1.वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity in Real Analysis),वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य  (Continuity in Real Analysis):

Limits and Continuity in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य का परीक्षण करने के लिए कुछ सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
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2.वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य पर आधारित उदाहरण (Illustrations Based on Limits and Continuity in Real Analysis):

Illustration:6.फलन f(x)=x-[x] के सांतत्य की x=3 पर विवेचना कीजिए।
(Discuss the continuity of the function f(x)=x-[x] at x=3.)
Solution:f(x)=x-[x]
L.H.L.
f(3-0)=\underset{x \rightarrow 3^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 3-h-[3-h] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (3-h-2)\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-h) \\ \Rightarrow f(3-0)=1
R.H.L.
f(3+0)=\underset{x \rightarrow 3^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(3+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3+h-[3+h]) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(3+h-3) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \\ \Rightarrow f(3+0)=0 \\ f(3)=3-[3]=3-3=0 \\ f(3-0) \neq f(3+0)=f(3)
अतः फलन f(x),x=3 पर असंतत है।
Illustration:7.सिद्ध कीजिए कि निम्न फलन (Prove that the following function)
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} ; \text { यदि x परिमेय है (If x is rational) } \\ \frac{1}{3} ; \text { यदि x अपरिमेय है (If x is irrational) } \end{array}\right.
प्रत्येक बिन्दु पर असंतत है (is discontinuous everywhere.)
Solution:माना कि a कोई वास्तविक संख्या है।अब a परिमेय होगी या अपरिमेय होगी।
स्थिति:I.माना कि a परिमेय संख्या है,तो f(a)=\frac{1}{2}
चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त अपरिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः a+h अपरिमेय संख्या भी हो सकती है,फलतः
f(a+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h)=\frac{1}{3} \\ \therefore f(a+h) \neq f(a)
फलन f(x),x=a (परिमेय संख्या) पर संतत नहीं होगा।
स्थिति:II.माना कि a अपरिमेय संख्या है,तो
f(a)=\frac{1}{3}
चूँकि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त परिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः a+h परिमेय संख्या हो सकती है,फलतः
f(a+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h)=\frac{1}{2} \\ \therefore f(a+0) \neq f(a)
फलन x=a (अपरिमेय संख्या) पर संतत नहीं है।
चूँकि a स्वेच्छ संख्या है,अतः फलन सर्वत्र असंतत है।
Illustration:8.यदि फलन अन्तराल [0,1] में निम्न प्रकार परिभाषित हैः(If a function f defined on [0,1] by):
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x ; \text { यदि x परिमेय है (If x is rational) } \\ 1-x, \text { यदि x अपरिमेय है (If x is irrational) } \end{array}\right.
तो प्रदर्शित कीजिए कि f,0 और 1 के मध्य प्रत्येक मान ले सकता है परन्तु केवल पर संतत है।
(Show that f takes every value between 0 and 1 (both inclusive) but is continuous only at.)
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} x ; \text { यदि x परिमेय है (If x is rational) } \\ 1-x, \text { यदि x अपरिमेय है (If x is irrational) } \end{array}\right.
x=\frac{1}{2} पर
f(x)=x,यदि x परिमेय है
\therefore f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \cdots(1) \\ f\left(\frac{1}{2}+0\right) =\underset{x \rightarrow \frac{1}{2}^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}+h\right)
चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त अपरिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः \frac{1}{2}+h अपरिमेय संख्या भी हो सकती है,फलतः
f(x)=1-x,जब अपरिमेय हैः
f\left(\frac{1}{2}+0\right)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left[1-\left(\frac{1}{2}+h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{1}{2}-h\right) \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{1}{2} \cdots(2)
इसी प्रकार \underset{x \rightarrow \frac{1}{2}-0}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}-h\right)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[1-\left(\frac{1}{2}-h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{2}-h\right) \\ \Rightarrow \underset{x \rightarrow \frac{1}{2}-0}{\lim}=\frac{1}{2} \cdots(3)
(1),(2),(3) से
f\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}-0\right)=f\left(\frac{1}{2}+0\right)
अतः x=\frac{1}{2} पर फलन संतत है।
माना \lambda कोई वास्तविक संख्या है।अब \lambda परिमेय संख्या होगी या अपरिमेय होगी।
स्थिति:I.माना कि \lambda परिमेय संख्या है,तो
f(x)=x \Rightarrow f(\lambda)=\lambda \cdots(5)
चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त अपरिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः a+\lambda अपरिमेय संख्या भी हो सकती है,फलतः
f(\lambda+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\lambda+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[1-(\lambda+h)] \\ \Rightarrow f(\lambda+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(1-\lambda-h)=1-\lambda \cdots(6)
(5) व (6) सेः
\therefore f(\lambda+0) \neq f(\lambda)
फलन f(x), x=\lambda (परिमेय संख्या) पर संतत नहीं होगा।
स्थिति:II.माना \lambda कि अपरिमेय संख्या है,तो
f(x)=1-x \Rightarrow f(\lambda)=1-\lambda \cdots(7)
