Relation in Maths Class 11
1.गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11),समुच्चय सिद्धान्त में सम्बन्ध (Relation in Set Theory):
गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11) परिभाषा (Definition):किसी अरिक्त समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय B में सम्बन्ध कार्तीय गुणन A×B का एक उपसमुच्चय होता है यह उपसमुच्चय A×B के क्रमित युग्मों के प्रथम तथा द्वितीय घटकों के मध्य एक सम्बन्ध स्थापित करने से प्राप्त होता है। द्वितीय घटक, प्रथम घटक का प्रतिबिम्ब कहलाता है।
समुच्चय A से समुच्चय B में सम्बन्ध R के क्रमित युग्मों के सभी प्रथम घटकों के समुच्चय को सम्बन्ध R का प्रान्त कहते हैं।
समुच्चय A से समुच्चय B में सम्बन्ध R के क्रमित युग्मों के सभी द्वितीय घटकों के समुच्चय को सम्बन्ध R का परिसर कहते हैं।समुच्चय B सम्बन्ध R का सहप्रान्त कहलाता है।नोट कीजिये कि परिसर \subset सहप्रान्त
टिप्पणी:(1) एक सम्बन्ध का बीजीय निरूपण या तो रोस्टर विधि या समुच्चय निर्माण विधि द्वारा किया जा सकता है।
(2.)एक तीर आरेख किसी सम्बन्ध का दृष्टि चित्रण है।
(3.)किसी समुच्चय A से समुच्चय B में सम्बन्धों की कुल संख्या A×B के संभव उपसमुच्चयों की संख्या के बराबर होती है।यदि n(A)=p और n(B)=q तो n(A×B)=pq और सम्बन्धों की कुल संख्या 2^{pq} होती है।
(4.)A से A के सम्बन्ध को ‘A पर सम्बन्ध’ भी कहते हैं।
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2.गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 के साधित उदाहरण (Relation in Maths Class 11 Solved Examples):
Example:1.मान लीजिए कि A={1,2,3,…,14}, R={x,y : 3x-y=0, जहाँ x,y \in A} द्वारा A से A का सम्बन्ध R लिखिए। इसके प्रान्त,सहप्रान्त और परिसर लिखिए।
Solution:3x-y=0
x=1,2,3,4 तो y=3,6,9,12
अतः R={(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)}
R का प्रान्त={1,2,3,4}
R का परिसर={3,6,9,12}
R का सहप्रान्त={1,2,3,…,14}
Example:2.प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर R={(x,y) : y=x+5, x संख्या 4 से कम, एक प्राकृत संख्या है, x,y \in N} द्वारा एक सम्बन्ध R परिभाषित कीजिए।इस सम्बन्ध को (i) रोस्टर रूप में इसके प्रान्त और परिसर लिखिए।
Solution:y=x+5, x,y \in N
R={(1,6),(2,7),(3,8)}
R का प्रान्त={1,2,3}
R का परिसर={6,7,8}
Example:3.A={1,2,3,5} और B={4,6,9},A से B में सम्बन्ध R={(x,y) : x और y का अन्तर विषम है, x \in A ,y \in B } द्वारा परिभाषित कीजिए।R को रोस्टर रूप में लिखिए।
Solution: x \in A ,y \in B
x और y का अन्तर विषम है।
R={(1,4),(1,6),(2,9),(3,4),(3,6),(5,4),(5,6)}
Example:4.आकृति 2.7 समुच्चय P से Q का एक सम्बन्ध दर्शाती है।इस सम्बन्ध को (i) समुच्चय निर्माण रूप (ii) रोस्टर रूप में लिखिए।इसके प्रान्त तथा परिसर क्या हैं?
Solution:(i) 5-3=2,6-4=2,7-5=2
R={(x,y):y=x-2 जहाँ x=5,6,7}
(ii)R={(5,3),(6,4),(7,5)}
R का प्रान्त={5,6,7}
R का परिसर={3,4,5}
Example:5.मान लीजिए कि A={1,2,3,4,6}.मान लीजिए कि R, A पर { (a,b) :a,b \in A जहाँ संख्या a संख्या b को यथावत विभाजित करती है} द्वारा परिभाषित एक सम्बन्ध है।
(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए
(ii) R का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
(iii) R का परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution:(i) R={(a,b) : a,b \in A संख्या a संख्या b को यथावत विभाजित करती है}
R={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(6,6)}
(ii) R का प्रान्त={1,2,3,4,6}
(iii)R का परिसर={1,2,3,4,6}
Example:6.R={(x,x+5) : x \in {0,1,2,3,4,5}}द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R के प्रान्त और परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution:(i)R={(0,5),(1,6),(2,7),(3,8),(4,9),(5,10)}
R का प्रान्त={0,1,2,3,4,5}
R का परिसर={5,6,7,8,9,10}
Example:7.सम्बन्ध R={(x,x^{3} : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है} को रोस्टर रूप में लिखिए।
Solution: R={(x,x^{3} : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है}
R={(2,8),(3,27),(5,125),(7,343)}
Example:8.मान लीजिए कि A={x,y,z} और B={1,2},A से B के सम्बन्धों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Solution:A={x,y,z} और B={1,2}
n(A)=3, n(B)=2
A×B={(x,1),(x,2),(y,1),(y,2),(z,1),(z,2)}
सम्बन्धों की कुल संख्या=2^{pq} \\ \Rightarrow 2^{3 \times 2}=2^{6} \\ 64
A से B में सम्बन्धों की संख्या=2^{6} =64
Example:9.मान लीजिए कि R,Z पर R={(a,b) : a,b \in Z,a-b एक पूर्णांक है}, द्वारा परिभाषित एक सम्बन्ध है।R के प्रान्त तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
