1.दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ (Maxima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two variables):

दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ (Maxima of Functions of Two Variables) एवं निम्निष्ठ के लिए निम्न प्रमेय का अध्ययन करना आवश्यक है।इस प्रमेय में फलन के चरम मान ज्ञात करना भी बताया गया है।फलन f(x,y) के चरम मान की कसौटी [Criteria for Extreme Value of f(x,y)]:

प्रमेय (Theorem):फलन f(a,b) का चरम मान होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध निम्न हैंः(The necessary conditions for f(a,b) to be extreme value of f(x,y) are that):

\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(x=a, y=b)}=0=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(x=a, y=b)}

यदि यह प्रतिबन्ध सन्तुष्ट होता है तथा हम यदि मान लें किः(If these conditions are satisfied and let us put)

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=r, \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=s तथा (and) \frac{\partial^2 f}{\partial y^{2}}=t

(जब x=a, y=b) हो तो f(x,y) का चरम मान f(a,b) होने का पर्याप्त प्रतिबन्ध निम्न हैः(then the sufficient conditions for f(a,b) to be an extreme value of f(x,y) are as follows):

(i) r t-s^2>0 तथा (and) r<0 होने पर f(a,b) फलन f(x,y) का एक उच्चिष्ठ मान होता है [for f(a,b) to be a maximum value of f(x,y)]

(ii) r t-s^2>0 तथा (and) r>0 होने पर f(a,b) फलन f(x,y) का एक निम्निष्ठ मान होता है[for f(a,b) to be a minimum value of f(x,y)]

यदि r t-s^2<0 तो फलन f(x,y) का f(a,b) चरम मान नहीं होगा।(If r t-s^2<0 then f(a,b) is not an extreme value of f(x,y))और यदि r t-s^2=0 तो स्थिति संदिग्ध है तथा और जाँच की आवश्यकता है।(and if r t-s^2=0 then the case is doubtful and needs further investigation.)

उपपत्ति (Proof):आवश्यक प्रतिबन्ध (Necessary Condition):दो चरों के फलन f(x,y) का टेलर प्रमेय से प्रसार यदि फलन के आवश्यक अवकलजों का अस्तित्व हो तथा संतत हो तो

f(a+h, b+k)=f(a, b)+\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right) f(a, b) +\frac{1}{2 !} \cdot\left(h^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} +2 h k \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}+k^2 \frac{\partial^2}{\partial y}\right)f(a, b) +\cdots \cdots\\ =f(a, b)+\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right) f(a, b)+\frac{1}{2 !}\left(r h^2+2 shk+t k^2\right)+\cdots \\ \Rightarrow f(a+h, b+k)-f(a, b)=\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right) \\ f(a, b)+\frac{1}{2 !}\left(r h^2+2 s h k+t k^2\right)+\cdots \cdots

h तथा k को अतिअल्प लेने से उनकी उच्च घातें उपेक्षित (neglet) करने परः

f(a+h, b+k)-f(a, b)=\left(h \frac{\partial}{\partial x}+k \frac{\partial}{\partial y}\right) f(a,b) \cdots(2)

यहाँ यह स्पष्ट है कि यदि h=0, तो k के चिन्ह बदलने पर (2) के दायें पक्ष का चिन्ह भी बदल जाता है।अतः फलन f(x,y) का (a,b) पर चरम मान नहीं होगा,जब तक कि \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(x=a, y=b)}=0

इसी प्रकार यदि k=0 तो f(x,y) का (a,b) पर चरम मान नहीं होगा,जब तक कि \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(x=a, y=b)}=0

अतः उपर्युक्त से स्पष्ट है कि f(x,y) के (a,b) चरम मान होने के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध

\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{(x=a, y=b)}=0=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{(x=a, y=b)}

पर्याप्त प्रतिबन्ध (Sufficient Condition):यदि फलन आवश्यक प्रतिबन्ध सन्तुष्ट करता है तो

f(a+h, b+k)-f(a, b)=\frac{1}{2!}\left(r h^2+2 s h k+t k^2\right)+\cdots \cdots \\=\frac{1}{2r}\left[(r h+sk)^2+\left(rt-s^2\right) k^2\right], r \neq 0 \cdots(3)

h,k पर्याप्त अल्प मानने पर।

स्थिति I:जब \left(r t-s^2\right) \geq 0 तब rt शून्य नहीं हो सकता अर्थात् न तो r शून्य होगा न t शून्य हो सकता है।

