1.क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11):

Permutations Class 11th

क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th) के इस आर्टिकल में क्रमचय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।ये सवाल निम्न हैं:
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2.क्रमचय कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Permutations Class 11th Solved Examples):

Example:1.1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितने 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं,यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
Solution:1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके 3 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ={}^9 P_3=\frac{9 !}{(9-3)!} \\ =\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !} \\ =504
Example:2.किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती है?
Solution:0 से 9 तक कुल 10 अंकों को प्रयोग करके 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या={}^{10} P_4
इनमें हजार के स्थान पर 0 आनेवाली संख्याएँ भी शामिल है जो कि तीन अंकीय संख्याएँ हैं।अतः उपर्युक्त शामिल 3 अंकीय संख्याएँ={}^9 P_3
अभीष्ट 4 अंकीय संख्याएँ={}^{10} P_4-{}^9 P_3 \\ =\frac{10 !}{(10-4)!}-\frac{9 !}{(9-3) !} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}-\frac{9 \times 8 \times 9 \times 6 !}{6 !} \\=5040-504 \\ =4536
Example:3.अंक 1,2,3,4,5,6,7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
Solution:सम संख्या बनाने के अंकों 1,2,3,4,5,6,7 में से इकाई के अंक के स्थान पर 2,4,6 अंक ही आने चाहिए।अतः इकाई के अंक को भरने के तरीके तीन हैं,शेष 2 अंकों को 5 तरीके से भर सकते हैं।अतः अभीष्ट 3 अंकीय सम संख्या={}^5 P_2 \times 3 \\ =\frac{5 !}{(5-2) !} \times 3 \\=\frac{5 \times 4 \times 3 !}{(5-2) !} \times 3 \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 !} \times 3 \\=60
Example:4.अंक 1,2,3,4,5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें कितनी सम संख्याएँ होंगी?
Solution:अंक 1 से 5 कुल 5 अंकों को प्रयोग करके 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या={}^5 P_4 \\ =\frac{5 !}{(5-4) !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 !}{1 !} \\ =120
सम संख्या बनाने के लिए अंकों 1,2,3,4,5 में से इकाई के स्थान पर 2,4 अंक ही आने चाहिए।अतः इकाई के अंक को भरने के तरीके दो है।शेष 3 स्थानों को 4 अंकों से भर सकते हैं।अतः अभीष्ट सम संख्या ={}^4 P_3 \times 2 \\ =\frac{4 !}{(4-3) !} \times 2 \\ =\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1 !}{1 !} \times 2 \\ =48
Example:5.8 व्यक्तियों की समिति में,हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं,यह मानते हुए कि व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
Solution:8 व्यक्तियों में एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष अर्थात् दो व्यक्तियों के चयन से बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है: ={}^8 P_2 \\ =\frac{8 !}{(8-2) !} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 !}{6 !} \\ =56

Permutations Class 11th

Example:6.यदि { }^{n-1} P_3:{ }^n P_4=1: 9 तो n ज्ञात कीजिए।
Solution: { }^{n-1} P_3:{ }^n P_4=1: 9 \\ \Rightarrow \frac{{ }^{n-1} P_3}{{ }^n P_4}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{\frac{(n-1) !}{(n-1-3) !}}{\frac{n !}{(n-4)!}}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{(n-1)!}{(n-4) !} \times \frac{(n-4) !}{n !}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{(n-1) !}{n(n-1) !}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{1}{n}=\frac{1}{9} \Rightarrow n=9
Example:7.r का मान ज्ञात कीजिए,यदि
Example:7(i). {}^5 P_r=2 \cdot {}^6 P_{r-1}
Solution: {}^5 P_r=2 \cdot {}^6 P_{r-1} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=2 \times \frac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{2 \times 6 \times 5 !}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \\ \Rightarrow \frac{1}{1}= \frac{12}{(7-r)(6-r)} \\ \Rightarrow 42-7 r-6 r+r^2=12 \\ \Rightarrow r^2-13 r+30=0 \\ \Rightarrow r^2-10 r-3 r-30=0 \\ \Rightarrow r(r-10)-3(r-10)=0 \\ \Rightarrow(r-10)(r-3)=0 \\ \Rightarrow r-10=0, r-3=0 \\ \Rightarrow r=10, r=3 \\ \Rightarrow r=10 (असम्भव है)
अतः r=3
Example:7(ii). {}^5 P_r={}^6 P_{r-1}
Solution: {}^5 P_r={}^6 P_{r-1} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(7-r) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(7-r)(6-r)(5-r) !} \\ \Rightarrow \frac{1}{1}=\frac{6}{(7-r)(6-r)} \\ \Rightarrow r^2-13 r+42=6 \\ \Rightarrow r^2-13 r+36=0 \\ \Rightarrow r^2-9 r-4 r+36=0 \\ \Rightarrow r(r-9)-4(r-9)=0 \\ \Rightarrow(r-4)(r-9)=0 \\ \Rightarrow r-4=0, r-9=0 \\ r=4,9 \\ r=9 (असम्भव है)
अतः r=4
Example:8.EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
Solution:EQUATION में 8 अक्षर है।अतः प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके अर्थपूर्ण या अर्थहीन बनने वाले क्रमचयों की संख्या
=8!
=8×7×6×5×4×3×2×1
=40320
Example:9.MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन,शब्द बन सकते हैं,यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती,यदि
Example:9(i).एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
Solution:यहाँ पर MONDAY में 6 अक्षर हैं।अतः एक समय 4 अक्षर लेकर विन्यासों की अभीष्ट संख्या

