Permutations Class 11th
1.क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11):
क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th) के इस आर्टिकल में क्रमचय पर आधारित कुछ विशिष्ट सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।ये सवाल निम्न हैं:
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2.क्रमचय कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Permutations Class 11th Solved Examples):
Example:1.1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके कितने 3 अंकीय संख्याएँ बन सकती हैं,यदि किसी भी अंक को दोहराया नहीं गया है?
Solution:1 से 9 तक के अंकों को प्रयोग करके 3 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या ={}^9 P_3=\frac{9 !}{(9-3)!} \\ =\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !} \\ =504
Example:2.किसी भी अंक को दोहराए बिना कितनी 4 अंकीय संख्याएँ होती है?
Solution:0 से 9 तक कुल 10 अंकों को प्रयोग करके 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या={}^{10} P_4
इनमें हजार के स्थान पर 0 आनेवाली संख्याएँ भी शामिल है जो कि तीन अंकीय संख्याएँ हैं।अतः उपर्युक्त शामिल 3 अंकीय संख्याएँ={}^9 P_3
अभीष्ट 4 अंकीय संख्याएँ={}^{10} P_4-{}^9 P_3 \\ =\frac{10 !}{(10-4)!}-\frac{9 !}{(9-3) !} \\ =\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 !}-\frac{9 \times 8 \times 9 \times 6 !}{6 !} \\=5040-504 \\ =4536
Example:3.अंक 1,2,3,4,5,6,7 को प्रयुक्त करने से कितनी 3 अंकीय सम संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है?
Solution:सम संख्या बनाने के अंकों 1,2,3,4,5,6,7 में से इकाई के अंक के स्थान पर 2,4,6 अंक ही आने चाहिए।अतः इकाई के अंक को भरने के तरीके तीन हैं,शेष 2 अंकों को 5 तरीके से भर सकते हैं।अतः अभीष्ट 3 अंकीय सम संख्या={}^5 P_2 \times 3 \\ =\frac{5 !}{(5-2) !} \times 3 \\=\frac{5 \times 4 \times 3 !}{(5-2) !} \times 3 \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 !} \times 3 \\=60
Example:4.अंक 1,2,3,4,5 के उपयोग द्वारा कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,यदि कोई भी अंक दोहराया नहीं गया है? इनमें कितनी सम संख्याएँ होंगी?
Solution:अंक 1 से 5 कुल 5 अंकों को प्रयोग करके 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या={}^5 P_4 \\ =\frac{5 !}{(5-4) !} \\ =\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 !}{1 !} \\ =120
सम संख्या बनाने के लिए अंकों 1,2,3,4,5 में से इकाई के स्थान पर 2,4 अंक ही आने चाहिए।अतः इकाई के अंक को भरने के तरीके दो है।शेष 3 स्थानों को 4 अंकों से भर सकते हैं।अतः अभीष्ट सम संख्या ={}^4 P_3 \times 2 \\ =\frac{4 !}{(4-3) !} \times 2 \\ =\frac{4 \times 3 \times 2 \times 1 !}{1 !} \times 2 \\ =48
Example:5.8 व्यक्तियों की समिति में,हम कितने प्रकार से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष चुन सकते हैं,यह मानते हुए कि व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है?
