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How to Find Envelope of a Curve?

1.एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?):

एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?),इसके लिए अनवलोप की परिभाषा और इसको ज्ञात करने की विधि जानना आवश्यक है।
अन्वालोप की परिभाषा (Definition of Envelope):वह वक्र जो किसी वक्र कुल (Family of Curves) के प्रत्येक सदस्य (Each Member) को स्पर्श करता है तथा स्वयं प्रत्येक बिन्दु पर वक्र कुल के किसी न किसी सदस्य द्वारा स्पर्श किया जाता हो तो वह उस वक्र कुल का अन्वालोप (Envelope) कहलाता है।
अन्वालोप की द्वितीय परिभाषा:यदि f(x, y, \alpha)=0 एक वक्र कुल को प्रदर्शित करे जिसका प्राचल \alpha है तथा यदि वक्र f(x, y, \alpha)=0 और f(x, y, \alpha+\delta \alpha)=0 का प्रतिच्छेद बिन्दु इस प्रकार हो कि जब \delta \alpha \rightarrow 0  तब यह निश्चित बिन्दु P की ओर प्रवृत्त होता है।तब प्रतिच्छेद बिन्दु P का बिन्दुपथ (Locus) (\alpha के चर मानों के लिए) वक्र कुल का अन्वालोप (Envelope) कहलाता है।
अन्वालोप ज्ञात करने की विधि (Method of Finding the Envelope):
अतः \alpha के भिन्न-भिन्न मानों के लिए इस कुल के भिन्न-भिन्न सदस्य प्राप्त होते हैं।
मान लिया कि f(x, y, \alpha)=0 \ldots(1)
तथा f(x, y, \alpha+\delta \alpha)=0 \ldots(2)
दिए हुए कुल के दो सदस्य हैं।अब (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु P,समीकरण f(x, y, \alpha+\delta \alpha)- f(x, y, \alpha)=0 को सन्तुष्ट करेंगे।
इसलिए \frac{f(x, y, \alpha+\delta \alpha)-f(x, y ,\alpha)}{\delta \alpha}=0 को भी ये बिन्दु सन्तुष्ट करेंगे।
[यदि (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद बिन्दु एक से अधिक हों तब भी उपर्युक्त तर्क सत्य है]
अब जब \delta \alpha \rightarrow 0 तब हम देखते हैं कि बिन्दु P जिसकी ओर अग्रसर होता है,के निर्देशांक

\lim _{\delta \alpha \rightarrow 0} \frac{f(x, y, \alpha+\delta \alpha)-f(x, y, \alpha)}{\delta \alpha}=0
या \frac{\partial f(x, y, \alpha)}{\partial \alpha}=0 को सन्तुष्ट करेंगे
साथ ही P के निर्देशांक (1) को भी सन्तुष्ट करने चाहिए क्योंकि P वक्र (1) पर स्थित है।(1) और (3) में से प्राचल को विलोपित करने पर एक ऐसा समीकरण प्राप्त होगा जिसके \alpha के प्रत्येक मान के लिए बिन्दु P के निर्देशांक सन्तुष्ट करेंगे।फलतः प्राचल \alpha को (1) और (3) में से विलोपित करने पर जो समीकरण प्राप्त होता है वह बिन्दु P का बिन्दुपथ होगा।
अतः वक्र कुल f(x, y, \alpha)=0,जहाँ \alpha प्राचल है का अन्वालोप समीकरण
f(x, y, \alpha)=0 तथा \frac{\partial f(x, y, \alpha)}{\partial \alpha}=0
में से \alpha का विलोपन करने पर प्राप्त होता है।
टिप्पणी (Note):प्रश्नों को हल करते समय यदि वक्र कुल का समीकरण नहीं दिया हुआ हो परन्तु वह प्रतिबन्ध दिया हो जिससे वक्र कुल का कोई सदस्य ज्ञात किया जा सके तो प्रथम वक्र कुल का समीकरण ज्ञात कर लेना चाहिए।
विशेष स्थिति (Special Case):
अन्वालोप ज्ञात करने की विधि जब वक्र कुल का समीकरण प्राचल में द्विघाती हो (Method of Finding Envelope of the Family of Curves When its Equation is Quadratic in the Parameter):
माना कि f(x, y, \alpha)=A \alpha^{2}+B \alpha+C=0 \ldots(1) 
जहाँ A,B,C प्रत्येक x,y के फलन हैं।

