Mode and Median in Statistics

Mathematics Satyam October 30, 2023 Statistics No Comments

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1 1.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics):

1.1 2.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mode and Median in Statistics):

1.2 3.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका की समस्याएँ (Mode and Median in Statistics Problems):

1.2.1 4.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Frequently Asked Questions Related to Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.बहुलक वर्ग सीमा से बाहर आने पर कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do Mode Find out When It Come out of Class Range?):

1.2.3 प्रश्न:2.बहुलक के क्या गुण हैं? (What are the Merits of Mode?):

1.2.4 प्रश्न:3.बहुलक के क्या दोष हैं? (What are the Demerits of Mode?):

1.2.4.1 Mode and Median in Statistics

2 सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics)

2.1 Mode and Median in Statistics

1.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics):

Mode and Median in Statistics

सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) में बहुलक किसी श्रेणी का वह मूल्य होता है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है।इस आर्टिकल में बहुलक,मध्यका तथा समान्तर माध्य पर आधारित सवालों को हल करेंगे।
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2.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका पर आधारित उदाहरण (Examples Based on Mode and Median in Statistics):

Example:1.निम्नलिखित मूल्यों से समान्तर माध्य,मध्यका तथा दोनों चतुर्थकों का परिकलन कीजिए:
(Calculate Mean,Median,Mode and both the Quartiles from the following values):
(i)37,10,41,32,24,21,56,26,54,46,12,32,28,50,14,48,16,14,17,43,14,20
(ii)अब 5 के वर्गान्तर से इन्हें सतत श्रेणी में परिवर्तित करके फिर (i) में पूछे गए मूल्यों का परिकलन कीजिए:
Solution:(i)Calculation Table of Mean,Median and Quartiles

$\begin{array}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline {\text{X}} & f & cf \\ \hline 10 & 1 & 10\\ \hline 12 & 1 & 12 \\ \hline 14 & 3 & 42 \\ \hline 16 & 1 & 16 \\ \hline 17 & 1 & 17 \\ \hline 20 & 1 & 20 \\ \hline 21 & 1 & 21\\ \hline 24 & 1 & 24 \\ \hline 26 & 1 & 26 \\ \hline 28 & 1 & 28 \\ \hline 32 & 2 & 64\\ \hline 37 & 1 & 37\\ \hline 41 & 1 & 41\\ \hline 43 & 1 & 43\\ \hline 46 & 1 & 46\\ \hline 48 & 1 & 48\\ \hline 50 & 1 & 50 \\ \hline 54 & 1 & 54\\ \hline 56 & 1 & 56\\ \hline Total & 22 & 655 \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\bar{X})=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{655}{22} \\ =29.772 \\ \bar{X} \approx 29.77$
मध्यका (M)=Size of $\frac{N+1}{2}$ th item
=Size of $\frac{22+1}{2}$ thitem
=Size of $\frac{23}{2}$ thitem
=Size of 11.5 th item
= $\frac{26+28}{2}$
M=27
सबसे अधिक बारम्बारता मूल्य 14 की 3 है अतः
बहुलक (Z)=14

$Q_1$ =Value of $\frac{N+1}{4}$ th item
=Value of $\frac{22+1}{4}$ th item
=Value of $\frac{23}{4}$ th item
=Value of 5.75 th item
= $14+.75(16-14) \\ =14+.75 \times 2 \\ =14+1-50 \\ =15.50 \\ Q_3$ =Value of $\frac{3(N+1)}{4}$ th item
=Value of $\frac{2(22+1)}{4}$ th item
=Value of $\frac{3 \times 23}{4}$ th item
=Value of $\frac{69}{4}$ th item
=Value of 17.25 th teem
= $43+.25(46-43) \\ =43+.25 \times 3 \\ =43+.75 \\ Q_{3}=43.75$

