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Euler Theorem on Homogeneous Functions

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1 1.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions)-
1.2 3.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय समस्याएं (Euler Theorem on Homogeneous Functions Problems),समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय सवाल (Euler Theorem for Homogeneous Function Questions)-

1.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions)-

समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) का श्रेय ऑयलर‌ को दिया जाता है जिसे समघात फलनों पर हम उपयोग कर सकते हैं।चर x, y, z की डिग्री n का एक समघात फलन एक ऐसा फलन है जिसमें सभी पद डिग्री n के होते हैं।
समघात फलन (Homogeneous Function)-यदि दो या दो से अधिक चरों का फलन f, ऐसा व्यंजक हो कि इसके प्रत्येक पद में चरों (जैसे x,y,z इत्यादि) की घातों का योग सदैव समान रहता है (माना कि n) तो ऐसे फलन को n घात का समघात फलन (Homogeneous Function of Degree n ) कहते हैं।
समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions):
प्रकथन (Statement):यदि f(x,y) चरों x तथा y का n घाती समघात फलन हो तो
[If f(x,y) be a homogeneous function of x and y of degree n then]:

x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f
प्रमाण (Proof):चूंकि फलन f(x,y),n घात का समघात फलन है इसलिए इस फलन को के रूप में लिखा जा सकता है अतः

f(x, y)=x^{n} F(\frac{y}{x})
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial f}{\partial x}=n x^{n-1} F\left(\frac{y}{x}\right)+x^{n} F^{\prime}\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) \cdots(1)
इसी प्रकार \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left[x^{n} \cdot F\left(\frac{y}{x}\right)\right] \\ \frac{\partial f}{\partial y}=x^{n} F^{\prime}(\frac{y}{x}) \cdot \frac{1}{x} \cdots(2)
समीकरण (1) तथा (2) को क्रमशः x तथा y से गुणा कर योग करने पर-

x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n x^{n} F\left(\frac{y}{x}\right) \\ \Rightarrow x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=nf
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2.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय के उदाहरण (Euler Theorem on Homogeneous Functions Examples)समघात फलनों पर ऑयलर की प्रमेय के उदाहरण (Euler’s Theorem on Homogeneous Functions Examples)-

Example-1.यदि (If) u=f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+z \frac{\partial u}{\partial z}=0
Solutionu=f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right)
माना t_{1}=\frac{x}{y}, t_{2}=\frac{y}{z}, \quad t_{3}=\frac{z}{x} \\ \Rightarrow f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x}\right)=f\left(t_{1}, t_{2}, t_{3}\right) \\ \Rightarrow u=f\left(t_{1}, t_{2}, t_{3}\right) \\ \frac{\partial t_{1}}{\partial x}=\frac{1}{y}, \frac{\partial t_{1}}{\partial y}=-\frac{x}{y^{2}}, \frac{\partial t_{1}}{\partial z}=0 \\ \frac{\partial t_{2}}{\partial x}=0, \frac{\partial t_{2}}{\partial y}=\frac{1}{z}, \frac{\partial t_{2}}{\partial z}=-\frac{y}{z^{2}} \\ \frac{\partial t_{3}}{\partial x}=\frac{-z}{x^{2}}, \frac{\partial t_{3}}{\partial y}=0, \frac{\partial t_{3}}{\partial z}=\frac{1}{x} \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial t_{1}} \cdot \frac{\partial t_{1}}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t_{2}} \cdot \frac{\partial t_{1}}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t_{3}} \cdot \frac{\partial t_{3}}{\partial x} \\ =\frac{\partial u}{\partial t_{1}} \cdot\left(\frac{1}{y}\right)+\frac{\partial u}{\partial t_{2}}(0)+\frac{\partial u}{\partial t_{3}}\left(-\frac{z}{x^{2}}\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{y} \frac{\partial u}{\partial t_{1}}-\frac{z}{x^{2}} \frac{\partial u}{\partial t_{3}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{y} \frac{\partial u}{\partial t_{1}}-\frac{z}{x} \frac{\partial u}{\partial t_{3}} \cdots (1) \\ \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial u}{\partial t_{1}} \cdot \frac{ \partial t_{1}}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial t_{2}} \cdot \frac{\partial t_{2}}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial t_{3}} \frac{\partial t_{3}}{\partial z} \\ =\frac{\partial u}{\partial t_{1}} \cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right)+\frac{\partial u}{\partial t_{2}}\left(\frac{1}{z}\right)+\frac{\partial u}{\partial t_{3}}(0) \\ =-\frac{x}{y^{2}} \frac{\partial u}{\partial t_{1}}+\frac{1}{z} \frac{\partial u}{\partial t_{2}} \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{x}{y} \frac{\partial u}{\partial t_{1}}+\frac{y}{z} \frac{\partial u}{\partial t_{2}} \cdots(2) \\ \frac{\partial u}{\partial z} =\frac{\partial u}{\partial t_{1}} \cdot \frac{\partial t_{1}}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t_{2}} \cdot \frac{\partial t_{2}}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial t_{3}} \cdot \frac{\partial t_{3}}{\partial z} \\ =\frac{\partial u}{\partial t_{1}}(0)+\frac{\partial u}{\partial t_{2}} \cdot\left(-\frac{y}{z^{2}}\right)+ \frac{\partial u}{\partial t_{3}}\left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{-y}{z^{2}} \frac{\partial u}{\partial t_{2}}+\frac{1}{x} \cdot \frac{\partial u}{\partial t_{3}} \\ z \frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{y}{z} \frac{\partial u}{\partial t_{2}}+\frac{z}{x} \frac{\partial u}{\partial t_{3}} \cdots(3) 
समीकरण (1),(2) तथा (3) को जोड़ने पर-