Solution:8 व्यक्तियों में एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष अर्थात् दो व्यक्तियों के चयन से बनने वाले क्रमचयों की संख्या जबकि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है: ={}^8 P_2 \\ =\frac{8 !}{(8-2) !} \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 !}{6 !} \\ =56
Example:6.यदि { }^{n-1} P_3:{ }^n P_4=1: 9 तो n ज्ञात कीजिए।
Solution: { }^{n-1} P_3:{ }^n P_4=1: 9 \\ \Rightarrow \frac{{ }^{n-1} P_3}{{ }^n P_4}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{\frac{(n-1) !}{(n-1-3) !}}{\frac{n !}{(n-4)!}}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{(n-1)!}{(n-4) !} \times \frac{(n-4) !}{n !}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{(n-1) !}{n(n-1) !}=\frac{1}{9} \\ \Rightarrow \frac{1}{n}=\frac{1}{9} \Rightarrow n=9
Example:7.r का मान ज्ञात कीजिए,यदि
Example:7(i). {}^5 P_r=2 \cdot {}^6 P_{r-1}
Solution: {}^5 P_r=2 \cdot {}^6 P_{r-1} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=2 \times \frac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{2 \times 6 \times 5 !}{(7-r)(6-r)(5-r)!} \\ \Rightarrow \frac{1}{1}= \frac{12}{(7-r)(6-r)} \\ \Rightarrow 42-7 r-6 r+r^2=12 \\ \Rightarrow r^2-13 r+30=0 \\ \Rightarrow r^2-10 r-3 r-30=0 \\ \Rightarrow r(r-10)-3(r-10)=0 \\ \Rightarrow(r-10)(r-3)=0 \\ \Rightarrow r-10=0, r-3=0 \\ \Rightarrow r=10, r=3 \\ \Rightarrow r=10 (असम्भव है)
अतः r=3
Example:7(ii). {}^5 P_r={}^6 P_{r-1}
Solution: {}^5 P_r={}^6 P_{r-1} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 !}{(6-r+1) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(7-r) !} \\ \Rightarrow \frac{5 !}{(5-r) !}=\frac{6 \times 5 !}{(7-r)(6-r)(5-r) !} \\ \Rightarrow \frac{1}{1}=\frac{6}{(7-r)(6-r)} \\ \Rightarrow r^2-13 r+42=6 \\ \Rightarrow r^2-13 r+36=0 \\ \Rightarrow r^2-9 r-4 r+36=0 \\ \Rightarrow r(r-9)-4(r-9)=0 \\ \Rightarrow(r-4)(r-9)=0 \\ \Rightarrow r-4=0, r-9=0 \\ r=4,9 \\ r=9 (असम्भव है)
अतः r=4
Example:8.EQUATION शब्द के अक्षरों में से प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन शब्द बन सकते हैं?
Solution:EQUATION में 8 अक्षर है।अतः प्रत्येक को तथ्यतः केवल एक बार उपयोग करके अर्थपूर्ण या अर्थहीन बनने वाले क्रमचयों की संख्या
=8!
=8×7×6×5×4×3×2×1
=40320
Example:9.MONDAY शब्द के अक्षरों से कितने अर्थपूर्ण या अर्थहीन,शब्द बन सकते हैं,यह मानते हुए कि किसी भी अक्षर की पुनरावृत्ति नहीं की जाती,यदि
Example:9(i).एक समय में 4 अक्षर लिए जाते हैं?
Solution:यहाँ पर MONDAY में 6 अक्षर हैं।अतः एक समय 4 अक्षर लेकर विन्यासों की अभीष्ट संख्या
={}^6 P_4 \\ =\frac{6 !}{(6-4) !} \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2!} \\ =360
Example:9(ii).एक समय में सभी अक्षर लिए जाते हैं।
Solution:सभी 6 अक्षरों को लेकर विन्यासों की अभीष्ट संख्या={}^6 P_6 \\ =\frac{6 !}{(6-6) !} \\ =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{0 !} \\ =720
Example:9(iii).सभी अक्षरों का प्रयोग किया जाता है,किन्तु प्रथम अक्षर एक स्वर है?
Solution:MONDAY में दो स्वर O,A है अतः प्रथम अक्षर दो तरीके से भरा जा सकता है।शेष पाँच स्थानों को 5 तरीके से भरा जा सकता है।अतः अभीष्ट विन्यासों की संख्या
={}^5 P_5 \times 2 \\ =\frac{5 !}{(5-5) !} \times 2 \\ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \\ =240
Example:10.MISSISSIPPI शब्द के अक्षरों से बने भिन्न-भिन्न क्रमचयों में से कितनों में चारों I एक साथ नहीं आते हैं?
