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Application of Derivatives

1.अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives)-

  • अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) से पूर्व हमने संयुक्त फलनों,प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों, अस्पष्ट फलनों,चर घातांकीय तथा लघुगणकीय फलनों का अवकलन किया है।
  • इस आर्टिकल में हम विज्ञान एवं अभियांत्रिकी के साथ-साथ सामाजिक विज्ञान के क्षेत्र में अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) का अध्ययन करेंगे।उदाहरण के लिए किस प्रकार अवकलज का प्रयोग, राशियों के परिवर्तन की दर ज्ञात करने में या वक्र के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब की समीकरण ज्ञात करने में किया जा सकता है,का अध्ययन करेंगे।
  • अवकलज की मदद से, फलनों की जांच और उनके रेखांकन को स्केच करने, विभिन्न प्रणालियों के अनुकूलन और संचालन के तरीके, बीजीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने, अनुमानित गणना और ऐसी ही बहुत कुछ समस्याओं को हल कर सकते हैं।
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2.राशियों के परिवर्तन की दर (Rate of change of Quantities)-

  • माना P एक राशि हैं जो कि समय के साथ परिवर्तित होती है।माना समय t में लघु परिवर्तन { \delta t } के संगत P में परिवर्तन { \delta p } है।तब  \frac { \delta p }{ \delta t } राशि P में प्रति इकाई समय औसत परिवर्तन की दर है तथा t के सापेक्ष P में क्षणिक परिवर्तन की दर \frac { dp }{ dt }  है, जहां \frac { dp }{ dt } =\begin{matrix} lim \\ \delta t\rightarrow \infty \end{matrix}\frac { \delta p }{ \delta t }
    यहां \frac { dp }{ dt },समय t के सापेक्ष P में परिवर्तन की दर है।
    यदि v तथा r दोनों प्राचल t के फलन है,तब

\frac { dv }{ dt } =\frac { dv }{ dr } .\frac { dr }{ dt }
स्पष्ट है v तथा r में से किसी एक की समय t के सापेक्ष परिवर्तन की दर ज्ञात हो तो दूसरी राशि में परिवर्तन की दर ज्ञात की जा सकती है।

3.उत्तर के साथ अवकलज के अनुप्रयोग की समस्याएं (Application of Derivatives Problems with Solution),अवकलज के अनुप्रयोग के हल (Application of Derivatives solutions)-

Example-1.वृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या r के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि r=3 सेमी तथा r=4 सेमी है।
Solution-वृत्त का क्षेत्रफल  A=\pi { r }^{ 2 }
r के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dA }{ dr } =2\pi r
जब r=3 सेमी है तो

\frac { dA }{ dr } =2\pi (3)\\ \frac { dA }{ dr } =6\pi  { सेमी }^{ 2 }/सेमी
जब r=4 सेमी है तो

\frac { dA }{ dr } =2\pi (4)\\ \frac { dA }{ dr } =8\pi  { सेमी }^{ 2 }/सेमी
Example-2.एक कण वक्र y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1 पर चलता है।वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जहां y-निर्देशांक में परिवर्तन की दर x-निर्देशांक में परिवर्तन की दर की दुगुनी हो।
Solution-y=\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }+1
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dy }{ dt } =2{ x }^{ 2 }\frac { dx }{ dt } ....(1)\\ \frac { dy }{ dt } =2\frac { dx }{ dt } .....(2)
समीकरण (1) व (2) से-

