Moments in Statistics

Q: प्रश्न:3.बीटा गुणांक के सूत्र बताइए। (State Formulae of Beta Coefficients):

उत्तर: \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}, \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2} उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

Mathematics Satyam June 10, 2024 Statistics No Comments

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1 1.सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments):

1.1 2.सांख्यिकी में परिघात के साधित उदाहरण (Moments in Statistics Solved Examples):

1.2 3.सांख्यिकी में परिघात पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Moments in Statistics):

1.2.1 4.सांख्यिकी में परिघात (Frequently Asked Questions Related to Moments in Statistics),परिघात (Moments) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

1.2.2 प्रश्न:1.समान्तर माध्य से प्रथम चार परिघातों को प्रत्यक्ष विधि से ज्ञात करने की क्रियाविधि को स्पष्टतः समझाइए। (Explain Clearly the Procedure of Direct Method First Four Moments About the Mean):

1.2.3 प्रश्न:2.प्रथम चार परिघात ज्ञात करने की लघुविधि की क्रियाविधि लिखिए। (Write the Working Rule of Short-cut Method of Finding the First Four Moments):

1.2.4 प्रश्न:3.बीटा गुणांक के सूत्र बताइए। (State Formulae of Beta Coefficients):

1.2.4.1 Moments in Statistics

2 सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics)

2.1 Moments in Statistics

1.सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments):

Moments in Statistics

सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics) में परिघात का प्रयोग प्रमुख रूप से भौतिक शास्त्र (Physics) एवं यांत्रिकी विज्ञानों (Mechanical Sciences) में होता है।इन विज्ञानों में इस शब्द का आशय घुमाव (Rotation) उत्पन्न करने वाली प्रवृत्ति से सम्बन्धित क्षति के माप से है।
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2.सांख्यिकी में परिघात के साधित उदाहरण (Moments in Statistics Solved Examples):

Example:1.किसी पद वितरण के मूल्य 2 से लिये गये प्रथम चार परिघातों का मान 1,2.5,5.5 तथा 16 है।प्रथम चार केन्द्रीय परिघातों की परिगणना कीजिए।
(The first four moments from the value 2 of a distribution are 1,2.5,5.5 and 16.Calculate first four central moments.)
Solution: $\bar{x}=A+\frac{\Sigma d x}{N}$ तथा $\nu_1=\frac{\Sigma d x}{N}$
अतः $\overline{X}=A+\nu_1=2+1=3$
समान्तर माध्य पर आधारित परिघातों का परिकलन:

$\mu_1=\nu_1-\nu_1=1-1=0 \\ \mu_2=\nu_2-\nu_1^2=2.5-1^2=1.5 \\ \mu_3= \nu_3-3 \nu_2 \nu_1+2 \nu_1^3 \\ =5.5-3 \times 1.5 \times 1+2(1)^3 \\ =7.5-7.5 \\ \Rightarrow \nu_3=0 \\ \mu_4 =\nu_4-4 \nu_3 \cdot \nu_1+6 \nu_2 \nu_1^2-3 \nu_1^4 \\ =16-4 \times 5.5 \times 1+6 \times 2.5 \times 1^2-3 \times 1^4 \\ =16-22+15-3 \\ =31-25 \\ \Rightarrow \mu_4=6$
Example:2.एक वितरण में मूल्य 4 (A=4) से लिये गये प्रथम चार परिघातों का मान क्रमशः -1.5,17,-30 तथा 108 है।समान्तर माध्य तथा शून्य (0) से चारों परिघातों का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(The first moments of distribution about the value 4 (A=4) are respectively -1.5,17,-30 and 108.Find out moments the mean and about the origin 0 (zero).)
Solution: $\nu_1=-1.5, \nu_2=17, \nu_3=-30, \nu_4=108 \\ \overline{X}=A+\frac{\Sigma d x}{N}$
तथा $\nu_1=\frac{\Sigma d x}{N}$
अतः $\overline{X}=A+\nu_1$
A=4 तथा $\nu_1=-1.5$
अतः $\overline{X}=4-1.5=2.5$
समान्तर माध्य ( $\overline{X}=2.5$ ) पर आधारित परिघातों का परिकलन:

$\mu_1=\nu_1-\nu_1=-1.5-(-1.5)=-1.5+1.5=0 \\ \mu_2=\nu_2-\nu_1^2 \\ =17-(-1.5)^2=17-2.25 \\ \Rightarrow \mu_2=14.75 \\ \mu_3=2 \nu_3-3 \nu_2 \nu_1+2 \nu_1^3 \\ =-30-3 \times 17 \times -1.5+2(-1.5)^3 \\ =-30+76.5-6.75 \\ \Rightarrow \mu_3=39.75 \\ \mu_4=\nu_4-4 \nu_3 \cdot \nu_1+6 \nu_2 \nu_1^2-3 \nu_1^4 \\ =108-4 \times-30 \times-1.5+6 \times-17 \times(-1.5)^2 -3 \times(-1.5)^4 \\ =108-180+229.5-15.1875 \\ =142.3125 \\ \Rightarrow \mu_4 \approx 142.31$
कल्पित मूलबिन्दु शून्य पर आधारित परिघात (First Four Moments about an arbitrary origin zero (0).):
$\overline{X}=2.5, A=0$ अतः $\overline{d_x}=\overline{X}-A=2.5-0=2.5 \\ \nu_1=\mu_1+d_x =0+2.5=2.5 \\ \nu_2=\mu_2+\overline{d_x^2}=14.75+(2.5)^2 \\ =14.75+6.25 \\ \Rightarrow \nu_2=21 \\ \nu_3= \mu_3+3 \mu_2 \overline{d_x}+\overline{d_x^3} \\ =39.75+3 \times 14.75 \times 2.5+(2.5)^3 \\ =39.75+110.625+15.625 \\ \Rightarrow \nu_3= 166 \\ \nu_4=\mu_4+4 \mu_3 \cdot \overline{d_x} +6 \mu_2 \overline{d^2_x}+\overline{d^4_x} \\ =142.31+4 \times 39.75 \times 2.5+6 \times 14.75 \times(2.5)^2+(2.5)^4 \\ =142.31+397.5+553.125+39.0625 \\ \Rightarrow \nu_4=1131.9975 \approx 1132$
Example:3.किसी बंटन का समान्तर माध्य 5 तथा प्रथम चार केन्द्रीय परिघात 0,3,0 तथा 26 हैं।प्रथम चार परिघात ज्ञात कीजिए:
(i)कल्पित मूलबिन्दु 4 पर आधारित तथा (ii)शून्य (0) पर आधारित।
(First four central moments and the mean of a distribution are 0,3,0,26 and 5 respectively.Calculate first four moments:(i) about arbitrary origin 4,and (ii)about zero (0).)
Solution:Given $\overline{X}=5, \mu_1=0, \mu_2=3,\mu_3=0, \mu_4=26$
First four moments about the value 4 (A=4)

$\overline{d_x}=(\bar{X}-A)=(5-4)=1 \\ \nu_1=\overline{d_x}=1, \nu_2=\mu_2+\overline{d^2_x}=3+(1)^2=4 \\ \nu_3=\mu_3+3 \mu_2 \overline{d_x}+\overline{d^3_x} \\ =0+(3 \times 3 \times 1)+(1)^3= \\ \Rightarrow \nu_3=10 \\ \nu_4=\mu_4+4 \mu_2 \overline{d_x}+6 \mu_2 \cdot \overline{d_x} +\overline{d_x^4} \\ =26+(4 \times 0 \times 1)+(6 \times 3)(1)^2+(1)^4 \\ =26+0+18+1 \\ \Rightarrow \nu_4=45$
First four moments about the value zero (A=0)

\overline{d_x}=(\bar{X}-A)=5-0=5 \\ \nu_1=\mu_1+\overline{d_x}=0+5=5 \\ \nu_2=\mu_2+ \overline{d^2_x}=3+(5)^2=28 \\ \nu_3=\mu_3+3 \mu_2 \overline{d_x}+\overline{d^3_x} \\ =0+(3 \times 3 \times 5)+(5)^3 \\ =0+45+125 \\ \Rightarrow \nu_3=170 \\ \nu_4=\mu_4+4 \mu_3 \overline{d_x}+6 \mu_2 \overline{d^2_x}+\overline{d^4_x} \\ =26+(4 \times 0 \times 5)+\left(6 \times 3 \times 5^2\right)+(5)^4 \\ =26+0+450+625 \\ \Rightarrow \nu_4=1101