Solution:शब्द MISSISSIPPI में 11 अक्षर हैं जिसमें M-1,I-4,S-4 तथा P-2 हैं।इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या
=\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}
अब माना कि 4-I एक साथ हैं।अतः अब M-1,(4I),S-4 तथा P-2 हो जाते हैं।अतः कुल अक्षर=8
इन अक्षरों से बने शब्दों की संख्या =\frac{8 !}{4 ! 2 !}
उन शब्दों की संख्या जब 4-I एक साथ नहीं हैं।
=\frac{11 !}{4 ! 4 ! 2 !}-\frac{8 !}{4 ! 2 !} \\=\frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 !}{4 ! 4 ! 2 !}-\frac{8 !}{4 ! 2 !} \\ =\frac{8 !}{4 ! 2 !}\left[\frac{11 \times 10 \times 9}{4 !}-1\right] \\ =\frac{8 !}{4 ! 2 !} \times \left(\frac{990-24}{24}\right) \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 2 ! \times 24} \times 966 \\ =35 \times 966=33810
Example:11.PERMUTATIONS शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,यदि
Example:11(i).चयनित शब्द का प्रारम्भ P से तथा अन्त S से होता है।
Solution:शब्द PERMUTATIONS में 12 अक्षर हैं,जिनमें T-2 हैं तथा शेष सब भिन्न अक्षर हैं।
P और S के स्थान स्थिर हैं।
शेष अक्षरों से बने शब्दों की संख्या
=\frac{10 !}{2 !}=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \\ =1814400
Example:11(ii).चयनित शब्द में सभी स्वर एक साथ हैं?
Solution:यदि सभी स्वरों को एक साथ करने पर (EUAIO) PRMTTNS जिनमें T-2 हैं।अतः उन अक्षरों की संख्या जब सभी स्वर एक साथ हैं
=\frac{8 !}{2 !} \times 5 ! \\ =\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ =2419200
Example:11(iii).चयनित शब्द में P तथा S के मध्य सदैव 4 अक्षर हों?
Solution: P और S के मध्य चार अक्षर होने चाहिए।अब माना कि 12 अक्षरों के स्थानों का नाम 1,2,3,….12 तक अंकन कर दिया।अतः P को स्थान 1,2,3,4,5,6,7 पर रखा जा सकता है,तो S को स्थान 6,7,8,9,10,11 व 12 पर।
अर्थात् P तथा S को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।इसी प्रकार S और P को 7 स्थानों पर रखा जा सकता है।स्पष्ट हुआ कि P और S या S और P को 7+7=14 प्रकार से रखा जा सकता है।शेष 10 अक्षरों को \frac{10 !}{2 !} प्रकार से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः उन शब्दों की संख्या जब P और S के बीच 4 अक्षर हों
\frac{10 !}{2 !} \times 14=10 ! \times 7 \\ =25401600
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
3.क्रमचय कक्षा 11 की समस्याएँ (Permutations Class 11th Problems):
(1.)शब्द INDIA के अक्षरों से बनने वाले कुल कितने शब्द होंगे?
(2.)तीन मनुष्यों के बीच 4 कोट,5 कमीज व 6 टोप हैं।वे इन्हें कितने प्रकार से पहन सकते हैं?
