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Integration resolving partial fraction

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1 1.आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction),कक्षा 12 में आंशिक भिन्न द्वारा समाकलन (integration by partial fractions class 12)-

1.आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction),कक्षा 12 में आंशिक भिन्न द्वारा समाकलन (integration by partial fractions class 12)-

आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन  (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction) ज्ञात करने हेतु आंशिक भिन्नों में बांटने के नियम,उचित परिमेय भिन्न,विषम परिमेय को समझना आवश्यक है।
(1.)परिमेय बीजीय भिन्न (Rational algebraic fraction)-
यदि f(x) व g(x) दोनों x के बहुपद हो तो भिन्न \frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } को x का परिमेय बीजीय फलन या परिमेय बीजीय भिन्न कहते हैं।
उदाहरणार्थ-\frac { { x }^{ 2 }-x-6 }{ { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-3x+4 } ,\frac { 2x+1 }{ 2{ x }^{ 2 }+x+1 } ,\frac { { x }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+1 } ,\frac { 2{ x }^{ 3 } }{ (x-1)({ x }^{ 2 }-1) }
(2.)उचित परिमेय भिन्न (Proper rational fraction)-
यदि किसी बीजीय भिन्न में अंश की घात हर से कम हो तो ऐसी भिन्न उचित परिमेय भिन्न कहलाती है। उदाहरणार्थ \frac { 2x+3 }{ 3{ x }^{ 2 }+x+4 }
(3.)विषम परिमेय भिन्न (Improper rational fraction),आप विषम आंशिक भिन्नों को कैसे हल करते हैं? (How do you solve improper partial fractions?)-
परिमेय बीजीय भिन्न में अंश की घात हर से अधिक या बराबर हो तो ऐसी भिन्न को विषम परिमेय भिन्न कहते हैं। उदाहरणार्थ-\frac { 3{ { x }^{ 3 }+x }^{ 2 }+5x-4 }{ { x }^{ 2 }+x+2 } ,\frac { 3{ x }^{ 2 }+x+2 }{ (x+1)(x+3) }
एक विषम परिमेय भिन्न को भाग द्वारा (जब तक शेष (remainder) की घात हर की घात से कम न हो जाए) बहुपद तथा उचित परिमेय भिन्न के योग के रूप में प्रकट किया जा सकता है।जैसे-

\frac { 3{ { x }^{ 3 } }+2x+7 }{ { x }^{ 2 }+5x+9 } =3(x-5)+\frac { 50x+142 }{ { x }^{ 2 }+5x+9 }
उक्त प्रकार के परिमेय बीजीय फलनों \frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } का x के सापेक्ष समाकलन करने हेतु हम इसे आंशिक भिन्नों (partial fraction) में वियोजित कर प्रत्येक भिन्न का समाकलन करते हैं।
(4.)आंशिक भिन्न (partial fraction),आंशिक भिन्न वियोजन (partial fraction decomposition)-
दो या दो से अधिक परिमेय बीजीय भिन्नों के योग की विपरीत प्रक्रिया वियोजन (decomposition) द्वारा एक बीजीय भिन्न को कई बीजीय भिन्नों के योग के रूप में व्यक्त करना,आंशिक भिन्नों में बांटना (वियोजन) कहलाता है।जैसे-

\frac { 2x-5 }{ { x }^{ 2 }-5x+6 } =\frac { 1 }{ x-2 } +\frac { 1 }{ x-3 }
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2.परिमेय भिन्नों को आंशिक भिन्न में बांटने (वियोजित करने) के नियम (Rules of resolving a rational fraction into partial fraction)-

(1.) सर्वप्रथम यदि भिन्न एक उचित परिमेय भिन्न नहीं है तो अंश में हर का भाग देकर उसे उचित परिमेय भिन्न में बदल लेना चाहिए।इस प्रकार दी गई विषम भिन्न एक बहुपद व उचित भिन्न में विघटित हो जाएगी।बहुपद को यथावत रहने दें व वास्तविक भिन्न को आंशिक भिन्नों में खंडित करना चाहिए।
(2.)यदि उचित भिन्न का हर गुणनखण्डों के रूप में नहीं है तो इसके गुणनखंड करें।
(3.)अब हर की घात के बराबर अचर राशियां A,B,C आदि मानते हैं। अलग-अलग स्थितियों में वास्तविक भिन्न की संगत आंशिक भिन्नें निम्न रूप में होगी-
(a)यदि हर में बिना पुनरावर्ती के रैखिक गुणनखंड हो तो आंशिक भिन्नों का रूप निम्न उदाहरण के अनुरूप होगा-

