Power Series in Differential Calculus
1.अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus),अवकलन गणित में मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय (Maclaurin’s Theorem and Taylor’s Theorem in Differential Calculus):
अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus) के इस आर्टिकल में घात श्रेणी,मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।
Also Read This Article:- Euler’s Theorem of Homogeneous Function
2.अवकलन गणित में घात श्रेणी पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Power Series in Differential Calculus):
Example:2.प्रसार की वैधता मानते हुए सिद्ध कीजिए कि:
Assuming the validity of expansion, prove that:
Example:2(i). \tan^{-1} x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} \cdots
Solution: \tan^{-1} x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5} \cdots
माना f(x)=\tan ^{-1} x \\ f(0)=0 \\ f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^2} \Rightarrow f^{\prime}(0)=1 \\ f^{\prime \prime}(x)=-\frac{2 x}{\left(1+x^2\right)^2} \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=0 \\ f^{\prime \prime}(x) =-2\left[\frac{\left(1+x^2\right)^2 -x \cdot 2\left(1+x^2\right) \cdot 2 x}{\left(1+ x^2\right)^4} \right] \\ =-\frac{2\left(1+x^2\right)\left[1+x^2-4 x^2-4 x^4\right]}{\left(1+x^2\right)^4} \\ =-\frac{2\left( 1 -3 x^2-4 x^4\right)}{\left(1+x^2\right)^3} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(0) =-2 \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=\frac{ -2\left[\left(1+x^2\right)^3\left(-6 x-16 x^3\right)-\left(1-3 x^2-4 x^4\right)3 \left(1+x^2\right)^2 \cdot 2 x\right]}{\left(1+x^2\right)^6} \\ =\frac{-2\left(1+x^2\right)^2 \left[\left(1+ x^2\right)\left(-6 x-16 x^3\right)-\left(1-3 x^2-4 x^4\right) \cdot 6 x\right]}{\left(1+ x^2 \right)^6} \\ = \frac{-2\left[-6 x-16 x^3-6 x^3-16 x^5-6 x+18 x^3+24 x^5\right]}{\left(1+x^2\right)^4} \\=\frac{-2\left(8 x^5+4 x^3-12 x\right)}{\left(1+x^2\right)^4} \\ f^{\prime \prime \prime}(0)=0 \\ f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)=\frac{-2\left[\left(1+x^2\right)^4\left(40 x^4-12 x^2-12 \right)-\left(8 x^5-4 x^3-12 x\right) \cdot 4\left(1+x^2\right)^3 \cdot 2 x\right]}{\left(1+x^2\right)^8} \\ =-\frac{-2\left(1+x^2 \right)^3 \left[\left(1+x^2\right)\left(40 x^4-12 x^2-12\right)-8 x\left(8 x^5-4 x^3-12 x\right)\right]}{\left(1+x^2\right)^8} \\ =\frac{-2\left(40 x^4-12 x^2-12+40 x^6-12 x^4-12 x^2-64 x^6+32 x^4+96 x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^5} \\=\frac{-2\left(-24 x^6+60 x^4+72 x^2-12\right)}{\left(1+x^2\right)^5} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0) =\frac{-2(-12)}{1} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0) =24
मेक्लारिन प्रमेय से:
f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\frac{x^3}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0) +\frac{x^4}{4 !} f^{\prime \prime \prime \prime}(0)+\frac{x^5}{5 !} f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)+\cdots \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x=0+x(1)+\frac{x^2}{2 \times 1}(0)+\frac{x^3}{3 \times 2 \times 1}(-2) +\frac{x^4}{4 \times 3 \times 2 \times 1}(0)+\frac{x^5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}(24)+\cdots \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}- \cdots