अतः (r h+s k)^2+\left(r t-h^2\right) k^2>0 सदैव सत्य रहेगा,सिवाय rh+sk=0,k=0 होने पर अर्थात् सिवाय h=0,k=0 होने पर।अतः r h^2+2 s h k+t k^2 का चिन्ह वही रहता है जो कि r का होता है।

r के ऋणात्मक तथा धनात्मक के अनुसार ही f(a,b) एक उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ मान होगा।

स्थिति II:rt-s^2<0 , माना कि r \neq 0 अब f(a+h, b+k)-f(a, b)=\left(\frac{1}{2r} \right) \left[(r h+s k)^2+\left(rt-s^2\right) k^2\right]

यहाँ (r h+s k)^2 तथा k^2 दोनों सदैव धनात्मक है और r t-s^2<0 मानने से (r h+s h)^2+ \left(r t-s^2\right) k^2 धनात्मक होगा यदि k=0 तथा ऋणात्मक यदि rh+sh=0 अतः f(a+h,b+k)-f(a,b) का कोई एक सा चिन्ह नहीं हो सकता है।फलतः f(a,b),फलन f(x, y) का चरम मान नहीं हो सकता और यदि t=0 तथा r=t=0 हो तो भी उपपत्ति इसी प्रकार होती है।

स्थिति III:माना 2 t-s^2=0 साथ ही यह भी माना r \neq 0, t \neq 0 तो s भी शून्य नहीं होगा तो

f(a+h, b+k)-f(a, b)=\left(\frac{1}{2r} \right)(r h+s k)^2

बायाँ पक्ष शून्य होगा यदि rh+sk=0 अतः बायाँ पक्ष के चिन्ह f के तृतीय आंशिक अवकलजों पर निर्भर करता है।यदि अब r=0 तो s=0

जब f(a+h, b+k)-f(a, b)=\left(\frac{1}{2}\right) t k^2

यदि f(a+h,b+k)-f(a,b)=0 तो k=0 चाहे h का मान कुछ भी हो।यदि r=s=t=0,f(a+h,b+k)-f(a,b)=0, h तथा k के प्रत्येक मान के लिए।यह स्थिति फिर संदिग्ध है तथा आगे जाँच की आवश्यकता है।

आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके । यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए । आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:-Envelope When Two Parameters Connected

2.दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Maxima of Functions of Two Variables):निम्नलिखित फलनों के लिए उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ मान ज्ञात कीजिएः(Find the maximum and minimum values for the following functions):

Example:1.u=2 a^2 x y-3 a x^2 y-a y^3+x^3 y+x y^3

Solution: u=2 a^2 x y-3 a x^2 y-a y^3+x^3 y+x y^3 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=2 a^2 y-6 a x y+3 x^2 y+y^3 \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2 a^2 x-3 a x^2-3 a y^2+x^3+3 x y^2 \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-6 a y+6 x y \\ s=\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\ t=\frac{ \partial^2 u}{\partial y^2}=-6 a y+6 x y

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिएः

\frac{\partial u}{\partial x} =0, \frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow \left(2 a^2-6 a x+3 x^2+y^2\right) y=0 \\ \Rightarrow 2 a^2-6 a x+3 x^2+y^2=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=0 \Rightarrow 2 a^2 x-3 a^2 x-3 a y^2+x^3+3 y^2=0 \cdots(2)

समीकरण (1) को x से गुणा करके (2) में से घटाने परः

3 a x^2-3 a y^2-2 x^3+2 x y^2=0 \\ \Rightarrow x^2(3 a-2 x)-y^2(3 a-2 x)=0 \\ \Rightarrow \left(x^2-y 2\right)(3 a-2 x)=0 \\ \Rightarrow x=\pm y, x=\frac{3}{2} a

जब x=y तो (1) सेः

2 a^2-6 a y+3 y^2+y^2=0 \\ \Rightarrow 2 a^2-6 a y+4 y^2=0 \\ \Rightarrow a^2-3 a y+2 y^2=0 \\ \Rightarrow a^2-2 a y-a y+2 y^2=0 \\ \Rightarrow a(a-2 y)-y(a-2 y)=0 \\ \Rightarrow(a-y)(a-2 y)=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2} a, a

