4) \\ \frac{1}{p^2} =\frac{1}{r^2}+\frac{1}{r^4}\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^2 \\ =\frac{4}{a^2}+\frac{16}{a^4}(-\sqrt{3} a)^2 [(2) व (3) से]
=\frac{4}{a^2}+\frac{16}{a^4} \times 3 a^2 \\ =\frac{4}{a^2}+\frac{48}{a^2} \\ =\frac{52}{a^2} \\ \Rightarrow p^2=\frac{a^2}{52} \Rightarrow p=\frac{a}{2 \sqrt{13}} \\ \sin \psi=\frac{\text { लम्ब }}{\text { कर्ण }}=\frac{O M}{O T} \\ \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{13}}=\frac{a}{2 \sqrt{13}} x \\ \Rightarrow x=\frac{a}{2 \sqrt{13}} \times \frac{2 \sqrt{13}}{\sqrt{3}} \\ \Rightarrow x=\frac{a}{\sqrt{3}}
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Derivative of Arc in Calculus),वक्रों के पदिक समीकरण (Pedal Equation of Curves) को समझ सकते हैं।

3.अवकलन गणित में चाप का अवकलज पर आधारित सवाल (Questions Based on Derivative of Arc in Calculus):

Derivative of Arc in Calculus

(1.)वक्र y=a \log \left(\frac{x}{a}\right) के लिए \frac{d s}{d x} तथा \frac{d s}{d y} ज्ञात करो तथा x=a \phi  सिद्ध करो।
(Calculate  \frac{d s}{d x} and \frac{d s}{d y} for the curve y=a \log \left(\frac{x}{a}\right) and prove that x=a \phi )
(2.)परवलय y^2=4 a x का फोकस के सापेक्ष पदिक समीकरण ज्ञात करो।
(Find the pedal equation of the parabola y^2=4 a x with regard to its focus)
उत्तर (Answers): (1.) \frac{d s}{d y}=\operatorname{cosec}\left(\frac{x}{a}\right), \frac{d s}{d x}=\sec \left(\frac{x}{a}\right)
(2.) \left(P^2+a^2\right)=a^2\left(r^2+4 a^2\right)
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Derivative of Arc in Calculus),वक्रों के पदिक समीकरण (Pedal Equation of Curves) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Frequently Asked Questions Related to Derivative of Arc in Calculus),वक्रों के पदिक समीकरण (Pedal Equation of Curves) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

अवकलन गणित में चाप का अवकलज (Derivative of Arc in Calculus) को कुछ सवालों को
हल करके समझने का प्रयास करेंगे।इस आर्टिकल को देखने से पूर्व इस पर आधारित अन्य
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