समीकरण (1) दोनों पक्षों का प्राचल \alpha के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\frac{\partial f}{\partial \alpha}=2 A \alpha+B=0 \Rightarrow \alpha=-\frac{B}{2 A} \cdots(2)

समीकरण (1) व (2) में  \alpha का विलोपन करने पर

A\left(-\frac{B}{2 A}\right)^{2}+B\left(\frac{-B}{2 A}\right)+C=0 \\ \Rightarrow B^{2}-4 A C=0
वक्र कुल A \alpha^{2}+B \alpha+C=0  जहाँ A,B,C प्रत्येक x,y के फलन हैं,का अन्वालोप B^{2}-4 A C=0है।

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2.एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें के उदाहरण (How to Find Envelope of a Curve Examples):

निम्न सरल रेखाओं के कुल का अन्वालोप ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4):
(Find the envelope of the following family of straight line):
Example:1.y=m x+\sqrt{\left(a^{2} m^{2}+b^{2}\right)} जहाँ m प्राचल है (Where m is parameter).
Solution:y=m x+\sqrt{\left(a^{2} m^{2}+b^{2}\right)} \\ \Rightarrow y-m x=\sqrt{a^{2} m^{2}+b^{2}} \\ \Rightarrow y^{2}-2 m x y+m^{2} x^{2}=a^{2} m^{2}+b^{2} \ldots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल m के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

-2 x y+2 m x^{2}=2 a^{2} m \\ \Rightarrow 2 m x^{2}-2 a^{2} m=2 x y \\ \Rightarrow m\left(x^{2}-a^{2}\right)=x y \\ \Rightarrow m=\frac{x y}{x^{2}-a^{2}}
m का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\Rightarrow y^{2}-2 x y \cdot\left(\frac{x y}{x^{2}-a^{2}}\right)+\frac{x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}} \cdot x^{2}=\frac{x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}}+b^{2} \\ \Rightarrow y^{2}-\frac{2 x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)}+\frac{x^{4} y^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}}=\frac{a^{2} x^{2} y^{2}}{\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}}+b^{2} \\ \Rightarrow y^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2}-2 x^{2} y^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)+x^{4} y^{2} =a^{2} x^{2} y^{2}+b^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow y^{2}\left(x^{4}-2 a^{2} x^{2}+a^{4}\right) -2 x^{4} y^{2}+2 a^{2} x^{2} y^{2}+x^{4} y^{2}=a^{2} x^{2} y^{2}+b^{2}\left(x^{4}-2 a^{2} x^{2}+a^{4}\right) \\ \Rightarrow x^{4} y^{2}-2 a^{2} x^{2} y^{2}+a^{4} y^{2}-2 x^{4} y^{2}+2 a^{2} x y^{2}+x^{4} y^{2}= a^{2} x^{2} y^{2}+b^{2} x^{4}-2 a^{2} b^{2} x^{2}+a^{4} b^{2} \\ \Rightarrow a^{4} y^{2}=a^{2}x^{2} y^{2}+b^{2} x^{4}-2 a^{2} b^{2} x^{2}+a^{4} b^{2} \\ \Rightarrow a^{4} y^{2}-a^{2} x^{2} y^{2}=b^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow-a^{2} y^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)= b^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow-a^{2} y^{2}=b^{2}\left(x^{2}-a^{2}\right) \\ \Rightarrow -a^{2} y^{2}=b^{2} x^{2}-a^{2} b^{2} \\ \Rightarrow \quad b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \\ \Rightarrow \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2} b^{2}}+\frac{a^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
जो कि अभीष्ट रेखा कुल का अन्वालोप है।
Example:2.y \cos \theta-x \sin \theta=a-a \sin \theta \log \left(\tan \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) जहाँ \theta प्राचल है (Where is parameter).

