1.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit):

Continuity and Limit in Real Analysis

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis) के इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।
आपको यह जानकारी रोचक व ज्ञानवर्धक लगे तो अपने मित्रों के साथ इस गणित के आर्टिकल को शेयर करें।यदि आप इस वेबसाइट पर पहली बार आए हैं तो वेबसाइट को फॉलो करें और ईमेल सब्सक्रिप्शन को भी फॉलो करें।जिससे नए आर्टिकल का नोटिफिकेशन आपको मिल सके।यदि आर्टिकल पसन्द आए तो अपने मित्रों के साथ शेयर और लाईक करें जिससे वे भी लाभ उठाए।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव देना चाहते हैं तो कमेंट करके बताएं।इस आर्टिकल को पूरा पढ़ें।

Also Read This Article:- Continuity in Real Analysis

2.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा के उदाहरण (Continuity and Limit in Real Analysis Illustrations):

Illustration:3.निम्न फलनों की सांतत्य की जाँच कीजिए:
(Test the continuity of the following functions):
Illustration:3(iii). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(\frac{x^2}{a}\right)-a, & a< x< a \\ 0, & x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, & a< x \leq b \\ b, & x>b \end{array}\right.
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \left(\frac{x^2}{a}\right)-a, & a< x< a \\ 0, & x=a \\ a-\frac{a^3}{x^2}, & a< x \leq b \\ b, & x>b \end{array}\right.
x=a पर L.H.L
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{(a-h)^2}{a}-a \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a^2-2 a h+h^2-a^2}{a} \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{-2 a h+h^2}{a} \\ \Rightarrow f(a-0)=0
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।
x=b पर L.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(a-\frac{a^3}{(a+h)^2}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[1-\frac{a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{(a+h)^2-a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{a^2+2 a h+h^2-a^2}{(a+h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{a\left(2 a h+h^2\right)}{(a+h)^2} \\ =0 \\ f(a+0)=0
f(a)=0
f(a-0)=f(a+0)=f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।
x=b पर
L.H.L.
f(b-0)=\underset{x \rightarrow b^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(b-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[a-\frac{a^3}{(b-h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[1-\frac{a^2}{(b-h)^2}\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} a\left[\frac{b^2-2 b h+h^2-a^2}{(b-h)^2}\right] \\ =\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b} \\ \Rightarrow f(b-0)=\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b^2}
R.H.L.
f(b+0)=\underset{x \rightarrow b^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(b+h)\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (b) \\ \Rightarrow f(b+0)=b \\ f(b)=a-\frac{a^3}{x^2}=a-\frac{a^3}{b^2} \\ \Rightarrow f(b+0)=\frac{a\left(b^2-a^2\right)}{b^2} \\ \Rightarrow f(b+0) \neq f(b-0)=f(b)
अतः फलन f(x),x=b पर असंतत है।
Illustration:3(iv). f(x)= \begin{cases}0, & x=0 \\ \frac{1}{2}-x, & 0< x < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x=\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}-x, & \frac{1}{2}< x < 1 \\ 1, & x=1\end{cases}
x=0, \frac{1}{2} एवं 1 पर
Solution: f(x)= \begin{cases}0, & x=0 \\ \frac{1}{2}-x, & 0< x < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x=\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}-x, & \frac{1}{2}< x < 1 \\ 1, & x=1\end{cases}
x=0 पर R.H.L.
f(0+0)= \underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-(0+h)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{2}-h\right) \\ =\frac{1}{2} \\ \Rightarrow f(0+0)=\frac{1}{2}
f(0)=0
\Rightarrow f(0+0) \neq f(0)
अतः फलन f(x),x=0 पर असंतत है।
x=\frac{1}{2} पर
L.H.L.
f\left(\frac{1}{2}-0\right)=\underset{x \rightarrow {\frac{1}{2}}^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2} -\left(\frac{1}{2}-h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+h\right] \\ f\left(\frac{1}{2}-0\right)=0
R.H.L.
f\left(\frac{1}{2}+0\right)=\underset{x \rightarrow {\frac{1}{2}}^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{1}{2}+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-\left(\frac{1}{2}+h\right)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-h\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{1}{2}-h\right] \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}+0\right)=1 \\ f\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2} \\ \Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right) \neq f\left(\frac{1}{2}+0\right) \neq f\left(\frac{1}{2}-0\right)