$\begin{array}{|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class interval & x & freq (f) & fx & cf\\ \hline 10-15 & 12.5 & 5 & 62.5 & 5 \\ \hline 15-20 & 17.5 & 2 & 35 & 7 \\ \hline 20-25 & 22.5 & 3 & 67.5 & 10 \\ \hline 25-30 & 27.5 & 2 & 55 & 12\\ \hline 30-35 & 32.5 & 2 & 65 & 14 \\ \hline 35-40 & 37.5 & 1 & 38.5 & 15 \\ \hline 40-45 & 42.5 & 2 & 85 & 17 \\ \hline 45-50 & 47.5 & 2 & 95 & 19 \\ \hline 50-55 & 52.5 & 2 & 105 & 21 \\ \hline 55-60 & 57.5 & 1 & 57.5 & 22 \\ \hline Total & & 22 & 665 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\bar{X})=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{665}{22} \\ =29.772 \\ \bar{x} \approx 29.77 \\ m=\frac{N}{2}=\frac{22}{2}=11$
11वाँ मद संचयी आवृत्ति 22 में शामिल है अतः मध्यका वर्ग 25-30 है।
$l_1=25, i=30-25=5, i=10, f=2 \\ M=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =25+\frac{5}{2}(11-10) \\ =25+\frac{5}{2} \times 1 \\ =25+2.5 \\ M=27.5$
निरीक्षण द्वारा (By Inspection):
सबसे अधिक बारम्बारता 5 है अतः बहुलक वर्ग 10-15 है।

$f_1=5, f_0=0, f_2=2, i=15-10=5 \\ l_1=10 \\ \Delta_1=f_1-f_0=5-0=5 \\ \Delta_2=f_1-f_2=5-2=3$
बहुलक $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\ =1.0+\frac{5}{5+3} \times 5 \\ =10+\frac{25}{8} \\ =10+3.125 \\ =13.125 \\ Z \approx 13.13$
समूहीकरण द्वारा (By Grouping):

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class intervals & Frequency (f) & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Grouping by two's}} & \multicolumn{3}{|c|}{\text{Grouping by Three's}} & \multicolumn{2}{|c|}{\text{Analysis No. of itmes}} \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \multicolumn{2}{|c|} {7} \\ \hline 10-15 & 5 & 7 & & 10 & & & III & 3\\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-9} 15-20 & 2 & & 5 & & 7 & & IIII & 4\\ \cline{1-3} \cline{7-9} 20-25 & 3 & 5 & & & & 7 & IIII & 4\\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 25-30 & 2 & & 4 & 5 & & & II & 2\\ \cline{1-3} \cline{6-6} \cline{8-9} 30-35 & 2 & 3 & & & 5 & & I & 1 \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{7-9} 35-40 & 1 & & 3 & & & 5 & & \\ \cline{1-3} \cline{5-5} \cline{8-9} 40-45 & 2 & 4 & & 6 & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-4} \cline{6-6} \cline{8-9} 45-50 & 2 & & 4 & & 5 & & & \\ \cline{1-3} \cline{7-9} 50-55 & 2 & 3 & & & & & & \\ \cline{1-2} \cline{4-5} \cline{8-9} 55-60 & 1 & & & & & & & \\ \hline \end{array}$
उपर्युक्त विश्लेषण से स्पष्ट है कि बहुलक 15-20 तथा 20-25 दोनों ही वर्गों में आता है क्योंकि दोनों ही वर्ग चार-चार बार आवृत्त होते हैं।इस स्थिति में बहुलक वर्ग का निर्धारण करने के लिए निम्नलिखित विधि अपनाएंगे।
$\begin{array}{|rrr|} \hline \text{वर्ग (Class Intervals)} & 15-20 & 20-25 \\ \hline \text{उस वर्ग की आवृत्ति}(f_{1}) & 2 & 3 \\ \text{उससे पहले वर्ग की आवृत्ति} (f_{0}) & 5 & 2 \\ \text{उसके बाद वाले वर्ग की आवृत्ति} (f_{2}) &3 & 2 \\ \hline \text{योग } & 10 & 7\\ \hline \end{array}$
अतः बहुलक वर्ग 15-20 है।
$l_1=15, i=20-15=5, i=2 \\ f_1=2, f_0=5, f_2=3 \\ \Delta_1=f_1-f_0=2-5=3 \\ \Delta_2=f_1-f_2=2-3=1$
बहुलक $Z=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i\\ =15+\frac{3}{1+3} \times 5 \\ =15+\frac{15}{4} \\ =15+3.75 \\ \Rightarrow Z=18.75 \\ q_1=\frac{N}{4} \\ \Rightarrow q_1 =\frac{22}{4}=5.5$
It falls in 15-20 group
$l_1=15, i=20-15=5 , f=2, c =5 \\ Q_1=l_1 +\frac{i}{f}\left(q_1-c\right) \\ =15+\frac{5}{2}(5.5-5) \\ =15+\frac{5}{2} \times .5 \\ =15+\frac{2.5}{2} \\ =15+1.25 \\ \Rightarrow Q_1 =16.25 \\ q_3=\frac{3 N}{4}=\frac{3 \times 22}{4} \\ \Rightarrow q_3=16.5$
It falls in 40-45 group
$l_1=40, i=45-40=5,f=2, c=15 \\ Q_3 =l_1+\frac{1}{f}\left(q_3-c\right) \\ =40+\frac{5}{2}(16.5-15) \\ =40+\frac{5}{2} \times 1.5 \\ =40+\frac{7.5}{2} \\ =40+3.75 \\ =43.75 \\ \Rightarrow Q_3 =43.75$
Example:45.30 वस्तुओं का भार ग्राम में (following weights of 30 articles in groups) निम्न है:
14,16,16,14,22,13,15,24,12,17,23,14,20,17,21,18,18,19,20,16,15,11,12,21,20,17,18,19,22,23
उपर्युक्त मूल्यों को दो-दो के समान विस्तार वाले वर्गान्तर,प्रथम वर्ग (11-13) लेते हुए,के आधार पर आवृत्ति बंटन बनाकर समान्तर माध्य तथा मध्यका के मूल्य ज्ञात कीजिए:
(From a grouped frequency table by dividing the variate range into intervals of equal width,one class being (11-13) and then compute the values of mean and median.)
Solution:Calculation Table of Mean and Median