जब x=-y तो (1) सेः

2 a^2-6 a y+4 y^2=0 \\ \Rightarrow a^2-3 a y+2 y^2=0 \\ \Rightarrow(a-y)(a-2 y)=0 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}a,-a

जब x=\frac{3}{2}a तो (1) से: 2 a^2-6 a\left(\frac{3}{2} a\right)+3\left(\frac{3}{2} a\right)^2 +y^2=0 \\ 2 a^2-9 a^2+\frac{27}{4} a^2+y^2=0 \\ 8 a^2-36 a^2+27 a^2+4 y^2=0 \\ 4 y^2=a^2 \Rightarrow y=\pm \frac{1}{2} a

अतः x=\frac{1}{2} a, y=\frac{1}{2}a ; x=a, y=a ; x=\frac{1}{2} a, y=-\frac{1}{2} a ,x=a, y=-a ; x=\frac{3}{2}a, y=\frac{1}{2} a, x=\frac{3}{2}a, y=-\frac{1}{2} a ,x=\frac{1}{2} a, y=\frac{1}{2} a \\ x=-6 ay+6 x y=-6 a \times \frac{1}{2} a+6 \times \frac{1}{2} a \times \frac{1}{2} a \\ \Rightarrow r=-3 a^2+\frac{3}{2} a^2=-\frac{3}{2} a^2 \\ s=2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\=2 a^2-6 a \times \frac{1}{2} a+3 \times\left(\frac{1}{2} a\right)^2 +3\left(\frac{1}{2} a\right)^2 \\ =2 a^2-3 a^2+\frac{3}{4} a^2+\frac{3}{4} a^2 \\ =-a^2+\frac{3}{2} a^2=\frac{-2 a^2+3 a^2}{2} \\ s=\frac{a^{2}}{2} \\ t=-6 a y+6 r y=-6 a \times \frac{1}{2} a+6 \times \frac{1}{2} a+\frac{1}{2} a \\ \Rightarrow t=-\frac{3}{2} a^2 \\ \therefore r t-s^2=\left(-\frac{3}{2} a^2\right)\left(-\frac{3}{2} a^2\right)-\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow r t-s^2=\frac{9 a^4}{4}-\frac{a^4}{4}=2 a^2>0

तथा t<0 अतः \left ( \frac{1}{2} a,\frac{1}{2} a \right ) पर उच्चिष्ठ है।

x=a, y=a \\ r=-6 a y+6 x y=-6 a^2+6 a^2=0 \\ s=2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\ =2 a^2-6 a^2+3 a^2+3 a^2 \\ s=2 a^2 \\ t=-6 a y+6 x y=-6 a^2+6 a^2=0 \\ rt-s^2=(0)(0)-\left(2 a^2\right)^2 \\ \Rightarrow r t-s^2=-4 a^4<0

न तो उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ है।

x=\frac{1}{2} a, y=-\frac{1}{2} a \\ r=-6 a y+6 x y=-6 a x-\frac{1}{2} a+6 \times \frac{1}{2} a \times -\left(\frac{-1}{2}\right) a \\ \Rightarrow r=3 a^2-\frac{3}{2} a^2=\frac{3}{2} a^2 \\ s=2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\ =2 a^2-6 a \times \frac{1}{2} a +3\left(\frac{1}{2} a\right)^2+3\left(-\frac{1}{2} a\right)^2 \\ =2 a^2-3 a^2+\frac{3}{4} 4^2+\frac{3}{a} a^2 \\ =-a^2+\frac{3}{2} a^2 \\ =\frac{a^2}{2} \\ t =-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times\left(-\frac{1}{2} a\right)+6 \times \frac{1}{2} a \times \frac{-1}{2} a \\ =3 a^2-\frac{3 a^2}{2} \\ t=\frac{3}{2} a^2 \\ r t-s^2=\left(\frac{3}{2} a^2\right)\left(\frac{3}{2} a^2\right)-\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 \\ =\frac{9 a^4}{4}-\frac{a^4}{4} \\ \Rightarrow r t-s^2=2 a^2>0

t>0 अतः निम्निष्ठ है।

x =a, y=-a \\ r =-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times-a+6 \times a \times-a \\ \Rightarrow r =6 a^2-6 a^2=0 \\ s =2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\=2 a^2-6 a \times a+3 a^2+3(-a)^2 \\ =2 a^2-6 a^2+3 a^2+3 a^2 \\ \Rightarrow S =2 a^2 \\ t =-6 a y+6 x y \\ =-6 a x-a+6 a x-a \\ \Rightarrow t =6 a^2-6 a^2=0 \\ r t-s^2=(0)(0)-\left(2 a^2\right)^2 \\ =-4 a^2<0

