1.सहसम्बन्ध सांख्यिकी में साधित समस्याएँ (Correlation Statistics Solved Problems):

Correlation Statistics Solved Problems

सहसम्बन्ध सांख्यिकी में साधित समस्याओं (Correlation Statistics Solved Problems) के इस लेख में काॅलेज एग्जाम के लिए सहसम्बन्ध के सबसे जरूरी सवाल और उनको हल करेंगे।कार्ल पियर्सन और Least square method ko स्टेप-बाइ-स्टेप समझेंगे।BA/B.sc/B.com Statistics के छात्र-छात्राओं के लिए उपयोगी है।
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2.कार्ल पिर्यसन गुणांक (Karl Pearson Coefficient:Repeated Values Wale Sawal Kaise Solve Kerein?):

Illustration:1.निम्न सूचना से कार्ल-पिर्यसन का सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following information,find karl Pearson’s coefficient of correlation):
X और Y के पद युग्मों की संख्या=1000
No. of pairs of values of X and Y=1000
X श्रेणी का प्रमाप विचलन=4.5
(S.D. of X-series)=4.5
Y श्रेणी का प्रमाप विचलन=3.6
(S.D. of Y-series)=3.6
X और Y श्रेणी के विचलनों की गुणाओं का योग=4800
(Sum of the products of deviations of X and Y series)=4800
Solution: N=1000, \sigma_x=4.5, \sigma_y=3.6 , \Sigma dxdy=4800 \\ r=\left(\frac{\frac{\Sigma d x d y}{N}}{\sigma_x \sigma_y }\right) \\ =\left(\frac{\frac{4800}{1000}}{4.5 \times 3.6}\right) \\ =\frac{48}{45 \times 3.6} \approx 0.296 \\ \Rightarrow r \approx +0.296
Illustration:2.निम्नलिखित सामग्री से सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए तथा उसका निर्वचन कीजिए:
(From the following data,find correlation Coefficient and interpret it):
पदयुग्मों की संख्या=8
(No. of pairs of items=8)
‘X’ का माध्य=68
Mean of X=68
‘Y’ का माध्य=69
Mean of Y=69
‘X’ के माध्य से विचलन वर्गों का योग=36
(Sum of squares of deviations of X from mean)=36
‘Y’ के माध्य से विचलन वर्गों का योग=44
(Sum of squares of deviations of Y from mean)=44
‘X’ और ‘Y’ के विचलनों के गुणनफलों का योग=4
(Sum of product of deviations of X and Y)=4
Solution: N=8, \overline{X}=68, \overline{Y}=69 \\ \Sigma d^2 x=36, \Sigma d^2 y=44 \\ \Sigma dx dy=4 \\ r=\frac{\Sigma d x d y}{\sqrt{d^2 x} \sqrt{d^2 y}} \\ =\frac{4}{\sqrt{36 \times 44}} \approx +0.1005 \\ r \approx +0.101
Illustration:3.निम्न सारणी से X और Y में सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following table,determine the coefficient of correlation between X and Y series):
X और Y श्रेणी के माध्यों से विचलनों की गुणाओं का योग
(Sum of products of deviations of X and Y-series from mean)

Solution: N=15, \overline{X}=25, \overline{Y}=18 \\ \Sigma d^2 x=136, \Sigma d^2 y=138, \Sigma dx dy=122 \\ r=\frac{\Sigma d x d y}{\sqrt{\Sigma d^2 x} \sqrt{\Sigma d^2 y}} \\ =\frac{122}{\sqrt{136} \sqrt{138}} \approx+0.89 \\ \Rightarrow r \approx+0.89

