1.कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Integrals of Some More Types Class 12),कक्षा 12 में कुछ अन्य प्रकार के समाकलन (Integrals of Some More Types in Class 12):

Integrals of Some More Types Class 12

कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Integrals of Some More Types Class 12) के सवालों को मानक सूत्रों के आधार पर हल करेंगे।इन मानक सूत्रों के समाकलन प्रतिस्थापन अथवा खण्डशः समाकलन द्वारा ज्ञात किए गए हैं।
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2.कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 के साधित उदाहरण (Integrals of Some More Types Class 12 Solved Illustrations):

1 से 9 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए।
Illustration:1. \sqrt{4-x^2}
Solution: \sqrt{4-x^2} \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{4-x^2} d x \\ =\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+\frac{4}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+C \\ \Rightarrow I=\frac{x}{2} \sqrt{4-x^2}+2 \sin ^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+c
[सूत्र \sqrt{a^2-x^2}=\frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) +c  से]
Illustration:2. \sqrt{1-4 x^2}
Solution: \sqrt{1-4 x^2} \\ I=\int \sqrt{1-4 x^2} d x \\ = \int \sqrt{1-(2 x)^2} dx \\ \text{put } 2 x=t \Rightarrow 2 d x=d t \\ \Rightarrow I =\frac{1}{2} \int \sqrt{1-t^2} d t \\ =\frac{1}{2}\left[\frac{t}{2} \sqrt{1-t^2}+\frac{1}{2} \sin ^{-1} t\right]+c \\ \Rightarrow I =\frac{1}{4} \sin^{-1} (2 x)+\frac{1}{2} x \sqrt{1-4 x^2}+c
Illustration:3. \sqrt{x^2+4 x+6}
Solution: \sqrt{x^2+4 x+6} \\ I=\int \sqrt{x^2+4 x+4+2} d x \\ =\int \sqrt{(x+2)^2+(\sqrt{2})^2} d x \\ \text { put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ I=\int \sqrt{t^2+(\sqrt{2})^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^2+(\sqrt{2})^2}+\frac{2}{2} \log \left(t+\sqrt{t^2+2}\right)+c \\ \Rightarrow I=\frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4 x+6}+\log \mid x+2+\sqrt{x^2+4 x+6} \mid+c
Illustration:4. \sqrt{x^2+4 x+1}
Solution: \sqrt{x^2+4 x+1} \\ I=\int \sqrt{x^2+4 x+4-4+1} dx \\ =\int \sqrt{(x+2)^2-3} d x \\ =\int \sqrt{(x+2)^2-(\sqrt{3})^2} dx \\ \text { Put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{t^2-(\sqrt{3})^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^2-(\sqrt{3})^2}-\frac{3}{2} \log \left|t+\sqrt{t^2-(\sqrt{3})^2} \right| +C
[सूत्र  \int \sqrt{x^2-a^2} d x=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2} -\frac{a^2}{2} \log \left| x+\sqrt{x^2-a^2} \right|+C से]

I=\frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4 x+1}-\frac{3}{2} \log \left|x+2+\sqrt{x^2+4 x+1}\right|+c
Illustration:5. \sqrt{1-4 x-x^2}
Solution: \sqrt{1-4 x-x^2} \\ I=\int \sqrt{1-\left(4 x+x^2\right)} d x \\ =\int \sqrt{1+4-\left(4+4 x+x^2\right)} dx \\ =\int \sqrt{(\sqrt{5})^2-(x+2)^2} d x \\ \text { put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{(\sqrt{5})^2-t^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{5-t^2}+\frac{5}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{5}}\right)+c \\ \Rightarrow I=\frac{x+2}{2} \sqrt{1-4 x-x^2}+\frac{5}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right)+C

