1.सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student in Statistics),टी-बंटन पर आधारित सार्थकता परीक्षाएँ (Tests of Significance Based on t-Distribution):

t-Distribution  of Student in Statistics

सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student in Statistics) पर आधारित सवालों को हल करके सार्थकता परीक्षण ज्ञात करना सीखेंगे और अध्ययन करेंगे।
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2.सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन के साधित उदाहरण (t-Distribution of Student in Statistics Solved Illustrations):

Illustration:6.t-परीक्षण क्या है? किसी विश्वविद्यालय में दैव प्रतिचयन प्रणाली से चुने गये 10 विद्यार्थियों की लम्बाई के समंक (इन्चों में) निम्नांकित हैं:इन तथ्यों के आधार पर क्या यह निष्कर्ष निकालना उचित होगा कि विश्वविद्यालय के विद्यार्थियों की औसत लम्बाई 68 इंच है?
(What is t-test? The height (in inches) of 10 students selected at random from students of a university are as follows:on the basis of these figures will it be correct to conclude that the mean height of university students is 68 inches?)
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{heights} & \text{Deviation} & \text{square of deviations} \\ (X)& d=X-\bar{X} & d^2=(X-\bar{X})^2 \\ \hline 61 & -5 & 25 \\ 62 & -4 & 16 \\ 63 & -3 & 9 \\ 65 & -1 & 1 \\ 66 & 0 & 0 \\ 67 & +1 & 1 \\ 68 & +2 & 4 \\ 69 & +3 & 9 \\ 69 & +3 & 9 \\ 70 & +4 & 16 \\ \hline \Sigma x=660 & & \Sigma d^2=90 \\ \hline \end{array}
प्रतिदर्श-समान्तर माध्य
\bar{x}=\frac{\Sigma x}{n}=\frac{660}{10} \\ \Rightarrow \bar{x}=66, \mu=68
समष्टि-प्रमाप विचलन का आकलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{90}{10-1}} \\ =\sqrt{\frac{90}{9}} \\ \Rightarrow S \approx 3.162 \\ t=\frac{|\bar{x}-\mu|}{s} \sqrt{n} \\ =\frac{|66-68|}{3.162} \sqrt{10} \\ \approx \frac{2}{3.162} \times 3.162 \\ \approx t \approx 2 < t_{.05}(2.262 \text { for } df=9 )
अन्तर अर्थहीन है और हमारी शून्य परिकल्पना सत्य है।प्रस्तुत समंकों के आधार पर यह निष्कर्ष निकलता है कि समष्टि में प्रति छात्र लम्बाई की माध्य संख्या 68 है।
Illustration:7.किसी समग्र में से 100 व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुने गए और उनकी ऊँचाई निम्न प्रकार पाई गई।इस आधार पर उस सुझाव की विवेचना कीजिए कि समग्र में माध्य ऊँचाई 66 इन्च है।
(Ten individuals are chosen at random from a population and their heights are found to be as under. In the height of these data, discuss the suggestion that the mean height of the universe is 66 inches):
63,63,66,67,68,69,70,70,71,71
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{heights} & \text{Deviation} & \text{square of deviations} \\ (X)& d=X-\bar{X} & d^2=(X-\bar{X})^2 \\ \hline 63 & -4.8 & 23.04 \\ 63 & -4.8 & 23.04 \\ 66 & -1.8 & 23.04 \\ 67 & -0.8 & 0.64 \\ 68 & +0.2 & 0.04 \\ 69 & +1.2 & 1.44 \\ 70 & +2.2 & 4.84 \\ 70 & +2.2 & 4.84 \\ 71 & +3.2 & 10.24 \\ 71 & +3.2 & 10.24 \\ \hline \Sigma x=678 & & \Sigma d^2=81.6 \\ \hline \end{array}
प्रतिदर्श-समान्तर माध्य
\bar{X}=\frac{\Sigma X}{n} \\ =\frac{678}{10} \\ \Rightarrow \bar{x}=67.8 ; \mu=66
