(Exam Special) Karl Pearson Correlation Method:Formula,Properties aur Solved Examples
1.(एग्जाम स्पेशल) कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध विधि: सूत्र, गुणधर्म और साधित उदाहरण [(Exam Special) Karl Pearson Correlation Method: Formula ,Properties aur Solved Examples]:
एग्जाम स्पेशल (Exam Special) क्या आपको सांख्यिकी के आंकिक सवालों से डर लगता है? कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध विधि (Karl Pearson Correlation Method) से सहसम्बन्ध निकालने की सबसे आसान ट्रिक यहाँ देखें।ग्रेजुएशन छात्रों के लिए एक आवश्यक अध्ययन टाॅपिक (must-read scoring topic)।
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2.कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक क्या है? (Karl Pearson Correlation Coefficient kya hai?):
कार्ल पियर्सन के सहसम्बन्ध गुणांक (जिसे Pearson’s ‘r’ भी कहते हैं) दो चरों के बीच रैखिक सम्बन्ध की दिशा (direction) और मजबूती (strength) को मापने का सबसे बड़ा पैमाना है।इसका मान हमेशा -1 से +1 के बीच होता है।इसका प्रयोग तब किया जाता है जब आँकड़े अंकों (numbers) में हों।
(1.)विशेषताएँ (Properties):(i).परफेक्ट पोजीटिव (+1):जब दोनों चर एक ही दिशा में बराबर अनुपात में बढ़ते हैं।
(ii)परफेक्ट निगेटिव (-1):जब एक चर बढ़ता है और दूसरा घटता है।
(iii)जीरो सहसम्बन्ध (0):जब चर के बीच कोई सम्बन्ध नहीं होता है।
(iv)इकाईरहित (Unitless):इसकी कोई इकाई (unit) नहीं होती,ये सिर्फ एक संख्या (number) है।
(2.)कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध विधि के सूत्र (Formulae of Karl Pearson Correlation Method):
ग्रेजुएशन एग्जाम में छात्रों को उस विधि से सवाल हल करने चाहिए जो गणना को आसान बनाये।
(A)प्रत्यक्ष विधि (Direct Method):जब माध्य पूर्णांक में हों,तो
r=\frac{\sum xy}{\sqrt{\sum x^{2}}\sqrt{\sum y^{2}}}
(जहाँ x=X-\bar{X} और y=Y-\bar{Y} है)
(B)लघुविधि [Short-cut Method (Assumed Mean)]:
r=\frac{N\Sigma dxdy-(\Sigma dx)(\Sigma dy)}{\sqrt{\left[N \Sigma dx^{2}-(\Sigma dx)^{2} \right]\left[N \Sigma dy^{2}-(\Sigma dy)^{2}\right]}}
जब माध्य दशमलव अंकों में आ रहा हो,तब कल्पित माध्य (A) लेकर गणना आसान होती है।
3.स्नातक परीक्षा के लिए साधित उदाहरण (Solved Examples for Graduation Exams):
Example:1.निम्नलिखित आँकड़ों से कार्ल पियर्सन का सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Calculate karl Pearson’s coefficient from the following data):
(B.com.,Agra,1968;Gorakpur,1971)
Solution:Calulation Table of Karl Pearson Correlation Method
सहसम्बन्ध गुणांक (Short-cut Method):
r= \frac{ N\sum dx dy-(\sum dx)(\sum dy)}{\sqrt{\left[N\sum dx^{2}-(\sum dx)^{2}\right]\left[N\sum dy^{2}-(\sum dy)^{2}\right]}} \\ =\frac{11\times 59-(10)(-36)}{\sqrt{\left[11\times217-(10)^2 \right] \left[11\times290-(-36)^2\right]}} \\ =\frac{649+360}{\sqrt{(2387-100)(3190-1296)}} \\ =\frac{1009}{\sqrt{2287 \times 1894}} \\ =\frac{1009}{\sqrt{4331578}} \\ =\frac{1009}{2081.244} \\ r \approx 0.485
Example:2.पतियों और पत्नियों की निम्नांकित आयु के बीच सहसम्बन्ध गुणांक r ज्ञात कीजिए और उसका निर्वचन भी कीजिए:
(Find r between the following ages of husbands and wives and also interpret it):
(M.A.,Meerut,1976)
Solution:Calulation Table of Karl Pearson Correlation Method (Direct Method)
समान्तर माध्य
\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{300}{10}=30
प्रत्यक्ष रीति से सहसम्बन्ध गुणांक (Correlation by Direct Method)
r=\frac{\sum dx\,dy}{\sqrt{\sum d^2 x}\sqrt{\sum d^2y}}\\ =\frac{161}{\sqrt{186}\sqrt{202}}\\ =\frac{161}{\sqrt{186\times202}}\\ =\frac{161}{\sqrt{37572}}\\ =\frac{161}{193.835}\\ \approx +0.83
सम्भाव्य विभ्रम (Probable Error):