चूँकि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त परिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः \lambda+h परिमेय संख्या हो सकती है,फलतः
f(\lambda+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\lambda+h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\lambda+h) \\ \Rightarrow f(\lambda+h)=\lambda \cdots(8)
(7) व (8) सेः
f(\lambda+h) \neq f(\lambda)
फलन x=\lambda (अपरिमेय संख्या) पर संतत नहीं है।
चूँकि स्वेच्छ संख्या है,अतः फलन अन्तराल [0,1] में x=\frac{1}{2} पर संतत है अन्य बिन्दुओं पर असंतत है।
Illustration:9.सिद्ध कीजिए कि फलन (Prove that the function)
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x, \text { यदि } x \text { यदि x परिमेय है (If x is rational) } \\ -x, \text { यदि } x \text { यदि x अपरिमेय है (If x is irrational) } \end{array}\right.
केवल x=0 पर संतत है। (is continuous only at x=0):
Solution:x=0 पर
यदि f(x)=x यदि x परिमेय है
f(x)=0
f(0)=0 \\ \underset{x \rightarrow 0+0}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h)=0 \cdots(2)
चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त अपरिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः 0+h अपरिमेय संख्या भी हो सकती है,फलतः
f(x)=-x,जब अपरिमेय हैः
f(0+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[-(0+h)]=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(-h) \\ \Rightarrow f(0+0)=0 \cdots(2)
इसी प्रकार f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[-(0-h)] \\ \Rightarrow f(0-0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(h)=0 \cdots(3)
(1),(2) और (3) सेः
f(0+0)=f(0-0)=f(0)
अतः x=0 पर फलन संतत है।
जब x=\lambda \neq 0
अब परिमेय संख्या होगी या अपरिमेय होगी।
स्थिति:I.माना कि \lambda परिमेय संख्या है,तो
f(x)=x,जब x परिमेय है तब
f(\lambda)=\lambda \cdots(4) \\ \underset{x \rightarrow \lambda+0}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\lambda+h)
चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त अपरिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः x+\lambda अपरिमेय संख्या भी हो सकती है,फलतः
f(x)=-x जब x अपरिमेय हैः
f(\lambda+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[-(\lambda+h)] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}[-\lambda-h) \\ \Rightarrow f(\lambda+0)=-\lambda \cdots(5) \\ \therefore f(\lambda+0) \neq f(\lambda)
फलन f(x), x=\lambda (परिमेय संख्या) पर संतत नहीं होगा।
स्थिति:II.माना कि \lambda अपरिमेय संख्या है,तो
f(x)=-x,जब x अपरिमेय है।
f(\lambda)=-\lambda
चूँकि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के प्रतिवेश में अनन्त परिमेय संख्याएँ भी होंगी अतः \lambda+h परिमेय संख्या हो सकती है,फलतः
f(\lambda+0)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(\lambda+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}(\lambda+h) \\ \Rightarrow f(\lambda+0)=\lambda \\ \therefore f(\lambda+0) \neq f(\lambda)
फलन x=\lambda (अपरिमेय संख्या) पर संतत नहीं है।
चूँकि x=\lambda \neq 0 स्वेच्छ संख्या है,अतः फलन अन्तराल 0 के अतिरिक्त अन्य बिन्दुओं पर असंतत है।
Illustration:10.अन्तराल [-1,1] में फलन f इस प्रकार परिभाषित है कि f(x)=x^2+3x तो दिए हुए \varepsilon>0 के लिए \delta का मान ज्ञात करिए जब
\left|x_2-x_1\right|< \delta \Rightarrow \left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\varepsilon
(If f(x)=x^2+3x in [-1,1 ] ,find \delta such that
\left|x_2-x_1\right|< \delta \Rightarrow\left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|< \varepsilon
where \varepsilon>0 is a given number.)
Solution: \left|f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)\right|<\varepsilon \\ \therefore \Rightarrow \left|x_2^2+3 x_2-\left(x_1^2+3 x_1\right)\right|<\varepsilon \\ \Rightarrow \left|\left(x_2^2-x_1^2\right)+3 x_2-3 x_1\right|<\varepsilon \\ \Rightarrow \left|\left(x_2-x_1\right) \left(x_2+x_1 \right)+3\left(x_2-x_1\right)\right|<\varepsilon \\ \Rightarrow \left|\left(x_2-x_1\right) \left(x_2+x_1 +3\right) \right|<\varepsilon \\ \Rightarrow \left|x_2-x_1\right|\left|x_2+x_1+3\right|<\varepsilon \\ \Rightarrow \delta\left|x_2+x_1+3\right|<\varepsilon \\ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right) \leq \delta\left(\left|x_2\right|+\left|x_1\right|+3\right)<\varepsilon\left[ \because \left|x_1\right| +\left|x_2\right|<\left|x_1\right|+\left|x_2\right|\right] \\ \leq 5 \delta<\varepsilon \quad\left[ \because x_1, x_2 \in [-1,1] \Rightarrow \left|x_1\right| \leq 1, \left|x_2\right| \leq 1 \right] \\ \Rightarrow \delta<\frac{\varepsilon}{5}
Illustration:11.निम्न में से प्रत्येक का उदाहरण दीजिए:
Illustration:11(i).एक संतत फलन,जो उपरि परिसीमित है पर निम्न परिसीमित नहीं है;
(A continue function,bounded above but unbounded below)
Solution: \log \frac{1}{x}, x \geq 1
Illustration:11(ii).एक संतत फलन,जो न उपरि परिसीमित है और न निम्न परिसीमित;
(A continuous function,neither bounded above nor below)
Solution: \log x \forall x \in(0, \infty)
Illustration:11(iii).एक संतत फलन,जो उच्चक को प्राप्त करता है पर निम्नक को प्राप्त नहीं करता
(A continuous function,which attains its supremum but does not attain infimum)
Solution: \frac{1}{1+|x|}, x \in R
Illustration:11(iv).एक संतत फलन,जो न उच्चक को प्राप्त करता है और न निम्नक को।
(A continuous function,which neither attains supremum nor infimum)
Solution: x, 0<x<1