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+z \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{x}{y} \cdot \frac{\partial u}{\partial t_{1}}-\frac{z}{x} \frac{\partial u}{\partial t_{3}}-\frac{x}{y} \frac{\partial u}{\partial t_{1}}+\frac{y}{z} \cdot \frac{\partial u}{\partial t_{2}} -\frac{y}{z} \frac{\partial u}{\partial t_{2}}+\frac{z}{x} \frac{\partial u}{\partial t_{3}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+z \frac{\partial u}{\partial z}=0
Example-2.यदि‌ (If) u=\sin ^{-1}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\tan u
Solutionu=\sin ^{-1}\left(\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right)
यहां u समघात फलन नहीं है परन्तु हम दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
\sin u=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}=z (माना)
अब z=\frac{x\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}} \right)}{(1+\frac{y}{x})}=x f\left(\frac{y}{x}\right)
अतः z चरों x तथा y का 1 घात का समघात फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से-

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=1(z) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z \cdots(1) \\ z =\sin u \\ \frac{\partial z}{\partial x} =\cos u \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}=\cos u \frac{\partial u}{\partial y}  
उपर्युक्त मान समीकरण (1) में रखने पर-

\Rightarrow x \cos u \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+y \cdot \cos u \frac{\partial u}{\partial y}=\sin u \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\sin u}{\cos u} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\tan u
Example-3.यदि‌ (If) u=\tan ^{-1}\left(\frac{x^{3}+y^{3}}{x+y}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\sin 2 u
Solutionu=\tan ^{-1}\left(\frac{x^{3}+y^{3}}{x+y}\right)
यहां u समघात फलन नहीं है परन्तु हम दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
\tan u=\frac{x^{3}+y^{3}}{x+y}=z (माना)
अब z=\frac{x^{2}\left[1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right]}{\left(1+\frac{y}{x}\right)}=x^{2} f\left(\frac{y}{x}\right)
अतः z चरों x तथा y का 2 घात का समघात फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से-

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2(z) \\ \Rightarrow x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z \cdots (1) \\ z=\tan u \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\sec ^{2} u \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}=\sec ^{2} u \frac{\partial u}{\partial y}
उपर्युक्त मान समीकरण (1) में रखने पर-

x \cdot \sec ^{2} u \frac{\partial u}{\partial x}+y \sec ^{2} u \frac{\partial u}{\partial y}=2 \tan u \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2 \tan u}{\sec ^{2} u} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2 \sin u \cdot \cos ^{2} u}{\cos u} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=2 \sin u \cos u \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\sin 2 u
Example-4.यदि‌ (If) u=\log \left(\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=1
Solutionu=\log \left(\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right)
यहां u समघात फलन नहीं है परन्तु हम दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
e^{u}=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=z (माना)
अब z=\frac{x\left[1+\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\right]}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=x f\left(\frac{y}{x}\right)
अतः z चरों x तथा y का 1 घात का समघात फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से-