\frac { x }{ (x-1)(x+2)(x-3) } =\frac { A }{ (x-1) } +\frac { B }{ (x+2) } +\frac { C }{ (x-3) }
आप 3 पदों के साथ आंशिक भिन्नों को कैसे करते हैं? (How do you do partial fractions with 3 terms?)-
(b)यदि हर में पुनरावर्ती वाले रैखिक गुणनखंड हो तो आंशिक भिन्नों का रूप निम्न उदाहरण के अनुरूप होगा-

\frac { x }{ { (x-1) }^{ 2 }(x+3) } =\frac { A }{ (x-1) } +\frac { B }{ { (x-1) }^{ 2 } } +\frac { C }{ (x+3) }
(c)अगर हर में द्विघात गुणनखंड हो तो आंशिक भिन्नों का रूप निम्न उदाहरण के अनुरूप होगा-

\frac { x }{ (x-1)({ x }^{ 2 }+2) } =\frac { A }{ (x-1) } +\frac { Bx+c }{ ({ x }^{ 2 }+2) }
(d)यदि किसी भिन्न के अंश व हर दोनों में x का पद केवल द्विघात है अर्थात् हो तो को एकघाती मानकर स्थिति (a) के अनुसार आंशिक भिन्नों के रूप में लिखते हैं। जैसे-

\frac { ({ x }^{ 2 }+2) }{ ({ x }^{ 2 }+1)({ x }^{ 2 }+3) } माना { x }^{ 2 }=y \\ \frac { (y+2) }{ (y+1)(y+3) } =\frac { 1 }{ (y+1) } +\frac { 1 }{ (y+3) }  
(4.)अचर पद A,B,C आदि की गणना-
(a) उपर्युक्त पद (3) द्वारा दाहिनी पक्ष में मानी गई आंशिक भिन्नों के हर का लघुत्तम लेकर योग करते हैं।
(b)चूंकि दोनों पक्ष की भिन्नें समान है।तथा अब उनके हर भी समान है, अतः दोनों पक्षों में अंश भी समान होने चाहिए।इस प्रकार दोनों पक्षों में x की सभी घातों के गुणांकों की तुलना कर समीकरण ज्ञात करें।ऐसे समीकरणों की संख्या माने गए अचरों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। समीकरणों से अचर पदों के मान ज्ञात कर अभीष्ट आंशिक भिन्न लिखिए।प्रक्रिया अग्र उदाहरण द्वारा स्पष्ट की गई है-
माना \frac { (2x+3) }{ (x+2)(x+1) } =\frac { A }{ (x+2) } +\frac { B }{ (x+1) } \\ \Rightarrow \frac { (2x+3) }{ (x+2)(x+1) } =\frac { A(x+1)+B(x+2) }{ (x+2)(x+1) } \\ \Rightarrow (2x+3)=A(x+1)+B(x+2)\\ \Rightarrow 2x+3=(A+B)x+(A+2B)
समान पदों के गुणांकों की तुलना करने पर-
A+B=2 ……(1)
A+2B=3 …….(2)
(1) व (2) को हल करने पर-
A=1,B=1
अतः \frac { (2x+3) }{ (x+2)(x+1) } =\frac { 1 }{ (x+2) } +\frac { 1 }{ (x+1) }

3.आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन समस्याएं हल सहित,आंशिक भिन्नों के उदाहरणों द्वारा समाकलन आंशिक भिन्नों के उदाहरण और हल द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction problems with solution,fraction,Integration by resolving into partial fraction,integration by partial fractions examples,integration by partial fractions examples and solutions)-

Question-1.\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } \left( x>a \right)
Solution\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } 
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { A }{ (x-a) } +\frac { B }{ (x+a) } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } =\frac { A(x+a)+B(x-a) }{ (x-a)(x+a) } \\ \Rightarrow 1=A(x+a)+B(x-a)\\ \Rightarrow 1=(A+B)x+(A-B)a\\ \Rightarrow 1=(A+B)x+(A-B)a
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर-