Moments in Statistics

Example:4.एक बंटन के प्रथम चार परिघात क्रमशः 1,4,10 तथा 46 हैं।उस बंटन के चार केन्द्रीय परिघात तथा बीटा गुणांकों की परिगणना कीजिए तथा बंटन की प्रकृति पर टिप्पणी कीजिए।
(The first four moments of a distribution are 1,4,10 and 46 respectively.Calculate the first four central moments and the beta coefficients.comment on the nature of the distribution.)
Solution:Given $\nu_1=1, \nu_2=4, \nu_3=10, v_4=46$
समान्तर माध्य पर आधारित परिघातों का परिकलन

$\mu_1=\nu_1-\nu_1=1-1=0 \\ \mu_2=\nu_2-\nu_1^2=4-1^2=3 \\ \mu_3=\nu_3-3 \nu_2 \cdot \nu_1+2 v_1^3=10-3 \times 4 \times 1+2 \times(1)^3 \\ =10-12+2 \\ \Rightarrow \mu_3 =0 \\ \mu_4=\nu_4-4 \nu_3 \cdot \nu_1+6 \nu_2 \nu_1^2-3 \nu_1^4 \\=46-4 \times 10 \times 1+6 \times 4 \times 1^2-3 \times(1)^4 \\ =46-40+24-3 \\ \Rightarrow \mu_4 =27 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} \\ =\frac{(0)^2}{3^3} \\ \Rightarrow \beta_1 =0 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2} \\ =\frac{27}{3^2}\\ \Rightarrow \beta_2=3$
Example:5(i).किसी चर के द्वितीय एवं चतुर्थ परिघात क्रमशः 19.67,29.26 तथा 866 हैं।बीटा-गुणांक ज्ञात कीजिए।
(The second, third and fourth moments of a variate are 19.67,29.26 and 866 respectively. Find out beta-Coefficients.)
Solution:Given $\mu_2=19.67, \mu_3=29.26, \mu_4=866 \\ \beta_1 =\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3} =\frac{(29.26)^2}{(19.67)^3} \\ =\frac{856.1476}{7715.442176} \\ \Rightarrow B_1 =0.11096 \\ \beta_2 =\frac{\mu_4}{\mu_2^2} \\ =\frac{866}{(19.67)^2} \\ =\frac{866}{386.9089} \\ \Rightarrow \beta_2 =2.2382$
Example:5(ii).निम्न प्रदत्त मूल्यों में शेपर्ड का संशोधन कर संशोधित परिघात ज्ञात कीजिए यदि वर्ग विस्तार 3 हो:
(Find the corrected moments by applying Shephard’s correction of the following values if the magnitude of the class interval is 3:)
Solution: $\mu_2=43.535, \mu_3=-9.774, \mu_4=5508.567,i=3$
शेपर्ड का संशोधन (Sheppard’s correction)
$\mu_1$ तथा $\mu_3$ में संशोधन की आवश्यकता नहीं है।
$\mu_2$ (संशोधित)= $\mu_2-\frac{i^2}{12} \\=43.535-\frac{(3)^2}{12} \\ =43.535-0.75 \\ \Rightarrow \mu_2 \left(\text {corrected }\right)=42.785 \\ \mu_4 \left(\text {corrected }\right)=\mu_4-\frac{\mu_2 \times i^2}{2}+\frac{7 i^4}{240} \\ =5508.567-\frac{43.535 \times 3^2}{2}+\frac{7 \times 3^4}{240} \\ =5508.567-195.9075+2.3625 \\ \mu_4 \left(\text {corrected }\right)=5315.022$
Example:6.निम्न समंकों से समान्तर माध्य पर आधारित प्रथम तीन परिघातों की परिगणना कीजिए:
(Calculate first three moments about the mean from the following data):