अतः न तो उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ है।

x=\frac{3}{2} a, y=\frac{1}{2} a \\ r =-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times \frac{1}{2} a+6 \times \frac{3}{2} a \times \frac{1}{2} a \\ =-3 a^2+\frac{9 a^2}{2} \\ \Rightarrow r =\frac{3 a^2}{2} \\ s=2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\ =2 a^2-6 a \times \frac{3}{2} a+3 \times\left(\frac{3}{2} a\right)^2+3\left(\frac{1}{2} a\right)^2 \\=2 a^2-9 a^2+ \frac{27 a^2}{4}+\frac{3}{4} a^2 \\ =-7 a^2+\frac{15}{2} a^2 \\ \Rightarrow s=\frac{a^2}{2} \\ t =-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times \frac{1}{2} a+6 \times \frac{3}{2} a \times \frac{1}{2} a \\ =-3 a^2+\frac{9}{2} a^2 \\ \Rightarrow t =\frac{3 a^2}{2} \\ t =-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times \frac{1}{2} a+6 \times \frac{3}{2} a \times \frac{1}{2} a \\ =-3 a^2+\frac{9}{2} a^2 \\ \Rightarrow t=\frac{3 a^2}{2} \\ r t-s^2=\left(\frac{3 a^2}{2}\right)\left(\frac{3 a^2}{2}\right)-\left(\frac{a^2}{2}\right)^2 \\ =\frac{9 a^4}{4}-\frac{a^4}{4} \\ r t-s^2=2 a^2>0

t>0अतः निम्निष्ठ है।

x=\frac{3}{2} a, y=-\frac{1}{2} a \\ r=-6 a y+6 x y \\ =-6 a \times-\frac{1}{2} a+6 \times \frac{3}{2} a \times-\frac{1}{2} a \\ =3 a^2-\frac{9}{2} a^2 \\ \Rightarrow r =-\frac{3 a^2}{2} \\ s= 2 a^2-6 a x+3 x^2+3 y^2 \\ =2 a^2-6 a \times \frac{3}{2} a+3\left(\frac{3}{2} a\right)^2+3\left(-\frac{1}{2} a\right)^2 \\ =2 a^2-9 a^2+\frac{27 a^2}{4}+\frac{3 a^2}{4} \\ =-7 a^2+\frac{15}{2} a^2 \\ \Rightarrow r =\frac{a^2}{2} \\ t =-6 a y+6 x y \\ =-6 a x-\frac{1}{2} a+6 \times \frac{3}{2} a \times-\frac{1}{2} a \\ =3 a^2-\frac{9 a^2}{2} \\ \Rightarrow t=-\frac{3 a^2}{2} \\ r t-s^2 =\left(-\frac{3 a^2}{2}\right)\left(-\frac{3 a^2}{2}\right)-\left( \frac{a^2}{2}\right)^2 \\ =\frac{9 a^4}{4}-\frac{a^4}{4} \\ \Rightarrow r t-s^2 =2 a^2 \geq 0

t<0 अतः उच्चिष्ठ है। अतः \left(\frac{1}{2} a, \frac{1}{2} a\right),\left(\frac{3 a}{2}, \frac{-a}{2}\right) पर उच्चिष्ठ और पर \left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2}\right),\left(\frac{3}{2} a, \frac{1}{2} a\right)  निम्निष्ठ है तथा (a,a),(a, – a) पर न तो उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ है।

Example:2.u=a a x^3 y^2-x^4 y^2-x^3 y^3

Solution: u=a x^3 y^2-x^4 y^2-x^3 y^3 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=3 a x^2 y^2-4 x^3 y^2-3 x^2 y^3 \\ \frac{\partial u}{\partial y}=2 a x^3 y-2 x^4 y-3 x^3 y^2 \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \equiv 6 a x y^2-12 x^2 y^2-6 x y^3 \\ t \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=2 a x^3-2 x^4-6 x^3 y \\ s \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=6 a x^2 y-8 x^3 y-9 x^2 y^2

