1.सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात (Kurtosis and Mements in Statistics):

Kurtosis and Mements in Statistics

सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात (Kurtosis and Mements in Statistics) के इस आर्टिकल में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात के उदाहरण (Kurtosis and Mements in Statistics Examples):

Example:16.निम्नलिखित समंकों से माध्य पर आधारित प्रथम,द्वितीय तथा तृतीय घूर्णों (परिघातों) की गणना कीजिए:
(From the following data,calculate the first three moments about the mean):

Solution:Calculation Table of Mean

कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\Sigma f dx}{\Sigma f}=\frac{54}{40}=1.35 \\ v_2=\frac{\Sigma f d x^2}{\Sigma f}=\frac{420}{40}=10.5 \\ v_3=\frac{\Sigma f d x^3}{\Sigma f}=\frac{1944}{40}=48.6
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1= v_1-v_1=1.35-1.35=0 \\ \mu_2= v_2-v_1^2=10.5-1.35^2=10.5-1.8225=8.6775 \\ \mu_3= v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3=48.6-3 \times 10.5 \times 1.35 +2 \times(1.35)^3 \\ =48.6-42.525+4.92075 \\ \Rightarrow \mu_3=10.99575 \approx 10.996
Example:17.निम्न समंकों से पहले चार परिघात ज्ञात कीजिए।यदि आवश्यक हो तो शेपर्ड के संशोधन भी कीजिए:
(From the following data,obtain the first four moments.If necessary,also make Sheppard’s corrections for grouping):

Solution:Calculation Table of Moments

कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\sum fdx}{N}=\frac{160}{300} \approx 0.533 \\ v_2=\frac{\Sigma f d x^2}{N}=\frac{34200}{300}=114 \\ v_3=\frac{\Sigma f d x^3}{N}=\frac{52000}{300} \approx 173.333 \\ v_4=\frac{\Sigma f d x^4}{N}=\frac{10620000}{300}=35400
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1=v_1-v_1=0.533-0.533=0 \\ \mu_2 =v_2-v_1^2=114-(0.533)^2 \\ =114-0.151 \\ \Rightarrow \mu_2 =113.849 \\ \mu_3 =v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\=173.333-3 \times 114 \times 0.533+2 \times (0.533)^3 \\ \approx 173.333-182.286+0.303 \\ \approx-8.65 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 \cdot v_1+6 v_2 \cdot v_1^2-3 v_1^4 \\ =35400-4 \times 173.333 \times 0.533+6 \times 114 \times(0.533)^2 -3 \times(0.533)^4 \\ \approx 35400-369.546+194.317-0.242 \\ \mu_4 \approx 35224.529
संशोधित
\mu_2=\mu_2-\frac{\mathrm{i}^2}{12} \\ =113.849-\frac{10^2}{12} \\ =113.849-\frac{100}{12} \\ \approx 113.849-8.333 \\ \mu_2 \approx 105.516 \\ \text { corrected } \mu_4=\mu_4-\frac{1}{2} \mu_2 i^2+\frac{7}{240} i^4 \\ =35224.529-\frac{1}{2} \times 113.849 \times 10^2+\frac{1}{240} \times 10^4 \\ \Rightarrow 35224.529-5692.45+291.667 \\ \text { corrected } \mu_4 \approx 29823.746
Example:18.एक प्रतिदर्श-अध्ययन में 250 व्यक्तियों के निम्न आयु समंकों के आधार पर समान्तर माध्य से परिकलित द्वितीय तथा तृतीय परिघातों की सहायता से विषमता गुणांक ज्ञात कीजिए:
(From the following age-statistics of 250 persons in a sample study,find the coefficient of skewness with the help of second and third moments about the mean):