$\begin{array}{|ccccc|} \hline \text { size: } & 2 & 4 & 8 & 10 \\ \hline \text { Frequency: } & 10 & 15 & 8 & 7 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of first four moments (Short-cut Method)

$\begin{array}{|ccccccc|} \hline x & f & dx=x-A & fdx & f d x^2 & f d x^3 & f d x^4 \\ & & A=4 & & & & \\ \hline 2 & 10 & -2 & -20 & 40 & -80 & 160 \\ 4 & 15 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 8 & 4 & 32 & 128 & 512 & 2048 \\ 10 & 7 & 6 & 42 & 252 & 1512 & 9072 \\ \hline \text { Total } & 40 & - & 54 & 420 & 1944 & 11280 \\ \hline \end{array}$
कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments about an arbitrary origin)

$\nu_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{54}{40}=1.35 \\ \nu_2=\frac{\Sigma f d^2 x}{N}=\frac{420}{40}=10.5 \\ \nu_3=\frac{\Sigma f d^3 x}{N}=\frac{1944}{40}=48.6 \\ \nu_4=\frac{\Sigma f d^4 x}{N}=\frac{11280}{40}=282$
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments about the mean)

$\mu_1=\nu_1-\nu_1=1.35-1.35=0 \\ \mu_2=\nu_2-\nu_1^2=10.5-(1.35)^2 \\ =10.5-1.8225 \\ \Rightarrow \mu_2 =8.6775 \\ \mu_3=\nu_3-3 \nu_2 \nu_1+2 \nu_1^3 \\ =48.6-3 \times 10.5 \times 1.35+2 \times(1.35)^3 \\ =48.6-42.525+4.92075 \\ \Rightarrow \mu_3=10.99575$
Example:7.निम्न समंकों से समान्तर माध्य पर आधारित प्रथम चार परिघातों का परिकलन कीजिए।यदि आवश्यक हो तो शेपर्ड का संशोधन भी कीजिए।
(Calculate first four moments about the mean from the following data and apply Sheppard’s correction if necessary):

$\begin{array}{|llllllll|} \hline \text { Value } & 10-20 & 20-30 & 30-40 & 40-50 & 50-60 & 60-70 & 70-80 \\ \text { Frequency } & 1 & 20 & 69 & 108 & 78 & 22 & 2 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of First Four Moments (Short-cut Method)

$\begin{array}{|cccccccc|} \hline \text{Value} & f & x & dx(A=45) & fdx & fdx^2 & fdx^3 & fdx^4 \\ \hline 10-20 & 1 & 15 & -30 & -30 & 900 & -27000 & 810000 \\ 20-30 & 20 & 25 & -20 & -400 & 8000 & -16000 & 3200000 \\ 30-40 & 69 & 35 & -10 & -690 & 6900 & -69000 & 690000 \\ 40-50 & 108 & 45 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 50-60 & 78 & 55 & 10 & 780 & 7800 & 78000 & 780000 \\ 60-70 & 22 & 65 & 20 & 440 & 8800 & 176000 & 3520000 \\ 70-80 & 2 & 75 & 30 & 60 & 1800 & 54000 & 1620000 \\ \hline \text { Total } & 300 & & & 160 & 34200 & 520000 & 10620000 \\ \hline \end{array}$
कल्पित माध्य पर आधारित परिघात
(Moments about an arbitrary origin)

$\nu_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{160}{300}=0.5333 \\ \Rightarrow \nu_1 \approx 0.53 \\ \nu_2=\frac{\Sigma f dx^2}{N}=\frac{34200}{300}=114 \\ \Rightarrow \nu_2=114 \\ \nu_3=\frac{\Sigma f dx^3}{N}=\frac{52000}{300}=173.333 \\ \Rightarrow \nu_3 \approx 173.33 \\ \nu_4=\frac{\Sigma f dx^4}{N}=\frac{10620000}{300}=35,400 \\ \Rightarrow \nu_4=35400$
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments about the Mean)

