Uniform Convergence in Math

गणित में एकसमान अभिसरण का परिचय (Introduction to Uniform Convergence in Math):

Uniform Convergence in Math

• गणित में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Math):पूर्व कक्षाओं में वास्तविक संख्याओं के अभिसरण का अध्ययन कर चुके हैं।वहाँ इनके पदों को वास्तविक संख्याओं के फलन के रूप में नहीं लिया गया था।इस आर्टिकल में ऐसे अनुक्रम तथा श्रेणियों के अभिसरण का अध्ययन करेंगे जिनका प्रत्येक पद वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R के किसी उपसमुच्चय पर परिभाषित फलन है।
  
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गणित में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Math):

Uniform Convergence in Math

• परिभाषा:किसी समुच्चय E\subset{R} पर परिभाषित वास्तविक मान फलनों का अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\},E पर फलन f(x) को एकसमान अभिसृत होता है यदि प्रत्येक \epsilon>0 के लिए कोई ऐसा n_{0}\in{N} विद्यमान हो ताकि
  |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon{\forall{n\geq{n_{0}}}}\text{ तथा }\forall{x\in{E}}
• टिप्पणी:(1.)यहाँ विचारणीय है कि एकसमान अभिसारी की स्थिति में \forall{x\in{E}} के लिए एक निश्चित m है।जबकि साधारण अभिसरण या बिन्दुशः अभिसरण की स्थिति में x के एक मान के संगत m का एक मान है।
• (2.)समुच्चय E पर फलनों का अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\},फलन f(x)एकसमान अभिसृत नहीं होगा यदि और केवल यदि एक ऐसा \epsilon विद्यमान हो तथा कोई धनात्मक पूर्णांक n_{0} इस प्रकार से न हो ताकि
  |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon{\forall{n\geq{n_{0}}}}\text{ तथा }\forall{x\in{E}}
• (3.)यह सरलतापूर्वक देखा जा सकता है कि यदि अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\} एकसमान अभिसारी हो तो यह बिन्दुश: भी अभिसारी होगा परन्तु इसका विलोम सदैव सत्य होगा आवश्यक नहीं है।
• (4.)यदि वास्तविक फलनों का अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\},किसी बिन्दु x=\alpha को अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\} के लिए एकसमान अभिसरण न होने वाला बिन्दु (point of non-uniform convergence) कहते हैं।

Uniform Convergence in Math

• उपर्युक्त आर्टिकल में गणित में एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence in Math) के बारे में बताया गया है।