समष्टि-प्रमाप विचलन का आकलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{81.6}{18-1}}=\sqrt{\frac{81.6}{9}} \\ \Rightarrow S \approx 3.011 \\ t=\frac{| \bar{x}- \mu|}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{|67.8-66|}{3.011} \sqrt{10} \\ \approx \frac{1.8}{3.011} \times 3.162 \\ \approx \frac{5.6916}{3.011} \\ \Rightarrow t \approx 1.89 < t_{.05}(2.262 \text { for } d f=9)
अन्तर अर्थहीन है और हमारी शून्य परिकल्पना सत्य है।प्रस्तुत समंकों के आधार पर यह निष्कर्ष निकलता है कि समष्टि में प्रति व्यक्ति ऊँचाई की माध्य संख्या 66 है।
Illustration:8(i).दस व्यापारिक गृहों के अध्ययन से यह पाया गया कि उनका औसत मासिक लाभ 6200 रु. है और प्रमाप विचलन 690 रु. है।इस मान्यता का परीक्षण कीजिए कि व्यापारिक गृहों का औसत लाभ 5500 रु. है।
(Ten business houses observed and it was found that their mean monthly profits were Rs 6200 with a standard deviation of Rs. 690.Test the hypothesis that the average profit of the business houses is Rs. 5500 ( t_{.05}=2.262 at df=9)
Solution: n=10, \bar{x}=6200, \mu=5500, \sigma=690
शून्य परिकल्पना यह है कि \bar{x} और \mu में शून्य (अर्थहीन) अन्तर है।
t=\frac{|\bar{x}-\mu|}{\sigma} \sqrt{(n-1)} \\ =\frac{|6200-5500| }{690}\sqrt{(10-1)} \\ =\frac{700}{690} \times 3 \\ \Rightarrow t \approx 3.043
t का मान S ज्ञात करके भी निकाला जा सकता है:
S=\sqrt{\left(\frac{n}{n-1}\right) \sigma^2}\\ = \sqrt{\frac{10}{10-1} \times 690 \times 690} \\ =\sqrt{\frac{10}{9} \times 690 \times 690} \\ \Rightarrow S \approx 727.323 \\ t=\frac{| \bar{x}-\mu |}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{|6200-3500|}{727.323} \times \sqrt{10} \\ =\frac{700}{727.323} \times \sqrt{10} \\ \Rightarrow t \approx 3.043>t_{.05}\left(t_{.05}=2.262 \text{at df } 9\right)
अतः अन्तर सार्थक है।अतः समष्टि माध्य के 5500 होने की मान्यता उचित नहीं है।
Illustration:8(ii).किसी प्रतिदर्श की 9 इकाईयों के मूल्य दिए हैं।क्या इन पदों के समान्तर माध्य और समग्र के माध्य 47.5 में सार्थक अन्तर है?
(The nine items of a sample have the following values. Does the mean of the 9 items differ significantly from the assumed population mean of 47.5:(t_{.05}  for df=8 is 2.306):
45,47,50,52,48,47,49,53,51
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{Units} & \text{Deviation} & \text{square of deviations} \\ (X)& d=X-\bar{X} & d^2=(X-\bar{X})^2 \\ \hline 45 & -4.11 & 16.8921 \\ 47 & -2.11 & 4.4521 \\ 50 & +0.89 & 0.7921 \\ 52 & +2.89 & 8.3521 \\ 48 & -1.11 & 1.2321 \\ 47 & -2.11 & 4.4521 \\ 49 & -0.11 & 1.21 \\ 53 & +3.89 & 15.1321 \\ 51 & +1.89 & 3.5721 \\ \hline \Sigma X=442 & & \sum d^2=56.0868 \\ \hline \end{array}
प्रतिदर्श-समान्तर माध्य
\bar{x}=\frac{\Sigma X}{n}=\frac{442}{9} \\ \Rightarrow \bar{x} \approx 49.11,\mu=47.5
समष्टि प्रमाप विचलन का आकलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{56.0868}{9-1}} \\=\sqrt{\frac{56.0868}{8}} \\ =\sqrt{7.01085} \\ \Rightarrow S \approx 2.648 \\ t=\frac{| \bar{X}-\mu|}{S} \sqrt{n} \\ = \frac{|49.11-47.5|}{2.648} \sqrt{9} \\ = \frac{1.61 \times 3}{2.648} \\ =\frac{4.83}{2.648} \\ \Rightarrow t \approx 1.824 < t_{0.05}\left(t_{0.05} < 2.262\right)
अन्तर सार्थक नहीं है।

