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Coefficient of Range in Statistics

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1.सांख्यिकी में विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics),विस्तार गुणांक (Coefficient of Range):

विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics ) तथा विस्तार (Range) अपकिरण ज्ञात करने की सरलतम रीति है।किसी समंकमाला के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के अन्तर को उसका विस्तार या परास (Range) कहते हैं।इसकी गणना निम्न प्रकार की जाती है:
(1.)पहले श्रेणी के अधिकतम मूल्य (Largest Value) और न्यूनतम मूल्य (Smallest Value) ज्ञात किए जाते हैं।अविच्छिन्न श्रेणी में न्यूनतम वर्ग की निचली सीमा को न्यूनतम मूल्य और अधिकतम वर्ग की ऊपरी सीमा को अधिकतम मूल्य माना जाता है।
(2.)निम्न सूत्र का प्रयोग किया जाता है:
R=L-S
R संकेताक्षर विस्तार (Range) के लिए प्रयोग हुआ है
L सबसे बड़े मूल्य मूल्य (Largest Value) के लिए प्रयोग हुआ है
S सबसे छोटे मूल्य (Smallest Value) के लिए प्रयोग हुआ है
विस्तार गुणांक (Coefficient of Range):
अपकिरण के तुलनात्मक अध्ययन के लिए विस्तार का सापेक्ष माप (Relative Measure of Range) ज्ञात करना आवश्यक होता है।विस्तार के सापेक्ष माप को ही विस्तार-गुणांक कहते हैं।इनकी गणना निम्न सूत्र द्वारा दी जाती है:
विस्तार गुणांक (C.R.)=\frac{L-S}{L+S}
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2.विस्तार गुणांक पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Coefficient of Range):

Example:1.निम्न संख्याओं के समूहों का विस्तार (R) तथा उनके गुणांक (Coefficient) की गणना कीजिए:
(a)10,6,16,8,14,12,24,8,6
(b)4.77,3.45,4.63,5.62,5.63,3.35,5.95,3.37
(c)1050,1040,1060,1090,1075,1100
Solution:(a)10,6,16,8,14,12,24,8,6
Range=L-S=24-6=18

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\ =\frac{24-6}{24+6} \\ =\frac{18}{30}

C of R=0.60 
Solution:(b)4.77,3.45,4.63,5.62,5.63,3.35,5.95,3.75
Range=L-S=5.95-3.35=2.6

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{5.95-3.35}{5.95+3.35} \\ = \frac{2.6}{9.3}=0.279

\Rightarrow  C of R \approx 0.28 

Solution:(c)1050,1040,1060,1090,1075,1100
Range=L-S=1100-1040=60

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{1100-1040}{1100+1040} \\=\frac{60}{2140}=0.028

\Rightarrow  C of R \approx 0.03 

Example:2.एक फैक्ट्री से सम्बन्धित गत छ: माह के लाभ-हानि निम्नवत् हैं,विस्तार एवं उसके गुणक की परिगणना कीजिए:
(The monthly profit/loss for six months of factory are as under, calculate Range and its coefficient):

MonthsProfit/Loss in Rs.
Jan5000
Feb10000
March2000
April-5000
May1000
June-2000

Solution: Range=L-S=10000-(-5000)=10000+5000=15000

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{10000-(-5000)}{10,000-5000} \\ =\frac{10,000+5000}{5000} \\ =\frac{15000}{5000}

\Rightarrow  C of R =3 

Example:4.निम्न समंकों से विस्तार तथा उसके गुणक का परिकलन कीजिए:
(Calculate Range and its coefficient from the following data):
Solution:(i)

Size468101214
frequency213641

Range=L-S=14-4=10

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{14-4}{14+4} \\ =\frac{10}{18}=0.5555

\Rightarrow  C of R \approx 0.556 
(ii)

Mid Value65758595105
No. of plants251283

Solution:

Class intervalNo. of plants
60-702
70-805
80-9012
90-1008
100-1103

Range=L-S=110-60=50

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{110-60}{110+60} \\=\frac{50}{170}

\Rightarrow  C of R \approx 0.294 
Example:4.निम्न सारणियों में प्रस्तुत समंकों से विस्तार (R) एवं उनके गुणांक (coefficient) की परिगणना कीजिए:
(i)

classFrequency
10-153
15-207
20-2516
25-3012
30-352
35-409
40-452

Solution:Range=L-S=45-10=35
R=35

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{45-10}{45+10} \\ =\frac{35}{55}=0.636

\Rightarrow  C of R \approx 0.64 
(ii)

Max. Load(kW)No. of Cables
93-972
98-1025
103-1076
108-1128
113-11710
118-1225
123-1273
128-1321

Solution:

Max. Load(kW)No. of Cables
92.5-97.52
97.5-102.55
102.5-107.56
107.5-112.58
112.5-117.510
117.5-122.55
122.5-127.53
127.5-132.51