Limits and Continuity in Real Analysis

Illustration:12.प्रदर्शित कीजिए कि निम्न फलन के लिए x=0 पर द्वितीय प्रकार की असांतत्यता है।
(Following function f has a discontinuity of second kind at x=0.)
f(x)= \begin{cases}\frac{e^{\frac{1}{x}} \sin \left(\frac{1}{x}\right)}{1+e^{\frac{1}{x}}}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
Solution: L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(\infty) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{-\frac{1}{h}}}{1+e^{-\frac{1}{h}}} \sin \left(-\frac{1}{h}\right) \\ =0
[ \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{-}}{1+e^{-\frac{1}{h}}} =\frac{0}{1+0}=0 तथा \left|\sin \left(-\frac{1}{h}\right)\right| \leq 1 जब h \neq 0]
पुनः R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{h}} \sin (\frac{1}{h})}{1+e^{\frac{1}{h}}} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{e^{\frac{1}{h}}}{e^{\frac{1}{h}}\left(1+e^{-\frac{1}{h}}\right)} \sin \left(\frac{1}{h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1+e^{-\frac{1}{h}}} \sin \frac{1}{h} \rightarrow does not exist
क्योंकि \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{1+e^{-\frac{1}{h}}}=\frac{1}{0+1}=1
परन्तु \underset{h \rightarrow 0}{\lim} \sin \frac{1}{h} \rightarrow does not exise
f(0)=0
इस प्रकार f(0-0)=f(0) परन्तु f(0+0) \rightarrow does not exise
अतः फलन f(x),x=0 पर द्वितीय प्रकार का असांतत्य है।
Illustration:13.यदि किसी फलन की सीमा किसी बिन्दु पर विद्यमान हो,तो यह अद्वितीय होती है।
(If the limit of a function exists at a point,then prove that, it is unique.)
Solution:यदि सम्भव हो तो मान लिया कि फलन f(x) की सीमा l_1 तथा l_2 है अर्थात्
\underset{x \rightarrow x_0}{\lim} f(x)=l_1 तथा \underset{x \rightarrow x_0}{\lim} f(x)=l_2
तब हमें सिद्ध करना है कि l_1=l_2
अब सीमा की परिभाषा अनुसार प्रत्येक \frac{\varepsilon}{2} >0 (चाहे \varepsilon कितना भी छोटा हो) के लिए एक संख्या \delta >0 का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि
\left|f(x)-l_1\right|< \frac{\varepsilon}{2} जबकि \left|x-x_0\right|< \delta_1
इसी प्रकार \left|f(x)-l_2\right| \leq \frac{\varepsilon}{2} जबकि \left|x-x_0\right| < \delta_2
अब माना कि \delta= न्यून \left\{\delta_1, \delta_2\right\} फलतः प्रत्येक x के लिए
\left|x-l_1\right|< \frac{\varepsilon}{2} जबकि \left|x-x_0\right|< \delta
तथा \left|x-l_2\right|< \frac{\varepsilon}{2} जबकि \left|x-x_0\right|< \delta \\ \therefore \left|l_1-l_2\right| =\left|l_1-f(x)+f(x)-l_2\right| \\ \leq\left|l_1-f(x)\right|+\left|f(x)-l_2\right| \\ < \left(\frac{\varepsilon}{2}\right)+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
परन्तु \varepsilon>0 एक स्वेच्छ कितनी भी छोटी संख्या है इसलिए \left|l_1-l_2\right|=0\\  \Rightarrow l_1=l_2 अतः फलन f(x) की सीमा अद्वितीय है।
Illustration:14.फलन के अपनेय असांतत्य को परिभाषित कीजिए एवं अपनेय असांतत्य का उदाहरण दीजिए।
(Define removable discontinuity of a function and give an example of a function which has removable discontinuity at same point.)
Solution:परिभाषा:यदि दोनों सीमाएँ \underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) तथा \underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) विद्यमान,परिमित एवं बराबर हो परन्तु f(a) से भिन्न हों अर्थात् \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) \neq f(a) जब फलन f बिन्दु a पर निराकरणीय असांतत्य कहलाता है।स्पष्ट है कि फलन के मान को इस प्रकार परिभाषित कर दें जिससे \underset{x \rightarrow a}{\lim} f(x) = f(a) ,तो फलन के निराकरणीय असांतत्य बिन्दु को सरलता से हटाया जा सकता है।
Example: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right.