2\frac { dx }{ dt } =2{ x }^{ 2 }\frac { dx }{ dt } \\ \Rightarrow { x }^{ 2 }=1\\ \Rightarrow x=\pm 1
जब x=1 तो y=\frac { 2 }{ 3 } { (1) }^{ 3 }+1\\ \Rightarrow y=\frac { 2 }{ 3 } +1\\ \Rightarrow y=\frac { 5 }{ 3 } \\ (1,\frac { 5 }{ 3 } )
जब x=-1 तो y=\frac { 2 }{ 3 } { (-1) }^{ 3 }+1\\ \Rightarrow y=-\frac { 2 }{ 3 } +1\\ \Rightarrow y=\frac { 1 }{ 3 } \\ (-1,\frac { 1 }{ 3 } )\\ (1,\frac { 5 }{ 3 } )(-1,\frac { 1 }{ 3 } )
Example-3. एक 13 मीटर लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी हुई है।सीढ़ी के पाद को 1.5 मीटर/सेकण्ड की दर से जमीन के सहारे दीवार से दूर खींचा जाता है।सीढ़ी तथा जमीन के मध्य का कोण किस दर से परिवर्तित हो रहा है जबकि सीढ़ी का पाद दीवार से 12 मीटर दूर हो।
Solution-{ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }={ 13 }^{ 2 }\\ { y }^{ 2 }={ 13 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 }\\ \Rightarrow y=\sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } \\ \tan { \theta } =\frac { y }{ x } \\ \Rightarrow \tan { \theta } =\frac { \sqrt { { 13 }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } }{ x } \\ \Rightarrow \tan { \theta } =\frac { \sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } }{ x }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \sec ^{ 2 }{ \theta } \frac { d\theta }{ dt } =\frac { \frac { x(-2x) }{ 2\sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } } -\sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } }{ { x }^{ 2 } } \frac { dx }{ dt } \\ \Rightarrow (1+\tan ^{ 2 }{ \theta } )\frac { d\theta }{ dt } =\frac { -{ x }^{ 2 }-169+{ x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }\sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } } \frac { dx }{ dt } \\ \Rightarrow (\frac { { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } )\frac { d\theta }{ dt } =\frac { -169 }{ { x }^{ 2 }\sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } } \frac { dx }{ dt } \\ \Rightarrow 169\frac { d\theta }{ dt } =\frac { -169 }{ \sqrt { 169-{ x }^{ 2 } } } \frac { dx }{ dt }
x=12 मीटर, \frac { dx }{ dt } =1.5 मीटर/सेकण्ड
\frac { d\theta }{ dt } =-\frac { 1 }{ 5 } \times 1.5=-\frac { 3 }{ 10 }  रेडियन/सेकण्ड
Example-4.एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है,एक पम्प द्वारा 900 सेमी गैस प्रति सेकण्ड भरकर फुलाया जाता है।गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जबकि त्रिज्या 15 सेमी है।
Solution-गुब्बारे का आयतन V=\frac { 4 }{ 3 } \pi { r }^{ 3 }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dV }{ dt } =4\pi { r }^{ 2 }\frac { dr }{ dt } \\ \Rightarrow \frac { dV }{ dt } =900,r=15\\ \Rightarrow 900=4\pi \times { (15) }^{ 2 }\frac { dr }{ dt } \\ \Rightarrow 900=900\pi \frac { dr }{ dt } \\ \Rightarrow \frac { dr }{ dt } =\frac { 1 }{ \pi } सेमी/सेकण्ड
Example-5.किसी वस्तु की x इकाईयों के उत्पादन में कुल लागत c(x) रुपये में निम्न समीकरण द्वारा दी गई है-

c(x)=0.005{ x }^{ 3 }-0.02{ x }^{ 2 }+30x+5000
सीमान्त लागत (Marginal Cost) ज्ञात कीजिए जब वस्तु की 3 इकाई उत्पादित की जाती है। जहां सीमान्त लागत का अर्थ किसी स्तर पर उत्पादन के सम्पूर्ण लागत में तात्कालिक परिवर्तन की दर है।
Solution-c(x)=0.005{ x }^{ 3 }-0.02{ x }^{ 2 }+30x+5000
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\frac { dc }{ dx } =0.015{ x }^{ 2 }-0.04{ x }+30

x=3 इकाई 

\frac { dc }{ dx } =0.015{ (3) }^{ 2 }-0.04{ (3) }+30\\ \frac { dc }{ dx } =0.135-0.12+30\\ \frac { dc }{ dx } =30.015\\ \frac { dc }{ dx } =30.02(लगभग )
Example-6.किसी उत्पाद की x इकाईयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में निम्न समीकरण द्वारा दी गई है-

R(x)=13{ x }^{ 2 }+26x+15
सीमान्त आय ज्ञात कीजिए जब x=15 है।
Solution-R(x)=13{ x }^{ 2 }+26x+15
x के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dR }{ dx } =26x+26\\ \Rightarrow x=15\\ \Rightarrow \frac { dR }{ dx } =26(15)+26\\ \Rightarrow \frac { dR }{ dx } =390+26\\ \Rightarrow \frac { dR }{ dx } =416
Example-7.एक नली से 12 { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड की दर से बालू उंडेली जा रही है।उंडेली गई बालू से एक शंकु का निर्माण इस प्रकार होता है कि शंकु की ऊंचाई सदैव आधार की त्रिज्या का 1/6 वां भाग होती है।बालू के शंकु की ऊंचाई में किस गति से वृद्धि हो रही है जबकि ऊंचाई 4 सेमी है।
Solution-शंकु का आयतन V=\frac { 1 }{ 3 } \pi { r }^{ 2 }h\\ h=\frac { 1 }{ 6 } r\\ \Rightarrow r=6h\\ \Rightarrow V=\frac { 1 }{ 3 } \pi { (6h) }^{ 2 }h\\ \Rightarrow V=\frac { 1 }{ 3 } \pi \times 36{ h }^{ 2 }\times h\\ \Rightarrow V=12\pi { h }^{ 3 }
t के सापेक्ष अवकलन करने पर-