={}^6 P_4 \\ =\frac{6 !}{(6-4) !} \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2!} \\ =360
Example:9(ii).एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं।
Solution:सभी 6 अक्षरों को लेकर विन्यासों की अभीष्ट संख्या={}^6 P_6 \\ =\frac{6 !}{(6-6) !} \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{0 !} \\ =720
Example:9(iii).सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है,किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
Solution:MONDAY में दो स्वर O,A है अतः प्रथम अक्षर दो तरीके से भरा जा सकता है।शेष पाँच स्थानों को 5 तरीके से भरा जा सकता है।अतः अभीष्ट विन्यासों की संख्या

={}^5 P_5 \times 2 \\ =\frac{5 !}{(5-5) !} \times 2 \\ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \\ =240
Example:10.MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
Solution:शब्द MISSISSIPPI में 11 अक्षर हैं जिसमें M-1,I-4,S-4 तथा P-2 हैं।इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या

=\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}
अब माना कि 4-I एक साथ हैं।अतः अब M-1,(4I),S-4 तथा P-2 हो जाते हैं।अतः कुल अक्षर=8
इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या =\frac{8 !}{4 ! 2 !}
उन शब्दों की संख्या जब 4-I एक साथ नहीं हैं।

=\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}-\frac{8 !}{4 ! 2 !} \\=\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 !}{4 ! 4 ! 2 !}-\frac{8 !}{4 ! 2 !} \\ =\frac{8 !}{4 ! 2 !}\left[\frac{11 \times 10 \times 9}{4 !}-1\right] \\ =\frac{8 !}{4 ! 2 !} \times \left(\frac{990-24}{24}\right) \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 2 ! \times 24} \times 966 \\ =35 \times 966=33810
Example:11.PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,यदि
Example:11(i).चयनित शब्द का प्रारम्भ P से तथा अन्त S से होता है।
Solution:शब्द PERMUTATIONS में 12 अक्षर हैं,जिनमें T-2 हैं तथा शेष सब भिन्न अक्षर हैं।
P और S के स्थान स्थिर हैं।
शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या
=\frac{10 !}{2 !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \\ =1814400
Example:11(ii).चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं?
Solution:यदि सभी स्वरों को एक साथ करने पर (EUAIO) PRMTTNS जिनमें T-2 हैं।अतः उन अक्षरों की संख्या जब सभी स्वर एक साथ हैं
=\frac{8 !}{2 !} \times 5 ! \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ =2419200
Example:11(iii).चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
Solution: P और S के मध्य चार अक्षर होने चाहिए।अब माना कि 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1,2,3,….12 तक अंकन कर दिया।अतः P को स्थान 1,2,3,4,5,6,7 पर रखा जा सकता है,तो S को स्थान 6,7,8,9,10,11 व 12 पर।
अर्थात् P तथा S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।स्पष्ट हुआ कि P और S या S और P को 7+7=14 प्रकार से रखा जा सकता है।शेष 10 अक्षरों को \frac{10 !}{2 !} प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच 4 अक्षर हों
\frac{10 !}{2 !} \times 14=10 ! \times 7 \\ =25401600
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

3.क्रमचय कक्षा 11 की समस्याएँ (Permutations Class 11th Problems):

Permutations Class 11th

(1.)शब्द INDIA के अक्षरों से बनने वाले कुल कितने शब्द होंगे?
(2.)तीन मनुष्यों के बीच 4 कोट,5 कमीज व 6 टोप हैं।वे इन्हें कितने प्रकार से पहन सकते हैं?
उत्तर (Answers):(1.)60 (2.)172800
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.क्रमचय कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th) के इस आर्टिकल में क्रमचय पर
आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।