तब फलन f(x) मूलबिन्दु पर निराकरणीय असांतत्य है अगर फलन f को x=0 पर इस प्रकार परिभाषित करें ताकि तो दिया हुआ फलन बिन्दु x=0 पर संतत हो जाएगा।
f(0)=1
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(-h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-\cos (-h)}{(-h)^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-\cos h}{h^2}=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 \sin ^2 \frac{h}{2}}{h^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{2}\left(\frac{\sin \frac{1}{2} h}{\frac{1}{2} h}\right)^2=\frac{1}{2} \\ f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x )=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h), h>0 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(h)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1-\cos h}{h^2} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{2 \sin ^2 \frac{h}{2}}{h^2}=\frac{1}{2} \\ f(0-0)=f(0+0)=\frac{1}{2}, f(0)=1 \\ f(0-0)=f(0+0) \neq f(0)
अतः फलन x=0 पर असंतत है।x=0 पर साधारण प्रकार का असांतत्य है।
x=0 पर फलन का jump है f(0+0)-f(0-0)=0 अतः f(x),x=0 पर निराकरणीय असांतत्य है।
Illustration:15.निम्न फलन x=1 पर असांतत्य की जाँच कीजिए:
(Test the continuity of the following function at x=1)
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^x-x^n \sin x}{x^n+1}
Solution:जब 0 \leq x< 1 \\ f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e^x-x^n \sin x}{1+x n} \\ =\frac{e^x-0 \cdot \sin x}{1+0}=e^x
x=1 पर f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{e-\sin 1}{1+1}=\frac{e-\sin 1}{2}
और जब 1<x \leq \frac{\pi}{2}, f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\frac{e^x}{x^n}-\sin x}{1+\frac{1}{x^n}} \\ =-\sin x \\ f(x)=\left\{\begin{array}{l} e^x, \text { जब } 0 \leq x < 1 \\ \frac{(e-\sin 1)}{2}, \text { जब } x=1 \\ -\sin x, \text { जब } 1 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \end{array}\right. \\ f(1-0)=\underset{x \rightarrow 1}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1}{\lim} e^x=e \\ f(1+0)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} \left(-\sin x\right)=-\sin 1
और f(1)=\frac{1}{2}(e-\sin 1) \\ f(1-0) \neq f(1) और f(1) \neq f(1+0)
अतः x=1 पर फलन प्रथम प्रकार का असांतत्य है।इस पर फलन का jump है
f(1-0)=f(1+0)=e-(-\sin 1) \\ \Rightarrow f(1-0)-f(1+0)=e+\sin 1
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity in Real Analysis),वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य  (Continuity in Real Analysis) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य के सवाल (Limits and Continuity in Real Analysis Questions):

Limits and Continuity in Real Analysis

(1.)निम्न फलनों के सांतत्य और असांतत्य पर विचार कीजिए:
(Discuss the continuity and discontinuity of the following functions)
(1.) f(x)=x^3-3 x (2.) f(x)=x+x^{-1}
उत्तर (Answers):(1.)वास्तविक संख्याओं के लिए सर्वत्र संतत है। (2.)x=0 पर द्वितीय प्रकार का असांतत्य है।
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity in Real Analysis),वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य  (Continuity in Real Analysis) को ठीक से समझ सकते हैं।

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4.वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Frequently Asked Questions Related to Limits and Continuity in Real Analysis),वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य  (Continuity in Real Analysis) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सीमा और सांतत्य (Limits and Continuity in Real Analysis) के
इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य का परीक्षण करने के लिए कुछ सवालों को हल
करके समझने का प्रयास करेंगे।