Condition of Uniform Convergence

एकसमान अभिसरण की शर्त का परिचय (Introduction to Condition of Uniform Convergence):

Condition of Uniform Convergence

• एकसमान अभिसरण की शर्त (Condition of Uniform Convergence):इससे पूर्व अध्याय में वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के अभिसरण का अध्ययन किया है तथा वास्तविक संख्याओं की श्रेणी के अभिसरण का अध्ययन का अध्ययन पूर्व कक्षाओं में किया जा चुका है।वहाँ इनके पदों को वास्तविक संख्याओं के फलन के रूप में नहीं लिया गया था। इस आर्टिकल में हम ऐसे अनुक्रम तथा श्रेणियों के अभिसरण का अध्ययन करेंगे जिनका प्रत्येक पद वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R के किसी उपसमुच्चय पर परिभाषित फलन है।
  
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एकसमान अभिसरण की शर्त (Condition of Uniform Convergence):

Condition of Uniform Convergence

• माना कि अनुक्रम \left\{f_{n}(x)\right\}प्रत्येक x\in{E} के लिए f(x) को अभिसृत करता है इसका अर्थ यह हुआ कि \lim_{n\longrightarrow{\infin}}f_{n}(x)=f(x),\forall{x\in{E}}
  अब सीमा की परिभाषानुसार दिए हुए \epsilon>0 तथा x\in{E},\exists{m\in{N}} ताकि n\geq{m}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon,\forall{x\in{E}} यहाँ m,x तथा \epsilon पर आश्रित हैं यदि हम \epsilon को स्थिर (नियत) कर दें तथा x को बदलें तब भिन्न-भिन्न x\in{E} के लिए m के मानों का एक समुच्चय प्राप्त होग।m के मानों के इस समुच्चय का ऊपरी परिबन्ध (upper bound) विद्यमान हो,तब
  \forall{n\geq{n_{0}}}\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon,\forall{x\in{E}}
  इस स्थिति में \left\{f_{n}\right\} समुच्चय E पर फलन f को एकसमान अभिसृत होता है।

Condition of Uniform Convergence

• उपर्युक्त आर्टिकल में एकसमान अभिसरण की शर्त (Condition of Uniform Convergence) के बारे में बताया गया है।