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z \cdots (1) \\ z=e^{u} \\ \frac{\partial z}{\partial x}=e^{u} \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}=e^{u} \frac{\partial u}{\partial y}
उपर्युक्त मान समीकरण (1) में रखने पर-

x \cdot e^{u} \frac{\partial u}{\partial x}+y \cdot e^{u} \frac{\partial u}{\partial y}=e^{u} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=1

Example-5.यदि‌ (If) u=\log \left(\frac{x^{4}+y^{4}}{x+y}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=3
Solutionu=\log \left(\frac{x^{4}+y^{4}}{x+y}\right)
यहां u समघात फलन नहीं है परन्तु हम दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
e^{u}=\frac{x^{4}+y^{4}}{x+y}=z (माना)
अब z=\frac{x^{3}\left[1+\left(\frac{y}{x}\right)^{4}\right]}{1+\frac{y}{x}}=x^{3} f\left(\frac{y}{x}\right)
अतः z चरों x तथा y का 3 घात का समघात फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से-

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=3 z \cdots(1) \\ z=e^{u} \\ \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=e^{u} \frac{\partial y}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}=e^{u} \frac{\partial u}{\partial y}
उपर्युक्त मान समीकरण (1) में रखने पर-

x \cdot e^{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+y \cdot e^{u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}=3 \cdot e^{u} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=3
Example-6.यदि‌ (If) u=\sin^{-1}\left(\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right),तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that):

x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{4} \frac{\sin u \cos 2 u}{\cos ^{3} u}
Solutionu=\sin^{-1}\left(\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right)
यहां u समघात फलन नहीं है परन्तु हम दिए हुए फलन को निम्न प्रकार लिख सकते हैं
\sin u=\frac{x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=z (माना)
अब z=\frac{x^{\frac{1}{2}}\left(1+\left(\frac{y}{x}\right)\right]}{1+\sqrt{\frac{y}{x}}}=x^{\frac{1}{2}} f\left(\frac{y}{x}\right)
अतः z चरों x तथा y का 1/2 घात का समघात फलन है।
अतः ऑयलर प्रमेय से-

x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{1}{2} z \cdots (1)\\ z=\sin u \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\cos u.\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}=\cos u.\frac{\partial u}{\partial y}
उपर्युक्त मान समीकरण (1) में रखने पर-

x \cos u.\frac{\partial u}{\partial x}+y \cos u.\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \sin u \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \tan u \cdots (2)
अब समीकरण (2) के दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}+x \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2} y}=\frac{1}{2} \sec ^{2} u \frac{\partial u}{\partial x} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{1}{2} \sec ^{2} u\left(x \frac{\partial u}{\partial x}\right) \\ \Rightarrow x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\left(2 \sec ^{2} u-1\right) x \frac{\partial u}{\partial x} \cdots (3)
पुनः समीकरण (2) का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

x \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+y \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{1}{2} \sec ^{2} u \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \\ \Rightarrow x y \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{1}{2} \sec ^{2} u\left(y \frac{\partial u}{\partial y}\right) \\ \Rightarrow x y \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(\frac{1}{2} \sec ^{2} u-1\right) y \frac{\partial u}{\partial y} \cdots(4)
समीकरण (3) व (4) का योग करने पर-

x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial u}{\partial y^{2}}=\left(\frac{1}{2} \sec ^{2} u-1\right)\left(x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}\right) \\ \Rightarrow x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\left(\frac{1}{2 \cos ^{2} u}-1\right) \frac{1}{2} \tan u
[समीकरण ( 2) से मान रखने पर]