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिएः

\frac{\partial u}{\partial x} =0 तथा \frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow 3 a x^2 y^2-4 x^3 y^2-3 x^2 y^3=0 \\ \Rightarrow x^2 y^2(3 a-4 x-3 y)=0 \\ \Rightarrow x=0, y=0,4 x+3 y=3 a \\ \frac{\partial u}{\partial y}=0 \Rightarrow 2 a x^3 y-2 x^4 y-3 x^3 y^2=0 \\ \frac{\partial u}{\partial y}=0 \Rightarrow 2 a x^3 y-2 x^4 y-3 x^3 y^2=0 \\ \Rightarrow x^3 y(2 a-2 x-3 y)=0 \\ \Rightarrow x=0, y=0, \quad 2 x+3 y=2 a

4x+3y=3a तथा 2x+3y=2a सेः

x=\frac{a}{2}, y=\frac{a}{3}

जब x=0,y=0\\ r=6 a x y^2-12 x^2 y^2-6 x y^3=0 \\ t=2 a x^3-2 x^4-6 x^3 y=0 \\ s=6 a x^2 y-8 x^3 y-9 x^2 y^2=0 \\ r t-s^2=(0)(0)-0^2=0

जब x=\frac{a}{2}, y=\frac{a}{3} \\r=6 a x y^2-12 x^2 y^2-6 x y^3 \\ =6 a\left(\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{3}\right)^2-12\left(\frac{9}{2}\right)^2\left(\frac{a}{3}\right)^2-6\left(\frac{a}{2}\right) \left(\frac{a}{3}\right)^3 \\ =\frac{6 a^4}{18}-\frac{12 a^4}{36}-\frac{6 a^4}{54} \\ \Rightarrow r =\frac{36 a^4-36 a^4-12 a^4}{108} \\ \Rightarrow r =-\frac{1}{9} a^{4} \\ t =2 a x^3-2 x^4-6 x^3 y \\ =2 a \left(\frac{a}{2}\right)^3-2\left(\frac{a}{2}\right)^4-6\left(\frac{a}{2}\right)^3\left(\frac{a}{3}\right) \\ =2 a \times \frac{a^3}{8}-\frac{2 a^4}{16}-\frac{6 a^4}{24} \\ =\frac{12 a^4-6 a^4-12 a^{24}}{48} \\ \Rightarrow t =-\frac{1}{8} a^4 \\ s=6 a x^2 y-8 x^3 y-9 x^2 y^2 \\ =6 a \times \left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{a}{3}\right) -8\left(\frac{a}{2}\right)^3\left(\frac{a}{3}\right)-9\left(\frac{a}{2}\right)^2\left(\frac{a}{3}\right)^{2} \\ =\frac{6 a^4}{12}-\frac{8 a^4}{24}-\frac{9 a^4}{36} \\ s=\frac{36 a^4-24 a^4-18 a^4}{72} \\ \Rightarrow s=-\frac{1}{12} a^4 \\ rt-s^2=\left(-\frac{1}{9} a^4\right)\left(-\frac{1}{8} a^4\right)-\left(-\frac{1}{12} a^4\right)^2 \\ =\frac{a^8}{72}-\frac{9^8}{144} \\ \Rightarrow rt-s^2=\frac{a^{8}}{144}>0

जब t<0 अतः \left ( \frac{a}{2},\frac{a}{3} \right ) पर उच्चिष्ठ है।

u=a\left(\frac{a}{2}\right)^3\left(\frac{a}{3}\right)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^4\left(\frac{a}{3}\right)^2-\left(\frac{a}{4}\right)^{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3 \\ =\frac{a^6}{72}-\frac{a^6}{144}-\frac{a^6}{512} \\ =\frac{64 a^6-32 a^6-9 a^6}{4608} \\ \Rightarrow u =\frac{23 a^6}{4608}

Example:3. u=2 \sin \frac{1}{2}(x+y) \cos \frac{1}{2}(x-y)+\cos (x+y)

Solution:u=2 \sin \frac{1}{2}(x+y) \cos \frac{1}{2}(x-y)+\cos (x+y) \\ \Rightarrow u=\sin x+\sin y+\cos (x+y) \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\cos x-\sin (x+y) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\cos y-\sin (x+y) \\ r \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-\sin x-\cos (x+y) \\ s \equiv \frac{\partial^{2 u}}{\partial x \partial y}=-\cos (x+y) \\ t \equiv \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\sin y-\cos (x+y)