अतः फलन f(x),x=\frac{1}{2} पर असंतत है।
x=1 पर
L.H.L.
f(1-0)= \underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(1-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[\frac{3}{2}-(1-h)\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{3}{2}-1+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{1}{2}+h\right) \\ \Rightarrow f(1-0)=\frac{1}{2} \\ f(1)=1 \\ \Rightarrow f(1) \neq f(1-0)
अतः फलन f(x),x=1 पर असंतत है।
Illustration:3(v). f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad-\infty< x< 0 \\ 1+\sin x, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ 2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2, \frac{\pi}{2} \leq x<\infty \end{array}\right.
x=0 तथा x=\frac{\pi}{2} पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{l} 1, \quad-\infty< x< 0 \\ 1+\sin x, \quad 0 \leq x<\frac{\pi}{2} \\ 2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2, \frac{\pi}{2} \leq x<\infty \end{array}\right.
x=0 पर L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (1) \\ \Rightarrow f(0-0)=1
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow 0^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin (0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin h \\ =1+0=1 \\ \Rightarrow f(0+0)=1 \\ f(0)= 1+\sin 0=1
f(0-0)= f(0+0)=f(0)
अतः फलन f(x),x=0 पर संतत है।
x=\frac{\pi}{2} पर L.H.L.
f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)= \underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{\pi}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\sin \left(\frac{\pi}{2}-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 1+\cos h \\ = 1+\cos 0=1+1=2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=2
R.H.L.
f\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=\underset{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(\frac{\pi}{2}+h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2+\left(\frac{\pi}{2}+h-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 2+h^2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2} +0\right)=2 \\ f(x)=2+\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)^2 \\ \Rightarrow f\left(\frac{\pi}{2}\right)=2 \\ f\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=f\left(\frac{\pi}{2}+0\right)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)
अतः फलन f(x),x= पर संतत है।
Illustration:3(vi). f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right), x \in[0,1], x=1 पर
Solution: f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \because \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} x^n=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { यदि } x<1 \\ 1, \text { यदि } x=1 \\ \infty, \text { यदि } x>1 \end{array}\right.
अतः यदि x<1 तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \Rightarrow f(x)=1-0=1
जब x=1,तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ \Rightarrow f(x)=1-1=0
जब x>1 तो
f(x)=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \left(1-x^n\right) \\ =1-\infty \\ \Rightarrow f(x)=-\infty \\ f(1-0)=\underset{x \rightarrow 1^{-}}{\lim} f(x)=1 \\ f(1+0)=\underset{x \rightarrow 1^{+}}{\lim} f(x)=-\infty \\ f(1-0) \neq f(1+0)
अतः फलन f(x),x=1 पर असंतत है।
Illustration:3(vii). f(x)= \begin{cases}(x-a) \cdot \sin \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
Solution: f(x)= \begin{cases}(x-a) \cdot \sin \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
L.H.L
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (a-h-a) \sin \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (-h) \sin \left(-\frac{1}{h}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin \frac{1}{h} \\ \Rightarrow f(a-0)=0
R.H.L
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (a+h-a) \sin \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin \left(\frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(a+0)=0 \\ \left[\because \underset{h \rightarrow 0}{\lim} h=0 \text { तथा }\left|\sin \frac{1}{h}\right| \leq 1 \text { जब } h \neq 0\right]
f(a)=0
f(a-0)=f(a+0)=f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर संतत है।