Example:2(ii). e^x \sec x=1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\frac{3 x^5}{10}+\cdots
Solution: e^x \sec x=1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\frac{3 x^5}{10}+\cdots
माना f(x)=e^x \sec x \\ f(0)=e^0 \sec 0=1 \\ f^{\prime}(x)=e^x \sec x+e^x \sec x \tan x \\ f^{\prime}(0) =e^0 \sec 0+e^0 \sec 0 \tan 0 \\ \Rightarrow f^{\prime}(0) =1 \\ f^{\prime \prime}(x) =e^x \sec x+e^x \sec x \tan x+e^x \sec x \tan x+e^x \sec x \tan ^2 x+e^x \sec ^3 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(x) =e^x \sec x+2 e^x \sec x \tan x+e^x \sec x \tan ^2 x+e^x \sec ^3 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=e^0 \sec 0+2 e^0 \sec 0 \tan 0+e^0 \sec 0 \tan^2 (0)+e^0 \sec ^3(0) \\ =1+0+0+1 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=2 \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=e^x \sec x+e^x \sec x \tan x+2 e^x \sec x \tan x+2 e^x \sec x \tan ^2 x+2 e^x \sec ^3 x +e^x \sec x \tan ^2 x+e^x \sec x \tan ^3 x+2 e^x \sec ^3 x \tan x+e^x \sec ^3 x+3 e^x \sec ^3 x \tan x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=e^x \sec x+3 e^2 \sec x \tan x+ 3 e^x \sec x \tan ^2 x+3 e^x \sec ^3 x+e^x \sec x \tan ^3 x+5 e^x \sec ^3 x \tan x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=e^0 \sec 0+3 e^0 \sec 0 \tan 0+3 e^0 \sec 0 \tan ^2(0)+3 e^0 \sec ^3(0)+e^0 \sec 0 \tan ^3(0)+5 e^0 \sec ^3(0) \tan 0 \\ =1+0+0+3+0+0 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)=4 \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=e^x \sec x+e^x \sec x \tan x+3 e^x \sec x \tan x+3 e^x \sec x \tan ^2 x+3 e^x \sec ^3 x +3 e^x \sec x \tan ^2 x+3 e^x \sec \tan ^3 x+6 e^x \sec ^3 x \tan x+9 e^x \sec ^3 x \tan x +3 e^x \sec ^3 x+e^x \sec ^2 x \tan ^2 x+e^x \sec x \tan ^4 x+3 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+5 e^x \sec ^3 x \tan x+15 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+5 e^x \sec ^5 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(x)=e^x \sec x+4 e^x \sec x \tan x+6 e^x \sec x \tan ^2 x+6 e^x \sec ^3 x+4 e^x \sec x \tan ^3 x+20 e^x \sec ^3 x \tan x+e^x \sec x \tan ^4 x+18 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+5 e^x \sec ^5 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(0)=e^0 \sec 0+4 e^0 \sec 0 \tan 0+6 e^0 \sec 0 \tan ^2 0+6 e^0 \sec ^3 0+4 e^0 \sec 0 \tan ^3 0 +20 e^0 \sec ^3 0 \tan 0+e^0 \sec 0 \tan ^4 0+18 e^0 \sec ^3 0 \tan ^2 0+5 e^0 \sec ^5 0 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(0)=1+0+0+6+0+0+ 0+0+5 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(0)=12 \\ f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)=e^x \sec x+e^x \sec x \tan x+4 e^x \sec x \tan x+4 e^x \sec x \tan ^2 x+4 e^x \sec ^3 x+6 e^x \sec x \tan x+6 e^x \sec x \tan ^3 x+12 e^x \sec ^3 x \tan x+6 e^x \sec ^3 x+18 e^x \sec ^3 x \tan x+4 e^x \sec x \tan ^3 x+4 e^x \sec x \tan ^4 x+12 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+20 e^x \sec ^3 x \tan x+60 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+20 e^x \sec ^5 x+e^x \sec x \tan^4 x+e^x \sec x \tan ^5 x+4 e^x\sec ^3 x \tan ^3 x+18 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+5 4 e^x \sec ^3 x \tan ^3 x+30 e^x \sec ^5 x \tan x+5 e^x \sec ^5 x+25 e^x \sec ^5 x \tan x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)=e^x \sec x+11 e^x \sec x \tan x+4 e^x \sec x \tan ^2 x+10 e^x \sec ^3 x+10 e^x \sec x \tan ^3 x+50 e^x \cos ^x \sec^3 x \tan x+5 e^x \sec x \tan^4 x+90 e^x \sec ^3 x \tan ^2 x+25 e^x \sec ^5 x+e^x \sec x \tan ^5 x+58 e^x \sec ^3 x \tan ^3 x+55 e^x \sec ^5 x \tan x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)=e^0 \sec 0+11 e^0 \sec (0) \tan 0 +4 e^0 \sec 0 \tan ^2(0)+10 e^0 \sec ^3(0)+10 e^0 \sec 0 \tan ^3(0)+50 e^0 \sec ^3(0) \tan (0)+5 e^0 \sec (0) \tan ^4(0)+90 e^0 \sec ^3(0) \tan ^2(0)+ 25 e^0 \sec ^5(0)+e^0 \sec (0) \tan ^5(0)+ 58 e^0 \sec ^3(0) \tan ^3(0)+55 e^0 \sec ^0(0) \tan (0) \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)= 1+0+0+10+0+0+0+0+25+0 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)=36
मेक्लारिन प्रमेय से:
f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime \prime}(0)+\frac{x^3}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0) +\frac{x^4}{4 !} f^{\prime \prime \prime \prime}(0)+\frac{x^5}{5 !} f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)+ \cdots \\ e^x \sec x =1+x \times 1+\frac{x^2}{2 \times 1} \times 2+\frac{x^3}{3 \times 2} \times 4+\frac{x^4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 12+\frac{x^5}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 36+\cdots \\ \Rightarrow e^x \sec x=1+x+x^2+\frac{2}{3} x^3+\frac{x^4}{2}+\frac{3 x^5}{10}+\cdots
Example:2(iii). \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\cdots
Solution: \tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+\cdots
माना f(0)=\tan x \\ f(0)=\tan 0=0 \\ f^{\prime}(x)=\sec ^2 x \Rightarrow f^{\prime}(0)=\sec ^2 0=1 \\ f^{\prime \prime}(x)=2 \sec ^2 x \tan x \\ f^{\prime \prime}(0)=2 \sec ^2 0 \tan 0=0 \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=4 \sec ^2 x \tan ^2 x+2 \sec ^4 x \\ f^{\prime \prime \prime}(0)=4 \sec ^2 0 \tan ^2(0)+2 \sec ^4(0) \\ =0+2(1) \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=2 \\ f^{\prime \prime \prime \prime}(x)= 8 \sec ^2 x \tan ^3 x+8 \sec ^4 x \tan x +8 \sec ^4 x \tan x \\ f^{\prime \prime \prime \prime}(x)= 8 \sec ^2 x \tan ^3 x+16 \sec ^4 x \tan x \\ f^{\prime \prime \prime \prime}(0) =8 \sec ^2 0 \tan ^3(0)+16 \sec ^4(0) \tan (0) \\ = 0+0 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(0)=0 \\ f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)= 16 \sec ^2 x \tan ^4 x+24 \sec ^4 x \tan ^2 x + 64 \sec ^4 x \tan ^2 x+16 \sec ^6 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(x)= 16 \sec ^2 x \tan ^4 x+88 \sec ^4 x \tan ^2 x+16 \sec ^6 x \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime}(0)= 16 \sec ^2(0) \tan ^4(0)+88 \sec ^4(0) \tan ^2(0)+16 \sec ^6(0) \\ = 0+0+16 \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime \prime \prime}(0)=16
मेक्लारिन प्रमेय से:
Example:3.सिद्ध कीजिए कि \sin \left(\frac{1}{x}\right) का मेक्लारिन प्रसार नहीं किया जा सकता है।
Prove that the \sin \left(\frac{1}{x}\right) cannot be expanded in Maclaurin’s series.