Solution:-y \cos \theta-x \sin \theta=a-a \sin \theta \log \left(\tan \frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल \theta के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

-y \sin \theta-x \cos \theta=-a \cos \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-a \sin \theta \cdot \frac{\sec ^{2}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{2 \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)} \\ \Rightarrow-y \sin \theta-x \cos \theta=-a \cos \theta \log \left ( \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \right ) - a \sin \theta \frac{1}{2\sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}\\ \Rightarrow-y \sin \theta-x \cos \theta=-a \cos \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{a \sin \theta}{\sin \left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)} \\ \Rightarrow-y \sin \theta-x \cos \theta=-a \cos \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)-\frac{a \sin \theta}{\cos \theta} \cdots(2)
समीकरण (1) को \sin \theta व (2) को \cos \theta से गुणा करके जोड़ने पर:

y \sin \theta \cos \theta-x \sin ^{2} \theta=a \sin \theta-a \sin ^{2} \theta \log \tan\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdots(3) \\ -y \sin \theta \cos \theta-x \cos ^{2} \theta=-a \sin \theta-a \cos ^{2} \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdots(4) \\ -x \left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)=-a\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) \log \tan \left(\frac{\theta}{2} +\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow-x=-a \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow x=a \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ \Rightarrow \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{x}{a} \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{x}{a}} \cdots(5) \\ \Rightarrow \cot \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=e^{-\frac{x}{a}} \cdots(6) \\ \Rightarrow \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\cot \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}} \\ \Rightarrow \frac{\sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}+\frac{\cos \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}
समीकरण (5) व (6) को जोड़ने पर:

\Rightarrow \frac{\sin ^{2}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}=e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}} \\ \frac{1}{2 \sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)}= \frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)}=\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2} \\ \Rightarrow \frac{1}{\cos \theta}=\frac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2} \\ \Rightarrow \sec \theta=\cosh \left(\frac{x}{a}\right) \cdots(7)
समीकरण (1) को \cos \theta व (2) \sin \theta को से गुणा करके जोड़ने पर:

y \cos ^{2} \theta-x \sin \theta \cos \theta=a \cos \theta-a \sin \theta \cos \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdots(8)\\ -y \sin ^{2} \theta-x \sin \theta \cos \theta=-a \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta}-a \sin \theta \cos \theta \log \tan \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cdots(9)

+                   +                           +                    +घटाने पर

………………………………………………………………………………………………

y\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)=a \cos \theta+a \frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow y=\frac{a \cos ^{2} \theta+a \sin ^{2} \theta}{\cos \theta} \\ \Rightarrow y=\frac{a\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)}{\cos \theta} \\ \Rightarrow y=\frac{a}{\cos \theta} \\ \Rightarrow y=a \sec \theta \\ \Rightarrow \sec \theta=\frac{y}{a} \ldots(10)
समीकरण (7) को  व  (10) से का विलोपन करने पर:

\frac{y}{a}=\cosh \left(\frac{x}{a}\right) \\ \Rightarrow y=a \cosh \left(\frac{x}{a}\right)
जो कि अभीष्ट रेखा कुल का अन्वालोप है।
Example:3.y=m x+a m^{p} जहाँ m प्राचल है (Where m is parameter).

Solution:y=m x+a m^{p} \cdots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल m के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

0=x+a p m^{p-1} \\ \Rightarrow -a p m^{ p-1}=x \\ \Rightarrow m=\left(\frac{x}{-a p}\right)^{\frac{1}{p-1}}
m का मान समीकरण (1) में रखने पर:

y=\left(-\frac{x}{a p}\right)^{\frac{1}{p-1}} \cdot x+a\left(\frac{-x}{a p}\right)^{\frac{p}{p-1}}\\ y=\frac{(x)^{\frac{p}{p-1}}}{\left(-a p\right)^{\frac{1}{p-1}}}+\frac{(-x)^{\frac{p}{p-1}}}{a^{\frac{1}{p-1}} p^{\frac{p}{p-1}}} \\ \Rightarrow y=\frac{(x)^{\frac{p}{p-1}}}{a^{\frac{1}{p-1}} p^{\frac{p}{p-1}}}(1-p) \\ \Rightarrow y^{p-1}=\frac{x^{p}}{a p^{p}}(1-p)^{p-1} \\ \Rightarrow a p^{p} y^{p-1}=x^{p}(1-p)^{p-1} \\ \Rightarrow(p-1)^{p-1} x^{p}+a p^{p} y^{p-1}=0
जो कि अभीष्ट रेखा कुल का अन्वालोप है।
Example:4. y=m x+\frac{a}{m}
Solution:y=m x+\frac{a}{m} \\ y=\frac{m^{2} x+a}{m} \\ \Rightarrow m y=m^{2} x+a \\ \Rightarrow m^{2} x-m y+a=0