उत्तर (Answers):(1.)60 (2.)172800
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.क्रमचय कक्षा 11 (Frequently Asked Questions Related to Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.उन वस्तुओं के क्रमचय जिनमें सभी भिन्न नहीं हों कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do Determine Permutations of Those Objects in Which Not All Distinct?):
उत्तर:प्रमेय (Theorem):माना कि कुल n वस्तुएँ हैं,जिनमें p वस्तुएँ एक प्रकार की,q वस्तुएँ दूसरे प्रकार की,r वस्तुएँ तीसरे प्रकार की तथा शेष वस्तुएँ भिन्न-भिन्न प्रकार की हो,तो सभी को एक साथ लेकर बनाए जाने वाले क्रमचयों की संख्या होगी:
\frac{n !}{p ! q ! r !}
उपपत्ति (Proof):माना कि हमारे पास कुल n वस्तुएँ हैं।उनमें से p एक प्रकार की,q दूसरे प्रकार की,r तीसरे प्रकार की व शेष भिन्न-भिन्न हैं।माना कि अभीष्ट क्रमचयों की संख्या x है।यदि इन क्रमचयों में से एक क्रमचय लें और यदि p समान वस्तुओं को p असमान वस्तुओं में बदल दें,तो अब p! नये क्रमचय बनेंगे।
इसी प्रकार क्रमशः q तथा r समान वस्तुओं को q तथा r असमान वस्तुओं से बदल दें,तो अब q! तथा r! नये क्रमचय बनेंगे।
इस प्रकार,यदि उपर्युक्त प्रतिस्थापन एक साथ किए जाए,तो हमें प्रत्येक क्रमचय से p!×q!×r! क्रमचय प्राप्त होंगे।इसलिए x क्रमचयों से कुल x×p!×q!×r! क्रमचय प्राप्त होंगे।
अब क्योंकि वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हो गई हैं और सभी को एक साथ लेकर बनाए जाने वाले क्रमचयों की संख्या n! है अतः
x \times p ! \times q ! \times r !=n ! \Rightarrow x=\frac{n !}{p ! q ! r !}
प्रश्न:2.वृत्तीय क्रमचय से क्या तात्पर्य है? (What Do You Mean by Circular Permutation?):
उत्तर:यदि हम n विभिन्न वस्तुओं को एक वृत्त के चारों ओर व्यवस्थित करें तो ऐसे विन्यास को वृत्तीय (चक्रीय) क्रमचय कहते हैं।प्रत्येक रैखिक क्रमचय में एक आरम्भ तथा एक अन्त होता है,लेकिन वृत्तीय क्रमचय में ऐसा नहीं है।इस प्रकार,एक वृत्तीय क्रमचय में किसी एक वस्तु को स्थिर मानकर शेष वस्तुओं को रैखिक क्रमचय की तरह व्यवस्थित करते हैं।
प्रश्न:3.दक्षिणावर्त तथा वामावर्त क्रमचयों में क्या अन्तर है? (What is Difference Between Clockwise and Anticlockwise Permutations?):
उत्तर:A,B,C अक्षरों के निम्नलिखित 6 रैखिक क्रमचय बनते हैं:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
(1.)ABC,BCA,CAB के अवयवों का एक ही क्रम (दक्षिणावर्त क्रम) है।अतः इन तीन रैखिक क्रमचयों को एक ही चक्रीय क्रमचय माना जाता है।
(2.)ACB,CBA,BAC के अवयवों का एक ही क्रम (वामावर्त क्रम) है।अतः इन तीन रैखिक क्रमचयों को एक ही चक्रीय क्रमचय माना जाता है।
अतः A,B,C अक्षरों के कुल चक्रीय क्रमचयों की संख्या 2 है।यदि दक्षिणावर्त एवं वामावर्त चक्रीय क्रमचयों में कोई अन्तर नहीं माना जाए तो A,B,C अक्षरों के कुल चक्रीय क्रमचयों की संख्या 1 है।
अतः यदि दक्षिणावर्त तथा वामावर्त क्रमचयों को एक ही समझा जाए,तो विभिन्न वस्तुओं में से सभी वस्तुएँ एक साथ लेकर बनाए जाने वाले क्रमचयों की संख्या \frac{(n-1) !}{2} होगी।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा क्रमचय कक्षा 11 (Permutations Class 11th),कक्षा 11 में क्रमचय (Permutations in Class 11) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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Satyam
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