Solution:R का प्रान्त=Z
R का परिसर=Z
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11),समुच्चय सिद्धान्त में सम्बन्ध (Relation in Set Theory) को समझ सकते हैं।
3.गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 पर आधारित सवाल (Questions Based on Relation in Maths Class 11):
(1.)यदि पूर्णांकों का समुच्चय Z में एक सम्बन्ध R इस प्रकार परिभाषित हो कि x R y \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=25 तब R तथा R^{-1} को क्रमित युग्मों के रूप में लिखिए तथा उसके प्रान्त भी ज्ञात कीजिए।
(2.)यदि सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय C से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में एक सम्बन्ध \phi इस प्रकार परिभाषित किया जाए कि x \phi y \Leftrightarrow |x|=y
कारण सहित बताइए इनमें कौनसा सत्य अथवा असत्य है :
(i)(1+i)\phi 3 (ii)3 \phi (-3) (iii)(2+3i) \phi 13 (iv)(1+i) \phi 1
उत्तर:(1.) R={(0,5),(0,-5),(3,4),(-3,4),(3,-4),(-3,-4),(4,3),(4,-3),(-4,3),(-4,-3),(5,0),(-5,0)}
R^{-1}={(5,0),(-5,0),(4,3),(4,-3),(-4,3),(-4,-3),(3,4),(-3,4),(3,-4),(-3,-4),(0,5),(0,-5)}
R का प्रान्त={0,3,-3,4,-4,5,-5}=R^{-1} का परिसर
(2.)(i) असत्य (ii)असत्य (iii)असत्य (vi)असत्य
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11),समुच्चय सिद्धान्त में सम्बन्ध (Relation in Set Theory) को ठीक से समझ सकते हैं।
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4.गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11),समुच्चय सिद्धान्त में सम्बन्ध (Relation in Set Theory) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सम्बन्ध के क्रमित युग्मों से क्या तात्पर्य है? (What is meant by elements of ordered pairs of sets?):
उत्तर:सम्बन्ध को परिभाषित करने वाले क्रमित युग्म के प्रथम अवयव को स्वतन्त्र चर (Independent Variable) तथा द्वितीय अवयव को आश्रित चर (Dependent Variable) कहते हैं।
प्रश्न:2.द्विचर सम्बन्ध किसे कहते हैं? (What is a Binary Relation Called?):
उत्तर:यदि A कोई अरिक्त समुच्चय है और समुच्चय A में कोई सम्बन्ध R है अर्थात् R \subseteq A \times A तो सम्बन्ध R को समुच्चय A में द्विचर सम्बन्ध कहते हैं।प्रतीकात्मक रूप में R={(x,y) : x,y \in A तथा x R y}
प्रश्न:3.तुल्यता सम्बन्ध से क्या तात्पर्य है? (What is meant by Equivalence Relation?):
उत्तर:किसी समुच्चय A में परिभाषित कोई सम्बन्ध R एक तुल्यता सम्बन्ध कहलाता है यदि
(i) R स्वतुल्य है अर्थात् (a,a) \in R \forall a \in A
(ii) R सममित है अर्थात् (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R , \forall a,b \in A
(iii) R संक्रामक है अर्थात् (a,b) \in R तथा (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R, \forall a,b,c \in A
स्वतुल्य सम्बन्ध (Reflexive Relation):
किसी समुच्चय A में परिभाषित सम्बन्ध R के अन्तर्गत यदि A का प्रत्येक अवयव स्वयं से सम्बन्धित हो तो R एक स्वतुल्य सम्बन्ध कहलाता है।अर्थात् R स्वतुल्य सम्बन्ध होगा यदि (a,a) \in R; \forall a \in A
यदि समुच्चय R में एक भी ऐसा अवयव विद्यमान है जो स्वयं से सम्बन्धित नहीं है तो दिया गया सम्बन्ध स्वतुल्य नहीं होगा।
सममित सम्बन्ध (Symmetric Relation):
किसी समुच्चय A में परिभाषित किसी सम्बन्ध R के अन्तर्गत यदि अवयव a का सम्बन्ध b से होने पर b का भी वही सम्बन्ध a से हो तो ऐसे सम्बन्ध को सममित सम्बन्ध कहते हैं।अर्थात् सम्बन्ध R सममित होगा यदि (a,b) \in R \Rightarrow (b,a) \in R \forall a,b \in A
संक्रामक सम्बन्ध (Transitive Relation):
किसी समुच्चय A में कोई सम्बन्ध R यदि इस प्रकार परिभाषित हो कि R के अन्तर्गत अवयव a का सम्बन्ध अवयव b से तथा b का सम्बन्ध अवयव c से हो तो ऐसे सम्बन्ध को संक्रामक सम्बन्ध कहते हैं।अर्थात् R एक संक्रामक सम्बन्ध होगा यदि (a,b) \in R तथा (b,c) \in R \Rightarrow (a,c) \in R, \forall a,b,c \in A
स्पष्टतः A में परिभाषित कोई सम्बन्ध R संक्रामक नहीं होगा यदि A में कम से कम तीन अवयव a, b, c विद्यमान हो जिनके लिए तथा परन्तु
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11),समुच्चय सिद्धान्त में सम्बन्ध (Relation in Set Theory) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।
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गणित में सम्बन्ध कक्षा 11 (Relation in Maths Class 11) परिभाषा (Definition):किसी अरिक्त
समुच्चय A से अरिक्त समुच्चय B में सम्बन्ध कार्तीय गुणन A×B का एक उपसमुच्चय होता है यह
उपसमुच्चय A×B के क्रमित युग्मों
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Satyam
About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.