$\mu_1=v_1-v_1=0.53-0.53=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=114-(0.53)^2 \\ =114-0.2809 \\ \Rightarrow \mu_2=113.7191 \\ \Rightarrow \mu_2 \approx 113.72 \\ \mu_3= \nu_3-3 \nu_2 \nu_1+2 \nu_1^3 \\ = 173.33-3 \times 114 \times 0.53+2 \times(0.53)^3 \\ =173.33-181.26+0.297754 \\ =-7.6322 \\ \Rightarrow \mu_3 \approx-7.63 \\ \mu_4= \nu_4-4 \nu_3 \nu_1+6 \nu_2 \nu_1^2-3 \nu_1^4 \\ = 35400-4 \times 173.33 \times 0.53+6 \times 114 \times(0.53)^2 -3 \times(0.53)^4 \\ = 35400-367.4596+192.1356-0.2367 \\ = 35224.4393 \\ \Rightarrow \mu_4=35224.44$
शेपर्ड का संशोधन (Sheppard’s Correction)
$\mu_1$ तथा $\mu_3$ में संशोधन की आवश्यकता नहीं है।

$\mu_2 \text { (corrected) }=\mu_2-\frac{i^2}{12}=113.72-\frac{(10)^2}{12} \\ =113.72-8.33=105.39 \\ \Rightarrow \mu_2 \text { (corrected) } \approx 105.4 \\ \mu_4 \text { (corrected) }=\mu_4-\frac{\mu_2 \times i^2}{2}+\frac{7 i^4}{240} \\ =35224.4393-\frac{113.72 \times 10^2}{2}+\frac{7 \times 10^4}{240} \\ =35224.4393-5686+291.6666 \\=29830.1059 \\ \Rightarrow \mu_4 \text { (corrected) } \approx 29830.11$
Example:8.एक प्रतिदर्श-अध्ययन में 250 व्यक्तियों के निम्नलिखित आयु सम्बन्धी समंकों के आधार पर समान्तर माध्य से परिगणित द्वितीय तथा तृतीय परिघातों की सहायता से विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following age-Statistics of 250 person in a sample study,find the coefficient of Skewness with the help of second and third moments about the mean):

$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Age(less than)} & \text{No. of persons} \\ \hline 10 & 15 \\ 20 & 35 \\ 30 & 60 \\ 40 & 84 \\ 50 & 96 \\ 60 & 127 \\ 70 & 188 \\ 80 & 200 \\ 90 & 250 \\ \hline \end{array}$
Solution:Calculation of Moments (Short-cut Method)

$\begin{array}{|ccccccc|}\hline \text{Age} & f & x & dx(A=45) & fdx & fdx^2 & fdx^3 \\ \hline 0-10 & 15 & 5 & -40 & -600 & 24000 & -960000 \\ 10-20 & 20 & 15 & -30 & -600 & 18000 & -540000 \\ 20-30 & 25 & 25 & -20 & -500 & 10000 & -200000 \\ 30-40 & 24 & 35 & -10 & -240 & 2400 & -24000 \\40-50 & 12 & 45 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 50-60 & 31 & 55 & 10 & 310 & 3100 & 31000 \\ 60-70 & 61 & 65 & 20 & 1220 & 24400 & 488000 \\ 70-80 & 12 & 75 & 30 & 360 & 10800 & 324000 \\ 80-90 & 50 & 85 & 40 & 2000 & 80000 & 3200000 \\ \hline \text{Total} & 250 & & - & 1950 & 172700 & 2319000 \\ \hline \end{array}$
कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments about an arbitrary origin)

$\nu_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{1950}{250}=7.8 \\ \nu_2=\frac{\Sigma f dx^2}{N}=\frac{172700}{250}=690.8 \\ \nu_3=\frac{\Sigma fdx^3}{N}=\frac{2319000}{250}=9276$
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments about the Mean)

$\mu_1=\nu_1-\nu_1=7.8-7.8=0 \\ \mu_2=\nu_2- \nu_1^2=690.8-(7.8)^2 \\ =690.8-60.84 \\ \Rightarrow \mu_2=629.96 \\ \mu_3=2 \nu_3-3 \nu_2 \nu_1+2 \nu_1^3 \\ =9276-3 \times 690.8 \times 7.8+2 \times(7.8)^3 \\ =9276-16164.72+949.104 \\ =-5939.616 \\ \Rightarrow \mu_3 \approx-5939.62 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{(-5939.62)^2}{(629.96)^3} \\ =\frac{35279085.74}{249999.375} \\ =0.141116 \\ \sqrt{\beta_1}=-0.37565 \approx-0.376$
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments) को समझ सकते हैं।