Continuity and Limit in Real Analysis

Illustration:3(viii). f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x-a} \operatorname{cosec}(x-a), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases} ,     x=a पर
Solution: f(x)= \begin{cases}\frac{1}{x-a} \operatorname{cosec}(x-a), & x \neq a \\ 0, & x=a\end{cases}
x=a पर L.H.L.
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x)\\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \operatorname{cosec}(a-h-a) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left( -\frac{1}{h} \right) \operatorname{cosec}(-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \frac{1}{h}(\operatorname{cosec} h) \\ \Rightarrow f(a-0) =\infty
R.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim}\left(\frac{1}{a+h-a}\right) \operatorname{cosec}(a+h-a) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \operatorname{cosech} \\ \Rightarrow f(a+0) =\infty \\ f(a)=0 \\ f(a-0)=f(a+0) \neq f(a)
अतः फलन f(x),x=a पर अपरिमित रूप से द्वितीय प्रकार का असंतत है।
Illustration:3(ix). f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x-a} \sec \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a \end{array}\right. ,x=a पर
Solution: f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{x-a} \sec \left(\frac{1}{x-a}\right), & x \neq a \\ 0, & x=a \end{array}\right.
x=a पर L.H.L.
f(a-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\=\underset{h \rightarrow 0^{-}}{\lim} f(a-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \sec \left(\frac{1}{a-h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-\frac{1}{h}\right) \sec \left(-\frac{1}{h}\right) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-\frac{1}{h} \sec \frac{1}{h}\right) \\ \Rightarrow f(a-0)=-\infty
R.H.L.
f(a+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(a+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \sec \left(\frac{1}{a+h-a}\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} h \sin h \\ =\infty \\ f(a)=0 \\ f(a-0) \neq f(a+0) \neq f(a)
अपरिमित असंतत है।
Illustration:4.[-1,2] में परिभाषित निम्न फलन की संततता की जाँच कीजिए:
(Examine for continuity of the function defined on [-1,2] by
f(x)= \begin{cases}-x^2, & -1 \leq x< 0 \\ 4 x-3, & 0< x \leq 1 \\ 5 x^2-4 x, & 1< x \leq 2\end{cases}
Solution: f(x)= \begin{cases}-x^2, & -1 \leq x< 0 \\ 4 x-3, & 0< x \leq 1 \\ 5 x^2-4 x, & 1< x \leq 2\end{cases}
x=0 पर L.H.L.
f(0-0)=\underset{x \rightarrow a^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f\left(0-h\right) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left[-(0-h)^2\right] \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \left(-h^2\right) \\ f(0-0)=0
R.H.L.
f(0+0)=\underset{x \rightarrow a^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(0+h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} 4(0+h)-3 \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} (4 h-3) \\ \Rightarrow f(0+0)=-3 \\ f(0+0) \neq f(0-0)
अतः फलन f(x),अन्तराल [-1,2] पर असंतत है।
Illustration:5.माना कि स्टेप फलन x \in R के लिए निम्न प्रकार परिभाषित है:
f(x)=[x]=अधिकतम पूर्णांक जो कि x से कम या बराबर है,तो प्रदर्शित कीजिए कि फलन किसी भी पूर्णांक बिन्दु पर संतत नहीं है।
(Let the step function be defined for as x \in R
f(x)=[x]=the greatest integer less than or equal to x.
Show that f is not continuous at any integral point.)
Solution:f(x)=[x]
x=c \in Z पर L.H.L.
f(c-0)=\underset{x \rightarrow c^{-}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c-h) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [c-h] \\ =c-1 [यदि c > 0] ……(1)
R.H.L.
f(c+0)=\underset{x \rightarrow c^{+}}{\lim} f(x) \\ =\underset{h \rightarrow 0}{\lim} f(c+h) \\=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} [c+h] \\=1 [यदि c >0 ]
f(c-0) \neq f(c+0) अतः फलन किसी भी पूर्णांक बिन्दु पर संतत नहीं है।
उपर्युक्त उदाहरणों के द्वारा वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) को समझ सकते हैं।

3.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा के सवाल (Continuity and Limit in Real Analysis Questions):

Continuity and Limit in Real Analysis

(1.)सिद्ध करो कि फलन (Show that the function defined by)
f(x)= \begin{cases}x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-1 & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, \text { यदि } x=0\end{cases}
x=0 पर निराकरणीय असंतत है।
(has a removal discontinuity at x=0)
(2.)निम्न फलन के सांतत्य की जाँच कीजिए
(Test the following function for continuity)
(x)=\begin{cases}2^{\frac{1}{x}}, & \text { यदि } x \neq 0 \\ 0, & \text { यदि } x=0\end{cases}
उत्तर (Answer):(2.)असंतत
उपर्युक्त सवालों को हल करने पर वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) को ठीक से समझ सकते हैं।

Also Read This Article:- Limits in Real Analysis

4.वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Frequently Asked Questions Related to Continuity and Limit in Real Analysis),सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit) से सम्बन्धित अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:

वास्तविक विश्लेषण में सांतत्य और सीमा (Continuity and Limit in Real Analysis) के
इस आर्टिकल में सीमा और सांतत्य के सवालों को हल करके समझने का प्रयास करेंगे।

Satyam Mathematics

About my self
Lekhak Ke Baare Mein (About the Author)
**Satyam Narain Kumawat**
**Website Name:Satyam Mathematics**
*Owner:satyamcoachingcentre.in*
*Sthan:Manoharpur,Jaipur (Rajasthan)*
**Teaching Mathematics aur Anya Anubhav**
***Shiksha:**B.sc.,B.Ed.,(M.sc. star Ke Mathematics Ko Padhane ka Anubhav),B.com.,M.com. Ke vishayon Ko Padhane ka Anubhav,Philosophy,Psychology,Religious,sanskriti Mein Gahri Ruchi aur Adhyayan
***Anubhav:**phichale 23 varshon se M.sc.,M.com.,Angreji aur Vigyan Vishayon Mein Shikshaka Ka Lamba Anubhav
***Visheshagyata:*Maths,Adhyatma (spiritual),Yog vishayon ka vistrit Gyan*
****In Brief:I have read about M.sc. books,psychology,philosophy,spiritual, vedic,religious,yoga,health and different many knowledgeable books.I have about 23 years teaching experience upto M.sc. ,M.com.,English and science.