(A-B)a=1\\ A-B=\frac { 1 }{ a } ...(1)\\ A+B=0...(2)
जोड़ने पर- 2A=\frac { 1 }{ a } \Rightarrow A=\frac { 1 }{ 2a }
A का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\frac { 1 }{ 2a } +B=0\Rightarrow B=-\frac { 1 }{ 2a } \\ \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \int { [\frac { 1 }{ (x-a) } -\frac { 1 }{ (x+a) } ]dx } \\ =\frac { 1 }{ 2a } \int { [\frac { 1 }{ (x-a) } dx } -\frac { 1 }{ 2a } \int { \frac { 1 }{ (x+a) } dx } \\ =\frac { 1 }{ 2a } \log { |x-a| } -\frac { 1 }{ 2a } \log { |x+a| } +c\\ =\frac { 1 }{ 2a } \log { |\frac { x-a }{ x+a } | } +c

Question-2.\int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } } \left( x<a \right)
Solution-\int { \frac { dx }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\frac { A }{ (a-x) } +\frac { B }{ (a+x) } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =\frac { A }{ (a-x) } +\frac { B }{ (a+x) } \\ \Rightarrow 1=\frac { A(a+x)+B(a-x) }{ (a-x)(a+x) } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { a }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } } =A(a+x)+B(a-x)\\ \Rightarrow 1=(A-B)x+(A+B)a
दोनों पक्षों के गुणांकों की तुलना करने पर-

A-B=0....(1)\\ (A+B)a=1\\ (A+B)=\frac { 1 }{ a } ...(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर-

2A=\frac { 1 }{ a } \\ A=\frac { 1 }{ 2a }
A का मान समीकरण (2) में रखने पर-

\frac { 1 }{ 2a } +B=\frac { 1 }{ a } \\ B=\frac { 1 }{ 2a } \\ \Rightarrow \int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }-{ a }^{ 2 } } } =\frac { 1 }{ 2a } \int { [\frac { 1 }{ (a-x) } +\frac { 1 }{ (a+x) } ]dx } \\ =\frac { 1 }{ 2a } \int { [\frac { 1 }{ (a-x) } dx } +\frac { 1 }{ 2a } \int { \frac { 1 }{ (a+x) } dx } \\ =\frac { -1 }{ 2a } \log { |a-x| } +\frac { 1 }{ 2a } \log { |a+x| } +c\\ =\frac { 1 }{ 2a } \log { |\frac { a+x }{ a-x } | } +c

उपर्युक्त उदाहरण के हल को आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction) को समझा जा सकता है।

Question-3.\int { \frac { dx }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } }
Solution-\int { \frac { dx }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\int { \frac { dx }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } } =\int { [\frac { A }{ (x+1) } +\frac { B }{ { (x+1) }^{ 2 } } +\frac { C }{ (x+3) } ]dx } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } =\frac { A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C{ (x+1) }^{ 2 } }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } \\ \Rightarrow 1=A(x+1)(x+3)+B(x+3)+C{ (x+1) }^{ 2 }\\ put\quad x=-1\\ 1=B(-1+3)\quad \Rightarrow 2B=1\Rightarrow B=\frac { 1 }{ 2 } \\ put\quad x=-3\\ 1=C{ (-3+1) }^{ 2 }\Rightarrow 1=4C\Rightarrow C=\frac { 1 }{ 4 } \\ put\quad x=0\\ 1=3A+3B+C\\ \Rightarrow 1=3A+3\times \frac { 1 }{ 2 } +\frac { 1 }{ 4 } \\ \Rightarrow 1=3A+\frac { 7 }{ 4 } \\ \Rightarrow 3A=1-\frac { 7 }{ 4 } \\ \Rightarrow 3A=\frac { -3 }{ 4 } \\ \Rightarrow A=\frac { -1 }{ 4 } \\ \int { \frac { dx }{ { (x+1) }^{ 2 }(x+3) } } =\int { [\frac { -1 }{ 4(x+1) } +\frac { 1 }{ { 2(x+1) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ 4(x+3) } ]dx } \\ =\frac { -1 }{ 4 } \int { \frac { 1 }{ (x+1) } dx } +\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { 1 }{ { (x+1) }^{ 2 } } dx } +\frac { 1 }{ 4 } \int { \frac { 1 }{ (x+3) } dx } \\ =\frac { -1 }{ 4 } \log { (x+1) } -\frac { 1 }{ { 2(x+1) } } +\frac { 1 }{ 4 } \log { (x+3) } +c\\ =\frac { 1 }{ 4 } \log { \left| \frac { (x+3) }{ (x+1) } \right| } -\frac { 1 }{ { 2(x+1) } } +