Solution:माना f(x)=\sin \left(\frac{1}{x}\right) \\ f(0) =\sin \left(\frac{1}{0}\right)=\sin \infty \\-1 \leq \sin \infty \leq 1 \\ f(0) =[-1,1] \\ f^{\prime}(x) =\cos \left(\frac{1}{x}\right)\left(-\frac{1}{x^2}\right) \\=-\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^2} \\ \Rightarrow f^{\prime}(0)=-\frac{\cos \left(\frac{1}{0}\right)}{0} \\ =-\infty[\cos \infty] \\ =-\infty \times[-1,1] \quad[\because -1 \leq \cos \leq 1] \\ \Rightarrow f^{\prime}(0)=-\infty
f(0),f'(0),f”(0),…… सभी अपरिमित हैं अतः \sin \left(\frac{1}{x}\right) का मेक्लारिन प्रसार नहीं किया जा सकता है।
Example:सिद्ध कीजिए कि R पर परिभाषित फलन,
(Prove that the function defined on R)
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
के, x के प्रत्येक वास्तविक मान के लिए सभी क्रमों के अवकलज विद्यमान हैं किन्तु मेक्लारिन श्रेणी में प्रसार नहीं किया जा सकता है।
Possesses derivatives of all orders for all real numbers but it has not Maclaurin’s expansion
Solution: f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}, x \neq 0 \cdots(1) \\ R f^{\prime}(0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{f(\theta+h)-f(0)}{h}\right] \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h}-0\right] \\ =\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{e^{-\theta^2}}{\frac{1}{\theta}}\right] जहाँ \theta=\frac{1}{h} \\=\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{\theta}{e^{\theta^2}} \right] \\ =\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{1}{2 \theta e^{\theta^2}} \right] [DL Hospital Rule]
\Rightarrow R f^{\prime}(0)=0 \\ Lf^{\prime}(0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left[\frac{f(0-h)-f(0)}{-h}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{e^{-\left(\frac{1}{h^2}\right)}-0}{h}\right] \\ =\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim}\left[\frac{e^{-\theta^2}}{-\frac{1}{\theta}}\right] जहाँ \theta=\frac{1}{h} \\ =\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim} \left[-\frac{\theta}{e^{\theta^2}} \right] \\ =\underset{\theta \rightarrow \infty}{\lim} \left[-\frac{1}{2 \theta e^{\theta^2}}\right] [DL Hospital Rule]
\Rightarrow L f^{\prime}(0)=0 \\ Rf^{\prime}(0)=Lf^{\prime}(0) \\ \therefore f^{\prime}(0)=0
(1) सेः
f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x^2}}; x \neq 0 \\ \underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left[f^{\prime}(x)\right]=\underset{x \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x^2}}\right] \\ =\underset{t \rightarrow \infty}{\lim}\left[2 t^3 e^{-t^2}\right] जहाँ t=\frac{1}{x} \\ =\underset{t \rightarrow \infty}{\lim} \left[\frac{2 t^3}{e^{t^2}}\right]=0 \\ \Rightarrow 2 f^{\prime}(0)=0
अतः f'(x), x=0 पर संतत है।यदि हम f(x)[x \neq 0] के उच्च अवकलज ज्ञात करेंगे तो e^{-\frac{1}{x^2}}, \frac{1}{x} के बहुपद से गुणा होगा,अतः f(x) के सभी उच्च अवकलज x=0 पर शून्य हो जाएंगे।अतः x के सभी वास्तविक मानों के लिए सभी क्रमों के अवकलज विद्यमान है परन्तु मेक्लारिन प्रमेय से:
f(x)=f(0)+x f^{\prime}(0)+\frac{x^2}{2 !} f^{\prime}(0)+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1}(0)+R_n \\ \Rightarrow e^{-\frac{1}{x^2}}=0+0 \cdot x+0 \cdot \frac{x^2}{2 !}+\cdots+0 \cdot \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+R_{n}\\ \Rightarrow R_n=e^{-\frac{1}{x^2}} \\ \therefore \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} R_n \neq 0 जहाँ e^{-\frac{1}{x^2}} जब शून्य नहीं होता है जब n \rightarrow \infty
अतः f(x) का मेक्लारिन श्रेणी में प्रसार नहीं किया जा सकता है।
Example:8. \tan ^{-1} x का \left(x-\frac{\pi}{4}\right) की घातों में विस्तार कीजिए।