P.E. of r=0.6745\frac{(1-r^2)}{\sqrt{N}}\\ =0.6745\frac{(1-0.83^2)}{\sqrt{10}}\\ =0.6745\frac{(1-0.6889)}{3.1623}\\ =0.6745\frac{0.3111}{3.1623}\\ =\frac{0.20999295}{3.1623}\\ \approx 0.066
Example:3.निम्न समंकों से X और Y में कार्ल पियर्सन का सह-सम्बन्ध गुणांक निकालिए:
(From the following data,find karl Pearson’s Coefficient of correlation):
(M.A.,Agra 1971;B.com. Punjab,1971)
Solution:Calulation Table of Karl Pearson Correlation Method
लघुविधि से कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Correlation by Short-cut Method)
r= \frac{ N\Sigma dx dy-(\Sigma dx)(\Sigma dy)}{\sqrt{\left[N\Sigma dx^{2}-(\Sigma dx)^{2} \right]\left[N\Sigma dy^{2}-(\Sigma dy)^{2}\right]}} \\ =\frac{10\times324-(-29)(25)}{\sqrt{\left[10 \times2893-(-29)^2\right]\left[10\times151-25^2\right]}} \\ =\frac{3240+725}{\sqrt{(28930-841)(1510-625)}} \\ =\frac{3965}{\sqrt{28089\times885}} \\ =\frac{3965}{\sqrt{24858765}} \approx \frac{3965}{4985.856496} \\ r \approx 0.79
Calulation Table of Coefficient of Correlation by Ranking Method
Example:4.पिता व पुत्र की लम्बाई के निम्नलिखित समंकों से सह-सम्बन्ध गुणांक निकालिए:
(Find coefficient of correlation from the following figures of heights of fathers and sons):
Solution: Calulation Table of Karl Pearson Correlation Method
लघुविधि से कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध गुणांक (Correlation by Short-cut Method)
r= \frac{ N\Sigma dx dy-(\Sigma dx)(\Sigma dy)}{\sqrt{\left[N\Sigma dx^{2}-(\Sigma dx)^{2} \right]\left[N\Sigma dy^{2}-(\Sigma dy)^{2}\right]}} \\ = \frac{8\times22-2\times4}{\sqrt{\left[8\times50-(2)^2\right]\left[8\times42-(4)^2\right]}} \\ = \frac{176-8}{\sqrt{(400-4)(336-16)}} \\= \frac{168}{\sqrt{396 \times 320}} \\= \frac{168}{\sqrt{126720}} \\ \approx \frac{168}{355.977} \\ r \approx +0.4719
Example:5.निम्नांकित श्रेणियाँ एक वस्तु के मूल्य तथा पूर्ति से सम्बन्धित हैं।उनमें कार्ल पियर्सन का सह-सम्बन्ध गुणांक मालूम कीजिए:
(The following series relate to the price and supply of an article,find Karl Pearson’s coefficient of correlation between them):
Solution:Calulation Table of Karl Pearson Correlation Method
लघुविधि से कार्ल पियर्सन सह-सम्बन्ध गुणांक (Correlation by Short-cut Method)
r= \frac{ N\Sigma dx dy-(\Sigma dx)(\Sigma dy)}{\sqrt{\left[N\Sigma dx^{2}-(\Sigma dx)^{2}\right] \left[N\Sigma dy^{2}-(\Sigma dy)^{2}\right]}} \\ = \frac{10(-133)-5(-11)}{\sqrt{\left[10(85)-5^2\right] \left[10(224)-(-11)^2\right]}} \\ = \frac{-1330+55} {\sqrt{(850-25)(2240-121)}} \\ =\frac{-1275}{\sqrt{825 \times 2119}} \\ r=\frac{-1275}{\sqrt{1748175}} \approx \frac{-1275}{1322.18569} \approx -0.964
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा (एग्जाम स्पेशल) कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध विधि:सूत्र,गुणधर्म और साधित उदाहरण [(Exam Special) Karl Pearson Correlation Method:Formula,Properties aur Solved Examples] को समझ सकते हैं।
4.सहसम्बन्ध की व्याख्या के लिए सारणी (Table for Interpretation of Correlation):
5.कार्ल पियर्सन सह-सम्बन्ध विधि पर प्रैक्टिस प्रोब्लम्स (Practice Problems Based on Karl Pearson Correlation Method):
(1.)निम्नलिखित आँकड़ों से मजदूरी तथा नियमित शराब पीने की आदत के मध्य सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(Find out coefficient of correlation between wages and regular drinking habit from the following data):
\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{मजदूरी} & \text{श्रमिकों की संख्या} & \\ \text{(Wages)} & \text{No. of Workers} & \text{Regular Drinkers} \\ \hline 15-16 & 200 & 150 \\ \hline 16-17 & 270 & 162 \\ \hline 17-18 & 340 & 170 \\ \hline 18-19 & 360 & 180 \\ \hline 19-20 & 400 & 180 \\ \hline 20-21 & 300 & 120 \\ \hline \end{array}