$\begin{array}{|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Class interval & f & x & fx & cf\\ \hline 11-13 & 3 & 12 & 36 & 2 \\ \hline 13-15 & 4 & 14 & 36 & 7\\ \hline 15-17 & 5 & 16 & 80 & 12\\ \hline 17-19 & 6 & 18 & 108 & 18 \\ \hline 19-21 & 5 & 20 & 100 & 23\\ \hline 21-23 & 4 & 22 & 88 & 27\\ \hline 23-25 & 3 & 24 & 72 & 30 \\ \hline Total & & & 540 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\bar{X})=\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{540}{30} \\ \bar{X}=18 \\ m=\frac{N}{2} \\ =\frac{30}{2} \\ m=15$
15वाँ मद संचयी आवृत्ति 18 में शामिल है अतः मध्यका वर्ग 17-19 है।
$l_{1}=17,i=19-17=2,f=6,c=12$
मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-c) \\ =17+\frac{2}{6}(15-12) \\ =7+ \frac{2}{6} \times 3 \\ = 17+1 \\=18 \\ \Rightarrow M=18$
Example:46.एक कक्षा के विद्यार्थियों को पुस्तकालय से दी गई पुस्तकों की संख्या निम्न प्रकार थी:
(In a class the number of books issued to the students from a library were as follows):
6 students 0 books issued
11 students 1 book issued
9 students 2 books issued
6 students 3 books issued
5 students 4 books issued
3 students 5 books issued
2 students 6 books issued
1 student 7 books issued
समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक ज्ञात कीजिए:
(Calculate mean,median and mode):
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline x & f & fx & cf\\ \hline 0 & 6 & 0 & 6 \\ \hline 1 & 11 & 11 & 17 \\ \hline 2 & 9 & 18 & 26\\ \hline 3 & 6 & 18 & 32\\ \hline 4 & 5 & 20 & 37\\ \hline 5 & 3 & 15& 40\\ \hline 6 & 2 & 15 & 42 \\ \hline 7 & 1 & 12 & 43\\ \hline & 43 & 101 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\bar{X}) =\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{101}{43} \\ =2.348 \\ \bar{X} \approx 2.35$
मध्यका (M)=Size of $\frac{N+1}{2}$ th item
=Size of $\frac{43+1}{2}$ th item
=Size of $\frac{44}{2}$ th item
=Size of 22 th item
M=2
सबसे अधिक बारम्बारता मूल्य 1 की 11 है अतः
बहुलक (Z)=1 book