Expand \tan ^{-1} x in powers of \left(x-\frac{\pi}{4}\right)
Solution:माना f(x)=\tan ^{-1} x \\ f\left(\frac{\pi}{4}+x-\frac{\pi}{4}\right)=\tan ^{-1} x \\ f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=\tan ^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \\ f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ f^{\prime}(\frac{\pi}{4})=\frac{1}{1+\left(\frac{\pi}{4}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{\pi^2}{16}} \\ f^{\prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2} \\ f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(1+x^2\right)^2} \\ f^{\prime \prime}(\frac{\pi}{4})=\frac{-2 \times \frac{\pi}{4}}{\left[1+\left(\frac{\pi}{4}\right)^2\right]^2} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-\frac{\pi}{2}}{\left(1+\frac{\pi^2}{16}\right)^2} \\ f^{\prime \prime \prime}(x)=-2\left[\frac{\left(1+x^2\right)^2 \cdot 1-x \cdot 2\left(1+x^2\right)^2 \cdot 2 x}{\left(1+x^2\right)^4}\right] \\ f^{\prime \prime \prime}(x) =-2\left[\frac{1+x^2-4 x^2}{\left(1+ x^2 \right)^4}\right]\left(1+x^2\right) \\=\frac{-2 \left(1-3 x^2\right)}{\left(1+x^2\right)^3} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime}(\frac{\pi}{4}) =\frac{-2\left[1-3\left(\frac{\pi}{4}\right)^2\right]}{\left[1+\left(\frac{\pi}{4}\right)^2\right]^3} \\ \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{-2\left(1-\frac{3 \pi^2}{16}\right)}{\left(1+\frac{\pi^2}{16}\right)^3}
टेलर प्रमेय से:
f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) \cdot h+f^{\prime \prime}(a) \frac{h^2}{2 !}+f^{\prime \prime \prime}(a) \frac{b^3}{3 !}+\cdots \\ a=\frac{\pi}{4} तथा h=x-\frac{\pi}{4} रखने पर:
f(x)=f\left(\frac{\pi}{4}+x-\frac{\pi}{4}\right)=f\left(\frac{\pi}{4}\right)+f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x-\frac{\pi}{4}\right) +f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{(x-\frac{\pi}{4})^2}{2 !}+f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) \frac{(x-\frac{\pi}{4})^3}{3 !}+\cdots \\ \Rightarrow \tan ^{-1} x=\tan ^{-1}\left(\frac{\pi}{4}\right) +\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{1+\frac{\pi^2}{6}} +\frac{(x-\frac{\pi}{4})^2}{2 !} \frac{\frac{\pi}{2}}{\left(1+\frac{\pi^2}{16}\right)^2}-\frac{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^3}{3 !} \cdot \frac{2\left(1-\frac{3 \pi^2}{16}\right)}{\left(1+\frac{\pi^2}{16}\right)^3}+\cdots
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus),अवकलन गणित में मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय (Maclaurin’s Theorem and Taylor’s Theorem in Differential Calculus) को समझ सकते हैं।
3.अवकलन गणित में घात श्रेणी की समस्याएँ (Power Series in Differential Calculus Problems):
मेक्लारिन प्रमेय का प्रयोग करके,निम्न को सिद्ध करो
Using Maclaurin’s theorem prove the following:
(1.)e^x \cos x=1+x-\frac{2 x^3}{3 !}-\frac{2^2 x^4}{4 !}-\frac{2^3 x^5}{5 !}+\cdots
(2.) e^x \log (1+\cos x)=x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{2 x^3}{3 !}+\frac{9 x^5}{5 !}+\cdots
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus),अवकलन गणित में मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय (Maclaurin’s Theorem and Taylor’s Theorem in Differential Calculus) को ठीक से समझ सकते हैं।
Also read This Article:- Partial Differential in Calculus
4.अवकलन गणित में घात श्रेणी (Frequently Asked Questions Related to Power Series in Differential Calculus),अवकलन गणित में मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय (Maclaurin’s Theorem and Taylor’s Theorem in Differential Calculus) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.घात श्रेणी को परिभाषित करो। (Define Power Series):