नियमित शराब पीने की आदत के मध्य सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(जीवाजी वि.वि. ग्वालियर 2001,रानी दुर्गावती वि. वि. जबलपुर 2001)
(2.)निम्नलिखित समंकों से यह ज्ञात कीजिए कि क्या जनसंख्या के घनत्व तथा मृत्यु-दर के मध्य कोई सम्बन्ध है?
(From the following data Find out if there is any relationship between density of population and death rate):
(जीवीजी वि. वि. ग्वालियर 2002)
उत्तर (Answers):(1.)r=-0.9395 (2.)r=+0.82 उच्च कोटि का धनात्मक सह-सम्बन्ध है।
Commen Mistake by Students
“Bacche aksar calculator se calculation karane Ke baavjood calculation mein galti karte hai.”
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6.(एग्जाम स्पेशल) कार्ल पियर्सन सहसम्बन्ध विधि:सूत्र,गुणधर्म और साधित उदाहरण [Frequently Asked Questions Related to (Exam Special) Karl Pearson Correlation Method:Formula,Properties aur Solved Examples] से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
प्रश्न:1.सम्भाव्य विभ्रम तथा प्रमाप विभ्रम ज्ञात करने के सूत्र दीजिए। (Give the formulae to find out probable error and standard error):
उत्तर:(1.)सम्भाव्य विभ्रम सूत्र
P.E. or r=0.6745 \times \frac{1-r^2}{\sqrt{N}}
(2.)प्रमाप विभ्रम सूत्र
S.E. of r= \frac{1-r^2}{\sqrt{N}}
प्रश्न:2.यदि r=0.9 एवं पदों की संख्या (N))=100 हो तो P.E. का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:Comment करके बताएँ।
प्रश्न:3.यदि N=10 ,\Sigma D^2=36 हो तो कोटि अन्तर विधि द्वारा सहसम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए।
(If N=10,\Sigma D^2=36 find out coefficient of correlation by the method of Rank differences)
उत्तर: r_s= 1-\frac{6\sum D^2}{N(N^2-1)} \\= 1-\frac{6\times36}{10(10^2-1)} \\= 1-\frac{216}{10\times99} \\= \frac{990-216}{990} \\= \frac{774}{990} \\ \approx +0.781
**Student Se Sughave** “Is article mein aapko kya cheez achchhi lagi? kya aap aise question pasand karate hai? aapne sughav niche comment box mein dein.”
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About Author
Sanjay Kumawat
(1.)**Satyam Narain Kumawat** **Website Name:Satyam Mathematics** *Owner:satyamcoachingcentre.in* *Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)* **Teaching Mathematics aur Anya Anubhav** ***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan ***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav ***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan* ****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.A dedicated math expert with 23+ years of teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.After guiding thousands of students through Satyam Coaching Center,now share Mathematics,Trigonometry (Upto M.sc) and Educational Strategies in simple language on this blog from December 2018.* (2.)**(Technical Expert & Co-Admin):** ***Name:Sanjay Kumawat* *Qualification:Graduate in Mechanical Engineering (B.Tec) in 2013* *Profession:Physics Lecturer* *Teaching Experience:15 Years and Teaching to NEET,JEE Students* *Technical Experience:5 Years Coding and Article Editing,Classic Photo Editing by Laptop in Satyam Coaching Centre Blog* *A school lecturer and digital content strategist.On this blog,he handles all the responsibility of coding,image editing,SEO, and technical management,so that the mathematical content reaches the readers in a very accurate and beautiful form.*
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