Integrals of Some More Types Class 12

Illustration:6. \sqrt{x^2+4 x-5}
Solution: \sqrt{x^2+4 x-5} \\ I=\int \sqrt{x^2+4 x-5} d x \\ =\int \sqrt{x^2+4 x+4-4-5} d x \\ =\int \sqrt{(x+2)^2-9} d x \\ =\int \sqrt{(x+2)^2-3^2} d x \\ \text { put } x+2=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{t^2-3^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^2-9}-\frac{9}{2} \log \left|t+\sqrt{t^2-9} \right|+c \\ \Rightarrow I =\frac{x+2}{2} \sqrt{x^2+4 x-5}-\frac{9}{2} \log \left|x+2+\sqrt{x^2+4 x-5}\right|+C
Illustration:7. \sqrt{1+3 x-x^2}
Solution: \sqrt{1+3 x-x^2} \\ I= \int \sqrt{1+3 x-x^2} d x \\ =\int \sqrt{1-\left(x^2-3 x\right) d x} \\ =\int \sqrt{1+\frac{9}{4}-\left(x^2-3 x+\frac{9}{4}\right)} d x \\ =\int \sqrt{\frac{13}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2} d x \\ \text { put } x-\frac{3}{2}=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{\left(\sqrt{\frac{13}{2}}\right)^2-t^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{\frac{13}{4}-t^2}+\frac{13}{8} \sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{\frac{13}{2}}}\right)+C \\ \Rightarrow I=\frac{x-\frac{3}{2}}{2} \sqrt{1+3 x-x^2}+\frac{13}{8} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x-3}{\sqrt{13}}\right)+C \\ \Rightarrow I=\frac{2 x-3}{4} \sqrt{1+3 x-x^2}+\frac{13}{8} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x-3}{\sqrt{13}}\right)+C
Illustration:8. \sqrt{x^2+3 x}
Solution:  \sqrt{x^2+3 x} \\ I =\int \sqrt{x^2+3 x} d x \\ =\int \sqrt{x^2+3 x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}} d x \\ =\int \sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2} d x \\ \text{put } x+\frac{3}{2}=t \Rightarrow d x=d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{t^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2} d t \\ =\frac{t}{2} \sqrt{t^2-\frac{9}{4}}-\frac{9}{8} \log \left|t+\sqrt{t^2-\frac{9}{4}}\right|+c \\ =\frac{x+\frac{3}{2}}{2} \sqrt{x^2+3 x}-\frac{9}{8} \log \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt{x^2+3 x}\right|+C \\ \Rightarrow I=\frac{2 x+3}{4} \sqrt{x^2+3 x}-\frac{9}{8} \log \left|x+\frac{3}{2}+\sqrt{x^2+3 x}\right| +C
Illustration:9. \sqrt{1+\frac{x^2}{9}}
Solution: \sqrt{1+\frac{x^2}{9}} \\ I=\int \sqrt{1+\frac{x^2}{9}} d x \\ =\int \sqrt{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2} d x\\ \text{put } x=t \Rightarrow d x=3 d t \\ \Rightarrow I=\int \sqrt{1+t^2} 3 d t \\=3\left[\frac{t}{2} \sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2} \log \left| t+\sqrt{1+t^2}\right|\right]+c \\ =\frac{x}{2} \sqrt{1+\frac{x^2}{9}}+\frac{1}{2} \log \left|\frac{x}{3}+\sqrt{1+\frac{x^2}{9}}\right|+c^{\prime}

[\int \sqrt{a^2+x^2} d x=\frac{x}{2} \sqrt{a^2+x^2}+\frac{a^2}{2} \log \left|x+\sqrt{a^2+x^2}\right| +c सूत्र से ]

I=\frac{x}{2} \sqrt{1+\frac{x^2}{9}}+\frac{3}{2} \log \left|x+\sqrt{x^2+9}\right|+C
प्रश्न 10 एवं 11 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
Illustration:10. \int \sqrt{1+x^2} d x बराबर है:

(A) \frac{x}{2} \sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2} \log \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+c
(B) \frac{2}{3}\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}+c
(C) \frac{2}{3} x\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}+c
(D) \frac{x^2}{2} \sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2} x^2 \log \left|x+\sqrt{1+x^2}\right|+c
Solution: \int \sqrt{1+x^2} d x \\ =\frac{x}{2} \sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2} \log \left|x+ \sqrt{1+x^2}\right|+c
अतः विकल्प (A) सही है।
Illustration:11. \int \sqrt{x^2-8 x+7} dx बराबर है:

(A)\frac{1}{2}(x-4)\sqrt{x^2-8 x+7}+9 \log \left|x-4+\sqrt{x^2-8 x+7}\right|+c
(B)\frac{1}{2}(x+4) \sqrt{x ^2-8 x+7}+9 \log \left| x+4+\sqrt{x^2-8 x+7}\right|+c
(C)\frac{1}{2}(x-4) \sqrt{x^2-8 x+7}-3 \sqrt{2} \log \left|x-4+\sqrt{x^2-8 x+7}\right|+c
(D)\frac{1}{2}(x-4) \sqrt{x^2-8 x+7}-\frac{9}{2} \log \left|x-4+\sqrt{x^2-8 x+7}\right|+c
Solution: \int \sqrt{x^2-8 x+7} d x \\ =\int \sqrt{x^2-8 x+16-16+7} d x \\ =\int \sqrt{(x-4)^2-3^2} d x \\ =\frac{x-4}{2} \sqrt{x^2-8 x+7}-\frac{9}{2} \log \left|x-4+\sqrt{x^2-8 x+7}\right|+c
अतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Integrals of Some More Types Class 12),कक्षा 12 में कुछ अन्य प्रकार के समाकलन (Integrals of Some More Types in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Integrals of Some More Types Class 12):

Integrals of Some More Types Class 12

निम्न फलनों का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।

(1.) \frac{1}{\sqrt{2 x^2-x+2}} (2.) \sqrt{e^x-1}
उत्तर (Answers): (1.) \frac{1}{\sqrt{2}} \sinh ^{-1} \frac{x-1}{\sqrt{15}}+c
(2.) 2 \sqrt{e^x-1}-2 \tan ^{-1} \sqrt{e^x-1}+c
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Integrals of Some More Types Class 12),कक्षा 12 में कुछ अन्य प्रकार के समाकलन (Integrals of Some More Types in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Frequently Asked Questions Related to Integrals of Some More Types Class 12),कक्षा 12 में कुछ अन्य प्रकार के समाकलन (Integrals of Some More Types in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कुछ अन्य प्रकार के समाकलन कक्षा 12 (Integrals of Some More Types Class 12) के
सवालों को मानक सूत्रों के आधार पर हल करेंगे।इन मानक सूत्रों के समाकलन प्रतिस्थापन
अथवा खण्डशः समाकलन द्वारा ज्ञात किए गए हैं।