1.वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Countable Sets in Real Analysis),तुल्य समुच्चय और गणनीय समुच्चय (Equivalent Sets and Countable Sets):

Countable Sets in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Countable Sets in Real Analysis) के इस आर्टिकल में गणनीय समुच्चय,तुल्य समुच्चय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Topological of Real Numbers

2.वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय के उदाहरण (Countable Sets in Real Analysis Examples):

Example:1.सिद्ध कीजिए कि सभी बिन्दुओं का समुच्चय जिनके निर्देशांक परिमेय संख्याएँ है,गणनीय होगा।
(Prove that the set of all points whose coordinates are rational numbers is countable.)
Solution:माना A_n=\left\{\left(\frac{0}{n},-\frac{1}{n}\right),\left(-\frac{2}{n}, \frac{1}{n}\right) \left(\frac{2}{n}, \frac{3}{n}\right),\left(-\frac{3}{n},-\frac{2}{n}\right), \cdots \cdots\right\}
ताकि A_n उन बिन्दुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक परिमेय संख्याएँ हैं जिनके अंश n \in N है।चूँकि फलन f : N \rightarrow A_{n} ताकि f_r=\frac{r-1}{2 n},जबकि r विषम है एवं f(r)=\frac{r}{2 n} ,जबकि r सम है।एकैकी-आच्छादक फलन है।अतः अपरिमित गणनीय है।
Example:2.सिद्ध कीजिए कि (Prove that)
Example:2(i).यदि A \sim B (if) A={1,2,3,4} एवं B={x,y,z,t}
Solution:A={1,2,3,4},B={x,y,z,t}
प्रतिचित्रण f: A \rightarrow B
जो कि एकैकी-आच्छादक है अतः A \sim B
Example:2(ii).A एवं B तुल्य नहीं है यदि A={1,2,3},B={x,y}
(A and B are equivalent if A={1,2,3},B={x,y})
Solution:A={1,2,3},B={x,y}
f: A \rightarrow B एकैकी है।
दोनों में अवयवों की संख्या समान नहीं है।
परन्तु f^{-1}: B \cancel \rightarrow A आच्छादक नहीं है।
अतः A \nsim B
फलतः A एवं B तुल्य नहीं है।
Example:3.दो समुच्चयों X एव Y के लिए सिद्ध कीजिए कि
(For any two sets X and Y prove that)
(X \times Y) \sim(Y \times X)
Solution: f: X \times Y \rightarrow Y \times X \\ f(x, y)=\left(y, x\right) \forall(x, y) \in P \times Q \\ f((x, y))=f\left(\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)\right) ;(x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \in P \times Q \\ \Rightarrow(y, x)=\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right) \Rightarrow y=y^{\prime}, x=x^{\prime}
f एकैकी है।
पुनः दिया है कि (y, x) \in Q \times P \\ (x, y) \in P \times Q \text { s.t. } f(x, y)=(y, x)
f एकैकी-आच्छादक है।
\Rightarrow \quad P \times Q \sim Q \times P

Countable Sets in Real Analysis

Example:4.माना कि a एवं b दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार से है कि a < b तो सिद्ध करिए कि (a,b) अगणनीय समुच्चय होगा।
(Let a and b any two real numbers with a < b ,prove that (a,b) is uncountable.)
Solution:माना a \in R स्वेच्छ है।
b=a+\delta \\ (a, b)=(a, a+\delta) \\ f:(a, a+\delta) \rightarrow(0, \delta) \\ f(x)=X-a \Rightarrow f(a)=a-a=0 \\ f(a+\delta)=a+\delta-a=\delta
f सुपरिभाषित है।
f\left(X_1\right)=f\left(X_2\right) ; X_1, X_2 \in \left(a,a+\delta\right) \\ \Rightarrow X_1-a=X_2-a \\ \Rightarrow X_1=X_2
f एकैकी है।
f सतत प्रतिचित्रण है \Rightarrow f आच्छादक प्रतिचित्रण है।
\Rightarrow \quad |(a, a+\delta)|=|(0, \delta)|
परन्तु (0, \delta) में सभी वास्तविक संख्याओं का रूप अगणनीय समुच्चय है और इस प्रकार वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (a,b) अगणनीय समुच्चय होगा।
Example:5.सिद्ध कीजिए कि (Prove that) [a, b] \sim [c, d]
Solution:चूँकि f:[a, b] \rightarrow [c, d] \\ \Rightarrow f(x)=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a) \forall x \in [a, b]
परिभाषित किया जा सकता है जो कि एकैकी-आच्छादक फलन होगा।
अतः [a, b] \sim [c, d]
Example:6.सिद्ध कीजिए (Prove that)
(0,1) \sim R^{+}
Solution:विवृत्त अन्तराल (0,1) एवं धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय तुल्य होता है क्योंकि हम f:(0,1) \rightarrow R^{+} निम्न प्रकार से परिभाषित कर सकते हैं:
f(x)=x, 0< x< \frac{1}{2} एवं f(x)=\frac{1}{4(1-x)}, \frac{1}{2}< x< 1
स्पष्ट है कि f एकैकी-आच्छादक फलन होगा।
अतः (0,1) \sim R^{+}
Example:7.उदाहरण सहित व्युत्पन्न समुच्चय को परिभाषित कीजिए।
(Define a derived set with example):
Solution:किसी समुच्चय E के समस्त सीमा बिन्दुओं के समुच्चय को E का व्युत्पन्न समुच्चय कहते हैं।इसे सामान्यतया E’ अथवा D(E) से व्यक्त करते हैं।
E’={x:x समुच्चय E का सीमा बिन्दु है।}
याद रखिए A=B \cup C तो D(A)=D(B) \cup D(C)
उदाहरणः E=\left\{ \frac{1}{n} | n \in N\right\} तो E’={0}
Example:8.सघन समुच्चय की परिभाषा दीजिए एवं एक उदाहरण दीजिए।
(Define a dense set and give one example.)
Solution:यदि A \subset R का प्रत्येक बिन्दु B का अवयव है अथवा B का एक सीमा बिन्दु है तो B को A का सघन समुच्चय कहते हैं।स्पष्ट है कि सघन समुच्चय B में,जो A में सघन है,A का कोई बिन्दु B का सीमा बिन्दु होते हुए भी B का एक बिन्दु हो सकता है।अर्थात् A में सघन समुच्चय होगा यदि B \subset \overline{A}
उदाहरण:Q,R-Q का सघन समुच्चय है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Countable Sets in Real Analysis),तुल्य समुच्चय और गणनीय समुच्चय (Equivalent Sets and Countable Sets) को समझ सकते हैं।

Countable Sets in Real Analysis

Also Read This Article:- Real Number Systema

3.वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Frequently Asked Questions Related to Countable Sets in Real Analysis),तुल्य समुच्चय और गणनीय समुच्चय (Equivalent Sets and Countable Sets) वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Countable Sets in Real Analysis),तुल्य समुच्चय और गणनीय समुच्चय (Equivalent Sets and Countable Sets) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में गणनीय समुच्चय (Countable Sets in Real Analysis) के इस आर्टिकल
में गणनीय समुच्चय,तुल्य समुच्चय पर आधारित सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।