Mode and Median in Statistics

Example:47.एक टेलीफोन केन्द्र द्वारा 100 क्रमिक एक मिनट के अन्तराल में प्राप्त टेलीफोन काॅल की संख्याओं को निम्नलिखित आवृत्ति-बंटन में प्रस्तुत किया गया है:
(The number of telephone calls received in 100 successive one minute intervals at an exchange are shown in the following frequency distribution):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline No. of calls & Frequency \\ \hline 0 & 5 \\ \hline 1 & 7 \\ \hline 2 & 14 \\ \hline 3 & 16 \\ \hline 4 & 40 \\ \hline 5 & 10 \\ \hline 6 & 8 \\ \hline \end{array}$
(i)सर्वाधिक प्रचलित टेलीफोन कालों की संख्या क्या है?
(What is most frequent number of telephone calls?)
(ii)मध्यका काॅलों की संख्या है?
(What is the median number of calls?)
(iii)मध्य की 50% कालों की संख्या की सीमाएँ निर्धारित कीजिए।
(Determine the limits of middle 50% call numbers.)
(iii) $D_{3}$ व $O_{2},P_{35}$ के मूल्यों का परिकलन कीजिए।
(Also calculate the values of $D_{3}$ and $O_{2},P_{35}$ )
Solution:Calculation Table of Median,Quartiles etc.

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|} \hline No.of calls & Frequency & cf \\ \hline 0 & 5 & 5 \\ \hline 1 & 7 & 12\\ \hline 2 & 14 & 26\\ \hline 3 & 16 & 42 \\ \hline 4 & 40 & 82 \\ \hline 5 & 10 & 92 \\ \hline 6 & 8 & 100\\ \hline & 100 & \\ \hline \end{array}$
(i)सर्वाधिक बारम्बारता 40 मूल्य 4 की है।अतः
बहुलक (Z)=4
(ii)मध्यका M=size of $\frac{N+1}{2}$ th item
=size of $\frac{100+1}{2}$ item
=size of $\frac{101}{2}$ th item
=size of 50.5 thitem
M=4
(iii) $Q_{1}$ =size of $\frac{N+1}{4}$ th item
=size of $\frac{100+1}{4}$ th item
=size of $\frac{101}{4}$ th item
=size of 25.25 th item
$\Rightarrow Q_1 =2 \\ Q_3$ =size of $\frac{3(N+1)}{4}$ th item
=size of $\frac{3(100+1)}{4}$ th item
=size of $\frac{303}{4}$ th item
=size of 75.75 th item
$\Rightarrow Q_3 =4$
(iv) $D_3$ =size of $\frac{3(N+1)}{10}$ th item
=size of $\frac{3(100+1)}{10}$ th item
=size of $\frac{303}{10}$ th item
=size of 30.3 th item
$\Rightarrow D_3 =3 \\ O_2$ =size of $\frac{2(N+1)}{8}$ th item
=size of $\frac{2(100+1)}{8}$ th item
=size of $\frac{2 \times 101}{8}$ th item
= size of $\frac{202}{8}$ th item
= size of 25.25 th item
$\Rightarrow O_2 =2 \\ P_{35}$ =size of $\frac{35(N+1)}{100}$ th item
=size of $\frac{35(100+1)}{100}$ th item
=size of $\frac{35 \times 101}{100}$ th item
=size of $\frac{3535}{100}$ th item
=size of 35.35 th item
$P_{35}$ =3
Example:47A.एक क्लब ने एक सप्ताह में 25 मैच खेले और निम्नलिखित गोल प्रति मैच किए।गोलों की औसत संख्या,मध्यका एवं बहुलक ज्ञात कीजिए।
(A club played 25 matches during a week and scored the following goals per match.Find out the average number of goals, median and modal goals.)

