1.कक्षा 12वीं में सारणिक (Determinants in Class 12th),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12):

Determinants in Class 12th

कक्षा 12वीं में सारणिक (Determinants in Class 12th) के इस आर्टिकल में सारणिकों के गुणधर्म पर आधारित सवालों तथा आव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय का हल पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.कक्षा 12वीं में सारणिक के उदाहरण (Determinants in Class 12fth Examples):

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए:
Example:11. \left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^2 & \gamma +\alpha \\ \gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma)
Solution: \left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^2 & \gamma+ \alpha \\ \gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right|=(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+\gamma) \\ \text { L.H.S. }\left|\begin{array}{lll} \alpha & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \beta & \beta^2 & \gamma+\alpha \\ \gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\ C_{1} \rightarrow C_1+C_3 संक्रिया से:
\left|\begin{array}{lll} \alpha+\beta+\gamma & \alpha^2 & \beta+\gamma \\ \alpha+\beta +\gamma & \beta^2 & \gamma+\alpha \\ \alpha+\beta+\gamma & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\ =(\alpha+\beta+\gamma)\left|\begin{array}{lll} 1 & \alpha^2 & \beta+r \\ 1 & \beta^2 & \gamma+ \alpha \\ 1 & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 तथा R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
=(\alpha+\beta+\gamma)\left|\begin{array}{ccc} 0 & \alpha^2-\beta^2 & \beta-\alpha \\ 0 & \beta^2-\gamma^2 & \gamma-\beta \\ 1 & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\ =(\alpha+\beta+ \gamma) \left|\begin{array}{ccc} 0 & (\alpha-\beta)(\alpha+\beta) & -(\alpha-\beta) \\ 0 & (\beta-\gamma) (\beta+\gamma) & -(\beta-\gamma) \\ 1 & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)\left|\begin{array}{lll} 0 & \alpha+\beta & -1 \\ 0 & \beta+\gamma & -1 \\ 1 & \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right| \\ C_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:

=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)[0\left|\begin{array}{cc} \beta+\gamma & -1 \\ \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right|-0 \left|\begin{array}{ll} \alpha+\beta & -1 \\ \gamma^2 & \alpha+\beta \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc} \alpha+\beta & -1 \\ \beta+\gamma & -1 \end{array}\right| ] \\ = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(-\alpha-\beta+ \beta+\gamma) \\ =(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=R.H.S
Example:12. \left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1+p x^3 \\ y & y^2 & 1+p y^3 \\ z & z^2 & 1+p z^3 \end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x)
Solution: \left|\begin{array}{lll}x & x^2 & 1+p x^3 \\ y & y^2 & 1+p y^3 \\ z & z^2 & 1+p z^3 \end{array} \right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x) \\ \text { L.H.S. }\left|\begin{array}{ccc} x & x^2 & 1+p x^3 \\ y & y^2 & 1+p y^3 \\ z & z^2 & 1+p z^3 \end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & p x^3 \\ y & y^2 & p y^3 \\ z & z^2 & p z^3 \end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll} x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1 \end{array}\right|+pxyz\left|\begin{array}{ccc} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array} \right|
प्रथम सारणिक में C_2 \leftrightarrow C_3 संक्रिया से:

=-\left|\begin{array}{lll} x & 1 & x^2 \\ y & 1 & y^2 \\ z & 1 & z^2 \end{array}\right|+p x y z \left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right|
प्रथम सारणिक में C_1 \leftrightarrow C_2 संक्रिया से:
\left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right| +pxyz\left|\begin{array}{lll} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right| \\ =(1+pxyz)\left|\begin{array}{lll}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2, R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
=(1+pxyz)\left|\begin{array}{lll}0 & x-y & x^2-y^2 \\ 0 & y-z & y^2-z^2 \\ 1 & z & z^2\end{array} \right| \\ =(1+pxyz) \left|\begin{array}{lll}0 & x-y & (x-y)(x+y) \\ 0 & y-z & (y-z)(y+z) \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right|\\ =(1+pxyz) (x-y)(y-z)\left|\begin{array}{lll}0 & 1 & (x+y) \\ 0 & 1 & (y+z) \\ 1 & z & z^2 \end{array}\right| \\ C_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:

=(1+p x y z)(x-y)(y-z)\left[0\left|\begin{array}{cc} 1 & y+z \\ z & z^2 \end{array}\right|-0\left| \begin{array}{cc} 1 & x+y \\ z & z^2\end{array}\right|+1\left|\begin{array}{cc} 1 & x+y \\ 1 & y+z \end{array}\right| \right] \\ =(1+pxyz)(x-y)(y-z)(y+z-x-y) \\ =(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x)=R.H.S. 
Example:13. \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a)
Solution: \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right|=3(a+b+c)(a b+b c+c a) \\ \text{L.H.S.} \left|\begin{array}{ccc}3 a & -a+b & -a+c \\ -b+a & 3 b & -b+c \\ -c+a & -c+b & 3 c\end{array}\right| \\ C_{1} \rightarrow C_{1}+C_{2}+C_3  संक्रिया से:
\left|\begin{array}{ccc} a+b+c & -a+b & -a+c \\ a+b+c & 3 b & -b+c \\ a+b+c & -c+b & 3 c \end{array}\right| \\ (a+b+c)\left|\begin{array}{ccc} 1 & -a+b & -a+c \\ 1 & 3 b & -b+c \\ 1 & -c+b & 3 c \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 तथा R_2 \rightarrow R_2-R_3  संक्रिया से:
(a+b+c)\left|\begin{array}{ccc} 0 & -a-2 b & -a+b \\ 0 & 2 b+c & -b-2 c \\ 1 & -c+b & 3 c \end{array}\right| \\ C_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:

(a+b+c)[0\left|\begin{array}{cc} 2 b+c & -b-2 c \\ -c+b & 3 c \end{array}\right| -0 \left|\begin{array}{cc} -a-2 b & -a+b \\ -c+b & 3 c \end{array}\right|+1 \left| \begin{array}{cc} -a-2 b & -a+b \\ 2 b+c & -b-2 c \end{array}\right|]\\ =(a+b+c)[(-a-2 b)(-b-2 c)-(-a+b)(2 b+c)] \\ =(a+b+c)\left[a b+2 a c+2 b^2+4 b c-\left(-2 a b-a c +2 b^2+b c\right)\right] \\ =(a+b+c)\left[ab+2 a c+2 b^2+4 b c+2 a b+ac-2b^2-bc \right] \\ =(a+b+c)(3 a b+3 b c+3 a c) \\ =3(a+b+c)(a b+b c+c a) 
Example:14. \left|\begin{array}{lll} 1 & 1+b & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q \end{array}\right|=1
Solution: \left|\begin{array}{lll}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|=1 \\ \text { L.H.S. }=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q \end{array}\right| \\ R_2 \rightarrow R_2-2 R_1 तथा R_3 \rightarrow R_3- R_1 संक्रिया से:
=\left|\begin{array}{lll} 1 & 1+p & 1+p+q \\ 0 & 1 & 2+p \\ 0 & 3 & 7+3 p \end{array}\right| \\ C_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:
=[1 \left|\begin{array}{cc} 1 & 2+p \\ 3 & 7+3p \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{cc} 1+p & 1+p+q \\3 & 7+3 p \end{array}\right|+0\left| \begin{array}{ll} 1+p & 1+p+q \\ 1 & 2+p \end{array}\right| ] \\ =(1)(7+3 p)-(2+p)(3) \\ =7+3p-6-3p \\ =1=R.H.S.