Correlation Statistics Solved Problems

Illustration:4.यदि n पद-युग्मों के लिए x,y और x-y के प्रसरण क्रमशः \sigma_x व \sigma_y हों तो यह सिद्ध कीजिए कि x और y में सहसम्बन्ध गुणांक r निम्न सूत्रानुसार ज्ञात होगा:
(If for n pairs of items,variations of x,y and x-y are respectively \sigma_x and \sigma_y,prove that r between x and y will be determined by the formula):
r=\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_{x-y}^2}{2 \sigma_x \sigma_y}
Solution: \sigma_x^2=\frac{\Sigma d x^2}{N}, \sigma_y^2=\frac{\Sigma d y^2}{N}\\ \sigma_{x-y}^2=\frac{\Sigma [d(x-y)]^2}{N} \\ =\frac{\Sigma [d x-d y]^2}{N} \\ =\frac{\Sigma d x^2+\Sigma d y^2-2 \Sigma d x d y}{N} \\ =\frac{\Sigma d x^2}{N}+\frac{\Sigma d y^2}{N}-\frac{2 \Sigma d x d y}{N} \\ \therefore r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y} \\ \Rightarrow \frac{\Sigma d x d y}{N}=r \sigma_x \sigma_y \\ \sigma_{x-y}^2=\sigma_x^2+\sigma_y^2-2 r \sigma_x \sigma_y \\ \Rightarrow 2 r \sigma_x \sigma_y=\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_{x-y}^2 \\ \Rightarrow r=\frac{\sigma_x^2+\sigma_y^2-\sigma_{x-y}^2}{2 \sigma_x \sigma_y}
Illustration:5.किसी फर्म के उत्पादन में से 5 वस्तुओं का एक प्रतिदर्श लिया गया।पाँचों वस्तुओं की लम्बाई तथा भार निम्नांकित है:
(A sample of 5 items was taken from the output of a firm. Lengths and weights of all items are as under):

उपर्युक्त प्रतिदर्श में लम्बाई तथा भार के बीच सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए।
(Find the correlation coefficient between length and weight in the above sample.)
Solution:Calculation Table of Coefficient of Correlation

X- क्षेणी
\overline{X}=\frac{\Sigma X}{N}=\frac{30}{5}=6\\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}}= \sqrt{\frac{30}{5}} \\ \sigma_x \approx 2.449
Y- क्षेणी
\overline{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{65}{5}=13 \\ \sigma_y=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}} =\sqrt{\frac{34}{5}} \\ \Rightarrow \sigma_y \approx 2.607 \\ r=\frac{\Sigma dx dy}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{30}{5 \times 2.449 \times 2.607} \\ =\frac{30}{31.922} \approx +0.939 \\ r \approx 0.94
Illustration:6.निम्न समंकों से पूँजी तथा लाभ में कार्ल-पिर्यसन का सह-सम्बन्ध गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following data,find karl Pearson’s coefficient of correlation between capital and profit):

Solution:Calculation Table of Coefficient of Correlation of Karl Pearson

X-श्रेणी
समान्तर माध्य (\overline{X})=\frac{\Sigma X}{N} \\ =\frac{550}{10} \\ \Rightarrow \overline{X}=55 \\ \sigma_x=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 x}{N}} \\ =\sqrt{\frac{8250}{10}} \\ \sigma_x \approx 28.723
Y-श्रेणी
समान्तर माध्य \overline{Y}=\frac{\Sigma Y}{N} \\ =\frac{130}{10}=13 \\ \sigma_y=\sqrt{\frac{\Sigma d^2 y}{N}}=\sqrt{\frac{724}{10}} \\ \sigma_y \approx 8.509
सह-सम्बन्ध गुणांक
r=\frac{\Sigma d x d y}{N \sigma_x \sigma_y} \\ =\frac{2350}{10 \times 28.723 \times 8.509} \\ =\frac{2350}{2444.040} \\ \Rightarrow r \approx +0.961
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सहसम्बन्ध सांख्यिकी में साधित समस्याएँ (Correlation Statistics Solved Problems) के बारे में और अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

3.न्यूनतम वर्ग विधि:प्रचलित रेखा और सहसम्बन्ध का अभ्यास (Method of Least Squares:Trend Line aur Correlation ki practice):

Illustration:7.निम्न आँकड़ों से न्यूनतम वर्ग विधि द्वारा सह-सम्बन्ध गुणांक,निश्चयन गुणांक तथा असह-सम्बन्ध गुणांक परिकलित कीजिए:
(From the following data,compute r,the coefficient of determination and coefficient of alienation by the method of least squares):