$\begin{array}{|p{3cm}|p{3cm}|} \hline Matches played Number of goals & scored per match \\ \hline 4 & 2 \\ \hline 6 & 5 \\ \hline 7 & 4 \\ \hline 5 & 0 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Average,Median and Mode

$\begin{array}{|p{3.5cm}|p{2.5cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Matches played Number of goals (X) & scored per match (f) & fx & cf \\ \hline 2 &4 & 8 & 4\\ \hline 5 & 6 & 30 & 10 \\ \hline 4 & 7 & 28 & 17 \\ \hline 0 & 5 & 0 & 22\\ \hline 3 & 3 & 9 & 25\\ \hline & 25 & 75 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य $(\bar{X})=\frac{\Sigma fx}{\Sigma f} \\ =\frac{75}{25}=3 \\ \Rightarrow \bar{X}=3$
मध्यका (M)=size of $\frac{N+1}{2}$ th item
=size of $\left(\frac{25+1}{2}\right)$ th item
=size of $\left(\frac{26}{2}\right)$ th item
=size of 13 th item
$\Rightarrow$ M=4
सर्वाधिक बारम्बारता 7 मूल्य 4 की है अतः
बहुलक (Z)=4
Example:48.क्रिकेट मैचों की एक श्रृंखला में खिलाड़ियों द्वारा निम्नलिखित रन बनाए।समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक रनों की संख्या ज्ञात कीजिए:
(In a series of cricket matches the following number or runs were made by players.Find out arithmetic average,median and runs scored):

$\begin{array}{|p{3cm}|p{3cm}|} \hline Scores & No. of players \\ \hline 10-19 & 1 \\ \hline 20-29 & 5 \\ \hline 30-39 & 12 \\ \hline 40-49 & 21 \\ \hline 50-59 & 23 \\ \hline 60-69 & 23 \\ \hline 70-79 & 25 \\ \hline 80-89 & 14 \\ \hline 90-99 & 11 \\ \hline 100-109 & 4 \\ \hline 110-119 & 1 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation Table of Mean,Median and Mode

$\begin{array}{|p{2.5cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{1cm}|p{1cm}|} \hline Scores & No. of players (f) & Mid values & fx & cf \\ \hline 9.5-19.5 & 1 & 14.5 & 14.5 & 1 \\ \hline 19.5-29.5 & 5 & 24.5 & 122.5 & 6 \\ \hline 29.5-39.5 & 12 & 34.5 & 414 & 18 \\ \hline 39.5-49.5 & 21 & 44.5 & 934.5 & 39 \\ \hline 49.5-59.5 & 23 & 54.5 & 1253.5 & 62 \\ \hline 59.5-69.5 & 23 & 64.5 & 1483.5 & 8.5 \\ \hline 69.5-79.5 & 25 & 74.5 & 1862.5 & 110 \\ \hline 79.5-89.5 & 14 & 84.5 & 1183 & 124 \\ \hline 89.5-99.5 & 11 & 94.5 & 1039.5 & 135 \\ \hline 99.5-109.5 & 4 & 104.5 & 418 & 139 \\ \hline 109.5-119.5 & 1 & 114.5 & 114.5 & 140 \\ \hline Total & 140 & & 8840 & \\ \hline \end{array}$
समान्तर माध्य