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिएः

\frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow \cos x-\sin (x+y)=0 \cdots(1) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=0 \Rightarrow \cos y-\sin (x+y)=0 \cdots(2)

(1) व (2) सेः cos x =cos y

x=y

(1) सेः \cos x-\sin 2 x=0 \\ \Rightarrow \cos x-2 \sin x \cos x=0 \\ \Rightarrow \cos x(1-2 \sin x)=0 \\ \Rightarrow \cos x=0,1-2 \sin x=0 \\ \cos x=\cos \frac{\pi}{2} , \cos \frac{3 \pi}{2} \\ \sin x=\frac{1}{2} \Rightarrow \sin x= \sin \left ( \frac{\pi}{6} \right ) \\ x=\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{6} \quad, x=y=\frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{6} \\ x =y=\frac{\pi}{6} \\ r=-\sin \frac{\pi}{6}-\cos ( \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{6}) \\ =-\sin \frac{\pi}{6}-\cos \frac{\pi}{3} \\ =-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ r =-1 \\ s =-\cos (\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}) \\ =-\cos \frac{\pi}{3} \\ \Rightarrow s =-\frac{1}{2} \\ t =-\sin y-\cos (x+y) \\ =-\sin \frac{\pi}{6}-\cos (\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}) \\ =-\frac{1}{2}-\cos \frac{\pi}{3} \\ =-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ \Rightarrow t =-1 \\ r t-s^2 =(-1)(-1)-\left(-\frac{1}{2}\right)^2 \\ =1-\frac{1}{4} \\ r t-s^2 =\frac{3}{4}>0

t<0

x =y=\frac{\pi}{6} पर उच्चिष्ठ है।

x =y=\frac{3 \pi}{2} \\ r =-\sin \frac{3 \pi}{2}-\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =\sin \frac{\pi}{2}-\cos 3 \pi \\ =1-(-1) \\ =1+1 \\ \Rightarrow r=2 \\ s =-\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =-\cos 3 \pi \\ \Rightarrow s=(-1) \\ t =-\sin \frac{3 \pi}{2}-\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =\sin \frac{\pi}{2}-\cos 3 \pi \\ =1-(-1) \\=1+1 \\ \Rightarrow t=2 \\ r t -s^2=(2)(2)-(-1)^2 \\ \Rightarrow rt -s^2=4-1=3>0

t>0

अतः x=y=\frac{3 \pi}{2} पर निम्निष्ठ है।

x=y=\frac{\pi}{6} पर उच्चिष्ठ मान

u =\sin x+\cos (x+4) \\ =\sin \frac{\pi}{6} +\cos \frac{\pi}{3} \\ u =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1  \\  x =y=\frac{3 \pi}{2} पर निम्निष्ठ मान

u =\sin \frac{3 \pi}{2}+\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right) \\ =-\sin \frac{\pi}{2}+\cos 3 \pi \\ =-1-1 \\ \Rightarrow u =-2

Example:4. u=\sin x \sin y \sin (x+y)

Solution: u=\sin x \sin y \sin (x+y) \\ \frac{\partial u}{\partial x}=\cos x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y) \\ r=\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=-\sin x \sin y \sin (x+y)+\cos x \sin y -\sin x \sin y \cos x \sin y(x+y) \\ r=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=-2 \sin x \sin y \sin (x+y)+2 \cos x \sin y \cos (x+y) \\  s=\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\cos x \cos y \sin (x+y)+\sin x \cos y \cos(x+y)+\cos x \sin y \cos(x+y) -\sin x \sin y \sin (x+y) \\ \Rightarrow s=\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=2 \sin (x+y) \cos (x+y) \\ t=\frac{\partial^2 y}{\partial y^2}=\sin x \sin y \sin (x+y)+ \sin x \cos y \cos (x+y)+\sin x \cos y \cos (x+y) -\sin x \sin y \sin (x+y) \\ \Rightarrow t=\frac{\partial^2 y}{\partial y^2}=2 \sin x \cos y \cos (x+y)-2 \sin x \sin y \sin (x+y)

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ के लिएः

\frac{\partial u}{\partial x}=0 \\ \Rightarrow \cos x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y)=0 \ldots (1) \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\sin x \cos y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y)=0 \cdots(2)