Solution:Calculation Table of Moments

कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{1950}{250}=7.8 \\ v_2=\frac{\Sigma f d x^2}{N}=\frac{172700}{250}=690.8 \\ v_3=\frac{\Sigma f d x^3}{N}=\frac{2319000}{250}=9276
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1=v_1-v_1=7.8-7.8=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=690.8-(7.8)^2=690.8-60.84 \\ \Rightarrow \mu_2=629.96 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_3 \\ =9276-3 \times 690.8 \times 7.8+2 \times(7.8)^3 \\ =9276-16164.72+949.104 \\ \Rightarrow \mu_3=-5939.62 \\ \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}=-\frac{5939.62}{\sqrt{(629.96)^3}}\\ \approx-\frac{5939.62}{15811.3685} \\ \Rightarrow \sqrt{\beta_1} \approx-0.376
Example:19.किसी विश्वविद्यालय की कला संकाय के 346 स्नातकोत्तर विद्यार्थियों के भार का वितरण 59 इन्च से 73 इन्च तक 1-1 इन्च के 15 वर्गान्तरों में किया गया।67 को कल्पित मूलबिन्दु मानते हुए निम्नांकित माप उपलब्ध हुए:
(For the distribution of weights of 346 P.G. students in the Arts faculty containing 15 class-intervals of 1 inch ranging from 59 to 73 inches,the following values are obtained with 67 as working origin.Compute and and a measure of skewness):
\Sigma fdx=118, \Sigma f d^2 x=1668, \Sigma f d^3x=1546
Solution: कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\Sigma f dx}{N}=\frac{118}{346} \approx 0.341 \\ v_2=\frac{\Sigma f d x^2}{N} =\frac{1668}{346} \approx 4.82 \\ v_3=\frac{\Sigma f d x^3}{N}=\frac{1546}{346} \approx 4.468
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1=v_1-v_1=0.341-0.341=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=4.82-(0.341)^2 \approx 4.703 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =4.468-2 \times 4.82 \times 0.341+2 \times(0.341)^3 \\ =4.468-4.93086+0.0793 \\ \Rightarrow \mu_3 \approx-0.38356 \\ \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}=\frac{-0.38356}{\sqrt{(4.703)^3}} \\ \approx-\frac{0.38356}{10.199} \approx-0.0376 \\ \Rightarrow \sqrt{\beta_1} \approx-0.0376

Kurtosis and Mements in Statistics

Example:20.निम्नलिखित सामग्री से किसी कल्पित मूलबिन्दु से पहले चार परिघात कीजिए।तत्पश्चात (संशोधन सहित) समान्तर माध्य से प्रथम चार परिघातों का परिकलन कीजिए।भी परिगणित करके उसका समीक्षा कीजिए:
(From the following data,obtain the first four moments about an arbitrary origin.Then calculate,with corrections for grouping,the four moments about the mean.Also calculate and comment on it):