3.सांख्यिकी में परिघात पर आधारित समस्याएँ (Problems Based on Moments in Statistics):

Moments in Statistics

(1.)100 छात्रों की ऊँचाई के निम्न वितरण से समान्तर माध्य पर आधारित चारों परिघात (first four moments about the mean) ज्ञात कीजिए:
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ ऊँचाई (इन्च)} & \text{ छात्रों की संख्या } \\ \hline 61 & 5 \\ 64 & 18 \\ 67 & 42 \\ 70 & 27 \\ 73 & 8 \\ \hline \end{array}$
(2.)किसी चर के मूल्य 2 पर आधारित प्रथम तीन परिघात क्रमशः 1,16 और -40 हैं।उक्त बंटन के समान्तर माध्य (Mean),प्रसरण (Variance) और तृतीय परिघात $(\mu_3)$ निकालिए।यह भी सिद्ध कीजिए कि शून्य (0) पर आधारित पहले तीन परिघातों के मान क्रमशः 3,24 और 76 हैं।
उत्तर (Answers): (1.) $\mu_1=0, \mu_2=8.5275, \mu_3=-26.9325 ,\mu_4=199.3759$
(2.) $\bar{X}=3, \sigma^2=15=\mu_2, \mu_3=-86$
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.सांख्यिकी में परिघात (Frequently Asked Questions Related to Moments in Statistics),परिघात (Moments) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

प्रश्न:1.समान्तर माध्य से प्रथम चार परिघातों को प्रत्यक्ष विधि से ज्ञात करने की क्रियाविधि को स्पष्टतः समझाइए। (Explain Clearly the Procedure of Direct Method First Four Moments About the Mean):

उत्तर:प्रत्यक्ष रीति:इसके अनुसार निम्नलिखित क्रियाविधि अपनाई जाती है:
(1.)सर्वप्रथम श्रेणी के समान्तर माध्य का निर्धारण किया जाता है $(\overline{X})$ ;
(2.)प्रत्येक पदमूल्य का समान्तर माध्य से विचलन ज्ञात किया जाता है; $d=X-(\overline{X})$
(3.)विचलनों के वर्ग $\left(d^2\right)$ ,घन $\left(d^3\right)$ तथा चतुर्थ घात $\left(d^4\right)$ ज्ञात कर उन्हें जोड़ देते हैं,अर्थात् $\Sigma d, \Sigma d^2, \Sigma d^3$ व $\Sigma d^4$ प्राप्त किए जाते हैं;
(4.)आवृत्ति बंटन (frequency distribution) की स्थिति में,इन विचलन घातों को क्रमानुसार आवृत्ति से गुणा करके उन गुणाओं के योग ज्ञात किए जाते हैं,अर्थात् $\Sigma f d, \Sigma f d^2, \Sigma f d^3$ व $\Sigma f d^4$ प्राप्त किये जाते हैं;
(5.)अन्त में निम्नलिखित सूत्रों का प्रयोग कर प्रथम चार केन्द्रीय परिघातों की गणना की जाती है:
$\beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}, \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2} \\ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{ अवर्गीकृत तथ्य या व्यक्तिगत श्रेणी } & \text{ वर्गीकृत श्रेणी } \\ \hline \mu_1=\frac{\Sigma d}{N}= \frac{\Sigma(X-\overline{X})}{N} & \mu_1= \frac{\Sigma f d}{N}=0 \\ \mu_2= \frac{\Sigma d^2}{N}=\frac{\Sigma(X-\overline{X})^2}{N} & \mu_2=\frac{\Sigma f d^2}{N} = \sigma^2 \\ \mu_3= \frac{\Sigma d^3}{N}=\frac{\Sigma(X-\overline{X})^3}{N} & \mu_3=\frac{\Sigma f d^3}{N} \\ \mu_4=\frac{\Sigma d^4}{N}=\frac{\Sigma (X-\overline{X})^4}{N} & \mu_4=\frac{\Sigma f d^4}{N} \\ \hline \end{array}$