Question-4.\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-12 } }
Solution\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-12 } } \\ =\int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-{ 4x }^{ 2 }{ +3x }^{ 2 }-12 } } \\ =\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 }-4 \right) +3\left( { x }^{ 2 }-4 \right) } } } \\ =\int { \frac { dx }{ { \left( { x }^{ 2 }-4 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } } } \\ =\int { \frac { dx }{ { \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } } }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ { \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } } =\frac { A }{ \left( x-2 \right) } +\frac { B }{ \left( x+2 \right) } +\frac { Cx+D }{ \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } \\ \Rightarrow \frac { 1 }{ { \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } } =\frac { A\left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) +B\left( x-2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) +\left( Cx+D \right) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) }{ { \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) } } \\ \Rightarrow 1=A\left( x+2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) +B\left( x-2 \right) \left( { x }^{ 2 }+3 \right) +\left( Cx+D \right) \left( x-2 \right) \left( x+2 \right) \\ put\quad x=2\\ 1=A\left( 2+2 \right) \left( 4+3 \right) \Rightarrow A=\frac { 1 }{ 28 } \\ put\quad x=-2\\ 1=B\left( -2-2 \right) \left( 4+3 \right) \Rightarrow B=-\frac { 1 }{ 28 } \\ put\quad x=0\\ 1=6A-6B-4D\\ \Rightarrow 1=6\times \frac { 1 }{ 28 } -6\times -\frac { 1 }{ 28 } -4D\\ \Rightarrow 4D=-1+\frac { 3 }{ 14 } +\frac { 3 }{ 14 } \\ \Rightarrow 4D=\frac { -14+3+3 }{ 14 } \\ \Rightarrow 4D=-\frac { 8 }{ 14 } \\ \Rightarrow D=-\frac { 1 }{ 7 } \\ put\quad x=1\\ \Rightarrow 1=12A-4B+\left( C+D \right) \left( -3 \right) \\ \Rightarrow 1=12\times \frac { 1 }{ 28 } -4\times -\frac { 1 }{ 28 } +\left( C-\frac { 1 }{ 7 } \right) \left( -3 \right) \\ \Rightarrow 3C=-1+\frac { 3 }{ 7 } +\frac { 1 }{ 7 } +\frac { 3 }{ 7 } \\ \Rightarrow 3C=\frac { -7+3+1+3 }{ 7 } \\ \Rightarrow 3C=0\Rightarrow C=0\\ \int { \frac { dx }{ { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-12 } } =\int { [\frac { 1 }{ 28\left( x-2 \right) } -\frac { 1 }{ 28\left( x+2 \right) } -\frac { 1 }{ 7\left( { x }^{ 2 }+3 \right) } ]dx } \\ =\frac { 1 }{ 28 } \int { \frac { 1 }{ \left( x-2 \right) } dx } -\frac { 1 }{ 28 } \int { \frac { 1 }{ \left( x+2 \right) } } dx-\frac { 1 }{ 7 } \int { \frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } \right) } } dx\\ =\frac { 1 }{ 28 } \log { \left( x-2 \right) } -\frac { 1 }{ 28 } \log { \left( x+2 \right) } -\frac { 1 }{ 7\sqrt { 3 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ \sqrt { 3 } } \right) } +C\\ =\frac { 1 }{ 28 } \log { \left| \frac { x-2 }{ x+2 } \right| } -\frac { 1 }{ 7\sqrt { 3 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ \sqrt { 3 } } \right) } +C