Solution:Calculation Table of Moments

कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{-39}{100}=-0.39 \\ v_2=\frac{\Sigma f d^2 x^2}{N}=\frac{891}{100}=8.91 \\ v_3=\frac{\Sigma f d x^3}{N}=\frac{-1323}{100}=-13.23 \\ v_4=\frac{\Sigma f d x^4}{N}=\frac{29403}{100}=294.03
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1=u_1-u_1=-0.39-(-0.39)=0 \\ \mu_2=u_2-u_1^2=8.91-(-0.39)^2 \\ \Rightarrow \mu_2=8.91-0.1521=8.7579 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =-13.23-3 \times 8.91 \times(-0.39)+2(-0.39)^3 \\ =-13.23+10.4247-0.1186 \\ \Rightarrow \mu_3 \approx-2.9239 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =294.03-4 \times-13.23 \times-0.39+6 \times 8-91 \times(-0.39)^2-3 \times(-0.39)^4 \\ =294.03-20.6388+8.1312-0.0694 \\ \mu_4=281.453 \\ \text { Corrected } \mu_2=\mu_2-\frac{i^2}{12} =8.7579-\frac{(3)^2}{12} \\ =8.7579-0.75 \\ \Rightarrow \text { corrected } \mu_4=8.0079 \\ \text{ corrected } \mu_4=\mu_4-\frac{1}{2} \mu_2 i^2+\frac{7}{240} i^4 \\ =281.453-\frac{1}{2} \times 8.7579 \times 3^2+\frac{7}{240} \times 3^4 \\ \approx 281.453-39.41055+2.3625 \\ \Rightarrow \mu_4 \approx 244.405 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}=\frac{244.405}{(8.079)^2} \\ \approx \frac{244.405}{64.1264} \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 3.81>3
वक्र Lepto-kurtic है।
Example:21.किसी विश्वविद्यालय के 100 विद्यार्थियों की लम्बाई के वितरण से निम्न मान प्राप्त किए गए।बीटा-गुणांकों की सहायता से विषमता का मापन कीजिए:
(From the distribution of heights of 100 students of a university the following measures were obtained.Measure Skewness with the help of beta-coefficients):
Solution: \mu_2=11.24, \mu_3=-16.32, \mu_4=376.04 \\ \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu4_2^2} =\frac{376.04}{11.24^2}=\frac{376.04}{126.3376} \\ \Rightarrow \beta_2 \approx 2.9764 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{(-16.32)^2}{(11.24)^3} \\ =\frac{266.3424}{1420.0346}=0.1875 \\ \Rightarrow \beta_1=0.1875, \sqrt{\beta_1}=-0.43
moment coefficient of skewness
=\frac{\sqrt{\beta_1}\left(\beta_2+3\right)}{2\left(5 \beta_2-6 \beta_1-9\right)} \\ =\frac{0.43(2.9764 +3)}{2(5 \times 2.9764-6 \times 0.1875-9)} \\ =\frac{0.43 \times 5.9764}{2 \times(14.882-1.125-9)} \\ =\frac{0.569852}{2 \times 4.757} \\ =\frac{2.569852}{9.514} \\ =0.27
Example:22.निम्नांकित सारणी आर्थिक विश्लेषण के उद्देश्य से एक अर्थशास्त्री को दी गई।ये समंक प्रतिदर्श के रूप में चुने गए गुड-ईयर टायरों की आयु से सम्बन्धित है।क्या आपकी राय में यह बंटन चपटे शीर्ष वाला है।
(The following data are given to an economist for the purpose of economic analysis.This data refer to the length of life of a sample of Good Year Tyres.Do you think that the distribution is platykurtic?):
N=100, \Sigma f dx=50, \Sigma fd^2x=1967.2, \Sigma f d^3x=2925.8, \Sigma f d^4 x=86650.2
Solution: कल्पित माध्य पर आधारित परिघात (Moments About an Arbitrary Origin)
v_1=\frac{\Sigma f d x}{N}=\frac{50}{100}=0.5 \\ v_2=\frac{\Sigma f d^2 x}{N}=\frac{1967.2}{100}=19.672 \\ v_3=\frac{\Sigma f d^3 x}{N}=\frac{2925.8}{100}=29.258 \\ v_4=\frac{\Sigma f d^4 x}{N}=\frac{86650.2}{100}=886.502
समान्तर माध्य पर आधारित परिघात (Moments About Mean)