यदि x संतत वास्तविक चर हो तथा a कोई अचर राशि,हो तो श्रेणी
\overset{\infty}{\underset{n=0}{\Sigma}} A_n(x-a)^n
जहाँ A_n अचर है,बिन्दु x=a पर घात श्रेणी कहलाती है।
यदि a=0,तो \overset{\infty}{\underset{n=0}{\Sigma}} A_n x^n ,जहाँ A_n अचर है,मानक घात श्रेणी कहलाती है।
प्रश्न:2.टेलर श्रेणी से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Taylor’s Series?):
उत्तर:यदि फलन f(x) संवृत्त अन्तराल [a,a+h] में परिभाषित है तथा टेलर प्रमेय के सभी प्रतिबन्धों का पालन करता है,तो टेलर प्रमेय के अनुसार
f(a+h)=f(a)+h f^{\prime}(a)+\cdots+\frac{h^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1}(a)+R_n
जहाँ R_n,n पदों के पश्चात टेलर का शेष कहलाता है।
अब मान लें कि फलन f इस प्रकार है कि f की प्रत्येक कोटि के अवकलज का अन्तराल [a,a+h] में अस्तित्व है तथा R_n \rightarrow 0 , जबकि n \rightarrow \infty , \forall x \in[a, a+h] ,तो f(x) का प्रसार एक अनन्त श्रेणी में बन जाएगा।
अतः f(a+h)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left[f(a)+h f^{\prime}(a)+\cdots+\frac{h^{n-1}}{(n-1) !} f^{n-1}(a)\right] \\ \left[\because \underset{n \rightarrow \infty}{R_{n}}=0\right] \\ \Rightarrow f(a+h)=f(a)+h f^{\prime}(a)+\frac{h^2}{2 !} f^{\prime \prime}(a)+\cdots+\frac{h^n}{n!} f^n(a)+\cdots \infty
दक्षिण पक्ष (R.H.S.) की अनन्त श्रेणी ‘टेलर श्रेणी’ कहलाती है।
प्रश्न:3.कुछ आधारभूत फलनों का घात श्रेणी प्रसार कीजिए। (Do Power Series of some Basic functions):
उत्तर:मान लो f(x)=\sin x \cdots(1) \\ \therefore f^n(x)=\sin \left[x+n \left(\frac{\pi}{2}\right)\right], n \in N, x \in R
अतः प्रत्येक धन पूर्णांक के लिए अन्तराल [0, x] ; x \in R में f(x) का,n वाँ अवकलज विद्यमान है।
अब (1) में x=0 रखने पर:
f^{\prime}(n)=\sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \\ \Rightarrow f^n(0)= \left\{\begin{array}{l} 0, \text { यदि } n \text { सम है } \\ (-1)^{\frac{n-1}{2}}, \text { यदि } n \text { विषम है } \end{array}\right.
अब घात श्रेणी प्रसार के लिए \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} R_n(x) \rightarrow 0 हमें सिद्ध करना है।इसके लिए मेक्लारिन प्रसार में लग्रांज शेष पद रूप लेते हैं अर्थात
R_n=\frac{x^n}{n !} \cdot f^n(\theta x)=\frac{x^n}{n !} \sin \left[\theta x+ n\left(\frac{\pi}{2}\right)\right], 0<\theta<1 \\ \Rightarrow |R_{n}|=|\frac{x^n}{n !} \sin \left[\theta x+n\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]|, 1<|\frac{x^n}{n!}|\left[\because \sin |x| \leq 1\right] \\ \Rightarrow \underset{n \rightarrow 0}{\lim} |R_{n}|=0 \left[\because \Sigma |\left ( \frac{x^n}{n!} \right)|\right] [एक अभिसारी श्रेणी है।]
अतः \sin x मेक्लारिन श्रेणी के दोनों प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है।
अतः x \in R, \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus),अवकलन गणित में मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय (Maclaurin’s Theorem and Taylor’s Theorem in Differential Calculus) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
| No. | Social Media | Url |
|---|---|---|
| 1. | click here | |
| 2. | you tube | click here |
| 3. | click here | |
| 4. | click here | |
| 5. | Facebook Page | click here |
| 6. | click here |
Power Series in Differential Calculus
अवकलन गणित में घात श्रेणी
(Power Series in Differential Calculus)
Power Series in Differential Calculus
अवकलन गणित में घात श्रेणी (Power Series in Differential Calculus) के इस आर्टिकल में घात
श्रेणी,मेक्लारिन प्रमेय तथा टेलर प्रमेय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
About Author
Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