$(\bar{X}) =\frac{\Sigma f x}{\Sigma f} \\ =\frac{8840}{140} \\ =63.142 \\ \bar{X} \approx 63.14 \\ m=\frac{N}{2}=\frac{140}{2}=70$
70वाँ मद संचयी आवृत्ति 85 में शामिल है अतः मध्यका वर्ग 59.5-69.5 है।i=69.5-59.5=10,f=23,c=62
मध्यका $(M)=l_1+\frac{i}{f}(m-C) \\ =59.5+\frac{10}{23}(70-62) \\ =59.5+\frac{10}{23} \times 8 \\ =59.5+\frac{80}{23} \\ =59.5+3.478 \\ =62.978 \\ \Rightarrow m \approx 62.98$
निरीक्षण द्वारा (By Inspection)
सबसे अधिक बारम्बारता 25 है अतः बहुलक वर्ग 69.5-79.5
$f_{1}=25 , f_{0}=23 ,f_{2}=14 ,i=79.5-69.5=10 \\ \Delta_1=f_1-f_0 =25-23=2 \\ \Delta_2=f_1-f_2=25-14=11$
बहुलक वर्ग $(Z)=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2} \times i \\=69.5+\frac{2}{2+11} \times 10 \\ =69.5+\frac{20}{13} \\ =69.5+1.538 \\ \Rightarrow Z =71.038=71.04$
समूहीकरण द्वारा (By Grouping):

3.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका की समस्याएँ (Mode and Median in Statistics Problems):

Mode and Median in Statistics

(1.)निम्नलिखित श्रेणी को संशोधित कर समान्तर माध्य,मध्यका तथा बहुलक की परिगणना कीजिए:
(Calculate mean,median and mode after amending the following series):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{2cm}|} \hline classes & Frequency \\ \hline 2 & 1 \\ \hline 3 & 2 \\ \hline 4 & 2 \\ \hline 5-7 & 3 \\ \hline 7-10 & 5 \\ \hline 10-15 & 10 \\ \hline 15-20 & 8 \\ \hline 20-25 & 4 \\ \hline Total & 35 \\ \hline \end{array}$
(2.)निम्नलिखित समंकों में समान्तर माध्य,मध्यका व बहुलक की गणना कीजिए:
(Calculate mean,median and mode from the following data):

$\begin{array}{|p{2cm}|p{3cm}|} \hline Wages(Rs.) & No. of workers \\ \hline 20-60 & 80 \\ \hline 20-55 & 74 \\ \hline 20-40 & 40 \\ \hline 20-30 & 12\\ \hline 20-50 & 67 \\ \hline 20-45 & 55 \\ \hline 20-25 & 5 \\ \hline 20-35 & 22 \\ \hline \end{array}$
उत्तर (Answers):(1.) $\overline{X}=12.21 ,M=12.25 ,Z=12.5$
(2.) $\overline{X}=40.31 ,M=40 ,Z=38.64$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Median and Mean in Statistics

4.सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Frequently Asked Questions Related to Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.बहुलक वर्ग सीमा से बाहर आने पर कैसे ज्ञात करते हैं? (How Do Mode Find out When It Come out of Class Range?):

उत्तर:कभी-कभी बहुलक ऐसे वर्ग में आता है जिसकी अधिकतम आवृत्ति नहीं होती है।ऐसी स्थिति में निम्नलिखित में से किसी भी सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं:
(1.) $z=l_1+\frac{\Delta_1}{\Delta_1+\Delta_2}$
(2.) $z=l_1+\frac{f_2}{f_0-f_2} \times i$
(3.) $z=l_1+\frac{f_0}{f_0-f_2} \times i$
(ऋणात्मक चिन्हों को ध्यान में न रखकर)

प्रश्न:2.बहुलक के क्या गुण हैं? (What are the Merits of Mode?):