\mu_1=v_1-v_1=0.5-0.5=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2=19.672-(0.5)^2 \\ =19.672-0.25=19.422 \\ \Rightarrow \mu_2=19.422 \\ \mu_3=v_3-3 v_2 \cdot v_1+2 v_1^3 \\ =29.258-3 \times 19.672 \times 0.5+2 \times(0.5)^3 \\ =29.258-29.508+0.25 \\ \Rightarrow \mu_3=0 \\ \mu_4=v_4-4 v_3 v_1+6 v_2 v_1^2-3 v_1^4 \\ =886.502-4 \times 29.258 \times 0.5+6 \times 19.672 \times 0.5^2-3 \times(0.5)^4 \\ =886.502-58.516+29.508-0.1875 \\ \Rightarrow \mu_4 =857.3065 \\ \beta_2 =\frac{\mu_4}{\mu_2^2} =\frac{857.3065}{(19.422)^2} \\ =\frac{857.3065}{377.214} \\ \Rightarrow \beta_2=2.27<3
Example:23.दो बंटनों में द्वितीय केन्द्रीय परिघातों के मूल्य क्रमशः 9 और 16 है और तृतीय केन्द्रीय परिघातों के मान क्रमशः -8.1 और -12.8 हैं।दोनों बंटनों में कौन-सा बाईं ओर को अधिक सममित है।
(In two distributions the second central moments 9 and 16 and the third cental moments are -8.1 and -12.8 respectively.Which of the two series is more skewed to the left?)
Solution:प्रथम बंटन में
\mu_2=9, \mu_3=-8.1 \\ \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{\mu_2^{\frac{3}{2}}}=\frac{-8.1}{(9)^{\frac{3}{2}}}=\frac{-8.1}{27}=-0.3
द्वितीय बंटन में
\mu_2=16, \mu_3=-12.8 \\ \sqrt{\beta_1}=\frac{-12.8}{16^{\frac{3}{2}}}=\frac{-12.8}{64}=-0.2
प्रथम बाईं ओर अधिक असममित है।
Example:24.100 अवलोकनों पर आधारित एक आवृत्ति बंटन के परिघात ज्ञात करते समय निम्न परिणाम प्राप्त हुए,बाद में मालूम चला कि एक अवलोकन 12 भूल से 21 पढ़ा गया।प्रथम तीन केन्द्रीय परिघातों के सही मान निकालिए।
(The following results were obtained while calculate moments of a frequency distribution based on 100 observations.Later,it was discovered that an observation 12 was missed as 21.Find the correct measures of the first three central moments):
Mean=9,variance=19 , \beta_{1}=0.7
Solution:Given \overline{X}=9 ; \sigma^2=19, \beta_1=0.7 \\ \text { corrected } \Sigma d x=0+(12-9)-(21-9)=-9
correct \overline{X}=A+\frac{\Sigma f d x}{N}=9+\frac{-9}{100}=8.91
variance \left(\sigma^2\right)=\mu_2 \Rightarrow \mu_2=\frac{\Sigma f d x^2}{N} \\ \Rightarrow 19=\frac{\Sigma f d x^2}{N} \\ \because \Sigma d^2 x(\text { Incorrect })=1900
So, correct \Sigma d^2 x=1900+(12-9)^2-(21-9)^2 \\ =1900+9-144=1765 \\ \beta_1=\frac{\mu_3^2}{\mu_2^3}=\frac{\mu_3^2}{(19)^3}=0.7 (Given)
\Rightarrow \frac{\mu_3^2}{6859}=0.7 \Rightarrow \mu_3^2=4801.3 \\ \mu_3= \frac{\Sigma d x^3}{100} \Rightarrow \mu_3=69129=\frac{\Sigma f d x}{100} \\ \Sigma d x^3=6929 (incorrect) but
after necessary correction it is
6929-(21-9)^3+(12-9)^3 \\ \Rightarrow 6929-19728+27=5228
So moment by taking assumed mean as 9 , are
v_1=\frac{\Sigma d x}{N}=\frac{-9}{100}=-0.09 \\ v_2=\frac{\Sigma d x^2}{N}=\frac{1765}{100}=17.65 \\ v_3=\frac{\Sigma d x^3}{N}=\frac{5228}{10}=52.28
No Applying correction , cenrral moments are
\mu_1=v_1-v_1=(-0.09)-(-0.09)=0 \\ \mu_2=v_2-v_1^2 \\ \Rightarrow \mu_2=17.65-(-0.09)^2 =17.6419 \\ \Rightarrow \mu_3 =v_3-3 v_2 v_1+2 v_1^3 \\ =52.28-(3 \times 17.65 \times-0.09)+ 2(-0.09)^3 \\ \Rightarrow \mu_3=52.28+4.76-6.0015=57.0385
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात (Kurtosis and Mements in Statistics) को समझ सकते हैं।

Kurtosis and Mements in Statistics

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3.सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात (Frequently Asked Questions Related to Kurtosis and Mements in Statistics) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

सांख्यिकी में पृथुशीर्षत्व एवं परिघात (Kurtosis and Mements in Statistics) के इसआर्टिकल
में परिघात एवं पृथुशीर्षत्व से सम्बन्धित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।