(1) में से (2) घटाने परः

\cos x \sin y \sin (x+y)-\sin x \cos y \sin (x+y)=0 \\ \Rightarrow \sin (x+y)(\cos x \sin y-\sin x \cos y)=0 \\ \sin (x+y) \sin (x-y)=0 \\ \Rightarrow \sin (x-y)=0 \\ \Rightarrow x=y

समीकरण (1) सेः

\cos y \sin y \sin 2 y+\sin^{2} y \cos 2 y=0 \\ \Rightarrow \sin y(\cos y \sin 2 y+\sin y \cos 2 y)=0 \\ \Rightarrow \sin y \sin 3 y=0 \\ \Rightarrow \sin y=0 \Rightarrow y=0, \quad \sin 3 y=0 \\ \quad 3 \sin y-4 \sin ^3 y=0 \\ \Rightarrow \sin y\left(3-4 \sin ^2 y\right)=0 \\ \Rightarrow \sin^{2} y=\frac{3}{4} \Rightarrow \sin y=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow \sin y=\sin \frac{\pi}{3} \Rightarrow y=\frac{\pi}{3}  \\ \Rightarrow x=y=0 तथा x=y=\frac{\pi}{3}

जब x=y=0

r=-2 \sin 0 \sin 0 \sin 0+2 \cos 0 \sin 0 \cos 0=0 \\ s=2 \sin 0 \cos 0=0 \\ t=2 \sin 0 \cos 0 \cos 0-2 \sin 0 \sin 0 \sin 0 \\ \Rightarrow t=0 \\ r t-s^2=0

संदिग्ध मान है।

x=y=\frac{\pi}{3} \\ r=-2 \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{2\pi}{3}+2 \cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{2 \pi}{3} \\ =-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+2 \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times\left(-\frac{1}{2}\right) \\ =-\frac{3 \sqrt{3}}{8}-\frac{2 \sqrt{3}}{8} \\ r=-\left(\frac{5 \sqrt{3}}{8}\right) \\ s=\sin (2 x+2 y) \\ = \sin (\frac{2 \pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}) \\ = \sin \frac{4 \pi}{3} \\ =-\sin \frac{ \pi}{3} \\ \Rightarrow s=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ t= 2 \sin x \cos (x+2 y) \\ = 2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right) \\ \Rightarrow t=2 \sin \frac{\pi}{3} \cos \pi \\ =2 \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)(-1) \\ \Rightarrow t=-\sqrt{3} \\ r t-s^2=-\left(\frac{5 \sqrt{3}}{8}\right)(-\sqrt{3})-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\ =\frac{15}{8}-\frac{3}{4} \\ \therefore rt-s^2=\frac{9}{8}>0 \\ x=y=\frac{\pi}{3} पर निम्निष्ठ है।

u=\sin x \sin y \sin (x+y)\\=\sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{3} \sin  \frac{2 \pi}{3} \\=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ u=\frac{3\sqrt{3}}{2} (निम्निष्ठ मान)

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ (Maxima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two variables) को समझ सकते हैं।

3.दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ के सवाल (Maxima of Functions of Two Variables Questions):

(1.)यह प्रदर्शित करो कि u=x^4+2 x^2 y-x^2+3 y^2 बिन्दु x=\frac{1}{2} \sqrt{3}, y=-\frac{1}{4} पर निम्निष्ठ है।(Show that u=x^4+2 x^2 y-x^2+3 y^2 is minimum at the point x=\frac{1}{2} \sqrt{3}, y=-\frac{1}{4} )
(2.)u=x^2 y+y^2 x-x+y का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए परीक्षण कीजिए।(Examine the function u=x^2 y+y^2 x-x+y for maxima and minima)

उत्तर (Answer):(2.)x=y=1 तथा x=y=-1 पर न तो उच्चिष्ठ है न निम्निष्ठ है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ (Maxima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two variables) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:-Envelope in Mathematics

4.दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ (Frequently Asked Questions Related to Maxima of Functions of Two Variables),दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ एवं निम्निष्ठ (Maxima and Minima of Functions of Two variables) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नः

No.	Social Media	Url
1.	Facebook	click here
2.	you tube	click here
3.	Instagram	click here
4.	Linkedin	click here
5.	Facebook Page	click here
6.	Twitter	click here

Maxima of Functions of Two Variables

दो चरों वाले फलनों के उच्चिष्ठ
(Maxima of Functions of Two Variables)

Maxima of Functions of Two Variables