\Rightarrow x^{2} \frac{ \partial^{2} u }{\partial x^{2}} + 2xy \frac{ \partial^{2} u }{\partial x \partial y} +y^{2} \frac{ \partial^{2} u }{\partial y^{2}}=\frac{1-2 \cos ^{2} u}{2 \cos ^{2} u} \cdot \frac{\sin u}{2 \cos u} -\frac{\cos 2 u \cdot \sin u}{4 \cos ^{3} u} \\ \Rightarrow x^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 x y \cdot \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-\frac{1}{4} \frac{\sin u \cos 2 u}{\cos ^{3} u}
निम्न फलनों के लिए ऑयलर प्रमेय का सत्यापन कीजिए:
(Verify Euler’s theorem for the following functions):
Example-7.u=\frac{x\left(x^{3}-y^{3}\right)}{x^{3}+y^{3}}
Solutionu=\frac{x\left(x^{3}-y^{3}\right)}{x^{3}+y^{3}}.....(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(4 x^{3}-y^{3}\right)-\left(x^{4}-x y^{3}\right)\left(3 x^{2}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{4 x^{6}+4 x^{3} y^{3}-x^{3} y^{3}-y^{6}-3 x^{6}+3 x^{3} y^{3}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{x^{6}+6 x^{3} y^{3}-y^{6}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{x^{7}+6 x^{4} y^{3}-x y^{6}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \cdots (2)
पुनः समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(-3 x y^{2}\right)-\left(x^{4}-x y^{3}\right)\left(3 y^{2}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{-3 x^{4} y^{2}-3 x y^{5}-3 x^{4} y^{2}+3 x y^{5}}{\left(x^{3}+ y^{3}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-6 x^{4} y^{2}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{-6 x^{4} y^{3}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \cdots (3)
समीकरण (2)‌ व (3) का योग करने पर-

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{x^{7}+6 x^{4} y^{3}-x y^{6}}{\left(x^{3}+ y^{3} \right)^{2}} -\frac{6 x^{4} y^{3}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}}\\ =\frac{x^{2}-x y^{6}}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{x\left(x^{6}-y^{6}\right)}{\left(x^{3}+y^{3}\right)^{2}} \\ =\frac{x\left(x^{3}-y^{3}\right)\left(x^{3}+y^{3}\right)}{\left(x^{3}+y^{3} \right)^{2}} \\ =\frac{x\left(x^{3}-y^{3}\right)}{x^{3}+y^{3}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y} =u
यह ऑयलर प्रमेय का सत्यापन करता है।
Example-8.u =\frac{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}}
Solutionu =\frac{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}} \cdots(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)\left(\frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}\right)-\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)\left(\frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}} \right)}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}} \right)^{2}} \\ = \frac{\frac{1}{4} x^{-\frac{11}{20}}+\frac{1 }{4} y^{\frac{1}{5}} x^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{5} x^{-\frac{11}{20}}-\frac{1}{5} y^{\frac{1}{4}} x^{-\frac{4}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{1}{20} x^{-\frac{11}{20}}+\frac{1}{4} y^{\frac{1}{5}} x^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{5} y^{\frac{1}{4}} x^{-\frac{4}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\frac{1}{20} x^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}} \cdot y^{\frac{1}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \cdots(2)
पुनः समीकरण (1) के दोनों पक्षों का y के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर-

\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)\left(\frac{1}{4} y^{-\frac{3}{4}}\right)-\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right) \frac{1}{5} y^{-\frac{4}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ =\frac{\frac{1}{4} x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{3}{4}}+\frac{1}{4} y^{-\frac{11}{20}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{4}{5}}-\frac{1}{5} y^{-\frac{11}{20}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\frac{1}{20} y^{-\frac{11}{20}}+\frac{1}{4} x^{\frac{1}{5}} y^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{4}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ \Rightarrow y \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\frac{1}{20} y^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{4} x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \ldots (3)
समीकरण (2) व (3) का योग करने पर-