Range=L-S=132.5-92.5=40

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{132.5-92.5}{132.5+92.5} \\ =\frac{40}{225}=0.177

\Rightarrow  C of R \approx 0.18 
Example:5(a)50 मापों में अधिकतम 8.34 किग्रा तथा विस्तार 0.46 किग्रा है।न्यूनतम माप की गणना कीजिए।
(The largest of 50 measurements is 8.34 kg and the range 0.46 kg.Find the smallest measurement.)
Solution:R=0.46,L=8.34
R=L-S
0.46=8.34-S
\Rightarrow S=8.34-0.46
=7.88
\Rightarrow S=7.88 kg
(b)एक सप्ताह में अधिकतम तापमान 12° सेन्टीग्रेड तथा तापमान का विस्तार गुणक -9 था।सप्ताह का न्यूनतम तापमान ज्ञात कीजिए।
(The maximum temperature of a week was 12°c and coefficient of range of temperature -9.Find out the minimum temperature of the week.)
Solution:L=12°
C of R=-9,S=?

Cofficient of Range=\frac{L-S}{L+S}  \\ \Rightarrow -9=\frac{12-S}{12+S} \\ \Rightarrow -108-9 S=12-S \\ \Rightarrow -9 S+S=12+108 \\ \Rightarrow -8 S=120 \\ \Rightarrow S=-\frac{120}{8} \\ \Rightarrow S=15^{\circ}C
Example:6.एक कक्षा के 120 विद्यार्थियों के समंकों का आवृत्ति वितरण निम्नवत् है।विस्तार गुणक का परिकलन कीजिए तथा मध्य 50% तथा मध्य 80% के विस्तार का निर्धारण कीजिए:
(The following is the frequency distribution of the marks obtained by 120 students of a cl.Calculate coefficient of Range and determine the range of middle 50% and middle 80% of marks.)

MarksNo. of Students
90-999
80-8932
70-7943
60-6921
50-5911
40-493
30-391

Solution:-

MarksNo. of Students(f)cf
29.5-39.511
39.5-49.534
49.5-59.51115
59.5-69.52136
69.5-79.54379
79.5-89.532111
89.5-99.59120
Total120 

q_{1}=\frac{N}{4} th item =\frac{120}{4}=30

It lies in 36 cf. whose value is 59.5-69.5

Q_{1}=l_{1}+\frac{i}{f}\left(q_{1}-c\right) \\ =59.5+\frac{10}{21}(30-15) \\ =59.5+\frac{10 \times 15}{21}   \\ =59.5+7.142 \\ \Rightarrow Q_{1} =66.642 \\ q_{3}=\frac{3N}{4} th item  =\frac{3 \times 120}{4} \\ \Rightarrow q_{3} =90

It lies in 111 cf. whose value is 79.5-89.5

Q_{3}=l_{1}+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\ =79.5+\frac{10}{32}(90-79) \\ =79.5+\frac{10}{32} \times 11 \\ =79.5+\frac{110}{32} \\ =79.5+3.438 \\ \Rightarrow Q_{3} =82.938 \\ P_{10} =\frac{10N}{10}=\frac{10 \times 120}{100} \\ \Rightarrow P_{10} =12

q_{3}=\frac{3N}{4} th item 

=\frac{3 \times 120}{4} \\ \Rightarrow q_{3} =90

It lies in 111 cf. whose value is 79.5-89.5

Q_{3}=l_{1}+\frac{i}{f}\left(q_{3}-c\right) \\ =79.5+\frac{10}{32}(90-79) \\ =79.5+\frac{10}{32} \times 11 \\ =79.5+\frac{110}{32} \\ =79.5+3.438 \\ \Rightarrow Q_{3} =82.938 \\ p_{10} =\frac{10N}{100}=\frac{10 \times 120}{100} \\ \Rightarrow p_{10} =12

It lies in 15 cf. whose value is 49.5-59.5

P_{10} =l_{1}+\frac{i}{f}\left(p_{10}-c\right) \\ =49.5+\frac{10}{11}(12-4) \\ =49.5+\frac{80}{11} \\ =49.5+7.273 \\ \Rightarrow P_{10} =56.773 \\ p_{90} =\frac{90 N}{100} \\ =\frac{90 \times 120}{100} \\ p_{90} =108

It lies in 111 cf. whose value is 79.5-89.5

P_{90} =l_{1}+\frac{i}{f}\left(p_{90}-c\right) \\ =79.5+\frac{10}{32}(108-79) \\ =79.5+\frac{10}{32} \times 29 \\ =79.5+\frac{290}{32} \\P_{90} =79.5+9.063 \\ \Rightarrow P_{90} =88.563

C of R =\frac{L-S}{L+S} \\=\frac{99.5-29.5}{99.5+29.5} \\=\frac{70}{129} \\=0.5426