\Rightarrow \frac { dV }{ dt } =36\pi { h }^{ 2 }\frac { dh }{ dt }

h=4 तथा \frac { dV }{ dt } =12 { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड

\Rightarrow 12=36\pi \times { (4) }^{ 2 }\frac { dh }{ dt } \\ \Rightarrow \frac { dh }{ dt } =\frac { 1 }{ 48\pi } { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड
इस प्रकार उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) को समझ सकते हैं।

4.अवकलज के अनुप्रयोग के सवाल (Application of Derivatives Questions)-

  • (1.)एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 सेमी लम्बा है।
  • (2.)एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है,का व्यास \frac { 3 }{ 2 } (2x+1) है।इसके आयतन के परिवर्तन की दर,x के सापेक्ष ज्ञात कीजिए।
  • (3.) एक साबुन के गोलीय बुलबुले की त्रिज्या में 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से वृद्धि हो रही है। इसके पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि की दर ज्ञात कीजिए जबकि त्रिज्या 7 सेमी हो तथा इसके आयतन में वृद्धि की दर ज्ञात कीजिए जबकि बुलबुले की त्रिज्या 5 सेमी हो।
  • (4.)एक शंक्वाकार आकृति के कीप के आधार में शीर्ष पर सूक्ष्म छेद से 4 { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड की एक समान दर से पानी बूंद-बूंद टपक रहा है।पानी के शंकु की तिर्यक ऊंचाई घटने की दर ज्ञात कीजिए जबकि पानी की तिर्यक ऊंचाई 4 सेमी है तथा कीप का उर्ध्वाधर अर्धशीर्ष कोण 60 है।
  • (5.)यदि किसी आयत की लम्बाई x सेमी/मिनट की दर से घट रही है तथा इसकी चौड़ाई y,2 सेमी/मिनट की दर से बढ़ रही है।जब x=12 तथा y=6 सेमी है तब आयत के परिमाप तथा क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
  • उत्तर-(1.)900 { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड

(2)\frac { 27 }{ 8 } \pi { (2x+1) }^{ 2 }

(3.) 35.2 { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड ,20\pi  { सेमी }^{ 3 }/सेकण्ड

(4)-\frac { 2 }{ 3\pi } सेमी/सेकण्ड

(5.)6 { सेमी }^{ 2 }/मिनट
यदि आप उक्त सवालों को हल कर करेंगे तो अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) को ओर अधिक समझा जा सकता है।

5.वास्तविक जीवन में डेरिवेटिव के अनुप्रयोग क्या हैं? (What are the applications of derivatives in real life?)-

  • वास्तविक जीवन में डेरिवेटिव का अनुप्रयोग
    (1.)ग्राफ़ का उपयोग करके व्यवसाय में लाभ और हानि की गणना करना।
    (2.)तापमान भिन्नता की जांच करने के लिए।
    (3.)निर्धारित गति या दूरी जैसे कि मील प्रति घंटा, किलोमीटर प्रति घंटा आदि।
    (4.)फिजिक्स में कई समीकरणों को प्राप्त करने के लिए डेरिवेटिव्स का उपयोग किया जाता है।

6. क्या जेईई के लिए डेरिवेटिव का आवेदन महत्वपूर्ण है? (Is application of derivatives important for JEE?)-

  • जैसा कि हमने पहले चर्चा की है कि अवकलज कलन का एक महत्वपूर्ण विषय है, इसी तरह डेरिवेटिव्स के अनुप्रयोग भी बहुत महत्व रखते हैं क्योंकि यह आईटी जेईई में कई प्रत्यक्ष प्रश्न लाता है।यह खंड जेईई गणित के पाठ्यक्रम का सबसे स्कोरिंग हिस्सा है।

7.कलन में अवकलज महत्वपूर्ण क्यों हैं? (Why are derivatives important in calculus?)-

  • अवकलज में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग होते हैं जो प्राथमिक कलन से बहुभिन्नरूपी कलन तक और उससे भी आगे। अवकलज परिवर्तन की तात्कालिक दर की व्याख्या करता है, लेकिन आगे का डेरिवेटिव अन्य चीजों के बीच त्वरण को बता सकता है।अवकलज कई अनुकूलन समस्याओं के साथ मदद कर सकता है।
  • उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा अवकलज के अनुप्रयोग (Application of Derivatives) को ठीक से समझ सकते हैं।

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