प्रश्न:2.प्रथम चार परिघात ज्ञात करने की लघुविधि की क्रियाविधि लिखिए। (Write the Working Rule of Short-cut Method of Finding the First Four Moments):

उत्तर:लघुरीति (Short-cut Method):यदि किसी श्रेणी का समान्तर माध्य ( Arithmetic Mean) पूर्णांक के रूप में नहीं है तो उससे ज्ञात विचलनों के वर्ग,घन व चतुर्थ घात ज्ञात करने में गणन क्रिया अत्यन्त जटिल हो जाती है।अतः ऐसी स्थिति में लघुरीति द्वारा परिघातों की गणना करना अधिक सुविधाजनक रहता है।इस रीति के अन्तर्गत निम्नलिखित प्रक्रिया अपनाई जाती है:
(1.)सर्वप्रथम किसी सुविधाजनक मूल्य को काल्पनिक माध्य (A) मान लिया जाता है;
(2.)इस कल्पित मूल्य से श्रेणी के विभिन्न मूल्यों के विचलन (dx) ज्ञात कर उनके वर्ग $(dx^2)$ ,घन $(dx^3)$ व चतुर्थ घात $(dx^4)$ ज्ञात किये जाते हैं।
(3.)आवृत्ति श्रेणी में इन विचलन घातों को क्रमानुसार आवृत्ति से गुणा कर उनका योग कर लेते हैं।अर्थात् $\Sigma f dx, \Sigma f dx^2, \Sigma f dx^3$ व $\Sigma f dx^4$ प्राप्त करते हैं।
(4.)तत्पश्चात निम्न सूत्रों का प्रयोग कर प्रथम चार परिघात ज्ञात किये जाते हैं।इन परिघातों को कल्पित मूलबिन्दु से ज्ञात किये गये परिघात कहते हैं।इनके लिए ग्रीक वर्णमाला का अक्षर (Nue) न्यू उपयुक्त उल्लेख सहित प्रयुक्त किया जाता है यथा तथा
(5.)तत्पश्चात निम्नलिखित सूत्रों के प्रयोग द्वारा इन्हें ज्ञात करते हैं:
व्यक्तिगत श्रेणी आवृत्ति श्रेणी
$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{ अवर्गीकृत तथ्य या व्यक्तिगत श्रेणी } & \text{ वर्गीकृत श्रेणी } \\ \hline \nu_1=\frac{\Sigma dx }{N}= \frac{\Sigma(X-A)}{N} & \nu_1= \frac{\Sigma f dx}{N}=\frac{\Sigma f(X-A)}{N} \\ \nu_2= \frac{\Sigma dx^2}{N}= \frac{\Sigma(X-A)^2}{N} & \nu_2=\frac{\Sigma f dx^2}{N} = \frac{\Sigma f (X-A)^2}{N} \\ \nu_3= \frac{\Sigma dx^3}{N}=\frac{\Sigma(X-A)^3}{N} & \nu_3=\frac{\Sigma f dx^3}{N}=\frac{\Sigma f (X-A)^3}{N} \\ \nu_4= \frac{\Sigma dx^4}{N}= \frac{\Sigma(X-A)^4}{N} & \nu_4=\frac{\Sigma f dx^4}{N}=\frac{\Sigma f (X-A)^4}{N} \\ \hline \end{array}$

प्रश्न:3.बीटा गुणांक के सूत्र बताइए। (State Formulae of Beta Coefficients):

उत्तर: $\beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}, \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}$
उपर्युक्त प्रश्नों के उत्तर द्वारा सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics),परिघात (Moments) के बारे में ओर अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।

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Moments in Statistics

सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics)

Moments in Statistics

सांख्यिकी में परिघात (Moments in Statistics) में परिघात का प्रयोग प्रमुख रूप से भौतिक शास्त्र
(Physics) एवं यांत्रिकी विज्ञानों (Mechanical Sciences) में होता है।

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Satyam

About my self I am owner of Mathematics Satyam website.I am satya narain kumawat from manoharpur district-jaipur (Rajasthan) India pin code-303104.My qualification -B.SC. B.ed. I have read about m.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 15 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.