Question-5.\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ x } dx }{ \left( 2+\tan { x } \right) \left( 3+\tan { x } \right) } }
Solution-I=\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ x } dx }{ \left( 2+\tan { x } \right) \left( 3+\tan { x } \right) } } \\ put\quad \tan { x } =t\\ \sec ^{ 2 }{ x } dx=dt\\ I=\int { \frac { dt }{ \left( t+2 \right) \left( t+3 \right) } }
आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { 1 }{ \left( t+2 \right) \left( t+3 \right) } =\frac { A }{ \left( t+2 \right) } +\frac { B }{ \left( t+3 \right) } \\ 1=A\left( t+3 \right) +B\left( t+2 \right)
1=A(t+3)+B(t+2)
put t=-3 then B=-1
put t=-2 then A=1

\int { \frac { dt }{ \left( t+2 \right) \left( t+3 \right) } } =\int { \frac { dt }{ \left( t+2 \right) } } -\int { \frac { dt }{ \left( t+3 \right) } } \\ =\log { \left| t+2 \right| } -\log { \left| t+3 \right| } +C\\ \int { \frac { \sec ^{ 2 }{ x } dx }{ \left( 2+\tan { x } \right) \left( 3+\tan { x } \right) } } =\log { \left| \frac { 2+\tan { x } }{ 3+\tan { x } } \right| } +C

उपर्युक्त उदाहरण के हल को आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction) को समझा जा सकता है।
Question-6.\int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } } dx

Solution:\int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } } dx\\ { x }^{ 2 }=y रखकर आंशिक भिन्नों में वियोजन करने पर-

\frac { y }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } =\frac { A }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) } +\frac { B }{ \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow \frac { y }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } =\frac { A\left( y+{ b }^{ 2 } \right) +B\left( y+{ a }^{ 2 } \right) }{ \left( y+{ a }^{ 2 } \right) \left( y+{ b }^{ 2 } \right) } \\ \Rightarrow y=A\left( y+{ b }^{ 2 } \right) +B\left( y+{ a }^{ 2 } \right) \\ y=-{ b }^{ 2 }\Rightarrow B=-\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \\ y=-{ a }^{ 2 }\Rightarrow A=\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \\ \int { \frac { { x }^{ 2 } }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } } dx=\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \int { \frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } \right) } dx } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \int { \frac { 1 }{ \left( { x }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } \right) } dx } \\ =\frac { { a }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ a } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } -\frac { { b }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } .\frac { 1 }{ b } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ b } \right) } +C\\ =\frac { { a } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } -\frac { { b } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ b } \right) } +C\\ =\frac { { 1 } }{ { a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \left[ a\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ a } \right) } -b\tan ^{ -1 }{ \left( \frac { x }{ b } \right) } \right] +C
उपर्युक्त उदाहरणों के हल द्वारा आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction,Integration by resolving into partial fraction) को समझा जा सकता है।

4.आपको कैसे पता चलेगा कि समाकलन में आंशिक भिन्नों का उपयोग कब करना है? (How do you know when to use partial fractions in integration?)-

आंशिक भिन्न केवल तभी किया जा सकता है जब अंश की घात सख्ती से हर की घात से कम हो।जिसे याद रखना जरूरी है।इसलिए, एक बार जब हम यह निर्धारित कर लेते हैं कि आंशिक भिन्न हो सकती हैं, तो हम पूरी तरह से जितना संभव हो हर के गुणनखंड करते हैं।

5.आंशिक भिन्न विधि क्या है?(What is partial fraction method?)-

विधि को “आंशिक भिन्न वियोजन” कहा जाता है, और इस तरह से किया जाता है:
चरण 1: हर के फैक्टर करो।
चरण 2: उन गुणनखंडों में से प्रत्येक के लिए एक आंशिक भिन्न लिखें।
चरण 3: भिन्न के माध्यम इस प्रकार से गुणा करें ताकि अब हमारे पास भिन्न न हों।
इस प्रकार इस आर्टिकल में हमने थ्योरी, उदाहरणों तथा कुछ प्रश्नों के उत्तर द्वारा आंशिक भिन्नों में वियोजन द्वारा समाकलन (Integration resolving partial fraction, Integration by resolving into partial fraction) के बारे में सीखा है।

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