x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\frac{1}{20} x^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{4}}+\frac{1}{20} y^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{4} x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{4}}-\frac{1}{5} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ =\frac{\frac{1}{20} x^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{20} y^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{20} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}+\frac{1}{20} x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{4}}}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ =\frac{\left(\frac{1}{20} x^{\frac{9}{20}}+\frac{1}{20} x^{\frac{1}{5}} y^{\frac{1}{4}} \right)+\left(\frac{1}{20} y^{\frac{9}{20} }+\frac{1}{20} x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{5}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}}  \\ =\frac{\frac{1}{20} x^{\frac{1}{5}}\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)+\frac{1}{20} y^{\frac{1}{5}}\left(y^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{4}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ =\frac{1}{20} \frac{\left(x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}\right)\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)}{\left(x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}\right)^{2}} \\ \Rightarrow x \frac{\partial u}{\partial x}+y \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{1}{20}\left(\frac{x^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{5}}+y^{\frac{1}{5}}}\right) \\ =\frac{1}{20} u

यह ऑयलर प्रमेय का सत्यापन करता है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) को समझ सकते हैं।

3.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय समस्याएं (Euler Theorem on Homogeneous Functions Problems),समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय सवाल (Euler Theorem for Homogeneous Function Questions)-

निम्न फलनों के लिए ऑयलर प्रमेय का सत्यापन कीजिए:
(Verify Euler’s theorem for the following functions):

(1)u=a x^{2}+2 h x y+b y^{2} \\ (2) u=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z
(3.)यदि (If) z=x y f\left(\frac{y}{x}\right) ,तो सिद्ध कीजिए कि (then prove that): x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=2 z
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) को ठीक से समझा जा सकता है।

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4.समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न-

प्रश्न:1.आप कैसे दिखाते हैं कि एक फ़ंक्शन सजातीय है? (How do you show that a function is homogeneous?)

उत्तर-यदि दो या दो से अधिक चरों का फलन f, ऐसा व्यंजक हो कि इसके प्रत्येक पद में चरों (जैसे x,y,z इत्यादि) की घातों का योग सदैव समान रहता है तो ऐसे फलन को समघात फलन (Homogeneous Function) कहते हैं।

प्रश्न:2.सजातीय कार्य पर यूलर की प्रमेय क्या है? (What is Euler theorem on homogeneous function?)

उत्तर-एक प्रमेय है, आमतौर पर ऑयलर को श्रेय दिया जाता है, समघात फलनों के बारे में जिसे हम उपयोग कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x, y, z) = Ax^{3} + By^{3} + Cz^{3} + Dxy^{2} + Exz^{2} + Gyx^{2} + Hzx^{2} + Izy^{2} + Jxyz x, y, z का एक समघात फलन है, जिसमें सभी पद तीन घात के उपस्थित हैं।

प्रश्न:3.आंशिक अवकलज का सूत्र क्या है? (What is the formula of partial derivatives?)

उत्तर-यदि दो चरों का एक फंक्शन दिया हुआ है तो f(x, y),का x के सापेक्ष अवकलन(y को अचर मानते हुए) को f को आंशिक अवकलज कहा जाता है और इसे \frac{∂ƒ}{∂x} या fx द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रश्न:4.आंशिक अवकलन यूलर का प्रमेय (partial differentiation euler theorem),आंशिक भेदभाव में यूलर का प्रमेय (euler theorem in partial differentiation)

उत्तर-किसी दिए हुए फलन के लिए समघात फलनों पर चर्चा को पूरा करने के लिए,गणितीय प्रमेय का अध्ययन करना उपयोगी है जो एक समघात फलन और इसके आंशिक डेरिवेटिव के बीच संबंध स्थापित करता है।यह ऑयलर की प्रमेय है।

प्रश्न:5.दो चर के समघात फलन पर यूलर का प्रमेय (euler theorem on homogeneous function of two variables)

उत्तर-चर x, y या y, z या x,z की डिग्री n का एक समघात फलन एक ऐसा फलन है जिसमें सभी पद डिग्री n के होते हैं।जब इस प्रकार दो चरों में से किसी एक चर के सापेक्ष अवकलन किया जाता है तो दूसरे चर को अचर मान लिया जाता है।इस प्रकार के आंशिक अवकलन को दो चरों का समघात फलन कहा जाता है,यही ऑयलर प्रमेय है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा समघात फलनों पर ऑयलर प्रमेय (Euler Theorem on Homogeneous Functions) को ठीक से समझ सकते हैं।

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