\Rightarrow C of R \approx 0.543

R of middle 50 % =Q_{3}-Q_{1}\\ =82.938-66.642\\ =16.296

R of middle 50 % =\equiv 16.3 Marks

R of middle 80 %=P_{90}-P_{10}\\ =88.563-56.773\\ =31.791 \approx 31.79

उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics),विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) को समझ सकते हैं।

3.विस्तार गुणांक पर आधारित सवाल (Questions Based on Coefficient of Range):

(1.)निम्नलिखित समंकों से विस्तार की परिगणना कीजिए तथा यह बताइए कि किस श्रेणी में विचरणता अधिक है:
(Calculate Range from the following data and state which series is more variable):

A seriesB series
MarkNo. of StudentsAge in yearsNo. of Students
5-1021-55
10-1556-1010
15-20811-1512
20-251216-2018
25-30621-2520

(2.)निम्न श्रेणी से विस्तार एवं उसका गुणक ज्ञात कीजिए:
(Calculate the value of range and its coefficient from the following data):

Central Value4812162024
frequency235974

उत्तर (Answers):(1.)A series:C of R=0.71,B series:C of R=0.96 A श्रेणी की अपेक्षा B श्रेणी में विचरणता अधिक है।
(2.)R=24,C of R=0.86
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics),विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics),विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) के सम्बन्ध में अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.सांख्यिकी में विस्तार के गुण क्या हैं? (What are the properties of Range in statistics?):

उत्तर:विस्तार का सबसे महत्त्वपूर्ण गुण यही है कि यह सरलता से ज्ञात किया जा सकता है और आसानी से समझा जा सकता है।दूसरे,बड़े उद्योगों में वस्तुओं के किस्म-नियन्त्रण (Quality Control) में इसका बहुत प्रयोग किया जाता है।

प्रश्न:2.सांख्यिकी में विस्तार में क्या-क्या दोष हैं? (What are the faults of Range in statistics?):

उत्तर:(i)अस्थिर माप:विस्तार किसी श्रेणी के विचरण का स्थिर माप नहीं है।वह केवल दो चरम मूल्यों (अधिकतम एवं न्यूनतम) पर आधारित है।अतः अधिकतम या न्यूनतम पद मूल्य में होने वाले परिवर्तनों का विस्तार पर तुरन्त प्रभाव पड़ता है।
(ii)सभी मूल्यों पर आधारित होना:विस्तार श्रेणी के सभी पद-मूल्यों पर आधारित नहीं होता।अधिकतम व न्यूनतम मूल्यों के बीच के पदों में होने वाले परिवर्तनों का विस्तार पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।
(iii)विस्तार से श्रेणी की बनावट की जानकारी प्राप्त नहीं होती।विस्तार का सबसे बड़ा दोष यह है कि उससे समंकमाला की बनावट या चरम मूल्यों के मध्य पद-मूल्यों के फैलाव या बिखराव का बिल्कुल पता नहीं चलता।दो समंक श्रेणियों का विस्तार समान होने पर भी उनकी बनावट में बहुत अन्तर हो सकता है।
(iv)आवृत्ति बंटनों के लिए विस्तार सर्वथा अनुपयुक्त है क्योंकि उनमें पद मूल्यों का अधिकतर केन्द्र में जमाव होता है।दूसरे,एक सममितीय वितरण का विस्तार वही हो सकता है जो असममितीय वितरण का जबकि वास्तव में इन दोनों प्रकार की श्रेणियों के विचरण में बहुत अन्तर होता है।

प्रश्न:3.सांख्यिकी में विस्तार के उपयोग क्या हैं? (What are the uses of Range in statistics?):

उत्तर:उत्पादित वस्तुओं के किस्म नियन्त्रण में विस्तार उपयोगी है।बड़े-बड़े उद्योगों में आधुनिक यन्त्रों की सहायता से उत्पादन करने पर भी निर्मित वस्तु की विभिन्न इकाइयों में कुछ अन्तर हो जाता है।ऐसी स्थिति में विस्तार ज्ञात करके उच्चतम एवं न्यूनतम नियन्त्रण सीमाएँ निश्चित् कर ली जाती है और उन इकाइयों को अस्वीकार कर दिया जाता है जिनके माप इन सीमाओं के बाहर हों।ब्याज की दरों,विनिमय दरों,स्कन्ध-विपणि पर प्रतिभूतियों के मूल्यों में होने वाले परिवर्तनों का भी विस्तार की सहायता से अध्ययन किया जाता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में विस्तार गुणांक (Coefficient of Range in Statistics),विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Coefficient of Range in Statistics

सांख्यिकी में विस्तार गुणांक
(Coefficient of Range in Statistics)

Coefficient of Range in Statistics

विस्तार गुणांक (Coefficient of Range) तथा विस्तार (Range) अपकिरण ज्ञात करने की सरलतम
रीति है।किसी समंकमाला के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य के अन्तर को उसका विस्तार या परास
(Range) कहते हैं।

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