Solution:Calculation of Computed Values of y by least squares

समीकरण (1) को 5 से गुणा करने परः
\begin{array}{ll}6300=35 a+140 b \cdots(3) \\ 5152=28 a+140 b \cdots(2) \\ - \quad \quad - \quad \quad - \\ \hline \end{array} \text{ घटाने परः } \\   1148=+7 a \Rightarrow a=\frac{1148}{7}=164
(1) सेः
7 \times 164+28 b=1260 \\ \Rightarrow b=\frac{1260-1148}{28} \\ \Rightarrow b=4
Coputation of S y^2 and \sigma_y^2

समान्तर माध्य
\overline{Y}=\frac{\Sigma Y}{N}=\frac{1260}{7}=180 \\ S_y^2 =\frac{\Sigma\left(Y-Y_c\right)^2}{N}=\frac{568}{7} \\ \sigma_y^2=\frac{\Sigma(Y-\overline{Y})^2}{N}=\frac{1016}{7} \\ r=\sqrt{1-\frac{S_y^2}{\sigma_y^2}} \\ =\sqrt{1-\left(\frac{568}{7} \times \frac{7}{1016}\right)} \\ =\sqrt{1-\frac{71}{127}} \\ =\sqrt{\frac{127-71}{127}}=\sqrt{\frac{56}{127}} \\ \Rightarrow r \approx +0.664 \\ r^2=0.44
Coefficoent of Determination
k^2=1-r^2=1-(0.44) \\ =0.56 \\ \Rightarrow k=\sqrt{0.56} \approx 0.748 \\ \Rightarrow k \approx+0.75

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CTA (Call to Action):yadi Aapko kisi Sawal mein problem aa rahi hoto niche comment karake batayein.

4.विद्यार्थियों द्वारा अक्सर की जाने वाली गलतियाँ (Correlation Calculation mein hone wali galtiyan):

Correlation Statistics Solved Problems

(1.)हम  \Sigma dx dy और \Sigma dx \Sigma dy के अन्तर को नहीं समझ पाते हैं।
(2.)सहसम्बन्ध की सीमा का ध्यान नहीं रखा जाता है।सहसम्बन्ध -1 \leq r \leq 1 के बीच ही रहेगा।यदि -1 से कम या 1 से अधिक सह-सम्बन्ध आ रहा हो तो सवाल को पुनः जाँचें।

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5.कार्ल-पिर्यसन और न्यूनतम वर्ग रीति की तुलना (Comparison Table of Karl Pearson and Least Square Method of Coefficient of Correlation):

उपर्युक्त टेबल से तथा उदाहरणों से स्पष्ट है कि सह-सम्बन्ध निकालने की बीजगणितीय रीतियों में कार्ल-पिर्यसन की रीति सर्वोत्तम तथा अत्यन्त लोकप्रिय है।क्योंकि कार्ल-पिर्यसन से सह-सम्बन्ध की गणना करना सरल है और कम समय में सहसम्बन्ध ज्ञात किया जा सकता है।न्यूनतम वर्ग रीति से सवाल को तभी हल करना चाहिए जब सवाल में इस विधि से हल करने का उल्लेख हो।

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6.छात्र-छात्राओं के अभ्यास के लिए समस्याएँ (Practice Problems for Students):

(1.)निम्न समंकों के आधार पर कार्ल-पिर्यसन के सह-सम्बन्ध गुणांक का परिकलन कीजिए।
‘अ’ तथा ‘ब’ के लिए माध्य क्रमशः 38 तथा 75 का प्रयोग कीजिए।(Use 38 as assumed mean for A and 75 for B.)
(2.)निम्न समंकों से न्यूनतम वर्ग रीति द्वारा सह-सम्बन्ध गुणांक की गणना कीजिए:
(From the following data calculate coefficient of correlation by least squares method):

उत्तर (Answers):(1.)r=+0.827 (2.)r=-0.9203
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7.सहसम्बन्ध सांख्यिकी में साधित समस्याओं (Frequently Asked Questions Related to Correlation Statistics Solved Problems) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सहसम्बन्ध सांख्यिकी में साधित समस्याओं (Correlation Statistics Solved Problems) के
इस लेख में काॅलेज एग्जाम के लिए सहसम्बन्ध के सबसे जरूरी सवाल और उनको हल करेंगे।
कार्ल पियर्सन और Least square method ko स्टेप-बाइ-स्टेप समझेंगे। BA/B.sc/B.com
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