Determinants in Class 12th

Example:15. \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right|=0
Solution: \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right|=0 \\ \text{ L.H.S.} =\left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos (\gamma+\delta) \end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta-\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta-\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta-\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right| \\ =\left[\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \cos \delta \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc} \sin \alpha & \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & -\sin \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & -\sin \gamma \sin \delta \end{array}\right] \\ =\cos \delta \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \end{array}\right|-\sin \delta \left|\begin{array}{lll} \sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \end{array}\right|
प्रथम सारणिक में C_{2} व C_{3} तथा द्वितीय सारणिक में C_{1} व C_{3} समान हैं अतः सारणिक का मान शून्य होगा
 =\cos \delta (0)-\sin \delta (0) \\ =0=R.H.S.
Example:16.निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए

\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4 \\ \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1 \\ \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2
Solution:\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{10}{z}=4 \\ \frac{4}{x}-\frac{6}{y}+\frac{5}{z}=1 \\ \frac{6}{x}+\frac{9}{y}-\frac{20}{z}=2
माना \frac{1}{x}=u, \frac{1}{y}=v, \frac{1}{2}=w \\ 2 u+3 v+10 w=4 \\ 4 u-6 v+5 w=1 \\ 6 u+9 v-20 w=2
इस निकाय AX=B के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{array}\right], X=\left[\begin{array}{l} u \\ v \\ w \end{array}\right] और B=\left[\begin{array}{l} 4 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right]
A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & 10 \\ 4 & -6 & 5 \\ 6 & 9 & -20 \end{array}\right| \\ |A|=2\left|\begin{array}{cc} -6 & 5 \\ 9 & -20 \end{array}\right|-3\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\6 & -20 \end{array}\right|+10\left|\begin{array}{cc} 4 & -6 \\ 6 & 9 \end{array}\right| \\ = 2(-6 \times-20-5 \times 9)-3(4 \times-20-5 \times 6)+10(4 \times 9- 6 \times-6) \\ =2(120-45)-3(-80-30)+10(36+36) \\ =150+330+720 \\ \Rightarrow |A|=1200 \neq 0
अतः A^{-1} का अस्तित्व है।

A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{cc}-6 & 5 \\9 & -20\end{array}\right|=-6 \times-20-5 \times 9 \\ \Rightarrow A_{11}=120-45=75 \\A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 6 & -20 \end{array}\right|=-(4 \times-20-5 \times 6) \\ \Rightarrow A_{12}=-(-80-30)=110 \\A_{13}=(-1)^{1+3} \left|\begin{array}{cc}4 & -6 \\6 & 9\end{array}\right|=(4 \times 9+6 \times-6) \\ \Rightarrow A_{13}= 36+36=72 \\A_{21}=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{cc}3 & 10 \\9 & -20\end{array}\right|=-(3 \times-20-10 \times 9) \\ \Rightarrow A_{21}=-(-60-90)=150 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{cc} 2 & 10 \\ 6 & -20 \end{array}\right|=(2 \times-20-10 \times 6) \\ \Rightarrow A_{22}=(-40-60)=-100 \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 6 & 9 \end{array}\right|=-(2 \times 9-3 \times 6) \\ \Rightarrow A_{23}=-(18-18)=0 \\ A_{31}=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{ll} 3 & 10 \\ -6 & 5\end{array}\right|=(3 \times 5-10 \times-6) \\ \Rightarrow A_{31}=(15+60)=75 \\ A_{32} =(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll} 2 & 10 \\ 4 & 5 \end{array}\right|=-(2 \times 5-10 \times 4) \\ \Rightarrow A_{32} =-(10-40)=30 \\ A_{33} =(-1)^{3+3} \left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 4 & -6 \end{array}\right|=(2 \times-6-3 \times 4) \\ \Rightarrow A_{33} =(-12-12)=-24  \\ \text { adj } A =\left[\begin{array}{lll} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}\right]^{\prime} \\ =\left[\begin{array}{ccc} 75 & 110 & 72 \\ 150 & -100 & 0 \\ 75 & 30 & -24 \end{array}\right]^{\prime} \\ \operatorname{adj} A =\left[\begin{array}{ccc} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{array}\right] \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\ =\frac{1}{120}\left[\begin{array}{ccc} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{array}\right] \\ X=A^{-1} B \\ =\frac{1}{1200}\left[\begin{array}{ccc} 75 & 150 & 75 \\ 110 & -100 & 30 \\ 72 & 0 & -24 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] \\ =\frac{1}{1200}\left[\begin{array}{c} 75 \times 4+150 \times 1+75 \times 2 \\ 110 \times 4-100 \times 1+30 \times 2 \\ 72 \times 4+0 \times 1-24 \times 2 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{1200}\left[\begin{array}{l} 300+150+150 \\ 440-100+60 \\ 288+0-48\end{array}\right] \\ =\frac{1}{1200}\left[\begin{array}{l} 600 \\ 400 \\ 240 \end{array}\right] \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{c} u \\ v \\ w \end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} \end{array}\right] \\ u=\frac{1}{2}, v =\frac{1}{3}, w=\frac{1}{5} \\ \frac{1}{x}=u=\frac{1}{2} \Rightarrow x=2 \\ \frac{1}{y}=v=\frac{1}{3} \Rightarrow y=3 \\ \frac{1}{z}=w=\frac{1}{5} \Rightarrow z=5 \\ x=2, y=3, z=5
Example:17.यदि a,b,c समान्तर श्रेढ़ी में हो तो सारणिक का मान होगा:

\left|\begin{array}{lll} x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|
(A)0  (B)1 (C)x  (D)2x
Solution: \Delta=\left|\begin{array}{ccc} x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c \end{array}\right| \\ C_2 \rightarrow C_2-C_1 संक्रिया से:
\Delta=\left|\begin{array}{ccc} x+2 & 1 & x+2 a \\ x+3 & 1 & x+2 b \\ x+4 & 1 & x+2 c \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1-R_2 तथा R_2 \rightarrow R_2-R_3 संक्रिया से:
\Delta=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 2 a-2 b \\ -1 & 0 & 2 b-2 c \\ x+4 & 1 & x+2 c \end{array}\right| \\ C_{2} के अनुसार प्रसरण करने पर:

\Delta=0+0-1\left|\begin{array}{cc} -1 & 2 a-2 b \\ -1 & 2 b-2 c \end{array}\right| \\ \Delta=-(-2 b+2 c+2 a-2 b)
a,b,c समान्तर श्रेढ़ी में हैं अतः 2b=a+c रखने पर:
=-[-2(a+c)+2(a+c)] \\ \Delta=0
अतः सही विकल्प (A) है।
Example:18.यदि x,y,z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A=\left[\begin{array}{lll} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right] का व्युत्क्रम है:

(A) \left[\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]
(B) x y z\left[\begin{array}{ccc}x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]
(c) \frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right]
(D) \frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Solution:माना A=\left[\begin{array}{lll}x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक

|A| =\left|\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{array}\right| \\ =x\left|\begin{array}{cc} y & 0 \\ 0 & z \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & z \end{array} \right| +0 \left|\begin{array}{cc} 0 & y \\ 0 & 1 \end{array}\right| \\ =x(y z)-0+0 \\ |A|=x y z \neq 0 \\ A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ll} y & 0 \\ 0 & z \end{array}\right|=(y z-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{11}=y z \\ A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & z \end{array}\right|=-(0 \times z-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{12}=0 \\ A_{13}=(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ll} 0 & y \\ 0 & 0 \end{array}\right|=(0 \times 0-y \times 0) \\ \Rightarrow A_{13}=0 \\ A_{z 1}=(-1)^{2+1} \mid \begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & z \end{array} =-(0 \times z-0 \times 0) \\ A_{21}=0 \\ A_{22}=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{ll} x & 0 \\ 0 & z \end{array}\right|=(x z-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{22}=x z \\ A_{23}=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{ll} x & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right|=-(x \times 0-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{23}=0 \\ A_{31}=(-1)^{3+1} \left|\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ y & 0\end{array}\right|=(0 \times 0-0 \times y) \\ \Rightarrow A_{31}=0 \\ A_{32}=(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{ll} x & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right|=-(x \times 0-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{32}=0 \\ A_{33}=(-1)^{3+3}\left|\begin{array}{ll} x & 0 \\ 0 & y\end{array}\right|=(x y-0 \times 0) \\ \Rightarrow A_{33}=xy \\ \operatorname{adj} A =\left[\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{array}\right]^{\prime} \\ =\left[\begin{array}{ccc} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{array}\right]^{\prime} \\ \Rightarrow \operatorname{adj} A =\left[\begin{array}{ccc} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{array}\right]^{\prime} \\ A^{-1}=\frac{1}{|A|} \operatorname{adj} A \\=\frac{1}{x y z}\left[\begin{array}{ccc} y z & 0 & 0 \\ 0 & x z & 0 \\ 0 & 0 & x y \end{array}\right] \\=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{x} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z} \end{array}\right] \\ \Rightarrow A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} x^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & y^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & z^{-1}\end{array}\right]
अतः विकल्प (A) सही है।
Example:19.यदि A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right] ,जहाँ 0 \leq \theta \leq 2 \pi हो तो:

(A)\operatorname{det}(A)=0 (B) \operatorname{det}(A) \in(2, \infty)
(C)\operatorname{det}(A) \in(2,4) (D)\operatorname{det}(A) \in(2,4)
Solution:  A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\-\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right]
आव्यूह A का सारणिक
|A|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\-1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right| \\ R_1 \rightarrow R_1+R_3 संक्रिया से:

|A|=\left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{array}\right| \\ R_{1} के अनुसार प्रसरण करने पर:

=0\left|\begin{array}{ccc} 1 & \sin \theta \\ -\sin \theta & 1 \end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ccc} -\sin \theta & \sin \theta \\ -1 & 1 \end{array}\right|+2\left|\begin{array}{ccc} -\sin \theta & 1 \\ -1 & -\sin \theta \end{array}\right| \\ \Rightarrow|A|=2\left(\sin ^2 \theta+1\right)
जब \theta=0 तो |A|=2
जब \theta=\frac{\pi}{2} तो |A|=2\left(\sin ^2 \frac{\pi}{2}+1\right) \\ =2\left(1^2+1\right) \\ \Rightarrow|A|=2 \times 2=4
अतः \operatorname{det}(A) \in[2,4]
फलतः विकल्प (D) सही है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा कक्षा 12वीं में सारणिक (Determinants in Class 12th),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) को समझ सकते हैं।

3.कक्षा 12वीं में सारणिक के सवाल (Determinants in Class 12fth Questions):

Determinants in Class 12th

(1.)मैट्रिक्स सिद्धान्त का प्रयोग कर निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए:
5x-7y=2
7x-5y=3
(2.)यदि A=\left[\begin{array}{cc} 1 & \text { tan } x \\ -\tan x & 1 \end{array}\right] हो तो सिद्ध कीजिए कि A^{\top} A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \cos 2 x & -\sin 2 x \\ \sin 2 x & \cos 2 x \end{array}\right]
उत्तर (Answer): (1.) x=\frac{11}{24}, y=\frac{1}{24}
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर कक्षा 12वीं में सारणिक (Determinants in Class 12th),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.कक्षा 12वीं में सारणिक (Frequently Asked Questions Related to Determinants in Class 12th),कक्षा 12 में सारणिक (Determinants in Class 12) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

कक्षा 12वीं में सारणिक (Determinants in Class 12th) के इस आर्टिकल में सारणिकों के
गुणधर्म पर आधारित सवालों तथा आव्यूह के व्युत्क्रम द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय का हल
पर आधारित सवालों को हल करेंगे।