जो कि m के रूप में द्विघात समीकरण है अतः B^{2}-4 A C=0 से

y^{2}-4 a x=0 \\ \Rightarrow y^{2}=4 a x
जो कि अभीष्ट रेखा कुल का अन्वालोप है।

निम्न वृत्तों के निकाय का अन्वालोप ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 7):
(Find the envelope of the following system of circles):
Example:5.(x-a)^{2}+y^{2}=4 \alpha जहाँ  \alpha प्राचल है (Where \alpha is parameter).
Solution:(x-a)^{2}+y^{2}=4 \alpha \\ \Rightarrow x^{2}-2 \alpha x+\alpha^{2}+y^{2}=4 \alpha \\ \Rightarrow x^{2}-2 \alpha x-4 \alpha+\alpha^{2}+y^{2}=0 \\ \Rightarrow \alpha^{2}-\alpha(2 x+4)+x^{2}+y^{2}=0

जो कि प्राचल  \alpha के रूप में द्विघात समीकरण है अतः
B^{2}-4A C=0 से:

(2 x+4)^{2}-4 \times 1 \times\left(x^{2}+y^{2}\right)=0 \\ \Rightarrow 4 x^{2}+16 x+16-4 x^{2}-4 y^{2}=0 \\ \Rightarrow-4 y^{2}+16 x+16=0 \\ \Rightarrow y^{2}-4 x-4=0
जो कि वृत्तों के निकाय का अभीष्ट अन्वालोप है।
Example:6.x^{2} \sin \alpha+y^{2} \cos \alpha=a^{2} जहाँ \alpha प्राचल है (Where \alpha is parameter).
Solution:x^{2} \sin \alpha+y^{2} \cos \alpha=a^{2} \cdots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल \alpha के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

\Rightarrow x^{2} \cos \alpha-y^{2} \sin \alpha=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:

x^{4} \sin ^{2} \alpha+y^{4} \cos ^{2} \alpha+2 x^{2} y^{2} \sin \alpha \cos \alpha+x^{4} \cos ^{2} \alpha+y^{4} \sin ^{2} \alpha-2 x^{2} y^{2} \sin \alpha \cos \alpha=a^{4} \\ \Rightarrow x^{4}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)+y^{4}\left(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha\right)=a^{4} \\ \Rightarrow x^{4}+y^{4}=a^{4}
जो कि वृत्तों के निकाय का अभीष्ट अन्वालोप है।
Example:7.x^{2}+y^{2}-2 a x \cos \theta-2 a y \sin \theta=c^{2}  जहाँ \thetaप्राचल है (Where \theta is parameter).
Solution:x^{2}+y^{2}-2 a x \cos \theta-2 a y \sin \theta=c^{2} \ldots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल \theta के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

2 a x \sin \theta-2 a y \cos \theta=0 \ldots(2)
समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:

\left(3 x^{2}+y^{2}-c^{2}\right)^{2}=(2 a x \cos \theta+2 a y \sin \theta)^{2}+(2 a x \sin \theta-2 a y \cos \theta)^{2} \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}-c^{2}\right)^{2}=4 a^{2} x^{2} \cos ^{2} \theta+4 a^{2} y^{2} \sin ^{2} \theta+8 a^{2} x y \cos \theta \sin \theta +4 a^{2} x^{2} \sin ^{2} \theta+4 a^{2} y^{2} \cos ^{2} \theta-8 a^{2} x y \sin \theta \cos \theta \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}-c^{2}\right)^{2}=4 a^{2} x^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)+4 a^{2} y^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}-c^{2}\right)^{2} =4 a^{2} x^{2}+4 a^{2} y^{2} \\ \Rightarrow\left(x^{2}+y^{2}-c^{2}\right)^{2}=4 a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
जो कि वृत्तों के निकाय का अभीष्ट अन्वालोप है।
निम्न वक्रों के अन्वालोप ज्ञात कीजिए (प्रश्न 8 से 10):
(Find the envelope of the following curves):
Example:8.\frac{a^{2} \cos \theta}{x}-\frac{b^{2} \sin \theta}{y}=\frac{c^{2}}{a} जहाँ \theta प्राचल है (Where \theta is parameter).
Solution:\frac{a^{2} \cos \theta}{x}-\frac{b^{2} \sin \theta}{y}=\frac{c^{2}}{a} \cdots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल \theta के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