उत्तर:(1.)सरलता:बहुलक को समझना व प्रयोग करना दोनों सरल है।कभी-कभी इसका पता निरीक्षण द्वारा ही लगाया जा सकता है।
(2.)श्रेष्ठ प्रतिनिधित्व:बहुलक मूल्य के चारों ओर समंक श्रेणी के अधिकतम मूल्य केंद्रित होते हैं अतः समग्र के लक्षणों तथा रचना पर भी कुछ प्रकाश पड़ता है।
(3.)थोड़े मदों की जानकारी से भी बहुलक की गणना संभव:बहुलक की गणना के लिए सभी मदों की आवृत्तियाँ जानना आवश्यक नहीं है।केवल बहुलक वर्ग के पहले व बाद वाले वर्ग की आवृत्तियाँ ही पर्याप्त है।
(4.)बिंदु रेखीय प्रदर्शन संभव:बहुलक का निर्धारण रेखा चित्र से भी संभव है।
(5.)चर मूल्यों से कम प्रभावित:इसके मूल्य पर चरम मदों (extreme items) का प्रभाव नहीं पड़ता क्योंकि यह सभी मूल्यों पर आधारित नहीं होता है।
(6.)सर्वाधिक उपयोगी मूल्य:बहुलक एक व्यावहारिक माध्य है जिसका सार्वभौमिक उपयोग है।दैनिक उपयोग की वस्तुएं जैसे एक बनियान,कॉलर या जूते का निर्माता सभी नंबर के बनियान,काॅलर या जूते नहीं बनाता बल्कि जो अधिक नंबर मांगे जाते हैं उनको अधिक बनाता है।यह बहुलक द्वारा ही ज्ञात किया जा सकता है कि किस प्रकार की वस्तु का अधिक निर्माण किया जाए।
(7.)विभिन्न न्यादर्शों में समान निष्कर्ष:समग्र से दैव निदर्शन द्वारा चाहे जितने न्यादर्श लिये जाएं उनसे प्राप्त बहुलक समान रहता है।

प्रश्न:3.बहुलक के क्या दोष हैं? (What are the Demerits of Mode?):

उत्तर:(1.)अनिश्चित तथा आस्पष्ट:बहुलक ज्ञात करना है अनिश्चित तथा अस्पष्ट रहता है।कभी-कभी एक ही समंकमाला में एक से अधिक बहुलक उपलब्ध होते हैं।
(2.)चरम मूल्यों को महत्त्व नहीं:बहुलक में चरम मूल्यों को कोई महत्त्व नहीं दिया जाता।अतः जहाँ चरम मूल्यों को महत्त्व देना हो,यह माध्य अनुपयोगी रहेगा।
(3.)बीजगणितीय विवेचन कठिन:बहुलक का बीजगणितीय विवेचन नहीं किया जा सकता,अतः यह अपूर्ण है।
(4.)वर्ग विस्तार का अधिक प्रभाव:बहुलक की गणना में वर्ग-विस्तार का बहुत प्रभाव पड़ता है भिन्न-भिन्न वर्ग-विस्तार के आधार पर वर्गीकरण करने पर बहुलक भिन्न-भिन्न आते हैं।
(5.)कुल योग प्राप्त करना कठिन:बहुलक को यदि मदों की संख्या से गुणा कर दिया जाए तो मदों के कुल मूल्यों का योग प्राप्त नहीं किया जा सकता।
(6.)भ्रमपूर्ण निष्कर्ष:बहुलक आवृत्तियों पर निर्भर करता है,अतः कभी-कभी भ्रम निष्कर्ष भी निकल जाते हैं।यदि किसी कारखाने में 100 मजदूरों में से पांच मजदूरों की मजदूरी ₹10 प्रतिदिन है,शेष 95 की ₹10 से अधिक है किंतु प्रत्येक मजदूर की अलग-अलग है तो बहुलक मजदूरी ₹10 होगी जो निश्चय ही औसत मजदूरी नहीं है।
(7.)क्रमानुसार रखना:इसमें मदों को क्रमानुसार रखना आवश्यक है,इसके बिना बहुलक ज्ञात करना संभव नहीं होता है।
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics),सांख्यिकी में बहुलक और समान्तर माध्य (Mode and Mean in Statistics) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Mode and Median in Statistics

सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका
(Mode and Median in Statistics)

Mode and Median in Statistics

सांख्यिकी में बहुलक और मध्यका (Mode and Median in Statistics) में बहुलक किसी श्रेणी
का वह मूल्य होता है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है।

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Satyam

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