t-Distribution  of Student in Statistics

Illustration:9.कलकत्ता के एक अस्पताल में जन्में 15 शिशुओं के जन्म के समय भार (पौण्ड में) निम्नांकित है:क्या 95% विश्वास के साथ यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इस क्षेत्र में जन्म के समय शिशुओं का भार औसतन 5.5 पौण्ड से अधिक है?
(The weights (in lbs.) at birth for 15 babies born in Calcutta hospital are given below.Is it safe to assert with 95% confidence that the average birth weight of babies in the region is more than 5.5 lbs? (t_{.05} for df=14 is 2.145)
6.2,6.7,7.1,6.9,7.5,5.7,4.8,6.8,7.6,7.8,8.1,5.0,5.8,7.9,8.5
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation
\begin{array}{|ccc|} \hline \text{Weights} & \text{Deviation} & \text{square of deviations} \\ (X)& d=X-\bar{X} & d^2=(X-\bar{X})^2 \\ \hline 6.2 & -0.63 & 0.3969 \\ 6.7 & -0.13 & 0.0169 \\ 7.1 & +0.27 & 0.0729 \\ 6.9 & +0.07 & 0.0049 \\7.5 & +0.67 & 0.4489 \\ 5.7 & -1.13 & 1.2769 \\ 4.8 & -2.03 & 4.1209 \\ 6.8 & -0.03 & 0.0009 \\ 7.6 & +0.77 & 0.5929 \\ 7.8 & +0.97 & 0.9409 \\ 8.1 & +1.27 & 1.6129 \\ 5.0 & -1.83 & 3.3489 \\ 5.8 & -1.03 & 1.0609 \\ 7.9 & +1.07 & 1.1449 \\ 8.5 & +1.67 & 2.7889 \\ \hline 102.4 & & \Sigma d^2=17.8295 \\ \hline \end{array}
प्रतिदर्श समान्तर माध्य
\bar{X}=\frac{\Sigma X}{n}=\frac{102.4}{15} \\ \Rightarrow \bar{X} \approx 6.83, \mu=5.5
समष्टि प्रमाप विचलन का आकलन
S=\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n-1}} \\ =\sqrt{\frac{17.8295}{15-1}} \\ =\sqrt{\frac{17.8295}{14}} \\ S \approx 1.129 \\ t=\frac{|\bar{x}-\mu|}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{|6.83-5.5 \mid}{1.129} \times \sqrt{15} \\ \approx \frac{1.33 \times 3.873}{1.129} \\ \approx \frac{5.15109}{1.129} \\ \Rightarrow t \approx 4.562 >2.145 \left(t_{.05}=2.145 \text { for } df=14\right)
अन्तर सार्थक है।अतः जन्म के समय शिशुओं का भार औसतन 5.5 पौण्ड से अधिक है।
Illustration:10.16 आकार के यादृच्छिक प्रतिदर्श में माध्य 53 है और माध्य से निकाले गए विचलन-वर्गों का जोड़ 150 है।क्या वह प्रतिदर्श एक ऐसे समग्र से चुना गया माना जा सकता है जिसका माध्य 56 हो? समष्टि माध्य की 95% तथा 99% विश्वास्यता सीमाएँ भी ज्ञात कीजिए।
(A random sample of size 16 has 53 as mean and the sum of squares of deviations taken from mean is 150.Can this sample be regarded as taken from the population having 56 as mean? Obtain 95% and 99% confidence limits of the mean of the population. (for df=15,t_{.01} =2.95 and t_{.05}=2.131 ).)
Solution: n=16, \bar{x}=53, \Sigma d^2=150, \mu=56 , S=\sigma=? \\ S =\sqrt{\frac{\Sigma d^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{150}{16-1}} \\ \Rightarrow S=\sqrt{10} \approx 3.162 \\ t=\frac{|\bar{x}-\mu|}{S} \sqrt{n} \\ =\frac{|53-56|}{3.162} \sqrt{16} \\ =\frac{3.162}{3.162} \\ =\frac{12}{3.162} \\ \Rightarrow t \approx 3.795>2.95 \text { or } 2.131(t_{.01}=2.95 \text { and } t_{.05}=2.131)
अन्तर सार्थक है।अतः समष्टि माध्य के 56 होने की मान्यता उचित नहीं है।
विश्वास्यता सीमाएँ
95%
16-1=15 df के लिए t_{.05}=2.131 \\ \overline{X} \pm \frac{S}{\sqrt{n}} t_{.05} \\ =53 \pm \frac{3.162}{\sqrt{16}} \times 2.131 \\ =53 \pm \frac{6.738222}{4} \\ \approx 53 \pm 1.68 \\ \approx 53-1.68, 53+1.68
51.32 और 54.68
99%
16-1=15 df के लिए
t_{.01}=2.95 \\ \overline{X}+\frac{S}{\sqrt{n}} t_{.01}\\ =3 \pm \frac{3.162}{\sqrt{16}} \times 2.95 \\ =53 \pm \frac{9.3279}{4} \\ =55 \pm 2.33 \\ \approx 53-2.33, 53+2.33 \\ \approx 50.67 और 50.33
Illustration:11.t-परीक्षण के उपयोग का उल्लेख कीजिए।गेहूँ की दो किस्मों की उपज नीचे दी हुई है।t-परीक्षण का प्रयोग करके समीक्षा कीजिए कि क्या उनकी माध्य उपज में कोई अन्तर है?
(Write down the uses of t-test.The yields of two varieties of wheat are given below. Use t-test to examine whether there is any difference in their mean yields. (t_{.05}= 2.306 for 8 df):
\begin{array}{|ccccccc|} \hline \text{Variety I} & 20 & 2 & 4 & 23 & 29 & 30 \\ \text{Variety II} & 15 & 18 & 24 & 22 & & \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation

Variety I
\overline{X_1}=\frac{\Sigma X_1}{n_1} \\ =\frac{151}{6} \\ \overline{X_1} \approx 25.17
Variety II
\overline{X_2}=\frac{\Sigma X_2}{n_2} =\frac{69}{4} \\ \overline{X_2} \approx 17.25 \\ S=\sqrt{\frac{\Sigma d_1^2+\Sigma d_2^2}{n_1+n_2-2}} \\ =\sqrt{\frac{70.8334+78.75}{6+4-2}} \\ =\sqrt{\frac{149.5834}{8}} \\ \Rightarrow S \approx 4.324 \\ t=\frac{|\overline{X_1}-\overline{X_2}|}{S} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|25.17-17.25|}{4.324} \sqrt{\frac{6 \times 4}{6+4}} \\ =\frac{7.92}{4.324} \times \sqrt{\frac{24}{10}} \\ =\frac{7.92 \times \sqrt{2.4}}{4.324} \\ \approx \frac{7.92 \times 1.549}{4.324} \\ \approx \frac{12.268}{4.324} \\ t \approx 2.837 > 2.306(t_{0.05} =2.306 \text{ for } df =8)
अन्तर सार्थक है।दोनों प्रतिदर्श एक ही मूल समष्टि से उद्घृत नहीं माने जा सकते।
Illustration:12.8 व 7 पदों के दो स्वतन्त्र प्रतिदर्श की इकाइयों के क्रमशः निम्नांकित मूल्य हैं।क्या दोनों प्रतिदर्शों के माध्यों का अन्तर सार्थक है?
(Two independent samples of 8 and 7 items respectively had the following values. Is the difference between the means of the samples significant? (for df=13 , t_{.05}=2.160 )
\begin{array}{|ccccccccc|} \hline \text{Sample I} & 9 & 11 & 13 & 11 & 15 & 9 & 12 & 24 \\ \text{Sample II} & 10 & 12 & 12 & 14 & 9 & 8 & 10 & \\ \hline \end{array}
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation

Sample I
\overline{X_1}=\frac{\Sigma X_1}{n_1}=\frac{104}{8} \\ \Rightarrow \overline{X_1}=13
Sample II
\overline{X_2}=\frac{\Sigma X_2}{n_2} =\frac{15}{7} \\ \Rightarrow \overline{X_2} \approx 10.71 \\ S=\sqrt{\frac{\Sigma d_{1}^2+\Sigma d_{2}^2}{n_{1}+n_{2}-2}} \\ =\sqrt{\left(\frac{166+23.8487}{8+7-2}\right)} \\ =\sqrt{\left( \frac{189.8487}{13} \right)} \\ \Rightarrow S \approx 3.821 \\ t= \frac{|\overline{X_1}-\overline{X_2}|}{S} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|13-10.7|}{3.821} \times \sqrt{\left(\frac{8 \times 7}{8+7}\right)} \\ \approx \frac{2.29}{3.821} \times 1.932 \\ \approx \frac{4.424}{3.821} \\ \Rightarrow t \approx 1.158 < t_{0.05} \left( t_{0.05} =2.160 \text{ for df} =13 \right)
अन्तर सार्थक नहीं है।
Illustration:13.एक सप्ताह की उम्र वाले उच्च प्रोटीन खाद्य पर रखे गए।चूजों के एक समूह का भार 12,15,11,16,14,14 व 16 औंस था।एक दूसरे 5 चूजों वाले समूह को निम्न प्रोटीन खाद्य पर रखा गया और उनका भार 8,10, 14,10 व 13 औंस पाया गया।यह जाँच कीजिए कि क्या अतिरिक्त प्रोटीन से चूजों के भार में वृद्धि हुई। (5% स्तर पर 10 df के लिए t का सारणी मूल्य 2.228 है)।
(A group of seven week old chickens reared on a high protein diet weigh 12,15,11,16,14,14 and 16 Ounces; a second group of five chickens similarly treated except that they receive a low protein diet weigh 8,10,14,10 and 13 Ounces. Test whether there is significant evidence that additional protein has increased the weight of the chickens (t_{.05} for 10 df=2.228).
Solution:Calculation Table of Arithmetic Mean and Standard Deviation

First Group
\overline{X_1}=\frac{\Sigma X_1}{n_1}=\frac{98}{7} \Rightarrow \overline{X_1}=14
Second Group
\overline{X_2}=\frac{\Sigma X_2}{n_2}=\frac{55}{5} \Rightarrow \overline{X_2}=11 \\ S=\sqrt{\left(\frac{\Sigma d_1^2+\Sigma d_2^2}{n_1+n_2-2}\right)} \\ =\sqrt{\left(\frac{18+24}{7+5-2}\right)}=\sqrt{\left(\frac{142}{10}\right)} \\ \Rightarrow S \approx 2.049 \\ t=\frac{|\overline{X_1}-\overline{X_2}|}{S} \sqrt{\frac{n_1 n_2}{n_1+n_2}} \\ =\frac{|14-11|}{2.049} \sqrt{\left(\frac{7 \times 5}{7+5}\right)} \\ \approx \frac{3}{2.049} \times 1.707 \\ \approx \frac{5.121}{2.049} \\ \Rightarrow t \approx 2.499 >t_{0.05}\left(t_{0.05}=2.228 \text { for } df 10\right)
अन्तर सार्थक है।अतिरिक्त प्रोटीन से भार में वृद्धि हुई है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution of Student in Statistics),टी-बंटन पर आधारित सार्थकता परीक्षाएँ (Tests of Significance Based on t-Distribution) को समझ सकते हैं।

t-Distribution  of Student in Statistics

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3.सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन (Frequently Asked Questions Related to t-Distribution of Student in Statistics),टी-बंटन पर आधारित सार्थकता परीक्षाएँ (Tests of Significance Based on t-Distribution) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में स्टूडेन्ट का टी-बंटन (t-Distribution  of Student in Statistics) पर आधारित
सवालों को हल करके सार्थकता परीक्षण ज्ञात करना सीखेंगे और अध्ययन करेंगे।