-\frac{a^{2} \sin \theta}{x}-\frac{b^{2} \cos \theta}{y}=0 \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:

\left(\frac{a+\cos \theta}{x}- \frac{b^{2} \sin \theta}{y}\right)^{2}+\left(\frac{-a^{2} \sin \theta}{x}-\frac{b^{2} \cos \theta}{y}\right)^{2}=\frac{c^{4}}{a^{2}} \\ \Rightarrow \frac{a^{4} \cos ^{2} \theta}{x^{2}}+\frac{b^{2} \sin ^{2} \theta}{y^{2}}-\frac{2 a^{2} b^{2} \sin \theta \cos \theta}{x y}+\frac{a^{4} \sin ^{2} \theta}{x^{2}}+\frac{b^{4} \cos ^{2} \theta}{y^{2}}+\frac{2 a^{2} b^{2} \sin \theta \cos \theta}{x y}=\frac{c^{4}}{a^{2}} \\ \Rightarrow \frac{a^{4}}{x^{2}}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)+\frac{b^{4}}{y^{2}}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right) \\ \Rightarrow \frac{a^{4}}{x^{2}}+\frac{b^{4}}{y^{2}}=\frac{c^{4}}{a^{2}}
जो कि वक्र कुल का अन्वालोप है।
Example:9.\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{k^{2}-\alpha^{2}}=1 जहाँ \alpha प्राचल है (Where \alpha is parameter).
Solution:\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{k^{2}-\alpha^{2}}=1 \cdots(1)  \\ \Rightarrow\left(k^{2}-\alpha^{2}\right) x^{2}+\alpha^{2} y^{2}=\alpha^{2}\left(k^{2}-\alpha^{2}\right) \\ \Rightarrow\left(k^{2}-\alpha^{2}\right) x^{2}+\alpha^{2} y^{2}=\alpha^{2} k^{2}-\alpha^{4}
दोनों पक्षों का प्राचल \alpha के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

-2 \alpha x^{2}+2 \alpha y^{2}=2 \alpha k^{2}-4 \alpha^{3} \\ \Rightarrow-2x^{2}+y^{2}=k^{2}-2 \alpha^{2} \\ \Rightarrow \alpha^{2}=\frac{1}{2}\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)
\alpha^{2} का मान समीकरण (1) में रखने पर:

\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)}+\frac{y^{2}}{k^{2}-\frac{1}{2}\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 x^{2}}{k^{2}+x^{2}-y^{2}} + \frac{2 y^{2}}{k^{2}-x^{2}+y^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 x^{2}\left(k^{2}-x^{2}+y^{2}\right)+2 y^{2}\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)}{\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right) \left(k^{2}-x^{2}+y^{2}\right)}= 1 \\ \Rightarrow \frac{2 x^{2}\left(k^{2}-x^{2}+y^{2}\right)+2 y^{2}\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)}{\left(k^{2}+x^{2}-y^{2}\right)\left(k^{2}-x^{2}+y^{2}\right)}=1 \\ \Rightarrow \frac{2 k^{2} x^{2}-2 x^{4}+2 x^{2} y^{2}+2 k^{2} y^{2}+2 x^{2} y^{2}-2 y^{4}}{\left(k^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}} =1\\ \Rightarrow \frac{-2 x^{4}+4 x^{2} y^{2}-2 y^{4}+2 k^{2} x^{2}+2 k^{2} y^{2}}{k^{4}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}=1 \\ \Rightarrow \frac{-2\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+2 k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{k^{4}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}}=1 \\ \Rightarrow-2\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+2 k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=k^{4}-\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2} \\ \Rightarrow \left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+k^{4}=2 k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)
जो कि वक्र कुल का अन्वालोप है।
Example:10.x=a \sin (\theta-\alpha), y=b \cos \theta जहाँ \alpha प्राचल है (Where \alpha is parameter).
Solution: x=a \sin (\theta-\alpha), y=b \cos \theta \cdots(1)
दोनों पक्षों का प्राचल \alpha के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:

0=-a \cos (\theta-\alpha) \cdots(2)
समीकरण (1) व (2) का वर्ग करके जोड़ने पर:

x^{2}+0^{2}=a^{2} \sin ^{2}(\theta-\alpha)+a^{2} \cos ^{2}(\theta-\alpha) \\ \Rightarrow x^{2}=a^{2}\left[\sin ^{2}(\theta-\alpha)+\cos ^{2}(\theta-\alpha)\right] \\ \Rightarrow x^{2}=a^{2} \\ \Rightarrow x=\pm a
जो कि वक्र कुल का अन्वालोप है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?) को समझ सकते हैं।

3.एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें के सवाल (How to Find Envelope of a Curve Questions):

(1.)उन सरल रेखाओं के कुल x \cos \alpha+y \sin \alpha=a का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जबकि \alpha प्राचल है तथा उत्तर का ज्यामितीय अर्थ बताइए।
(Find the envelope of the lines x \cos \alpha+y \sin \alpha=a,the parameter being \alpha and interpret the result geometrically.)
(2.)उन वृत्तों का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जो दीर्घवृत्त \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 की ध्रुवान्तर रेखाओं को व्यास मानकर खींचे गए हैं।
(Find the envelope of the circles drawn upon the central radii of the ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 as diameter.)
(3.)\frac{a x}{\cos \alpha}-\frac{b x}{\sin \alpha}=a^{2}-b^{2} रेखाओं केन्द्रित समुदाय का अन्वालोप ज्ञात कीजिए जबकि \alpha प्राचल है।
(Find the envelope of the family of straight lines Where \alpha is parameter)

\frac{a x}{\cos \alpha}-\frac{b x}{\sin \alpha}=a^{2}-b^{2}
उत्तर (Answers):\text{(1)} x^{2}+y^{2}=a^{2} \\ (2) a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \\ (3.)(a x)^{\frac{2}{3}} +(b y)^{\frac{2}{3}}=\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac{2}{3}}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.एक वक्र का अन्वालोप क्या है? (What is envelope of a curve?):

उत्तर:अन्वालोप,गणित में,एक वक्र जो एक समतल में वक्र के परिवार के हर एक के लिए स्पर्शरेखा है या तीन आयामों में,एक सतह जो सतहों के कुल के हर एक के लिए स्पर्शरेखा है।उदाहरण के लिए, दो समानांतर रेखाएं एक ही त्रिज्या के वृत्तों के कुल (family of Circles) का अन्वालोप है जिसमें एक सीधी रेखा पर केंद्र होते हैं।

प्रश्न:2.आप एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करते हैं? (How do you find the envelope of a curve?):

उत्तर:वक्र के कुल का अन्वालोप कुल के किसी भी दो लगातार सदस्यों (two consecutive members) के प्रतिच्छेद के बिंदु के सीमित पदों का बिन्दुपथ (locus of the limiting positions) है,जब उनमें से एक दूसरे के साथ मेल खाता है जो निश्चित रखा जाता है।हमें वक्र के दिए गए कुल का आवश्यक अन्वालोप मिलता है।

प्रश्न:3.अन्वालोप का समीकरण क्या है? (What is Equation of envelope?):

उत्तर:साधारण अलकल समीकरण (Ordinary differential equations)
अन्वालोप साधारण अवकल समीकरणों (ODEs) के अध्ययन से जुड़े होते हैं और ओडीई के विशिष्ट विचित्र हल में (particular singular solutions of ODEs)।उदाहरण के लिए, पेराबोला y =x^2 के लिए स्पर्शरेखा लाइनों के एक पैरामीटर कुल (one-parameter family of tangent lines to the parabola) पर विचार करें।ये जनरेटिंग फैमिली F(t,(x,y)) = t^{2}–2tx + y द्वारा दिए जाते हैं।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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How to Find Envelope of a Curve?

एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें?
(How to Find Envelope of a Curve?)

How to Find Envelope of a Curve?

एक वक्र का अन्वालोप कैसे ज्ञात करें? (How to Find Envelope of a Curve?),इसके लिए अनवलोप
की परिभाषा और इसको ज्ञात करने की विधि जानना आवश्यक है।

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